Курсовая работа: Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Курсовая работа

Выполнила студентка  II курса группы ПМИ Решоткина Наталья Николаевна

Мурманский Государственный Педагогический Университет

Мурманск 2007

Введение

При решении различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.

Цель данной работы: теоретическое обоснование и необходимость практического применения теоремы Коши-Бине:

Пусть Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине,Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине - Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине и Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-матрицы соответственно, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинеи Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Тогда Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Другими словами, при Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине определитель матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине является суммой произведений всевозможных миноров порядка Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине в Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине на соответствующие миноры матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине того же самого порядка

Работа состоит из четырех глав, содержит заключение, список литературы и приложение программы для теоремы Коши-Бине. В главе I рассматриваются элементы линейной алгебры – матрицы, операции над матрицами и свойства сложения матриц, и умножения на скаляр. Глава II посвящается умножению матриц и его свойств, а также транспонирование произведения двух матриц. В главе III рассматриваются обратимые и элементарные матрицы. В главе IV вводиться понятие определителя квадратной матрицы, рассматриваются свойства и теоремы об определителях, а также приводится доказательство теоремы Коши-Бине, что является целью моей работы. В дополнение прилагается программа показывающая механизм нахождения определителя произведения двух матриц.

Глава I

§ 1 Определение, обозначения и типы матриц

Мы определяем матрицу как прямоугольную таблицу чисел:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Где элементы матрицы aij (1≤i≤m, 1≤j≤n)-числа из поля Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине.Для наших целей поле Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине будет либо множеством всех вещественных чисел, либо множеством всех комплексных. Размер матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, где m-число строк, n-число столбцов. Если m=n, то говорят, что матрица квадратная, порядка n. В общем случаем матрица называется прямоугольной.

Каждой Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине матрице Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине с элементами aij соответствует n×m матрица с элементами aji . Она называется транспонированной к Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине и обозначается черезОпределитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Видно, что Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине=Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Строки матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине становятся столбцами в Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине и столбцы матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине становятся строками вОпределитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине.

Матрица называется нулевой если все элементы равны 0:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Матрица называется треугольной если все ее элементы, расположенные ниже главной диагонали равны 0

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Треугольная матрица называется диагональной, если все элементы расположенные вне главной диагонали равны 0

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Диагональной матрица называется единичной, если все элементы расположенные на главной диагонали равны 1

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Матрица, составленная из элементов, находящихся на пересечении нескольких выбранных строк матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине и нескольких выбранных столбцов, называется субматрицей для матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Если Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-номера выбранных строк и Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-номера выбранных столбцов, то субматрица это

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

В частности, строки и столбцы матрицы можно рассматривать как ее субматрицы.

§2 Операции над матрицами

Определим следующие операции:

Сумма двух Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине матриц Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, и Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине с элементами Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине и Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинеесть Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине матрица С с элементами Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, запишем это как Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Произведение матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине на число Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинеполя Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинеесть матрица С с элементами Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, запишем как Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине.

Произведение Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинена Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинематрицу Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинеесть Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинематрица С с элементами Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, запишем Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине поле скаляров, рассмотрим Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, где Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинеэлемент матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, расположенный в Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-строке Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-столбце Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Размерность матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине.Если Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, то Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-квадратная матрица порядка Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Множество Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-это множество всех Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине матриц над полем Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине.

Опр. Две матрицы равны, если они имеют одинаковую размерность и на одинаковых местах расположены одинаковые элементы. Другими словами: Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине равна матрице Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, т.е Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Опр. Пусть Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-это матрицы одинаковой размерности Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Суммой матриц Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине и Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине называется Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинематрица у которой в Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинестроке, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине столбце расположен элемент Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, т.е. Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Другими словами: Чтобы сложить две матрицы нужно сложить соответствующие элементы:

Пример:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Опр. Пусть Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Произведение скаляра Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине на матрицу Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине называется Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине у которой в Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинестроке, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине столбце расположен элемент Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Другими словами: Чтобы скаляр Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине умножить на матрицу Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине нужно все элементы матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине умножить на скаляр Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине.

Определение. Противоположной к матрице Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине называется матрица Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Свойства сложения и умножения матриц на скаляры:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-абелева группа

1) Сложение матриц Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине ассоциативно и коммутативно.

2) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

3) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

а) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

б) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

4) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Глава II

§1 Умножение матриц

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Опр. Произведением Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине на Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине матрицу Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине называется Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине матрица Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, где Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, где Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Говорят, что Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине есть скалярное произведение Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-строки матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине на Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-столбец матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине.

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, где Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Пример:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

§2 Свойства умножения матриц

Умножение матриц ассоциативно:

1) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, если определены произведения матриц Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине и Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Доказательство:

Пусть Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, так как определено Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, то Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине и определено Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, то Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определим матрицы:

а) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

б) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине (1) матрицы, тогда Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине имеют одинаковую размерность

2) Покажем, что на одинаковых местах в матрицах Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине расположены одинаковые элементы

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинеиз равенства (1) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине(2), Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине(3). Подставляя (3) в (2) получим: Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, тогда Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине(4), Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине(5). Подставляя (5) в (4) получим:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Вывод: Матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине имеют одинаковую размерность и на одинаковых местах расположены одинаковые элементы.

Умножение матриц дистрибутивно Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине: Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Доказательство:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине так как определено Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, то Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине и определено Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, то Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинеразмерности

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине размерности

Матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине имеют одинаковую размерность, покажем расположение одинаковых элементов:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Вывод: На одинаковых местах расположены одинаковые элементы.

3. Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Если определены Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине матрицы, то доказательство проводим аналогично свойству 2.

4. Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине: Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, если определена матрица Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Доказательство:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Пусть Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-БинеОпределитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-БинеОпределитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

5. Умножение матриц в общем случае не коммутативно. Рассмотрим это на примере:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, тогда Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-БинеОпределитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

§3 Техника матричного умножения

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине поле скаляров, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Свойства:

Произведение Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине можно рассматривать, как результат умножения столбцов матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинена Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине слева и как результат умножения строк матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине на Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине справа.

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Пусть Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине матрица Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-линейная комбинация столбцов матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине коэффициенты которой служат элементы матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Пример

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Пусть Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-матрица Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, тогда Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-линейная комбинация строк матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине коэффициенты которой служат элементы матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Пример:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Столбцы матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-линейная комбинация столбцов матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Строки Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-линейная комбинация строк матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине.

§4 Транспонирование произведения матриц

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине поле скаляров, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Теорема

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине если Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, то Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Обозначим: Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Доказательство:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине 1) Пусть Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине - размерности Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине,Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине- размерности Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, тогда Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинеи Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинеимеют одинаковую размерность

2) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-элемента расположенный в Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-строке, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-столбце матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине т.е Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-произведение Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-строки транспонированной Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине на Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине столбец Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-БинеОпределитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Глава III

§1 Обратимые матрицы

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине поле скаляров, множество Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинематриц порядка Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определение. Квадратная матрица Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине порядка Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине называется единичной матрицей Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Пусть Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Теорема 1

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, то для Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине выполняется Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине 

Доказательство:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине 

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Из этого следует Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Матрица Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине является единичной матрицей. Она выполняет роль единицы при умножении матриц.

Определение. Квадратная матрица Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Биненазывается обратимой если существует Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине так, что выполняются условия Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Матрица Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине называется обратной к Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинеи обозначается Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, тогда если Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-это обратная к Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, то Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине обратная к Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-БинеОпределитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-это взаимообратные матрицы т.е. Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Теорема 2

Если Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-обратима, то существует только одна матрица обратная к Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Доказательство:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине Пусть дана матрица Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, которая обратима и пусть существуют матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинеобратные к Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине т.е. Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Имеем Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Обозначение: Множество всех обратимых матриц порядка Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине над полем Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине обозначается Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Теорема 3

Справедливы утверждения:

1) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине алгебра

2) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине группа

Доказательство:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине1) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-это бинарная операция

а) Пусть Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, так как Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-обратимые матрицы, проверим, что Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-это бинарная операция:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине обратные к Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Аналогично: Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине обратимая матрица т.е Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-это бинарная операция

б) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, матрица Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинеобратима, поэтому Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-это унарная операция

в) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине обратима т.е Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

2) Докажем второе утверждение, что Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине группа. Для этого проверим аксиомы групп:

1) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

2) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

3) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине группа

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Следствие:

Произведение обратимых матриц есть обратимая матрица

Если Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине обратима, то Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинеобратима

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

§2 Элементарные матрицы

Пусть Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине поле скаляров

Определение.Элементарной матрицей называется матрица, полученная из единичной матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине в результате одного из следующих элементарных преобразований:

Умножение строки (столбца) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине на скаляр Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Прибавление к какой либо строке (столбцу) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине другой строки (столбца), умноженный на скаляр Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Обозначение: Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-элементарная матрица, полученная умножением на Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-строки (столбца) матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-БинеОпределитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-строка

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-элементарная матрица, полученная прибавлением к Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-строке (столбцу) матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-строки (столбца), умноженной на Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-БинеОпределитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-строка

Пример: Элементарные матрицы порядка 2

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Обозначение: Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-элементарная матрица, полученная из единичной матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинес помощью элементарного преобразования Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Глава IV

§1 Определители

Определитель матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинеобозначается Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Другими словами определитель матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-это сумма произведений из множества Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине умноженная на знак, соответствующей подстановки.

Пример

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали вычесть произведение элементов на побоичной.

Для Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Получили правило треугольника:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

§2 Простейшие свойства определителей

Определитель матрицы с нулевой строкой (столбцом) равен нулю

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, расположенных на главной диагонали

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-это треугольная матрица если элементы под главной диагональю равны нулю.

Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, расположенных на главной диагонали. Матрица Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине диагональная если все элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю.

§3 Основные свойства определителей

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине поле скаляров, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

1) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Доказательство:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, обозначим Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Если Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине «пробегает» все множество Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, то Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинетоже «пробегает» все Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинет.е.

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

При перестановке двух столбцов (строк) матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинеее определитель изменит знак.

Доказательство:

I) Перестановка столбцов:

Пусть Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине- это матрица, полученная из Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине перестановкой двух столбцов с номерами Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, где Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Рассмотрим транспозицию:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, транспозиция является нечетной подстановкой Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

В доказательстве будем использовать равенство: Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Если Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине пробегает все множество значений Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, то Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинетоже пробегает все значения и Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

II) Перестановка строк

Пусть Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине получена из Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинеперестановкой двух строк, тогда Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине получена из Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине перестановкой двух столбцов, тогда Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

III) Определитель матрицы, имеющий две одинаковые строки (столбца) равных нулю

Доказательство:

Проведем для такого поля Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, где Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Замечание

Доказательство для случая Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Биненайди в учебнике Куликовой Алгебра и теория чисел

Пусть в Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине есть две одинаковые строки с номерами Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинеи Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, где Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, поменяем местами строки Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинеи Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, получим матрицу Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине(по св.2)

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине и Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, тогда Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Если у Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине два одинаковых столбца, то у транспонированной матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине две одинаковые строки Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

IV) Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине умножить на Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, то определитель умножиться на Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Доказательство:

Пусть Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине получена из Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине умножением на Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинестроки

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине так как Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, то Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Аналогичное доказательство для столбцов

V) Определитель матрицы у которой две строки (столбца) пропорциональны равны нулю

Доказательство:

Пусть в матрице Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине строки Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине пропорциональны т.е Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-строка равна произведению Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине на Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-строку. Пусть Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Для столбцов:

Пусть Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине получена из Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Столбцы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине и Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине пропорциональны и Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

VI) Если каждый элемент Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-строки(столбца) квадратной матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине есть сумма двух элементов, то определитель Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине равен сумме двух определителей. В матрице первого определителя в Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине- строке (столбце), записаны первые слагаемые, а в матрице второго определителя вторые слагаемые. Остальные элементы матриц этих определителей такие же как у матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Доказательство:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

VII) Ели к какой либо строке (столбцу) матрице определителя прибавить другую строку (столбец), умноженный на Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, то определитель неизменится.

Доказательство:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Для столбцов анологично.

VIII) Если какая либо строка (столбец) матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине является линейной комбинацией других строк (столбцов) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, то определитель Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Доказательство:

Если какая то строка линейная комбинация других строк, то к ней можно прибавить другие строки, умноженные на скаляры так, чтобы получилась нулевая строка. Определитель такой матрицы равен нулю.

Пример:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине (сначала умножаем первую строку на -2 и складываем со второй, затем на -3 и складываем с третей). Такое правило приведения к треугольному виду используется для определителей Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине- порядка:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине так как определитель треугольной матрицы равен произведению элементов расположенных на главной диагонали.

Если квадратная матрица является произведением некоторых матриц (которые могут быть прямоугольными), то часто бывает важно иметь возможность выразить определитель произведения в терминах свойств множителей. Следующая теорема –мощный показатель этого.

§4 Миноры и алгебраические дополнения.

Теоремы об определителях.

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине поле скаляров, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Опр. Минор Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине элемента Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине определителя Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине порядка Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине- определитель порядка Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, полученный из Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине вычеркиванием Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-строки и Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-столбца.

Главные миноры определителя

Для Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине главные миноры есть определители

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, …, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Пример:

Рассмотрим матрицу Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине и вычислим ее миноры Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине: Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определение. Алгебраическим дополнением элемента Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине обозначается Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине называется число Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Пример: Вычислим Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Лемма 1

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-БинеиОпределитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине.

Доказательство:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине (в сумме только те слагаемые ненулевые, где Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине)

Тогда подстановка имеет вид: Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, где Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. К подстановке Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине поставим в соответствие Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине т.е Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине 

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, такое соответствие называется взаимооднозначным отображением множества подстановок Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине на множество подстановок Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Очевидно, что Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинеи Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине имеют одинаковые инверсии, значит Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине имеют одинаковую четность и знаки Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Лемма 2

Если равны нулю все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине за исключением быть может одного элемента, то определитель матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине равен произведению этого элемента на его алгебраическое дополнение

Доказательство:

Пусть все элементы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-строки матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине за исключением элемента Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине перестановкой строк и столбцов Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине переместили элемент Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине в правый нижний угол Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, значит Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине строк и Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-столбцов. Знак будет меняться Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинераз, после этого получиться матрица у которой все элементы последней строки кроме может быть Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине равны нулю. По Лемме 1 Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, т к Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Теорема Лагранжа

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине равна сумме произведений элементов какого-либо столбца (строки) матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине на их алгебраическое дополнение. Другими словами: разложение по Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-столбцу матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине имеет вид: Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, а разложение по Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-строке матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине: Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Доказательство:

рассмотрим Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-столбец матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине и запишем в виде: Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, по 6 свойству определителей:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, аналогично доказывается формула разложение по Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-строке матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине.

Теорема 2

Справедливы равенства:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Рассмотрим матрицу Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, которая получена из матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине следующим образом: все столбцы матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, кроме Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-го такие же как и у матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-тый столбец матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине совпадает с Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-столбцом Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, тогда у Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине два одинаковых столбца, поэтому определитель матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине равен нулю, разложим определитель матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине по Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-тому столбцу.

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, тогда Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Формула (2) показывается аналогично.

Следствие:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

§5 Определитель произведение матриц

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине поле скаляров, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Лемма 1

Пусть Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине элементарная матрица порядка Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, тогда справедливо равенство: Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

1) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине., т.е Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине получена из матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, умножением Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-строки на скаляр Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Определитель матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине.

Матрица Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине получена из Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине умножением Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-строки на скаляр Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, поэтому определитель Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

2) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Матрица, полученная из Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине прибавлением к Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-строке Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Лемма 2

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-элементарные матрицы

1) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, доказательство следует из Леммы 1

2) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, доказательство из утверждения (1) при условии Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Теорема 1

Определитель произведения двух матриц равен произведению их определителей т.е. Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Доказательство:

Пусть строки матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине линейно независимы, тогда существует цепочка элементарных преобразований Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, тогда по Лемме 2 следует, что Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Из того, что (Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине) имеем: Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, тогда Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

2) Строки Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине линейно зависимы, тогда существует цепочка элементарных преобразований, которая переводит Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине в ступенчатую матрицу Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, у которой есть нулевая строка т.е. Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Тогда Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Из того, что Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-БинеОпределитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, в произведении Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, тоже есть нулевая строка, потому Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Необходимые и достаточные условия равенства определителя нулю

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине поле скаляров, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине,-матрица над полем Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Теорема 1

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинестроки (столбцы) матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинелинейно зависимы

Достаточность:

Если строки (столбцы) матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинелинейно зависимы, то какая-то строка является линейной комбинацией других строк (по 8 свойсву определителей) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Необходимость:

Пусть Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Докажем, что строки Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинелинейно зависимы. Предположим, что строки Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине линейно независимы, тогда существует цепочка элементарных преобразований переводящее Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Из доказанного в пункте II следует, что Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Получили противоречье Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Докажем, что если Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-строка матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине линейно зависима,Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, но Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-БинеОпределитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине(числа векторов столбца) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине линейно зависима.

Теорема 2

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине следующие условия равносильны:

1) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

2) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-линейно зависимы

3) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-обратима

4) Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине представима в виде произведения элементарных матриц

Доказательство:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине доказано в Теореме 1

§6 Разбиение матриц

Если Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине матрицу Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине матрицу Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине матрицу Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине и Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине матрицу Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине записать в виде

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-БинеОпределитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине (1)

То они, образуют некоторую Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине матрицу Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. В таком случае Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине могут быть названы блоками матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. И обозначены Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине соответственно. Представление (1) называется разбиением матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине.

Если матричное произведениеОпределитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине существует и Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинеразбиты на блоки Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, а разбиение по столбцам матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине соответствует разбиению по строкам матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, то можно ожидать, что Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине имеет блоки Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, задаваемые формулой

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Таким образом, мы предполагаем, что произведение матриц в терминах блоков, полученных при соответствующих разбиениях сомножителей, формально совпадает с произведением этих матриц в терминах скалярных элементов. Покажем это на примере:

Упражнение1. Пусть

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Это проверяется прямым вычислением Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Теорема (1)

Пусть матрица Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине из Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине имеет блоки Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, где Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-БинеОпределитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинематрица, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, и Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине матрица из Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине с блоками Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинеразмера Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Тогда Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине имеет блоки Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Доказательство. Отметим, что каждое произведение Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинесуществует и является Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине матрицей. Следовательно, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине существует и будет Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине матрицей. Для фиксированного Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинекаждое Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине имеет Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине столбцов и для фиксированного Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине каждое Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине имеет Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинестрок, откуда следует, что Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинеблоки некоторой Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине.

Пусть Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Биненекоторый элемент матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, расположенный в клетке Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине блока Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Так как Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинеесть сумма элементов в клетках Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинеи матриц Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Но элемент матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинев клетке Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине является суммой произведений Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинеэлементов в строке Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинематрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине на элементы столбца Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинематрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Далее, элементы строки Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинематрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине совпадают с некоторыми элементами Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине строки в Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, а именно, с Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, где индекс Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине определяется неравенствами

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, если Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, если Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Элементы столбца Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинематрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинебудут элементами Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине в Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Следовательно, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Мы определили миноры порядка Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине для Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине определителя. В общем случае, если из Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Биневыбросить все строки, кроме строк Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, и все столбцы, кроме столбцов Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, то определитель полученной в результате матрицы называется минором матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине порядка Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, то Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Миноры, для которых Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, называются главными для матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Если Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине - Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине матрица, то Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине и алгебраическое дополнение Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, например, есть Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Если квадратная матрица является произведением некоторых матриц (которые могут быть прямоугольными), то иногда важно выразить определитель произведения в терминах свойств сомножителей. Следующая теорема - мощный результат этого рода.

§7 Теорема (формула Бине-Коши)

Теорема (формула Бине-Коши)

Пусть Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине,Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине - Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине и Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-матрицы соответственно, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинеи Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Тогда Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Другими словами, при Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине определитель матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине является суммой произведений всевозможных миноров порядка Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине в Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине на соответствующие миноры матрицы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине того же самого порядка.

Упражнение1. Покажем на примере

Пусть Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине и Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, тогда по формуле Коши-Бине:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Доказательство теоремы:

Так как Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, то можно записатьОпределитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Определитель-это аддитивная и однородная функция каждого из своих столбцов. Используя этот факт для каждого из Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине столбцов в Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, выражаем Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине в виде суммы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине определителей:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Те члены в суммировании, которые имеют совпадающие два или более индексов Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, равны нулю, так как в этих случаях миноры будут иметь по крайней мере два совпадающих столбца. Таким образом, нужно рассматривать лишь те Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине членов суммирования, в которых индексы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине различны. Мы распределяем эти остающиеся члены на Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине групп по Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине членов в каждой таким образом, чтобы в каждой группе члены отличаются лишь порядком индексов Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Отметим также, что можно написать

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, где Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Следовательно, сумма по Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине членам, в которых Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-перестановка чисел Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, задается выражением: Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Переставляя элементы Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине так, чтобы первые индексы в возрастающем порядке, приводим это выражение к виду:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

где Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-перестановка Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине чисел Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине, как очевидно Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине. Из определителя функции определителя теперь следует, что это выражение есть просто:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Следствие. Определитель произведения двух кратных матриц равен произведению определителй множителей.

Это следует из Теоремы при Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Заключение

В данной работе рассмотрена основная теория матриц и доказательство теоремы Коши-Бине. Также представлено применение данной теоремы при нахождении определителя произведения двух прямоугольных матриц в программе написанной на языке программирования Дельфи с возможностью ввода матриц вручную и подгрузкой из файла.

Данная теорема Коши-Бине:

Пусть Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине,Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине - Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине и Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине-матрицы соответственно, Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бинеи Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Тогда Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

На примере можно рассмотреть работу программы реализующей алгоритм нахождения определителя прямоугольных матриц на основе формулы Коши-Бине.

Будем искать миноры 2 порядка:

1)

Пусть A m = 2 n = 3

1 0 2

-1 1 1

B m = 3 n = 2

-1 -1

-2 0

1 1

получаем матрицу C m = 2 n = 2

1 1

0 2

Итого: Det C = 2

2)

Переборы:

1A) 1 2

1 0

-1 1

DetA = 1

1B) 1 2

-1 -1

-2 0

DetB = -2

2A) 1 3

1 2

-1 1

DetA = 3

2B) 1 3

-1 -1

1 1

DetB = 0

3A) 2 3

0 2

1 1

DetA = -2

3B) 2 3

-2 0

1 1

DetB = -2

C = (1)*(-2) + (3)*(0) + (-2)*(-2)

Итого по формуле Коши - Бине: 2

Данная программа наглядно показывает нахождение миноров порядка m, где m-это количество строк в матрице Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине.

Список литературы

1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – 4-е изд. – М.: Наука. Гл.ред. физ. – мат. мет., 1988. с. 13-32.

2. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре.- М.:Наука. Гл.ред. физ. – мат. мет., 1984.-с.216.

3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – 14 - е изд. - Спб.: Лань, 2005. -с.322

4. Ланкастер П. Теория матриц– М.: Наука. Гл.ред. физ. – мат. мет., 1973, с.17-44

5. Маркус М., Минк Х. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. – М.: Наука. Гл.ред. физ. – мат. мет. , 1972, с.232

6. Большакова И.В. Высшая математика - Учебное издание, 2003, с.5-10

Приложение

Внешний вид программы:

Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

Исходный код:

unit MainUnit;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls, Menus, Math, cdet;

Const

MaxN = 10; //Максимальное число столбцов в массиве

MaxM = 10; //Максимальное число строк в массиве

DefValueMas = 3; //Значение по умолчанию (размерность)

type

TVS_MAssPerebor = Array of Real; //Массив переборов

TVS_Mass = array of array of Real; //Описали 2х мерный динамический массив

TVS_MassData = Record //Создаем запись - массив, в котором:

Mass : TVS_Mass ; //Массив

M, //Строки массива

N : Integer; //Столцы массива

Name : Char; //Название матрицы для вывода информации (A, B, C)

end; {TVS_MassData = Record}

TMainForm = class(TForm)

MainMenu1: TMainMenu;

N1: TMenuItem;

NMultiplication: TMenuItem;

N2: TMenuItem;

InputMassB: TMenuItem;

N3: TMenuItem;

N4: TMenuItem;

nDetA: TMenuItem;

NDetB: TMenuItem;

ResultMemo: TMemo;

N5: TMenuItem;

DetC: TMenuItem;

nmbn1: TMenuItem;

N6: TMenuItem;

N7: TMenuItem;

N8: TMenuItem;

N9: TMenuItem;

N10: TMenuItem;

OpenDialog: TOpenDialog;

procedure InputMassAClick(Sender: TObject);

procedure NMultiplicationClick(Sender: TObject);

procedure VS_MultiplicMass (Var inMassA, InMassB, MassOut : TVS_MassData);

procedure InputMassBClick(Sender: TObject);

procedure VS_InputMass(Var InMass : TVS_MassData);

procedure VS_ShowMass (inCaption : String; inMass: TVS_MassData);

procedure FormShow(Sender: TObject);

procedure N3Click(Sender: TObject);

procedure nDetAClick(Sender: TObject);

function VS_Det(InMass : TVS_MassData): Real;

procedure NDetBClick(Sender: TObject);

procedure VS_ShowMassToMemo(Caption : String; InMass : TVS_MassData; ShowRazm : Boolean = True);

procedure N5Click(Sender: TObject);

procedure DetCClick(Sender: TObject);

Procedure AssignMass(InMAss : TVS_MassData; Var OutMass : TVS_MassData);

Procedure VS_VerMass(Var Massin1, MAssIn2: TVS_MassData);

Procedure VS_LoadData(Var InMAss : TVS_MassData);

Procedure VS_GetRazmOnFile(FileName : String; Var Col, Row : Integer);

Function VS_GetColOnFile(InStr: String): Integer;

//Миноры

function VS_Minor(II, Jj: Integer; InMass : TVS_MassData): REal;

Procedure VS_InitMassInStr(InStr: String; CurRow : Integer; Var InMass: TVS_MassData);

Procedure VS_InitMassPErebor;

Procedure VS_Init2xMassPerebot;

Procedure VS_SortMassPerebor;

Procedure VS_GetMAssForDet;

Function VS_IfMassEq(Massin1, MAssIn2: TVS_MassData) : Boolean;

Function VS_GetKoshi_Bine : Real;

procedure VS_GenerateColMinorData(CurCol, Col : Integer; Var inMass : TVS_MassData);

procedure VS_GenerateRowMinorData(CurCol, Col : Integer; Var InMass : TVS_MassData);

Procedure VS_MinorMass(InMass : TVS_MassData; Var OutMass : TVS_MassData);

procedure N6Click(Sender: TObject);

procedure N7Click(Sender: TObject);

procedure N8Click(Sender: TObject);

procedure lll1Click(Sender: TObject);

procedure N9Click(Sender: TObject);

procedure N10Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

MainForm: TMainForm;

MassP : TVS_MAssPerebor;

MassPer,

MassA,

MassB, MassC : TVS_MassData;

DetB,

DetA : TVS_MAssPerebor; //Массив детерминант А

implementation

uses InRazmUnit, InMassUnit;

{$R *.dfm}

function TMainForm.VS_Det(InMass : TVS_MassData): Real;

var

Temp, A: TVS_MassData;

Cols, Rows, Count: Word;

i, j, k: Integer;

begin

Result := 1; //Результат функции по умолчанию

If InMass.N <> InMass.M Then Exit; //если матрица не квадратная - уходим, так как решение методом диагонали

Count := InMass.M ; // Получили размерность исходного массива

SetLength(A.Mass, Count, Count);//Установили размер матрицы

SetLength(Temp.Mass, 1, Count); //Установили размер мартицы

AssignMass(InMass, A); //Во временный массив заносим данные из исходного, чтобы не портить исходный массив

//Поиск и решение

for i := 0 to Count - 2 do {Начало преобразования к верхнему треугольному виду}

begin

for j := i to Count - 1 do {* Поиск }

begin {* нулевых }

Rows := 0; {* строк }

Cols := 0; {* и }

for k := i to Count - 1 do {* столбцов }

begin {* в }

Rows := Rows + Ord(A.Mass[j, k] = 0); {* матрице }

Cols := Cols + Ord(A.Mass[k, j] = 0); {* }

end;{for k := i to Count - 1 do} {* }

if Rows + Cols = 0 then {* }

Break; {* }

if (Cols = Count - i) or (Rows = Count - i) then {* }

begin {* }

Result := 0; {* }

Exit {* }

end {if (Cols = Count - i) or (Rows = Count - i) then }

end; {for j := i to Count - 1 do } {* }

if A.Mass[i, i] = 0 then

for j := i + 1 to Count - 1 do

if A.Mass[j, i] <> 0 then

begin

Result := -Result; {* меняем строку }

Temp.Mass[0] := A.Mass[i]; {* на строку с }

A.Mass[i] := A.Mass[j]; {* первым }

A.Mass[j] := Temp.Mass[0]; {* ненулевым }

Break {* элементом }

end;

for j := i + 1 to Count - 1 do

if A.Mass[j, i] <> 0 then

begin

for k := i + 1 to Count - 1 do

A.Mass[j, k] := A.Mass[j, k] - A.Mass[i, k] * A.Mass[j, i] / A.Mass[i, i];

A.Mass[j, i] := 0

end

end; {Конец преобразования}

for i := 0 to Count - 1 do { Определитель как произведение }

Result := Result * A.Mass[i, i]; { элементов на главной диагонали}

end;

procedure TMainForm.InputMassAClick(Sender: TObject);

begin

If InRazmForm = Nil Then Application.CreateForm(TInRazmForm, InRazmForm);

With InRazmForm do

Begin

Caption := 'Ввод размерности ряда А';

Hint := Caption; //

ShowHint := True; //Разрешаем быстрые подсказки

lbPrompt1.Caption := 'Размерность N ';

//Настройка эелемента ввода для размерности массива по строкам - М

sedtRazmA.MinValue := 1; //Установили минимальное знаечение для ввода-переключателя

sedtRazmA.MaxValue := MaxN ; //Установили максимальное значение для ввода - переключателя

sedtRazmA.Value := MassA.N; //Установили значение, выводимое на экран

//Настройка эелемента ввода для размерности массива по столбцам - N

sedtRazmB.MinValue := 1; //Установили минимальное знаечение для ввода-переключателя

sedtRazmB.MaxValue := MaxM; //Установили максимальное значение для ввода - переключателя

sedtRazmB.Value := MassA.M; //Установили значение, выводимое на экран

lbPrompt2.Caption := 'Размерность M ';

btnNext.Caption := 'Далее';

btnCancel.Caption := 'Отмена';

If InRazmForm.ShowModal = Mrok Then //если пользователь нажал кнопку "Далее"

Begin

MassA.N := sedtRazmA.Value; //Сохраняем размерность массива

MassA.M := sedtRazmB.Value; //Сохраняем размерность массива

VS_InputMass(MassA); //Выводим сетку для ввода масива

end; {If ShowModal = Mrok Then}

end; {With InRazmForm do}

end; {procedure TMainForm.InputMassAClick(Sender: TObject);}

procedure TMainForm.NMultiplicationClick(Sender: TObject);

//Умножение матриц

begin

VS_MultiplicMass(MassA, MassB, MassC); //Умножаем матрицы

VS_ShowMassToMemo('Результат произведения A*B получился ', MassC); //Результат выводим в Мемо

VS_ShowMass('Итоговый результат ', MassC); //Выводим результаты расчета

end;

procedure TMainForm.VS_MultiplicMass(var inMassA, InMassB, MassOut: TVS_MassData);

//Умножаем матрицы

//N, M - размерность матрицы, где

//N - стоблец

//M - строка

//inMassA - массив А

//inMassB - массив Б

//MassOut - массив С / выходной массив

Var P, i, j : Integer;

S : Real;

begin

For I := 0 to inMassA.M - 1 do // i = 1.. m

For J := 0 to inMassB.N - 1 do // j = 1.. k

begin

S := 0; //Сбнуляем счетчик

For P := 0 to inMassA.N -1 do // p = 1..n

S := S + inMassA.Mass[i, p] * InMassB.Mass[p, j]; //Вычисляем по формуле (Cij = Ep (Aip *Bpj)? где i=1..m, j = 1..k)

MassOut.Mass[I, J] := s; //Сохраняем результат в массив С

end;

MassOut.N := inMassB.N; //Сохраняем получившиюся размерность массива С

MassOut.M := inMassA.M; //Сохраняем получившиюся размерность массива С

end;

procedure TMainForm.InputMassBClick(Sender: TObject);

begin

If InRazmForm = Nil Then Application.CreateForm(TInRazmForm, InRazmForm);

With InRazmForm do

Begin

Caption := 'Ввод размерности ряда Б';

Hint := Caption;

ShowHint := True; //Разрешаем быстрые подсказки на форме

lbPrompt1.Caption := 'Размерность N ';

sedtRazmA.MinValue := 1; //Установили минимальное знаечение для ввода-переключателя

sedtRazmA.MaxValue := MaxN; //Установили максимальное значение для ввода - переключателя

sedtRazmA.Value := MassB.N; //Установили значение, выводимое на экран

sedtRazmB.MinValue := 1; //Установили минимальное знаечение для ввода-переключателя

sedtRazmB.MaxValue := MaxM; //Установили максимальное значение для ввода - переключателя

sedtRazmB.Value := MassB.M; //Установили значение, выводимое на экран

lbPrompt2.Caption := 'Размерность M ';

btnNext.Caption := 'Далее';

btnCancel.Caption := 'Отмена';

If ShowModal = Mrok Then //если пользователь нажал "Далее"

Begin

MassB.N := sedtRazmA.Value; //Сохраняем размерность массива

MassB.M := sedtRazmB.Value; //Сохраняем размерность массива

VS_InputMass(MassB); //Выводи окно с сеткой для ввода массива

end{If ShowModal = Mrok Then}

end; {With InRazmForm do}

end;

procedure TMainForm.VS_ShowMass(inCaption : String; inMass: TVS_MassData);

//Выводим массив

//N, M - размерность матрицы, где

//N - стоблец

//M - строка

//inMass - массив, который выводим

Var

I, K : Integer;

begin

If InMassForm = Nil Then Application.CreateForm(TInMassForm, InMassForm);

with InMassForm do

Begin

Caption := 'Вывод массива';

strGrid.RowCount := InMass.M+1;

strGrid.ColCount := inMAss.N+1;

For I := 0 To inMAss.N -1 do //Выводим шапку для столбцов

strGrid.Cells[I + 1, 0] := 'N = ' + IntToStr( I + 1);

For I := 0 To inMAss.M -1 do //Выводим шапку для строк

strGrid.Cells[0, I + 1] := 'M = ' + IntToStr( I + 1);

btnNext.Caption := 'Ok';

btnCancel.Visible := False; //Выключаем кнопку "Отмена". Она нам не нужна

For I := 0 To inMAss.N -1 do //Пробегаемся по строкам

For K := 0 To inMAss.M -1 do //Пробегаемся по столбцам

InMassForm.strGrid.Cells[I +1,K +1] := FloatToStr(inMass.Mass[K, I]); //Выводим в сетку ранее сохраненный массив

ShowModal; //Выводим окно, ждем реакции пользователя

btnCancel.Visible := True; //Не забываем включить кнопку "Отмена", иначе ее не увидят в других нужных нам метсах

end; {with InMassForm do}

End;

procedure TMainForm.FormShow(Sender: TObject);

//Обрабатываемся прри вызове формы

Var I, J : Integer;

begin

//Обнуляем массивы, во избежание шаманских действий программы

SetLength(MassA.Mass, MaxM , MaxN ); //Установили размер массива в памяти

SetLength(MassB.Mass, MaxM , MaxN ); //Установили размер массива в памяти

SetLength(MassC.Mass, MaxM , MaxN ); //Установили размер массива в памяти

For I := 0 to MaxM - 1 Do //Пробегаемся по строкам

For J := 0 to MaxN - 1 do //Пробегаемся по столбцам

Begin

MassA.Mass[I, J] := 0;

MassB.Mass[I, J] := 0;

MassC.Mass[I, J] := 0;

end; {For J := 1 to MaxN do}

//Обнуляем переменные размерностей массивов

MassA.N := DefValueMas; //Устанавливаем размерность матрицы по умолчанию

MassA.M := MassA.N;

MassB.N := MassA.N;

MassB.M := MassA.N;

MassC.N := MassA.N;

MassC.M := MassA.N;

MassA.Name := 'A';

MassB.Name := 'B';

MassC.Name := 'C';

ResultMemo.Clear; //Очищаем Мемо-поле.

end;

procedure TMainForm.VS_InputMass(var InMass: TVS_MassData);

//Вводим Элементы массива

Var

I, K : Integer;

begin

If InMassForm = Nil Then Application.CreateForm(TInMassForm, InMassForm);

with InMassForm do

Begin

Caption := 'Ввод массива';

strGrid.RowCount := InMass.M+1; //указали количество строк рамным М

strGrid.ColCount := InMass.N+1; //Указали количество столбцов, равным N

For I := 0 To InMass.N -1 do //Делаем шапку для столбцов

strGrid.Cells[I +1, 0] := 'N = ' + IntToStr( I +1);

For I := 0 To InMass.M -1 do //Делаем шапку для строк

strGrid.Cells[0, I +1] := 'M = ' + IntToStr( I +1);

//Заносим результаты массива в сетку, если вводили ранее

For I := 0 to InMass.M -1 do //Пробегаемся по строкам массива

For K := 0 to InMass.N -1 do //Пробегаемся по столбцам массива

Try

strGrid.Cells[I+1, K+1] := FloatToStr (InMass.Mass[K, I]); //Выводим массив в сетку

except

strGrid.Cells[I+1, K+1] := '0';

end;

btnNext.Caption := 'Далее';

btnCancel.Caption := 'Отмена';

If ShowModal = Mrok Then //Выводим форму, ждем реакции пользователя

Begin

SetLength(MassA.Mass, InMass.M +1 , InMass.N +1); //Установили размер массива в памяти

For I := 0 To InMass.N -1 do //Пробегаемся по строкам массива

For K := 0 To InMass.M -1 do //Пробегаемся по столбцам массива

Try //Включаем обработку ошибок

InMass.Mass[K, I] := StrToInt(InMassForm.strGrid.Cells[I +1,K +1]); // Заносим элемент из сетки в массив

except //Если произошла ошибка, например с переводом строки в число

InMass.Mass[I, K] := 0; //Если ошибка - заносим в массив 0

end; {except}

VS_ShowMassToMemo('Успешно введена матрица ',InMass); //Выводим матрицу в Мемо

end;{If ShowModal = Mrok Then}

end;

end;

procedure TMainForm.N3Click(Sender: TObject);

//Выводим результат. Просто выводим массив

begin

VS_ShowMass('', MassC)

end;

procedure TMainForm.nDetAClick(Sender: TObject);

//Определяем определитель матрицы А

Var Det : Real;

begin

Det := VS_Det(MassA); //ВЫчисляем определитель

ResultMemo.Lines.Add('Определитель матрицы А равен ' + FloattoStr(Det)); //Выводим результат в Мемо

ShowMessage(FloatToStr(Det)); //Выводим результат в диалоговое окно

end;

procedure TMainForm.NDetBClick(Sender: TObject);

//Определяем определитель матрицы B

Var Det : Real;

begin

Det:= VS_Det(MassB); //Вычисляем определитель

ResultMemo.Lines.Add('Определитель матрицы B равен ' + FloattoStr(Det)); //Результат вычислений выводим в МЕмо

ShowMessage(FloatToStr(Det)); //Результат выводим в диалоговое окно

end;

procedure TMainForm.VS_ShowMassToMemo(Caption : String; InMass: TVS_MassData; ShowRazm : Boolean = True);

//Выводим массив в МЕмо

Var S : String;

I, J : Integer;

begin

If ShowRazm Then ResultMemo.Lines.Add(Caption + InMass.Name + ' m = ' + IntToStr(InMass.M) + ' n = ' + IntToStr(InMass.n))

Else ResultMemo.Lines.Add(Caption );

For I := 0 to InMass.M - 1 do //Пробегаемся по строкам

Begin

S := ''; //Готовимся к формированию строки

For J := 0 To InMass.N -1 Do //Пробегаемся по столбцам

S := S + FloatToStr(InMass.Mass[i,j]) + ' '; //Формируем строку элементов

ResultMemo.Lines.Add(S); //Выводим строку в Мемо

end;{For I := 0 to InMass.M - 1 do //Пробегаемся по строкам}

end;

procedure TMainForm.N5Click(Sender: TObject);

Var DetA, DetB, Det : Real;

begin

ResultMemo.Clear;

//Решаем det C обычным способом

VS_VerMass(MAssA, MAssB); //Проверяем массивы. Если в первом массиве число столбцов меньше, чем во втором, меняем матрицы местами

ResultMemo.Lines.Add('1)');

VS_ShowMassToMemo('Пусть ', MassA); //Выводим матрицу А

VS_ShowMassToMemo('', MassB); //Выводим матрицу Б

VS_MultiplicMass(MassA, MassB, MassC); //Умножаем матрицы

VS_ShowMassToMemo('получаем матрицу ', MassC); //Выводим матрицу С

Det := VS_Det(MassC);

ResultMemo.Lines.Add('Итого: Det C = ' + FloatToStr(Det));

ResultMemo.Lines.Add('2)');

//Решаем по Бине-Коши

If (MassA.M > MassA.N) Then

Begin //попали под условие, когда М>n , значит определитель равен 0

ResultMemo.Lines.Add('m > n массива А , исходя из т. Бине - Коши, DetC = 0');

Exit //Завершаем процедуру

end;

//If (MassB.M > MassB.N) Then

// Begin //попали под условие, когда М>n , значит определитель равен 0

// ResultMemo.Lines.Add('m > n массива B , исходя из т. Бине - Коши, DetC = 0');

// Exit//Завершаем процедуру

// end;

If (MassA.M = MassA.N) And (MassA.M = MassA.N)

Then //попали под условие, когда обе матрицы кувадратные

Begin

ResultMemo.Lines.Add('m = n массивов B и А, исходя из т. Бине - Коши, ');

DetA := VS_Det(MassA);

DetB := VS_Det(MassB);

Det := DetA * DetB;

ResultMemo.Lines.Add('DetC = detA * Det B = ' + FloatToStr(DetA) + ' * ' + FloatToStr(DetB) + ' = ' + FloatToStr(Det));

end;

If (MassA.M < MassA.N) And (MassB.M > MassB.N) Then

Begin

IF VS_IfMassEq(MAssA, MAssB)

Then

BEgin

VS_VerMass(MAssA, MAssB);

VS_InitMassPErebor;

VS_Init2xMassPerebot ;

VS_SortMassPerebor;

VS_GetMAssForDet;

ResultMemo.Lines.Add('Итого по формуле Коши - Бине: ' + FloattoStr(VS_GetKoshi_Bine))

end{IF VS_IfMassEq(MAssA, MAssB)}

Else ResultMemo.Lines.Add('Матрицы не равны')

end;{If (MassA.M < MassA.N) And (MassB.M > MassB.N) Then}

end;

procedure TMainForm.DetCClick(Sender: TObject);

Var Det : Real;

begin

Det := VS_Det(MassC); //ВЫчисляем определитель

ResultMemo.Lines.Add('Определитель матрицы C равен ' + FloattoStr(Det)); //Выводим результат в Мемо

ShowMessage(FloatToStr(Det)); //Выводим результат в диалоговое окно

end;

function TMainForm.VS_Minor(II, Jj: Integer; InMass : TVS_MassData): REal;

//Вычислаем минор

Var

Col, //Текущий столбец новой матрицы

Row, //Текущая строка новой матрицы

I, J : Integer;

TempMass : TVS_MassData;

begin

If InMass.M <> InMass.N Then Exit; // Матрица не квадратная - убегаем

SetLength(TempMass.Mass, InMass.M -1, InMass.N -1);//Установили размер матрицы

Row := 0;

For I := 0 To InMass.M -1 Do

begin

Col := 0; //Начали новый массив с первого элемента

If I <> II -1 Then

Begin //Отбрасываем I строку

For J := 0 To InMass.N -1 do

If J <> JJ -1 Then

Begin //Перебираем все столюцы, кроме J

TempMass.Mass[Row,Col] := InMass.Mass[I,J];

Inc(Col);

end;{If J <> JJ Then}

Inc(Row); //Перешли на сл. строку для нового массива

end;{If I <> II Then}

end; {For I := 0 To InMass.M Do}

TempMass.M := InMass.M - 1;

TempMass.N := InMass.N - 1;

Result := VS_Det(TempMass);

end;

procedure TMainForm.AssignMass(InMAss: TVS_MassData;

var OutMass: TVS_MassData);

//Передаем данные из InMass в OutMass;

Var

I,

J : Integer;

begin

for i := 0 to InMAss.M - 1 do //Пробегаемся по строкам

for j := 0 to InMAss.N - 1 do //Пробегаемся по столбцам

OutMass.Mass[i, j] := InMass.Mass[i, j]; //Переносим значения из InMAss в OutMas

OutMass.M := InMAss.M; //Переносим число, определяющее количество строк

OutMass.N := InMAss.N; //Переносим число, определяющее количество столбцов

OutMass.Name := InMAss.Name; //Переносим название массива

end;

procedure TMainForm.VS_MinorMass(InMass : TVS_MassData; var OutMass: TVS_MassData);

//Находим все миноры входящей матрицы

//InMass - массив, в котором будем искать миноры

//OutMass - массив минор

Var

i,

j : Integer;

begin

If InMass.M <> InMass.N Then Exit; //Вышли, так как мартица не квадратная

For I := 0 to InMass.M - 1 Do //пробегаемся по строкам

For J := 0 To InMass.N - 1 do //Пробегаемся по столбцам

OutMass.Mass[I,J] := VS_Minor(I +1, J +1 , InMass); //Получили I, J минор и занесли в массив OutMass

OutMass.M := InMass.M;

OutMass.N := InMass.N;

end;

procedure TMainForm.N6Click(Sender: TObject);

begin

VS_MinorMass(MassA, MassC);

VS_ShowMass('Минор', MassC);

VS_ShowMassToMemo('Минор', MassC);

end;

procedure TMainForm.N7Click(Sender: TObject);

begin

VS_MinorMass(MassB, MassC);

VS_ShowMass('Минор', MassC);

VS_ShowMassToMemo('Минор', MassC);

end;

procedure TMainForm.N8Click(Sender: TObject);

begin

VS_MinorMass(MassC, MassC);

VS_ShowMass('Минор', MassC);

VS_ShowMassToMemo('Минор', MassC);

end;

procedure TMainForm.lll1Click(Sender: TObject);

begin

IF VS_IfMassEq(MAssA, MAssB)

Then

BEgin

VS_VerMass(MAssA, MAssB);

VS_InitMassPErebor;

VS_Init2xMassPerebot ;

VS_SortMassPerebor;

VS_GetMAssForDet;

ResultMemo.Lines.Add('Итого по форуме Коши - Бине: ' + FloattoStr(VS_GetKoshi_Bine))

end

Else ResultMemo.Lines.Add('Матрицы не равны')

end;

procedure TMainForm.VS_InitMassPErebor;

//Создаем массив переборов для вычесления Детерминант формулы Коши-Бине

// Все действия делаются над массивом MAssP

Var

I, J, Curr : Integer;

begin

Curr := 0; //Текущий элемент массива

SetLength(MassP, MassA.N * MassA.M); //Установили размерность

For I := 0 to MassA.M -1 do //Пробегаемся по строкам

For J := 0 to MassA.N -1 do //Пробегаемся по столбцам

Begin

MassP[Curr] := J +1; //Заполняем массив строками-перестановками/столбцами-перестановками

Inc(Curr); //Перешли к след. элеенту массива

end;

//VS_SortMassPerebor

end;

procedure TMainForm.VS_GetMAssForDet;

//Формуриуем массив для вычисления Дет.

//Данные перестановки уже должны хранится в массиве MassP

//т. е уже нужно иметь Массив А и уже должна быть выполнена VS_InitMassPErebor;

Var I, J : Integer;

Det : Real;

SA, SB : String;

TempB,

TempA : TVS_MassData; //Н*М мерный массив миноров

begin

ResultMemo.Lines.Add('Переборы: ');

SetLength(TempA.Mass, MAssA.M, MAssA.M);

SetLength(TempB.Mass, MAssB.N, MAssB.N);

SetLength(DetA, MassA.N);

SetLength(DetB, MassB.M);

TEmpA.M := MAssA.M;

TEmpA.N := MAssA.M;

TEmpB.M := MAssB.N;

TEmpB.N := MAssB.N;

For I := 0 to MassPer.M - 1 do //пробегаемся по строкам

Begin

SA:= IntToStr(I +1) + 'A) ';

SB:= IntToStr(I +1) + 'B) ';

For J := 0 to MassPer.N - 1 do //Пробегаемся по всем столбцам -1

begin

SA:= SA + FloatToStr(MassPer.Mass[I, J]) + ' ';

SB:= SB + FloatToStr(MassPer.Mass[I, J]) + ' ';

VS_GenerateColMinorData(J, Trunc(MassPer.Mass[I, J]), TempA);

VS_GenerateRowMinorData(J, Trunc(MassPer.Mass[I, J]), TempB);

end;{For J := 0 to MassPer.N - 1 do //Пробегаемся по всем столбцам -1}

ResultMemo.Lines.Add('');

ResultMemo.Lines.Add(SA);

VS_ShowMassToMemo('', TempA, False);

DetA[I] := VS_Det(TempA);

ResultMemo.Lines.Add('DetA = ' + FloatToStr(Deta[I]));

ResultMemo.Lines.Add('');

ResultMemo.Lines.Add(SB);

VS_ShowMassToMemo('', TempB, False);

DetB[I] := VS_Det(TempB);

ResultMemo.Lines.Add('DetB = ' + FloatToStr(DetB[I]));

end;{For I := 0 to MassPer.M - 1 do //пробегаемся по строкам}

end;

procedure TMainForm.VS_GenerateColMinorData(CurCol, Col: Integer;

var inMass: TVS_MassData);

//Формируем массив минор для КоШИ_БИНЕ

//На входе

//CurCol - номер столбюца в новом массиве

//COl - номер столбца для массива, с которого будем брать значения

//InMass - массив, в который будем заносить значения

Var I : Integer;

begin

For I := 0 To MassA.M -1 do

inMass.Mass[I, CurCol] := MassA.Mass[I, Col -1];

end;

procedure TMainForm.VS_SortMassPerebor;

//Сортируем элементы массива переборов для правильного вычисления миноров

Var

K, I, J, Curr : Integer;

Rez : Real;

begin

For I := 0 to MassPer.M - 1 do //пробегаемся по строкам

For J := 0 to MassPer.N - 2 do //Пробегаемся по всем столбцам -1

For K := J + 1 to MassPer.N - 1 do

If MassPer.Mass[I, j] > MassPer.Mass[I, K] Then //Текущий элемент больше следующего - меняем местами

Begin

REz := MassPer.Mass[I, j];

MassPer.Mass[I, j] := MassPer.Mass[I, K];

MassPer.Mass[I, K] := Rez;

end;

end;

procedure TMainForm.VS_Init2xMassPerebot;

//Формируем 2хмерный массив переборов

//На выходе будет M*N мерный массив переборов (не сортированый)

Var I, J, Curr, CurCol, CurRow : Integer;

Det : Real;

S : String;

begin

Curr := 0; //Текущий элемент в массиве MassP

SetLEngth(MassPer.Mass, MassA.N, MassA.M); //Установвили размерность массива перестановок

MassPer.M := MassA.N; //Задали размерность

MassPer.N := MassA.M; //Задали размерность

CurRow := 0; //Текущая строка нового массива

For I := 0 to MassA.N -1 Do //Запускаем по строкам

begin

CurCol := 0; // Текущий столбец/строка нового массива

For J := 0 to MassA.M - 1 do

Begin

MassPer.Mass[CurRow, CurCol] := MassP[Curr];

Inc(Curr); //Перешли к новому элементу массива MassP

Inc(CurCol); //Перешли к нововму столбцу нового массива

end; {For J := 0 to MassA.M - 1 do}

Inc(CurRow); //Перешли к новой строке нового массива

end;{For I := 0 to MassA.N -1 Do //Запускаем}

end;

procedure TMainForm.VS_GenerateRowMinorData(CurCol, Col: Integer;

var InMass: TVS_MassData);

//Формируем массив минор для КоШИ_БИНЕ

//На входе

//CurCol - номер столбюца в новом массиве

//COl - номер столбца для массива, с которого будем брать значения

//InMass - массив, в который будем заносить значения

Var I : Integer;

begin

For I := 0 To MassB.N -1 do

inMass.Mass[CurCol, I ] := MassB.Mass[Col -1,I];

end;

Function TMainForm.VS_GetKoshi_Bine: Real;

//Вычисляем формулу Коши-Бине

// ьПеред вызовом должны быть выполнены след. условия:

//1 - введен масив а и б

//выполнены след. процедуры

//VS_InitMassPErebor;

//VS_Init2xMassPerebot ;

//VS_SortMassPerebor;

//VS_GetMAssForDet

//

Var I : Integer;

S : String;

begin

Result := 0;

S := '';

For I := 0 to MassA.N - 1 do

Begin

REsult := REsult + DetA[I] * Detb[I];

S := S + ' (' + FloattoStr(DetA[I])+ ')*(' + FloattoStr(DetB[I] ) + ') + ';

end;

ResultMemo.Lines.Add('C = ' + (Copy(S, 1, Length(s) -2)));

end;

function TMainForm.VS_IfMassEq(Massin1, MAssIn2: TVS_MassData): Boolean;

//Сравниваем 2 мартицы

//Получаем True, если

//1. число строк матрицы 1 - числу столбцов матрицы 2

//2. число стоблцов матрицы 1 = числу строк матрицы 2

begin

Result := (Massin1.M = MAssIn2.N) And (Massin1.N = MAssIn2.M)

end;

procedure TMainForm.VS_VerMass(var Massin1, MAssIn2: TVS_MassData);

//Проверяем матрицы

//Если Столбцв матрицы А меньше, чем в Б, меняем матрицы местами

Var TempMass: TVS_MassData;

begin

If Massin1.N < MAssIn2.N Then

Begin

SetLength(TempMass.Mass, MassIn1.M, MassIn1.N);

TempMass := Massin1;

SetLength(Massin1.Mass, MassIn2.M, MassIn2.N);

Massin1 := MAssIn2;

SetLength(Massin2.Mass, TempMass.M, TempMass.N);

MAssIn2 := TempMass;

end;

end;

procedure TMainForm.VS_LoadData(var InMAss: TVS_MassData);

//Загружаем данные из файла в Массив InMAss

Var F : TextFile; //Описали переменную работы с текстовым файлом

RezStr : String;

CurRow,

MaxCol,

MaxRow,

CorCol : Integer;

begin

OpenDialog.DefaultExt := '*.txt'; //Расширение файлов по умочлчанию

OpenDialog.InitialDir := ExtractFilePath(Application.ExeName); //Открываем каталог, в котором запущена наша программа

MaXcol := 0;

;

If OpenDialog.Execute Then

Begin //Если пользователь нажал на ОК и выбрал файл - начинаем загрузку

AssignFile(F, OpenDialog.FileName);

If FileExists(OpenDialog.FileName) Then

Reset(f) //Файл есть, открываем

Else Exit; //Файла нету, выходим

CurRow := 0;

VS_GetRazmOnFile(OpenDialog.FileName, MaxCol, MaxRow);

SetLEngth(InMAss.Mass, MaxRow, MaxCol);

While Not Eof(F) Do

Begin

REadLn(F, RezStr);

VS_InitMassInStr(RezStr, CurRow, InMAss);

// ResultMemo.Lines.Add(RezStr);

Inc(CurRow);

end;{While Not Eof(F) Do}

InMass.M := MaxRow;

InMAss.N := MaxCol;

VS_ShowMassToMemo('Успешно загружен', InMAss);

end;{If OpenDialog.Execute Then}

end;

procedure TMainForm.N9Click(Sender: TObject);

begin

VS_LoadData(MassA);

end;

procedure TMainForm.VS_InitMassInStr(InStr: String; CurRow: Integer;

var InMass: TVS_MassData);

//Формируем строку элементов массива.

Var

N : Integer;

RezStr : String;

CurCol : Integer;

begin

inStr := Trim(InStr); //Удалили пробелы с обоих концов строки

CurCol := 0;

While Length(InStr) > 0 Do

Begin //Запускаем цикл до тех пор, пока строка имеет значения

N := Pos(#32, InStr); //Нашли ближайший пробел

If N <> 0 Then

Begin // Действительно у нас нашелся прьблел

RezStr := Copy(inStr, 1, N);

Delete (inStr,1, N);

RezStr := Trim(RezStr); //Удалили лишние пробелы

Try //Включаем обработку ошибок

InMass.Mass[CurRow, CurCol] := StrtoFloat(RezStr); //Присваиваем элемент массива из строк

except //Если авария

InMass.Mass[CurRow, CurCol] := 0; //Присваиваем элемнту 0

end;

Inc(CurCol);//Перешли к след. стобцу массива

end {If N <> 0 Then}

Else

//Пробела нету, возможно, это последний символ

If Length(InStr)> 0 Then

Begin //Есть значение

Try //Включаем обработку ошибок

InMass.Mass[CurRow, CurCol] := StrtoFloat(InStr); //Присваиваем элемент массива из строк

except //Если авария

InMass.Mass[CurRow, CurCol] := 0; //Присваиваем элемнту 0

end;

Inc(CurCol);//Перешли к след. стобцу массива

InStr := '';

end; {If Length(InStr)> 0 Then}

end;

end;

procedure TMainForm.VS_GetRazmOnFile(FileName: String; var Col,

Row: Integer);

Var F : TextFile; //Описали переменную работы с текстовым файлом

RezStr : String;

begin

Col := 0;

Row := 0;

AssignFile(F, FileName);

Reset(F);

While Not Eof(F) Do

Begin

ReadLn(F, RezStr);

If (Row = 0) And (Length(RezStr)<> 0) Then Col := VS_GetColOnFile(RezStr);

Inc(Row);

end;{While Not Eof(F) Do}

CloseFile(f);

end;

function TMainForm.VS_GetColOnFile(InStr: String): Integer;

Var

N : Integer;

RezStr : String;

begin

inStr := Trim(InStr); //Удалили пробелы с обоих концов строки

Result := 0;

While Length(InStr) > 0 Do

Begin //Запускаем цикл до тех пор, пока строка имеет значения

N := Pos(#32, InStr); //Нашли ближайший пробел

If N <> 0 Then

Begin // Действительно у нас нашелся прьблел

RezStr := Copy(inStr, 1, N);

Delete (inStr,1, N);

RezStr := Trim(RezStr); //Удалили лишние пробелы

Inc(Result);//Перешли к след. стобцу массива

end {If N <> 0 Then}

Else

//Пробела нету, возможно, это последний символ

If Length(InStr)> 0 Then

Begin //Есть значение

Inc(Result);//Перешли к след. стобцу массива

InStr := '';

end; {If Length(InStr)> 0 Then}

end;

end;

procedure TMainForm.N10Click(Sender: TObject);

begin

VS_LoadData(MassB);

end;

end.