Дипломная работа: Теория вероятности и математическая статистика

Киевский политехнический институт

Кафедра КСОИУ

 

 

 

 

 

 

 

Конспект лекций

по дисциплине:

”Теоpия веpоятности и математическая статистика”

 

 

Преподаватель: Студент II курса

ФИВТ, гр. ИС-41

проф. Павлов А. А. Андреев А. С.

Киев - 1996 г.

Введение.

Теория вероятности возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат детерминированные закономерности. Теория вероятности изучает данные закономерности.

Например: определить однозначно результат выпадения “орла” или “решки” в результате подбрасывания монеты нельзя, но при многократном подбрасывании выпадает примерно одинаковое число “орлов” и “решек”.

Испытанием называется реализация определенного комплекса условий, который может воспроизводиться неограниченное число раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы, реализация которого в каждом испытании приводит к неоднозначности исхода испытания.

Например: испытание - подбрасывание монеты.

Результатом испытания является событие. Событие бывает:

Достоверное (всегда происходит в результате испытания);

Невозможное (никогда не происходит);

Случайное (может произойти или не произойти в результате испытания).

Например: При подбрасывании кубика невозможное событие - кубик станет на ребро, случайное событие - выпадение какой либо грани.

Конкретный результат испытания называется элементарным событием.

В результате испытания происходят только элементарные события.

Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется пространством элементарных событий.

Например: Испытание - подбрасывание шестигранного кубика. Элементарное событие - выпадение грани с “1” или “2”.

Совокупность элементарных событий это пространство элементарных событий.

Сложным событием называется произвольное подмножество пространства элементарных событий.

Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащее сложному.

Таким образом, если в результате испытания может произойти только одно элементарное событие, то в результате испытания происходят все сложные события, в состав которых входят эти элементарные.

Например: испытание - подбрасывание кубика. Элементарное событие - выпадение грани с номером “1”. Сложное событие - выпадение нечетной грани.

Введем следующие обозначения:

А - событие;

w - элементы пространства W ;

W - пространство элементарных событий;

U - пространство элементарных событий как достоверное событие;

V - невозможное событие.

Иногда для удобства элементарные события будем обозначать Ei, Qi.

 

Операции над событиями.

1. Событие C называется суммой A+B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих как в A, так и в B. При этом если элементарное событие входит и в A, и в B, то в C оно входит один раз. В результате испытания событие C происходит тогда, когда произошло событие, которое входит или в A или в B. Сумма произвольного количества событий состоит из всех элементарных событий, которые входят в одно из Ai, i=1, ..., m.

2. Событие C произведением A и B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих и в A, и в B. Произведением произвольного числа событий называется событие состоящее из элементарных событий, входящих во все Ai, i=1, ..., m.

4. Событие называется противоположным событию A, если оно удовлетворяет двум свойствам.

Формулы де Моргана:Теория вероятности и математическая статистика и Теория вероятности и математическая статистика

5. События A и B называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания.

События A и B называются несовместными, если они не имеют общих элементарных событий.

C=A× B=V

Тут V - пустое множество.

Частость наступления события.

Пусть пространство элементарных событий конечно и состоит из m элементарных событий. В этом случае в качестве возможных исходов испытаний рассматривают 2m событий - множество всех подмножеств пространства элементарных событий W и невозможное событие V.

Пример:

W =(w 1, w 2, w 3)

A1=V

A2=(1)

A3=(2)

A4=(3)

A5=(1, 2)

A6=(2, 3)

A7=(1, 3)

A8=(w 1, w 2, w 3)

Обозначим систему этих событий через F. Берем произвольное событие AÎ F. Проводим серию испытаний в количестве n. n - это количество испытаний, в каждом из которых произошло событие A.

Частостью наступления события A в n испытаниях называется число

Теория вероятности и математическая статистика

 

Свойства частости.

Теория вероятности и математическая статистика

Частость достоверного события равна 1. n(U)=1.

Частость суммы попарно несовместных событий равна сумме частостей.

Рассмотрим систему Ai, i=1, ..., k; события попарно несовместны, т.е.

Теория вероятности и математическая статистика Событие Теория вероятности и математическая статистика Теория вероятности и математическая статистика

Пусть в результате некоторого испытания произошло событие A. По определению сумы это означает, что в этом испытании произошло некоторое событие Ai. Так как все события попарно несовместны, то это означает, что никакое другое событие Aj (i¹ j) в этом испытании произойти не может. Следовательно:

nA=nA1+nA2+...+nAk

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности используется при описании только таких испытаний, для которых выполняется следующее предположение: Для любого события A частость наступления этого события в любой бесконечной серии испытаний имеет один и тот же предел, который называется вероятностью наступления события A.

Следовательно, если рассматривается вероятность наступления произвольного события, то мы понимаем это число следующим образом: это частость наступления события в бесконечной (достаточно длинной) серии испытаний.

К сожалению, попытка определить вероятность как предел частости, при числе испытаний, стремящихся к бесконечности, закончилась неудачно. Хотя американский ученый Мизес создал теорию вероятности, базирующуюся на этом определении, но ее не признали из-за большого количества внутренних логических несоответствий.

Теория вероятности как наука была построена на аксиоматике Колмогорова.

Аксиоматика теории вероятности.

Построение вероятностного пространства.

Последовательно строим вероятностное пространство.

Этап 1:

Имеется испытание. В результате проведения испытания может наблюдаться одно событие из серии событий e . Все события из системы e называются наблюдаемыми. Введем предположение, что если события A Ì e , B Ì e наблюдаемы, то наблюдаемы и событияТеория вероятности и математическая статистика.

Система событий F называется полем событий или алгеброй событий, если для двух произвольных событий A, B Ì F выполняется:

ДополненияТеория вероятности и математическая статистика

(A+B) Î F, (A× B) Î F

все конечные суммы элементов из алгебры принадлежат алгебре

все конечные произведения элементов из алгебры принадлежат алгебре

все дополнения конечных сумм и произведений принадлежат алгебре.

Таким образом, систему e мы расширяем до алгебры или поля F путем включения всех конечных сумм, произведений, и их дополнений. Т.е. считаем, что в результате проведения испытания наблюдаемая система является полем или алгеброй.

Множество всех подмножеств конечного числа событий является наблюдаемой системой - алгеброй, полем.

Этап 2:

Каждому событию A Î F ставим в соответствие число P(A), которое называется вероятностью наступления события A. Такая операция задает вероятностную меру.

Вероятностная мера - числовая скалярная функция, аргументами которой являются элементы из системы алгебры F. Введенная вероятностная мера удовлетворяет системе из трех аксиом.

Теория вероятности и математическая статистика Теория вероятности и математическая статистика

P(U)=1.

Рассмотрим конечную или бесконечную систему попарно несовместных событий, каждое из которых принадлежит алгебре F.

Теория вероятности и математическая статистика. Если Теория вероятности и математическая статистика, то Теория вероятности и математическая статистика.

Алгебра событий называется s - алгеброй, если эта система событий содержит в себе все конечные суммы и произведения из алгебры F и их дополнения, а также все бесконечные суммы и произведения из алгебры и их дополнения.

Пример: В пространстве R1 зададим в качестве поля событий все конечные интервалы вида a³ x> b, b¹ a.

Распространение этой алгебры на s - алгебру приводит к понятию борелевской алгебры, элементы которой называются борелевскими множествами. Борелевская алгебра получается не только расширением поля вида a³ x> b, но и расширением полей вида a> x³ b, a³ x³ b.

Над наблюдаемым полем событий F задается счетно-аддитивная мера - числовая скалярная функция, элементами которой являются элементы поля F, т.е. события. Она удовлетворяет следующим трем условиям-аксиомам теории вероятности.

Теория вероятности и математическая статистика Теория вероятности и математическая статистика. P(A) - число, принадлежащее сегменту [0, 1] и называющееся вероятностью наступления события A.

P(A) Î [0, 1] P(U)=1.

Пусть имеется A1, A2, A3,..., Ak - система попарно несовместных событий

Теория вероятности и математическая статистика Если Теория вероятности и математическая статистика, то Теория вероятности и математическая статистика.

Теорема о продолжении меры.

Построим минимальную s - алгебру, которой принадлежит поле событий F (например, борелевская s - алгебра - это минимальная s - алгебра, которая содержит поле всех полуинтервалов ненулевой длины).

Тогда доказывается, что счетно-аддитивная функция P(A) однозначно распространяется на все элементы минимальной s - алгебры и при этом ни одна из аксиом не нарушается.

Таким образом, продленное P(A) называется s - аддитивной мерой.

s - алгебра содержит ненаблюдаемые события наряду с наблюдаемыми.

Но в аксиоматической теории вероятности считается, что может произойти любое событие из s - алгебры.

Расширение поля наблюдаемых событий на s - алгебру связано с невозможностью получить основные результаты теории вероятности без понятия s - алгебры.

Определение вероятностного пространства.

Вероятностным пространством называется тройка (W , s , P), где

W - пространство элементарных событий, построенное для данного испытания;

s - s -алгебра, заданная на W - системе возможных событий, которая интересует исследователя, в результате проводимых испытаний;

P - s - аддитивная мера, т.е. s - аддитивная неотрицательная функция, аргументами которой являются аргументы из s - алгебры и удовлетворяющая трем аксиомам теории вероятности.

Теория вероятности и математическая статистика Теория вероятности и математическая статистика. P(A) - называется вероятностью наступления события A.

Вероятность достоверного события равна 1 P(W )=1.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика, Теория вероятности и математическая статистика.

k - возможно бесконечное число.

Следствие:

Вероятность невозможного события равна 0.

По определению суммы имеет место неравенство W +V=W . W и V несовместные события.

По третей аксиоме теории вероятности имеем:

P(W +V)=P(Q)=P(U)=1

P(W )+P(V)=P(W )

1+P(V)=1

P(V)=1

Пусть W состоит из конечного числа элементарных событий W ={E1, E2,..., Em} тогда по определениюТеория вероятности и математическая статистика. Элементарные события несовместны, тогда по третей аксиоме теории вероятности имеет местоТеория вероятности и математическая статистика

Пусть некоторое событие AÌ W состоит из k элементарных событий, тогда {Ei1, Ei2,..., Eik}Теория вероятности и математическая статистика

Доказать: Если AÌ B, то P(B)³ P(A), B=A+C, A и C несовместны.

* Пусть B=A+C, A и B несовместны. Тогда по третей аксиоме теории вероятности P(B)=P(A+C)=P(A)+P(C) т.к. 1³ P(C)³ 0 - положительное число, то P(B)³ P(A).

Классическое определение вероятности.

Пусть W состоит из конечного числа элементарных событий и все элементарные события равновероятны, т.е. ни одному из них из них нельзя отдать предпочтения до испытания, следовательно, их можно считать равновероятными.

Тогда достоверное событиеТеория вероятности и математическая статистика m - количество равновероятных событий

Теория вероятности и математическая статистика, Теория вероятности и математическая статистика, Теория вероятности и математическая статистика

Пусть произвольное событиеТеория вероятности и математическая статистика ТогдаТеория вероятности и математическая статистика, т.е. событие A состоит из k элементарных событий.

Если элементарные события являются равноправными, а, следовательно, и равновероятными, то вероятность наступления произвольного события равна дроби числитель которой равен числу элементарных событий, входящих в данное, а знаменатель - общее число элементарных событий.

Условная вероятность.

P(A/B)

Условной вероятностью наступления события A, при условии события B, называется вероятность наступления события A в результате испытаний, если известно, что в это испытании произошло событие B.

Вывод формулы условной вероятности для случая равновероятных элементарных событий

 

 

 

 

 

 

 

 

Действительно, в данном испытании произошло одно из t событий, входящих в B. Все элементарные события равновероятны, следовательно, для данного испытания вероятность наступления произвольного элементарного события, входящего в B равна 1/t. Тогда по классическому определению вероятности, в данном испытании событие A произойдет с вероятностью r/t.

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

 

В общем случае доказать эту формулировку невозможно, в теории вероятности она вводится как правило. Существует лишь толкование этой формулы.

Обоснование формулы условной вероятности в общем случае.

Пусть в nB испытаниях произошло событие B, а в nA испытаниях произошло событие A. Найдем условную частость наступления события A при условии, что произошло событие B. Мы можем сделать это для обоснования формулы, т.к. под вероятностью наступления события понимается предел частости наступления события при условии, что серия испытаний достаточно длинная.

Условная частостьТеория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Рассматривая AB как одно событие D имеем:Теория вероятности и математическая статистика с другой стороныТеория вероятности и математическая статистика

Рассмотрим систему событий A1, A2,...,Ak. Покажем, что вероятность их совместного наступления равна: Теория вероятности и математическая статистика

Доказательство проведем по мат индукции.

Формула равна для 2 и 3 (см. ранее)

Пусть формула верна для k-1.

Теория вероятности и математическая статистика

Введем событие B.

Теория вероятности и математическая статистика

P(A1A2...Ak-1)=P(B)

P(A1A2...Ak)=P(AkB)=P(B)× P(AkB)

Независимые события.

Два события A и B называются независимыми, если P(A/B)=P(A); P(B)=P(B/A) - доказать.

В этом случае вероятность наступления двух событий A и B равна P(AB)=P(B)P(A/B)=P(A)P(B),

при этом покажем, что P(B/A)=P(B); P(AB)=P(B)P(A)=P(A)P(B/A)

События A1A2...Ak называются независимыми между собой, если вероятность их совместного наступленияТеория вероятности и математическая статистика;Теория вероятности и математическая статистика. Два независимых события совместны.

* Если бы события были несовместны, то P(A/B)=0 и P(B/A)=0, т.к. они независимы, то P(A/B)=P(A) и P(B/A)=P(B), т.е. утверждение “независимые события несовместны”, т.к. P(A)=0 и P(B)=0, то это утверждение неверно.

Формула сложения вероятностей.

Теория вероятности и математическая статистика

U - достоверное событие

Теория вероятности и математическая статистика

Покажем, что событияТеория вероятности и математическая статистика несовместны.

* Если события несовместны, тоТеория вероятности и математическая статистика;Теория вероятности и математическая статистика;

т.е. события несовместны.

Тогда по третей аксиоме теории вероятностиТеория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Справедливо следующее тождество на основании (1) и закона дистрибутивности

Теория вероятности и математическая статистика

Показать самим, что все три множества попарно несовместны.

Теория вероятности и математическая статистика

На основании первой и третей аксиомы теории вероятности получаем:

Теория вероятности и математическая статистика

Имеет место тождествоТеория вероятности и математическая статистика, показать самим, чтоТеория вероятности и математическая статистика несовместны

Теория вероятности и математическая статистика

По третей аксиоме:

Теория вероятности и математическая статистика

Для экзамена доказать самим формулу суммы произвольного числа событий

Теория вероятности и математическая статистика

Формула полной вероятности.

Рассмотрим систему A из k попарно несовместных событий.

B1, B2, ..., Bk Теория вероятности и математическая статистика

Пусть дано событие A, удовлетворяющее равенству A=B1A+B2A+...+BkA.

Показать, что события B1A, B2A, BkA попарно несовместны. BiABjA=BiBjAA=VAA=V

Найти вероятность наступления события A. Любое событие входящее в A, обязательно входит в некоторое, но одно Bi, т.к. B1, B2, ..., Bk образуют полную группу.

Т.к. B1, B2, ..., Bk несовместны, то по третей аксиоме теории вероятности имеем:

Теория вероятности и математическая статистика; т.е.

Теория вероятности и математическая статистика

Например: Имеются урны трех составов

1

5 урн

6 белых и 3 черных шара

2

3 урны

10 белых и 1 черный

3

7 урн

0 белых и 10 черных

Все шары в каждой урне перемешаны.

Испытание - извлекается шар. Какая вероятность того, что при этом будет извлечен белый шар.

B1 - Вытащить любой шар из урны 1.

B2 - Вытащить любой шар из урны 2.

B3 - Вытащить любой шар из урны 3.

A - Извлечь белый шар.

A=B1A+B2A+B3A

B1, B2, B3 - попарно несовместны.

Формула полной вероятности: P(A)=P(B1)P(A/B1)+P(B2)P(A/B2)+P(B3)P(A/B3)

P(B1)=1/3

P(A/B1)=6/9=2/3

P(B2)=1/5

P(A/B2)=10/11

P(B3)=7/15

P(A/B3)=0

P(A)=1/3× 2/3+1/5× 11/10+7/15× 0=2/9+2/11=40/99» 0.4

Формула Байеса.

Постановка задачи та же, но решаем обратную задачу.

Проводится испытание, в результате которого произошло событие A. Какова вероятность того, что в этом испытании произошло событие Bi.

Условные вероятности называются апостериорными, а безусловные - априорными вероятностями.

P(ABi)=P(A)P(Bi/A)=P(Bi)P(A/Bi)

Откуда,Теория вероятности и математическая статистика

Таким образом, формула Байеса:Теория вероятности и математическая статистика

Композиция испытаний.

Имеется вероятностное пространство, которое порождает испытание 1.

Теория вероятности и математическая статистика

где Ei, i=1, ..., m1 - пространство элементарных событий в результате испытания.

P(Ei), i=1, ..., m1 - вероятности элементарных событий.

Испытание 2 порождает вероятностное пространство вида

Теория вероятности и математическая статистика

P(Ei), P(Qj) - разные вероятностные меры.

Композицией двух испытаний называется сложное испытание, состоящее в поведении первого и второго испытания.

Композиция испытаний порождает вероятностное пространство вида:

Теория вероятности и математическая статистика Теория вероятности и математическая статистика

EiQj - композиционное событие.

В общем случае по P(Ei) и P(Qj) найти P(EiQj) невозможно.

Рассмотрим один частный случай, когда это можно сделать.

Два испытания называются независимыми, если различные исходы обоих испытаний определяются несвязанными между собой случайными факторами.

Из определения независимости испытания вытекает, что условные частости наступления события в одном испытании, при условии, что во втором испытании произошло фиксированное число событий равны безусловным частостям, если они существуют.

Пусть испытания независимы. В результате проведения первого испытания произошло элементарное событие Ei, в результате второго испытания может произойти все что угодно.

Тогда сложное событие, определяющее исход первого и второго испытания имеет вид:

Теория вероятности и математическая статистика и равно сумме комбинаций исходов первого и второго испытаний.

Вероятность сложного события A.

Теория вероятности и математическая статистика, т.е. результаты второго испытания не зависят от результатов первого.

Если в результате второго испытания произошло событие Qj, а в результате первого испытания могло произойти все что угодно, то сложное событие B имеет вид:Теория вероятности и математическая статистика.

Вероятность сложного события B равна сумме вероятностей комбинаций вида EiQj, i=1, ..., m1

Теория вероятности и математическая статистика, т.к. исходы первого испытания не влияют на исходы второго испытания. Из факта: P(AB)=P(A)P(B/A); P(B/A)=P(B); AB=EiQj (надо доказать)

A={EiQ1, EiQ2, ..., EiQj, ..., EiQm2}

B={E1Qj, E2Qj, ..., EiQj, ..., Em1Qj}

По определению произведения AB в него входят только те события, которые входят и в A, и в B. Из приведенных выше формул следует, что только событие EiQj входит и в A, и в B, то AB= EiQj. Следует:

Теория вероятности и математическая статистика

Композиционное пространство имеет вид:Теория вероятности и математическая статистика

Общая структура независимых событий в композиционном пространстве, порожденном композицией испытаний:

Теория вероятности и математическая статистика

т.е. в результате первого испытания произошли элементарные события:Теория вероятности и математическая статистика.

В результате второго испытания события:Теория вероятности и математическая статистика.

Сложное событие B определяет все возможные комбинации исходов двух испытаний независимо друг от друга. В результате первого испытания произошли элементарные события:Теория вероятности и математическая статистика.

В результате второго испытания события: Теория вероятности и математическая статистика.

Тогда:Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика, т.к. второе испытание не влияет на результаты первого.

Теория вероятности и математическая статистика

т.к.Теория вероятности и математическая статистика, (надо доказать)

тоТеория вероятности и математическая статистика

При решении практических задач, связанных с независимыми испытаниями обычно не требуется строить композиционных пространств элементарных событий, а использовать формально неверную запись: P(A× B)=P(A)× P(B).

Композиция n испытаний.

Имеется n испытаний. Зададим для i-го испытания вероятностное пространство:

Теория вероятности и математическая статистика i=1, ..., n

Композицией n испытаний называется сложное испытание, состоящее в совместном проведении n испытаний. Задается n испытаний, вероятностное пространство каждого из которых имеет вид:

Теория вероятности и математическая статистика i=1, ..., n

Композиционное пространство имеет вид:

Теория вероятности и математическая статистика j1=1, ..., m1; j2=1, ..., m2; jn=1, ..., mn;

 

Композиция n независимых испытаний.

Испытания (n - испытаний) называются независимыми, если неоднозначность исхода каждого из испытаний определена не связанными между собой группами факторов.

Событие A1: в результате проведения композиционного испытания в первом испытании произошло событиеТеория вероятности и математическая статистика. ТогдаТеория вероятности и математическая статистика

Событие An: в результате проведения композиционного испытания в первом испытании произошло событиеТеория вероятности и математическая статистика. ТогдаТеория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика i=1, ..., n

Рассмотрим событие:Теория вероятности и математическая статистика

В силу определения независимости испытаний очевидно, что:

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика.

Следовательно: Теория вероятности и математическая статистика.

На практике не строят композиционных пространств, а записывают формально неправильную формулу: P(A1A2...An)=P(A1)P(A2)...P(An).

Композиционное пространство имеет вид:

Теория вероятности и математическая статистика j1=1, ..., m1; j2=1, ..., m2; jn=1, ..., mn;

Общая структура независимых событий в композиционном пространстве имеет вид:

1-е событие -

это событие, которое происходит в 1-м вероятностном пространстве

2-е событие -

это событие, которое происходит во 2-м вероятностном пространстве

n - событие -

это событие, которое происходит в n-м вероятностном пространстве

Рассмотрим два вероятностных пространства.

I

II

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Очевидно, что неопределенность испытания до испытания в первом вероятностном пространстве выше, чем во втором. Действительно, до испытания в I нельзя ни одному из событий отдать предпочтения, а во II событие E3 происходит чаще.

Энтропия - мера неопределенности исхода испытания (до испытания).

Первым, кто функционально задал выражение для энтропии был Шеннон.

Теория вероятности и математическая статистика, Теория вероятности и математическая статистика

Для вероятностного пространства:

Теория вероятности и математическая статистика

Энтропия задается выражением:Теория вероятности и математическая статистика. Если P1=0, то Pi× logPi=0.

Самим показать, что:

Если вероятностное пространство не имеет определенности, т.е. какое-то из Pi=1, а остальные равны 0, то энтропия равна нулю.

Если элементарный исход равновероятен, т.е.Теория вероятности и математическая статистика , то энтропия принимает максимальное значение.

0£ Pi£ 1, Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика, Теория вероятности и математическая статистика

т.о. вероятности p1, p2, ..., ps обращаются в ноль, например pi, которая равна 1. Но log1=0. Остальные числа также обращаются в 0, т.к.Теория вероятности и математическая статистика.

Докажем, что энтропия системы с конечным числом состояний достигае максимума, когда все состояния равновероятны. Для этого рассмотрим энтропию системы как функцию вероятностей p1, p2, ..., ps и найдем условный экстремум этой функции, при условии, чтоТеория вероятности и математическая статистика .

Пользуясь методом неопределенных множителей Лагранжа, будем искать экстремум функции:Теория вероятности и математическая статистика.

Дифференцируя по p1, p2, ..., ps и приравнивая производные нулю получим систему:

Теория вероятности и математическая статистика i=1, ..., s

Откуда видно, что экстремум достигается при равных между собой p1.

Т.к. Теория вероятности и математическая статистика, то p1= p2=, ..., = ps= 1/s.

Еденицей измерения энтропии является энтропия вероятностного пространства вида:Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика, которая называется 1 бит.

Неопределенность исхода испытания до испытания автоматически определяет информативность исхода испытания после испытания. Поэтому в битах также измеряется информативность исхода.

Рассмотрим два вероятностных пространства:

Теория вероятности и математическая статистика Теория вероятности и математическая статистика

Проводим композицию двух испытаний. Композиционное пространство имеет вид:

Теория вероятности и математическая статистика i=1, ..., s1 j=1, ..., s2

С точки зрения качественного анализа максимальная энтропия композиционного вероятностного пространства достигается тогда, когда испытания независимы. Найдем энтропию композиционного пространства для случая независимых испытаний.

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Биномиальное распределение.

n испытаний называются системой испытаний Бернулли, если испытания независимы, в каждом из них происходит событиеТеория вероятности и математическая статистика, либоТеория вероятности и математическая статистика с вероятностью наступления P(A) = p; Теория вероятности и математическая статистика

Найдем вероятность того, что в результате проведенных n испытаний событие А произошло m раз:

Теория вероятности и математическая статистика

Рассмотрим композицию n независимых испытаний и построим композиционное пространство элементарных событий.

Общий вид элемента этого пространства следующий:

Теория вероятности и математическая статистика

где

Теория вероятности и математическая статистика

При этом вероятность наступления такого события равна:

Теория вероятности и математическая статистика(умножение при независимых событиях)Теория вероятности и математическая статистика

Найдем вероятность наступления любого элементарного события из композиционного пространства:

Теория вероятности и математическая статистика

Рассмотрим в композиционном вероятностном пространстве событие: в n испытаниях событие A произошло m раз.

Событие A состоит изТеория вероятности и математическая статистика - общее кол-во элементарных событий, в которое входит событие А. А произошло m раз,Теория вероятности и математическая статистика - n-m раз. Вероятность каждого из этих элементарных событий одинакова и равна:

Теория вероятности и математическая статистика

Следовательно, на основании III аксиомы теории вероятности результат равняется:

Теория вероятности и математическая статистика (сложение вероятностей)

Теория вероятности и математическая статистика

Случайная величина

Пусть имеется вероятностное пространство видаТеория вероятности и математическая статистика.

Случайной величиной называется измеримая числовая скалярная функцияТеория вероятности и математическая статистика, элементами которой являются элементарные события.

Числовая скалярная функция - это функция, удовлетворяющая следующему условию:

Теория вероятности и математическая статистика событиеТеория вероятности и математическая статистика- алгебре и, следовательно, имеет вероятность наступления.

Если произведено испытание, в результате которого произошло некоторое элементарное событиеТеория вероятности и математическая статистика. В соответствии с функциейТеория вероятности и математическая статистика этому элементарному событию соответствует число, которое называется реализацией случайной величины x в данном испытании.

В соответствии с определением случайной величины вводится числовая скалярная функция F(x),Теория вероятности и математическая статистика, определенная для каждого действительного x и по определению равная вероятности наступления события:

Теория вероятности и математическая статистика

Эта функция называется функцией распределения случайной величиныТеория вероятности и математическая статистика.

Рассмотрим три события:

Теория вероятности и математическая статистика

где a<b, a, b - действительные числа.

Свойства:

Теория вероятности и математическая статистика

Покажем, что из факта

A2  -алгебре

A1  -алгебре

и равенстваТеория вероятности и математическая статистика следует, что A3  .

Теория вероятности и математическая статистика

По определению -алгебры A3 измерима, поэтому можно принять III аксиому теории вероятности:

Теория вероятности и математическая статистика

F(x) - неубывающая функция

Если x<y, то

Теория вероятности и математическая статистика

т.к.Теория вероятности и математическая статистика, то преобразования верны.

Для всех технических приложений функцию распределения можно считать направленной слева.

В силу того, что функция распределения не убывает, она однозначно задает стчетно-аддитивную меру на поле, порожденном всеми полуинтервалами ненулевой длины.

По введенному полю построим борелевскую алгебру. Обозначим ее . Возьмем произвольное число B не принадлежащее полю. Это точка или сегмент. Т.к. множествоТеория вероятности и математическая статистика получено с помощью счетной суммы или счетного пересечения множеств принадлежащих -алгебре, то и это множество принадлежит -алгебре и, следовательно, существует вероятность наступления события B. Следовательно, имеет место следующее эквивалентное определение измеримой функции.

ФункцияТеория вероятности и математическая статистика называется измеримой, если для любого BО множество

Теория вероятности и математическая статистикаалгебре

гдеТеория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика множество, полученное следующим образом:

Теория вероятности и математическая статистика

Функция g(x) называется борелевской функцией, если для любого B множество

Теория вероятности и математическая статистика

Борелевская функция - функция, определяемая на системе борелевских множеств.

В функциональном анализе показано, что все известные аналитические функции являются борелевскими.

ТЕОРЕМА:

Пусть g(x) борелевская функция,Теория вероятности и математическая статистика- случайная величина, т.е. измеримая функция. Тогда функция

Теория вероятности и математическая статистика

является измеримой и, следовательно, случайной величиной.

Берем произвольное B.Теория вероятности и математическая статистика по определению борелевской функции.

Рассмотрим множество

Теория вероятности и математическая статистика

т.к.Теория вероятности и математическая статистикаизмеримая функция иТеория вероятности и математическая статистика, то A-алгебре

Следовательно, функцияТеория вероятности и математическая статистика - измеримая функция, т.е. случайная величина.

Теорема Колмогорова

Любая числовая скалярная функция, которая удовлетворяет свойствам, которым удовлетворяет функция распределения, является функцией распределения и однозначно задает вероятностное пространство вида:

Теория вероятности и математическая статистика

 - борелевская алгебра;

P - мера на борелевской алгебре;

R1 - числовая скалярная ось.

Введем функцию F(x)

Теория вероятности и математическая статистика

Эта функция определена для всех x, неубывающая, непрерывная сверху. Показать самим, что такая функция однозначно задает счетно-аддитивную меру на поле, порожденном всеми полуинтервалами ненулевой длины.

Докажем, что 0<F(x)<1

Согласно терминологии, если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена. Поскольку наша функция не убывающая, то максимум и минимум она соответственно будет иметь такой:

Теория вероятности и математическая статистика

т.е. 0<F(x)<1.

2. Пусть имеем следующие функции.

Построим борелеву алгебру на поле, тогда по теореме о продолжении счетно-аддитивная функция, определенная на поле, без изменения аксиом теории вероятности, однозначно распространяется на все элементы борелевой алгебры, не принадлежащие полю. Т.о. вероятностное пространство построено, теорема доказана.

Смысл теоремы.

Теорема Колмогорова позволяет утверждать, что если вы исследуете случайную величину, то не надо строить абстрактное пространство элементарных событий, -алгебру, счетно-аддитивную меру, конкретный вид функцииТеория вероятности и математическая статистика. Нашей задачей будет лишь то, что считая R1 - числовой скалярной осью - пространство элементарных событий, мы должны найти функцию распределения F(x), использую статистику: результата конкретного испытания над случайной величиной:

X1, X2, ..., Xn

Дискретные случайные величины

Случайная величина называется дискретной, если в результате испытания она может принять значение из конечного либо счетного множества возможных числовых значений.

Случайные величины в дальнейшем будем обозначать большими буквами:

X, Y, Z

Вероятностное пространство дискретной случайной величины задается в виде:

Теория вероятности и математическая статистика, n - конечное или бесконечное.

Пример:

Испытание - композиция n-независимых испытаний, в каждом из которых происходит событие A с вероятностью p, либоТеория вероятности и математическая статистика с вероятностью 1-p.

Вероятностное пространство

Теория вероятности и математическая статистика

В этом примере -алгеброй является множество всех подмножеств пространства элементарных событий. Введенную нами случайную величину x по определению можно задать:

Теория вероятности и математическая статистика

- верхняя строчка - это совокупность возможных числовых значений, которые может принимать случайная величина;

- нижняя строчка - вероятность наступления этих числовых значений.

Практически во всех задачах естествознания отсутствует промежуточный этап: испытание,  - пространство всех возможных исходов испытания,Теория вероятности и математическая статистика- числовая скалярная функция, элементы которой w .

На самом деле структура:

- испытание;

- исход испытания;

- число на числовой оси.

Вероятностные характеристики дискретных случайных величин.

Математическим ожиданием случайной величины X называется число вида

Теория вероятности и математическая статистика

xi - все возможные различные конкретные исходы испытания;

pi - вероятности их наступления.

Математическое ожидание является как бы аналогом центра масс точечной механической системы:

Теория вероятности и математическая статистика

Как центр масс:

Теория вероятности и математическая статистика

Смысл характеристики мат.ожидания заключается в следующем: это точка на числовой оси, относительно которой группируются результаты конкретных испытаний над дискретной случайной величиной.

Свойства математического ожидания

1. MC=C

Теория вероятности и математическая статистика

2. MCX=CMX

Построим таблицу для случайной величины CX:

Теория вероятности и математическая статистика

по определению математического ожидания:

Теория вероятности и математическая статистика

3. M(X+a)=MX+a, a=const

Построим таблицу для случайной величины x+a

Теория вероятности и математическая статистика

Доказать следствие

4. M(aX+b)=aMX+b, где a, b - константы

Теория вероятности и математическая статистика

Пусть случайная величина Y является функцией f(x) от случайной величины X. Построим вероятностное пространство случайной величины Y.

Теория вероятности и математическая статистика

Верхняя строчка является пространством элементарных событий для случайной величины Y. В противном случае верхняя строчка является пространством элементарных событий для величины Y.

Все одинаковые числа в верхней строчке заменяется одним, вероятность наступления которого равна сумме соответствующих вероятностей.

Следствие.

Математическое ожидание случайной величины Y равняется:

Теория вероятности и математическая статистика

Начальным моментом К-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание случайной величины Xk.

Теория вероятности и математическая статистика

Центрированная случайная величина - это величина, равная X’=X-MX

Покажем, что математическое ожидание MX’ равно 0.

Теория вероятности и математическая статистика

Центральным моментом К-го порядка называется начальный момент К-го порядка случайной величины X’

Теория вероятности и математическая статистика

при решении реальных задач практические вероятности рi неизвестны, но считая, что вероятность - это частость, при большом числе испытаний

Теория вероятности и математическая статистика

Дисперсией случайной величины X, называется центральный момент второго порядка случайной величины X.

Теория вероятности и математическая статистика

Дисперсия является мерой концентрации результатов конкретных испытаний над случайной величиной X.

Свойства.

1. Чем меньше дисперсия, тем более тесно группируются результаты конкретных испытаний относительно математического ожидания.

Пусть дисперсия мала, тогда мало каждое слагаемое суммы (xi-)2pi. Тогда для , xi которое по модулю резко отличается от математического ожидания , pi - мало. Следовательно, большую вероятность наступления могут иметь лишь те xi, которые по модулю мало отличаются от математического ожидания.

2. Если дисперсия равна 0, то X - const.

Теория вероятности и математическая статистика

3.

D(X+C)=DX

Y=X+C

Y’=Y-MY=X+C-M(X+C)=X+C-MX-C=X-MX=X’

DY=M(Y’)2=M(X’)2=DX

4.

DCX=C2DX

Y=CX

DY= M(Y’)2=M(Y’)2

Y’=Y-MY=CX-MCX=CX-MCX=C(X-MX)=CX’

DY= M(Y’)2=M(CX’)2=C2M(X’)2=C2DX

5.

Теория вероятности и математическая статистика

Построим функцию распределения для дискретной случайной величины. Для удобства договоримся, что случайные величины располагаются в порядке возрастания.

Теория вероятности и математическая статистика

т.е. по определению для любого действительного X, F(x) численно равно вероятности наступления следующего события: в результате испытаний над X оно приняло значение строго меньше x.

Теория вероятности и математическая статистика

Производная функция

Теория вероятности и математическая статистика

Характеристической функцией случайной величины X называется функция действительного аргумента видаТеория вероятности и математическая статистика

Производящей функцией называется скалярная функция вида:

Теория вероятности и математическая статистика

Свойства производящей функции

1.Теория вероятности и математическая статистика

2.

Теория вероятности и математическая статистика

3. Разложение производящей функции в ряд Маклорена имеет вид

Теория вероятности и математическая статистика

Формула Тейлора имеет вид

Теория вероятности и математическая статистика

при to=0 она носит название формулы Маклорена

Теория вероятности и математическая статистика

Пример:

Рассмотрим случайную величину, распределенную по биноминальному закону распределения:

Теория вероятности и математическая статистика

Найдем производящую функцию:

Теория вероятности и математическая статистика

Найти DX и MX

Теория вероятности и математическая статистика

Первая модель распределения Пуассона

Проведена неограниченно большая серия испытаний, в результате каждого испытания случайным образом появляется точка на числовой оси. Случайное распределение точек на числовой оси удовлетворяет следующим трем свойствам.

1. Стационарность. Вероятность того, что на отрезок данной длины попадает данное количество точек определяется только длиной этого отрезка и не зависит от расположения этого отрезка на числовой оси.

2. Ординарность. Вероятность того, что на достаточно малый отрезок длины x попадает одна точка, является бесконечно малой x порядка. Вероятность того, что на этот отрезок попадает более, чем одна точка, является бесконечно малой более высокого порядка, чем x.

3. Свойство без последействия. Вероятность того, что на данный отрезок попало определенное количество точек не зависит от того, сколько точек в результате проведенной бесконечно серии испытаний попало на отрезок, не пересекающийся с данным.

Найти вероятность того, что на данный отрезок длина l попадает m точек.

Теория вероятности и математическая статистика

Обозначим через xl - случайная величина, равная численности точек, выпавших на отрезок длины l.

Теория вероятности и математическая статистика

На числовой оси рассмотрим отрезок длины 1 и обозначим:

MX1=

Математическое ожидание числа точек, попавших на отрезок длины 1. По свойству стационарности l одинаково для всех отрезков.

MX1=ll - доказать

Пусть l - целое число. Разобьем отрезок длины l на l отрезков единой длины. Тогда количество точек, попавших на отрезок длины l будет равно числу точек, попавших на каждый из непересекающихся отрезков длины 1 (тут использовалось свойство беспоследействия).

Используя формулу

Теория вероятности и математическая статистика

имеем

MX1=ll

Математическое ожидание числа точек, попавшие на отрезок длины l равно мат. ожиданий точек, попавших на непересекающиеся отрезки. Пусть l - не целое число. Выделяем целую часть. Тогда

Теория вероятности и математическая статистика

На числовой оси рассмотрим отрезок длины l, разобьем его на n отрезков данной длины

Теория вероятности и математическая статистика

такой, что позволит использовать свойство ординарности. Тогда с определенной погрешностью, которая тем меньше, чем больше n можно считать

Теория вероятности и математическая статистика

т.е. на отрезок длины x попадает не более, чем одна точка, тогда

Теория вероятности и математическая статистика

Для достаточного малого отрезка длины lx вероятность попадания в него одной точки x, а вероятность того, что ничего не произойдет 1- x.

В сделанных предположениях m точек попадает на отрезок длины l только в одном случае, когда в m отрезках попадает по одной точке. Тогда на основании 3-го свойства искомая вероятность равна

Теория вероятности и математическая статистика

Точную вероятность получим путем предельного перехода при числе разделений отрезкаТеория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Тут мы разложилиТеория вероятности и математическая статистика в ряд Маклорена.

Найдем производящую функцию распределения Пуассона

Теория вероятности и математическая статистика

Найти MX и DX

Теория вероятности и математическая статистика

Вторая модель распределения Пуассона

Рассматривается обычная схема биноминального распределения, в котором n - велико, а p - достаточно мало. Тогда точная формула для вероятности появления события A в m испытаниях имеет вид

Теория вероятности и математическая статистика

Эта формула при больших n вычисляется сложно. Такую вероятность заменяют приближенной

Теория вероятности и математическая статистика

Для найденного a построим гипотетический ряд вероятностей

Теория вероятности и математическая статистика

Предполагается, что для достаточно больших n и малых p искомая вероятность

Теория вероятности и математическая статистика

является членом построенного гипотетического ряда вероятностей, а во вторых находится в малой окрестности предельного значения этого ряда. И, следовательно, это значение можно взять в качестве допустимой хорошей аппроксимации значений искомой вероятности.

Непрерывные случайные величины.

Будем рассматривать пространство элементарных событий как совокупность всех точек числовой оси. В этом случае введенная ранее функция распределения имеет вид:Теория вероятности и математическая статистика.

Пусть функция распределения является непрерывной. Найдем вероятность того, что в результате испытаний случайная величина X примет значение a, где a - произвольное действительное число.

P(X=a).

Рассмотрим неравенство:Теория вероятности и математическая статистика

Доказать самим.

Теория вероятности и математическая статистика

Следовательно:

Теория вероятности и математическая статистика

Мы впервые столкнулись с ситуацией, когда событие принципиально может произойти в результате испытания, но имеет вероятность равную 0 . В инженерном толковании это означает: в данной конечной серии испытаний данное событие никогда не произойдет.

Случайная величина X называется непрерывной, если ее пространством элементарных событий является вся числовая ось (либо отрезок (отрезки) числовой оси), а вероятность наступления любого элементарного события равна нулю.

P(a£ X<b)=P(a£ X£ b)=F(b)-F(a)

Если от сложного события вычесть конечное либо счетное множество, вероятность наступления нового события останется неизменной.

Функция f(x) - числовая скалярная функция действительного аргумента x называется плотностью вероятности, и существует в точке x, если в этой точке существует предел:

Теория вероятности и математическая статистика

Свойства плотности вероятности.

Плотность вероятности является неотрицательной функцией.

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Следствие: Если пространством элементарных событий является отрезок числовой оси, то пространство элементарных событий формально можно распространить на всю числовую ось, положив вне отрезка значение плотности вероятности равное 0.

Второе эквивалентное определение плотности вероятности.

Если плотность вероятности в точке x существует, то P(x£ X£ x+D x)=f(x)D x+о(D x). Вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в отрезке с точностью до о(D x) равна F(x)D x.

Пример:

Равномерное распределение.

Теория вероятности и математическая статистика тут p(x)=f(x).

 

 

 

 

 

 

 

 

Теория вероятности и математическая статистика

т.к.Теория вероятности и математическая статистика

 

 

 

 

 

 

 

 

Экспоненциальное распределение.

Теория вероятности и математическая статистика

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теория вероятности и математическая статистика

Непрерывная случайная величина является математической абстракцией и в чистом виде на практике не встречается, хотя бы потому, что теоретически не может существовать измерительное устройство, вычисляющее это величину. Следовательно, всегда исследователь имеет дело со случайными дискретными величинами. На практике отрезок [a, b] разбивают на отрезки одинаковой длинны, длину устремляют к нулю. При этом x принадлежит отрезку. Вероятность того, что отрезок содержит x равнаТеория вероятности и математическая статистика. ПриТеория вероятности и математическая статистика ситуация эквивалентна следующему: имеется бесконечное множество лотерейных билетов, один ваш. Ясно, что в конечной серии розыгрышей вы никогда не выиграете. Независимо от этого велико удобство работы с непрерывными величинами. Оно заключается в том, что вероятностные свойства задаются одной из двух функций - плотностью распределения либо плотностью вероятности.

Вероятностные характеристики непрерывных случайных величин.

Пусть имеется случайная величина, являющаяся функцией от непрерывной случайной величины X.

Y=x (x)

Математическим ожиданием непрерывной случайной величены является число:

Теория вероятности и математическая статистика,Теория вероятности и математическая статистика- плотность вероятности случайной величины.

Обоснование этой формулы.

Аппроксимируем непрерывную случайную величину Y случайной величены Y*, которая является дискретной. Пусть числовая ось - пространство элементарных событий случайной величены X, разобьем всю числовую ось на отрезки достаточно малой длины.

 

 

2n отрезков.

Если в результате испытания случайная величена X попала в отрезок с начальной вершиной xi, то случайная величена X* приняла значение x (xi) с точностью до бесконечно малой D x - длины i-го отрезка. Вероятность того, что Y* примет значение x (xi) с точностью до бесконечно малой более высокого порядка, чем D x, тем более точно Y* аппроксимирует Y.

Вероятность наступления x (xi) для Y* равнаТеория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика, приТеория вероятности и математическая статистикаэта сумма переходит вТеория вероятности и математическая статистика.

ТогдаТеория вероятности и математическая статистика.

Самим показать, что все свойства мат. ожидания для дискретной случайной величены сохраняются для непрерывной случайной величены.

Теория вероятности и математическая статистика

Доказать, что

Теория вероятности и математическая статистика

Доказать самим, что свойство 1 и 2 для производящей функции в дискретном случае справедливы и для непрерывного.

Теория вероятности и математическая статистика

Распределение Гаусса - нормальное

Случайная величина имеет нормальное распределение (распределение Гаусса) и называется нормально распределенной, если ее плотность вероятности

Теория вероятности и математическая статистика

Из определения

Теория вероятности и математическая статистика

функция распределения

Теория вероятности и математическая статистика

Найдем выражение для производящей функции нормального распределения

Теория вероятности и математическая статистика

=1 (интеграл Эйлера)

Теория вероятности и математическая статистика

Изобразим примерный вид плотности

Теория вероятности и математическая статистика

Рассмотрим центрированную нормальную величину, т.е. MX=0

Теория вероятности и математическая статистика

У центральной нормированной величины все нечетные начальные моменты равны 0

Теория вероятности и математическая статистика

Функция Лапласа

Функцией Лапласа называется функция вида

Теория вероятности и математическая статистика

Свойства:

1) при z>0 функция Лапласа определяет вероятность попадания нормальной случайной величины с параметрами

MX=0

DX=1

в интервале (0, z)

2)

Теория вероятности и математическая статистика

3)Теория вероятности и математическая статистика - функция нечетная

Иногда в литературе встречаются два вида функций Лапласа

Теория вероятности и математическая статистика

Функция Лапласа табулирована. Функция Лапласа используется для выполнения событий вида

Теория вероятности и математическая статистика

для произвольных нормальных величин.

Найдем вероятность того, что в результате испытания над x произойдет сложное событие: x примет числовое значение, принадлежащее отрезку с концами (a, b).

Теория вероятности и математическая статистика

Пример.

x - случайная величина.

f(x) - плотность вероятности.

Найти плотность вероятности g(n) случайной величины H.

Теория вероятности и математическая статистика

Рассмотрим отрезок (h, h+dh). Событию попадание H в отрезок (h, h+dh) в силу однозначности функции h(x) соответствует попадание x в отрезок (x, x+dx). При этом вероятности наступления такого события одинаковы:

Теория вероятности и математическая статистика

Тогда построим функцию h(x), обратную x(h), x=x(h).

т.к.Теория вероятности и математическая статистика

Вероятность первого события равна

Теория вероятности и математическая статистика

Вероятность второго события

Теория вероятности и математическая статистика

Следовательно

Теория вероятности и математическая статистика

Неравенство Чебышева

Рассмотрим случайную величину X с конечным мат. ожиданием и дисперсиейТеория вероятности и математическая статистика

Для любого неотрицательного числа t вероятность наступления события

Теория вероятности и математическая статистика

Пусть Z - непрерывная случайная величина с плотностью вероятности f(Z). Пространство событий величины Z (0; ). Тогда имеет место неравенство

Теория вероятности и математическая статистика

Доказать неравенства

Теория вероятности и математическая статистика

Рассмотрим два сложных события

Теория вероятности и математическая статистика

a - произвольное действительное число.

Показать самим, что x - удовлетворяет и одному и другому неравенству.

ТогдаТеория вероятности и математическая статистика справедливо

Теория вероятности и математическая статистика

В данном случаеТеория вероятности и математическая статистика

Равномерность неравенств при >0

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

или, в частности, при a==MX

Теория вероятности и математическая статистика

при =t справедливо неравенство Чебышева.

 

Многомерные случайные величины.

Инженерная интерпретация.

Проводится испытание. В результате испытания фиксируется m числовых значений X1, X2, ...,Xm. Исход испытания случайный.

Пример: Испытание - реализация некоторой технологии выпуска продукта. Исход - численное значение m характеристик, оценив которые мы оценим качество продукта.

Т.к. в процессе реализации технологии на технологию действуют случайные факторы, то результат испытания неоднозначен.

Аксиоматика. Формальная вероятностная модель.

Имеется вероятностное пространство: (W , s , P). Зададим m числовых измеримых скалярных функций x 1(w ), ..., x m(w ). Каждая из этих функций является одномерной по определению. Возьмем m произвольных действительных чисел и рассмотрим событие A.

Теория вероятности и математическая статистика

Очевидно, что событие A является пересечением событий Ai вида:

Теория вероятности и математическая статистика

Т.к. каждое AiÎ s -алгебре, то и AÌ s -алгебре. Следовательно, существует вероятность наступления события A и существует числовая скалярная функция m действительных аргументов, которая определена для всех значений своих аргументов и численно равна вероятности наступления события A.

F(x1, x2, ...,xm)=P(A)

Это m-мерная функция распределения m-мерной случайной величены.

Свойства многомерного распределения:

Значение функции при значении хотя бы одного ее аргумента равного -¥ , равно 0, как вероятность невозможного события.

Значение функции, при всех значениях ее аргументов равных +¥ , равно 1, как вероятность достоверного события.

Функция не убывает по любой совокупности ее аргументов.

Функция непрерывна почти всюду (для инженерной практики это означает, что на конечном, либо счетном множестве аргументов она может иметь скачки 1-го рода).

Рассмотрим арифметическое пространствоТеория вероятности и математическая статистика и зададим полуинтервалы вида:

Теория вероятности и математическая статистика

Доказать самим, что P(B) существует, и образ этого множества принадлежит s -алгебре по w .

Теория вероятности и математическая статистика

Можно доказать, что:

Теория вероятности и математическая статистика

Т.о. многомерная функция распределения позволяет в m-мерном арифметическом пространстве задать счетно-аддитивную меру - функцию на поле, порожденному всеми m-мерными полуинтервалами объема (" i, ai¹ bi). Тогда построим минимальную s -алгебру на этом поле, которая называется борелевским полем (алгеброй) в m-мерном арифметическом пространстве. Любая скалярная функция m-аргументов удовлетворяет всем свойствам, приведенным для m-мерной функции распределения и однозначно задает вероятностное пространство вида:

Теория вероятности и математическая статистика

Таким образом, для инженерного исследования задача свелась к следующему: пространство элементарных событий - это m-мерное арифметическое пространство. По результатам статистических испытаний нужно оценить m-мерную функцию распределения F(x1, x2, ...,xm). Рассмотрим числовую скалярную функцию m действительных аргументов. g(x1, x2, ...,xm). Функция g(x1, x2, ...,xm) называется борелевской, если для любого BÌ b в одномерном арифметическом пространстве соответствующаяТеория вероятности и математическая статистика. Тогда справедлива теорема, доказательство которой полностью повторяет доказательство в одномерном случае. Скалярная функцияТеория вероятности и математическая статистика- является измеримой скалярной функцией - случайной величиной.

Двумерные случайные величины.

Рассмотрим испытание, результатом которого является появление двух чисел из некоторого конечного либо счетного множества пар чисел. Это испытание физически может быть одним испытанием (мгновенное измерение прибором величены тока и напряжения в сети), а также может быть композицией двух испытаний, каждое из которых порождает одномерную дискретную величину. Условно двумерная дискретная случайная величина обозначается как XY, либо любые две буквы латинского алфавита, либо для: X:{x1, x2, ...,xs}, Y:{y1, y2, ...,yn}, проводя испытание над двумерной случайной величиной находят одно из чисел из X либо из Y. А вероятностное пространство двумерной случайной величены формально строится так:

Теория вероятности и математическая статистика

Двумерной случайной величиной называется система из двух одномерных случайных величин X, Y, где как X, так и Y являются дискретными случайными величинами. В пространстве элементарных событий дискретной случайной величены XY определим сложное событие A: В результате испытания над двумерной случайной величиной XY, случайная величина X приняла значение xi, случайная величина Y - любое значение.

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Вводим сложное событие B: В результате испытания над двумерной случайной величиной XY, случайная величина Y приняла значение yj.

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Найдем условную вероятность:

Теория вероятности и математическая статистика

Аналогично:

Теория вероятности и математическая статистика

Покажем что сумма условных вероятностей:Теория вероятности и математическая статистика;Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Условным математическим ожиданием является выражение:

Теория вероятности и математическая статистика; Теория вероятности и математическая статистика

Условной дисперсией называется выражение:

Теория вероятности и математическая статистика;

Теория вероятности и математическая статистика.

Условное мат. ожидание и дисперсия отличаются от безусловной только тем, что в их определении подставляется условная вероятность вместо безусловной.

Условное мат. ожидание случайной величены, при условии, что другая случайная величена приняла заданное значение определяет число-точку, относительно которой группируются результаты конкретных испытаний над одной случайной величиной, при условии, что в этом испытании (над двумерной случайной величиной XY) вторая случайная величена приняла заданное фиксированное значение.

Условная дисперсия определяет степень концентрации результатов конкретных испытаний над одной случайной величиной относительно условного мат. ожидания.

При решении практических задач условное мат ожидание и условная дисперсия обычно используются в следующем случае: проводят испытание над X и Y, исследователь имеет возможность измерять результаты испытания над одной случайной величиной, измерение другой недоступно. Если условные дисперсии малы, то в качестве неизвестного значения не измеряемой случайной величены, которую она приняла в результате испытания, можно брать мат. ожидание.

Двумерные непрерывные случайные величины.

Двумерная случайная величина называется непрерывной случайной величиной, если пространством ее элементарных событий является плоскость, либо область плоскости, либо область конечной ненулевой плоскости. Очевидно что X и Y являются одномерными непрерывными случайными величинами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следствием этого определения является следующее: любое сложное событие размерности 1 (произвольная кривая, принадлежащая пространству элементарных событий) имеет нулевую вероятность т.к. в противном случае вероятность достоверного события никогда бы не равнялась единице. Числовая скалярная функция двух действительных аргументов называется двумерной плотностью вероятности, двумерной случайной величины XY, если для фиксированных значений своих аргументов она выполняет равенствоТеория вероятности и математическая статистика. Приведенное здесь определение является аналогичным определению одномерной плотности вероятности.

Теория вероятности и математическая статистика

Ниже будет выведено условие существования плотности вероятности для фиксированных x, y.

Теория вероятности и математическая статистика

Рассмотрим произвольную область G.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разобьем область G на множество прямоугольников, покрывающих область G. Тогда на основании 3-й аксиомы теории вероятности имеем: вероятность искомого события равна:

Теория вероятности и математическая статистика. Точное выражение получим перейдя к пределу:Теория вероятности и математическая статистика (показать самим).

Числовая скалярная функция двух действительных аргументов называется двумерной функцией распределения, если она при фиксированном числе своих аргументов численно равна вероятности наступления Fx,y(x,y)=P(X£ x, Y£ y), если X, y - непрерывные случайные величины, то значение функции распределения не изменится.

Доказать:

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

По определению второй смешанной производной.

Найдем по двумерной плотности одномерные плотности случайных величин X и Y.

Теория вероятности и математическая статистика

Т.к. полученное равенство верно для всех х, то подинтегральные выражение

Теория вероятности и математическая статистика

аналогично

Теория вероятности и математическая статистика

В математической теории вероятности вводится как базовая формула (1) ибо предлагается, что плотность вероятности как аналитическая функция может не существовать. Но т.к. в нашем курсе мы исследуем только 2 конструкции - дискретные или непрерывные, то для них полученные формулы эквивалентны и не имеет смысла какую-то из них вводить как первичную.

Условная плотность вероятности.

Найдем плотность вероятности случайной величины Y при условии, что в результате испытания над случайной величиной XY , X приняло значение х.

Обозначим

Теория вероятности и математическая статистика

тут мы использовали второе определение одномерной плотности.

В качестве условной плотности вероятности используется следующее выражение

Теория вероятности и математическая статистика

Обоснование выражения для условной плотности вероятности

Теория вероятности и математическая статистика

Выведем выражение для 

Теория вероятности и математическая статистика

ОбозначимТеория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Условное мат. ожидание и дисперсия линии регрессии - зависимость Y от X, выраженная в изменении средних значений Y при переходе x от одного значения к другому. Найдем математическое ожидание MZ, где

Теория вероятности и математическая статистика

Двумерные независимые случайные величины (двумерные дискретные случайные величины)

Двумерная дискретная случайная величина называется случайной величиной с независимыми компонентами, еслиТеория вероятности и математическая статистика

Показать самим, что справедливо

Теория вероятности и математическая статистика

Доказать самим, что если испытание, исходом которого является пара чиселТеория вероятности и математическая статистика является композицией двух независимых испытаний, то случайные величины X Y независимы.

Теория вероятности и математическая статистика

Независимые непрерывные двумерные случайные величины.

Непрерывными случайными величинами с независимыми компонентами называются если:

Непрерывная двумерная случайная величина имеет независимые случайные компоненты, если

или Теория вероятности и математическая статистика

Покажем, что второе эквивалентно первому.

Теория вероятности и математическая статистика

Покажем, что если двумерная непрерывная случайная величина XY порождена композицией независимых испытаний, то X и Y независимы.

В силу определения независимых испытаний в композиционном пространстве

Теория вероятности и математическая статистика

В силу определения независимых испытаний в композиционном пространстве A и B независимы.

Следовательно:Теория вероятности и математическая статистика

Многомерные дискретные случайные величины

Это система, состоящая из m дискретных одномерных случайных величин. Всю арифметику проделать самостоятельно.

Многомерные непрерывные случайные величины.

Система из m одномерных непрерывных случайных величин, у которой пространством элементарных событий является m-мерное арифметическое пространство либо его область, имеющая ненулевой объем.

m-мерная плотность вероятности удовлетворяет выражению

Теория вероятности и математическая статистика

m-мерной функцией распределения называется числовая скалярная функция m действительных аргументов, которая численно равна:

Теория вероятности и математическая статистика

Случайные величины x1, x2, ... xm независимы, если

Теория вероятности и математическая статистика

Доказать, что если m-мерная случайная величина порождена композицией m-мерных испытаний, то события независимы.

Запишем аналог формул

Теория вероятности и математическая статистика

для многомерного случая.

Для получения плотности вероятностиТеория вероятности и математическая статистика необходимо n-мерную плотность проинтегрировать в бесконечных пределах по переменным, которые соответствуют случайным величинам, не входящим в

Теория вероятности и математическая статистика

Найдем плотность n-мерной случайной величины.

Теория вероятности и математическая статистика

Математическое ожидание скалярной функции случайных аргументов.

Двумерный дискретный случай.

XY

Числовая скалярная функция Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика является одномерной дискретной случайной величиной, со следующим отличием от обычного представления:

для того, чтобы в испытании получить реализациюТеория вероятности и математическая статистика необходимо провести испытание над двумерной случайной величиной XY, зафиксировать ее результат xi,yi и подставить вТеория вероятности и математическая статистика . Полученное число и есть реализация случайной величиныТеория вероятности и математическая статистика.

Таблица случайной величины строится по таблице

Теория вероятности и математическая статистика

Двумерные непрерывные случайные величины

Теория вероятности и математическая статистика

Случайную величинуТеория вероятности и математическая статистика аппроксимируем дискретной по следующему правилу:

пространство элементарных событий XY представим в виде совокупности прямоугольников с вершинамиТеория вероятности и математическая статистика, если в результате испытания XY попало в прямоугольник (i,j), то эта случайная величина приняла значениеТеория вероятности и математическая статистика. Вероятность наступления этого события равна:

Теория вероятности и математическая статистика

точное значение мат. ожидания

Теория вероятности и математическая статистика

 

n-мерный дискретный случай

Теория вероятности и математическая статистика - многомерная дискретная случайная величина

НайдемТеория вероятности и математическая статистика

Вероятностное пространство зададим в виде

Теория вероятности и математическая статистика

Тогда

Теория вероятности и математическая статистика

 

n-мерный непрерывный случай

Теория вероятности и математическая статистика

Теорема 1. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий

Теория вероятности и математическая статистика

а) дискретный случай

Теория вероятности и математическая статистика

б) непрерывный случай

Теория вероятности и математическая статистика

Пусть n-произвольное число

Теория вероятности и математическая статистика

Теорема 2. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению мат.ожиданий.

По определению имеемТеория вероятности и математическая статистика т.к. случайные величины X и Y независимы, тоТеория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Коэффициент ковариации

Коэффициентом ковариации называется выражение

Теория вероятности и математическая статистика

Эта формула верна, т.к. верна следующая формула.

ПустьТеория вероятности и математическая статистика

тогда

Теория вероятности и математическая статистика

Если случайные величины XY независимы, то их коэффициент ковариации равен нулю, обратное в общем случае неверно.

Пример.

X - случайная величина, имеющая нормальное распределение с нулевым мат.ожиданием

Теория вероятности и математическая статистика

Y=X2 (Y и X связаны функционально).

Найдем

Теория вероятности и математическая статистика

Случайная величинаТеория вероятности и математическая статистика называется нормированной случайной величиной, ее мат.ожидание равно 0, а дисперсия -1.

Теория вероятности и математическая статистика

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y - это число

Теория вероятности и математическая статистика

Следствие:

Если X и Y независимы, то коэффициент ковариации равен 0, то

Теория вероятности и математическая статистика

Доказать, еслиТеория вероятности и математическая статистика независимы, то

Теория вероятности и математическая статистика

 

Свойства коэффициента корреляции

1.Теория вероятности и математическая статистика

По определению

Теория вероятности и математическая статистика

т.к.Теория вероятности и математическая статистика всегда неотрицательна, то

Теория вероятности и математическая статистика

2. Если Теория вероятности и математическая статистика, то с вероятность 1 X и Y связаны линейно.

Теория вероятности и математическая статистика

Рассмотрим X*-Y*, отсюда M(X*-Y*)=0.

Теория вероятности и математическая статистика

Если X и Y дискретные случайные величины, и дисперсия равна 0, то их сумма (разность) является постоянной

Теория вероятности и математическая статистика

Пусть X и Y непрерывные случайные величины, то в соответствии с неравенством Чебышева

Теория вероятности и математическая статистика

т.к.Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Это неравенство и обозначает, что с вероятностью 1

Теория вероятности и математическая статистика

откуда y=ax+b, гдеТеория вероятности и математическая статистика

Если коэффициент корреляцииТеория вероятности и математическая статистика, то результаты опыта лежат на прямой

Теория вероятности и математическая статистика

В общем случае Y можно представить в виде

Теория вероятности и математическая статистика

Коэффициент корреляции является мерой близости линейной связи между случайными величинами X и Y: чем ближе коэффициент корреляции по модулю к 1, тем более тесно результаты конкретного испытания над X и Y соотносятся с прямой ax+b.

Нахождение плотности вероятности суммы двух независимых случайных величин

Дискретный случай.

Пусть X и Y - две дискретные независимые величины данного испытания и Z=X+Y. Возможное значение Z=z=x+y всегда представляет сумму двух возможных значений слагаемых X=x и Y=y. По правилу сложения

Теория вероятности и математическая статистика

где суммирование распространено на те пары, которые в сумме дают Z. В силу независимости X и Y

Теория вероятности и математическая статистика

Приняв во внимание, что y=z-x

Теория вероятности и математическая статистика

последняя суммаТеория вероятности и математическая статистика распространяется не на все значения x, а только на такие, для которых z-x равно одному из возможных значений y.

Если условиться, что P(y=z-x)=0, если z-x не принадлежит к числу возможных значений Y, то

Теория вероятности и математическая статистика

Аналогично

Теория вероятности и математическая статистика

Формулы (1) и (2) определяют композицию величин X и Y.

Или

Теория вероятности и математическая статистика

Непрерывный случай.

Пусть X и Y независимые непрерывные случайные величины. Пусть f(x,y) - двумерная плотность вероятности двумерной случайной величины XY. Плотность совместного распределения f(x,y) в силу независимости X и Y имеет вид

Теория вероятности и математическая статистика

Рассмотрим функцию распределения случайной величины Z.

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Для того, чтобы имело место событиеТеория вероятности и математическая статистикадействительное число необходимо и достаточно, чтобы случайная точка Q(x,y) попала в область 1.

Тогда эта вероятность равна

Теория вероятности и математическая статистика

Дифференцируя под знаком интеграла

Теория вероятности и математическая статистика

Двумерное нормальное распределение

Двумерная случайная величина XY распределена нормально, если ее плотность вероятности f(x,y) имеет вид

Теория вероятности и математическая статистика

Свойства двумерного нормального распределения

1.Теория вероятности и математическая статистика

2.

Теория вероятности и математическая статистика

т.е. X и Y имеет одномерное нормальное распределение.

Теория вероятности и математическая статистика

Сделаем подстановку Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

тут мы для краткости обозначили

Теория вероятности и математическая статистика

Прибавляя и вычитая в показателе степени по e поТеория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Сделаем подстановку

Теория вероятности и математическая статистика

3.Теория вероятности и математическая статистика то X и Y независимые случайные величины, то плотность вероятности двумерная распадается на произведение одномерных

Теория вероятности и математическая статистика

Найдем условную плотность вероятности

Теория вероятности и математическая статистика

Подставляя в полученное выражение значенияТеория вероятности и математическая статистика иТеория вероятности и математическая статистика получаем

Теория вероятности и математическая статистика

Вывод: условная плотность вероятности оказалось нормальной с мат. ожиданием

Теория вероятности и математическая статистика

и дисперсией, постоянной

Теория вероятности и математическая статистика

Многомерное нормальное распределение

n-мерная непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение, если ее многомерная плотность вероятности в матричном виде

Теория вероятности и математическая статистика

Показать, что формула

Теория вероятности и математическая статистика

в двумерном случае переходит в

Теория вероятности и математическая статистика

для n=2 находим

Теория вероятности и математическая статистика

Показатель степени при e

Теория вероятности и математическая статистика

Найдем обратную матрицу матрице В

Теория вероятности и математическая статистика

Проводим непосредственное доказательство

Теория вероятности и математическая статистика

B - ковариационная матрица

Теория вероятности и математическая статистика

Показать, что эта формула в двумерном случае совпадает с выражением, рассмотренном ранее.

Свойства n-мерного нормального распределения.

Теория вероятности и математическая статистика - определитель матрицы B - неотрицательное число.

По критерию Сильвестрова, еслиТеория вероятности и математическая статистика то все главные миноры матрицы B неотрицательные и определитель матрицы B неотрицателен.

Теория вероятности и математическая статистика

 

 

 

Свойства многомерного нормального распределения

Все одномерные плотности вероятности - это плотности вероятности одномерной нормальной случайной величины с параметрами, определяемыми координатами вектора X и главной диагональю ковариационной матрицы B. Кроме того, подвектор вектораТеория вероятности и математическая статистикаиз k элементов, гдеТеория вероятности и математическая статистикатакже распределен нормально.

Если все коэффициенты корреляционной или ковариационной матрицы B (все ее недиагональные элементы) равны нулю, то показать самим, что компоненты случайной величины являются независимыми.

Теория вероятности и математическая статистика

еслиТеория вероятности и математическая статистика,то многомерная плотность распадается на произведение одномерных, значитТеория вероятности и математическая статистика независимы.

Теорема.

Теория вероятности и математическая статистика

Проводим линейное преобразование Y=AX. A - квадратная невырожденная матрица, тогда вектор Y также имеет n-мерное нормальное распределение вида

Теория вероятности и математическая статистика

Следствие: Из доказательства теоремы вытекает, что ковариационная матрица

Теория вероятности и математическая статистика

Оператор A переводит произвольную область из арифметического пространства Rn в некоторую область того же пространства.

Рассмотрим произвольную область S, принадлежащую пространству элементарных событий случайной многомерной величины X. Ей соответствует область D в пространстве элементарных событий случайного вектора Y. При этом

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика

Запишем эти вероятности

Теория вероятности и математическая статистика

где |I| - якобиан перехода

Теория вероятности и математическая статистика

Т.к. область S и соответственно D произвольны, то плотность вероятности случайного вектора x равна

Теория вероятности и математическая статистика

n-мерная плотность вероятности случайного вектора Y равна

Теория вероятности и математическая статистика

Преобразуем показатель степени e

Теория вероятности и математическая статистика

Можно показать, что если нормальное распределение имеет данный вид, то B - ее ковариационная матрица

Теория вероятности и математическая статистика

Следствие.

Теория вероятности и математическая статистика- многомерный нормальный вектор. A - прямоугольная матрицаТеория вероятности и математическая статистика Тогда Y=AX имеет нормальное распределение вида

Теория вероятности и математическая статистика

Y - m-мерный вектор.

Для определенности положим, что матрица A имеет вид

A = (A1 A2)

A1 - квадратная матрица размеромТеория вероятности и математическая статистика

A2 - матрица размерностиТеория вероятности и математическая статистика

Рассмотрим матрицу размерностиТеория вероятности и математическая статистика. Считается, что m первых столбцов независимы.

Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности и математическая статистика равен определителю полученной квадратной матрицы и не равен нулю.

E - единственная квадратная матрица размерностиТеория вероятности и математическая статистика

Следовательно, на основании доказанной теоремы, вектор Y имеет многомерное нормальное распределение.

Z=CX