Реферат: Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Содержание

Введение

I. Постановка основной задачи теории аппроксимации

1.1. Основная теорема аппроксимации в линейном нормированном пространстве

1.2. Теорема аппроксимации в пространстве Гильберта

1.3. Первая теорема Вейерштрасса

1.4. Вторая теорема Вейерштрасса

II. Круг идей П.Л. Чебышева

2.1. Теорема Валле-Пуссена и теорема существования

2.2. Теорема Чебышева

2.3. Переход к периодическим функциям

2.4. Обобщение теоремы Чебышева

III. Методы аппроксимации

3.1. Приближение функции многочленами

3.2. Формула Тейлора

3.3. Ряды Фурье

Заключение

Литература

Введение

Элементы важной и интересной области математики- теория приближения функций. Под приближением функции понимают замену по определенному правилу одной функции другой, близкой к исходной в том или ином смысле. Практическая необходимость в такой замене возникает в самых различных ситуациях, когда данную функцию необходимо заменить более простой и удобной для вычислений, восстановить функциональную зависимость по экспериментальным данным, и т.п.

Основоположником теории аппроксимации функций является великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894).

В качестве приближающих функций выбирают чаще всего алгебраические и тригонометрические многочлены. Так же важное значение имеет метод наилучшего приближения, предложенный Чебышевым. Он возник из решения практических задач, связанных с конструированием прямолинейно направляющих шарнирных механизмов. Такие механизмы в XIX веке использовались в паровых машинах- основных универсальных двигателях того времени- для поддержания прямолинейного движения поршневого штока. К ним относятся параллелограмм Уатта и некоторые его разновидности.

На дальнейшее развитие этой теории оказало влияние открытие, сделанное в конце XIX века немецким математиком Карлом Вейерштрассом. Им была доказана принципиальная возможность приближения произвольной непрерывной функции с любой заданной степенью точности алгебраическим многочленом, что явилось второй причиной применения этих многочленов как универсального средства приближения функций, с заданной сколь угодно малой ошибкой.

Кроме алгебраических многочленов, другим средством приближения функций являются тригонометрические многочлены, значение которых в современной математике, конечно, не исчерпывается указанной ролью.

I. Постановка основной задачи аппроксимации

Основную задачу теории аппроксимации можно сформулировать следующим образом: на некотором точечном множествеАппроксимация непрерывных функций многочленами в пространстве произвольного числа измерений заданы 2 функции f(P) и F(P,A1,A2...An) от точки P, из которых вторая зависит ещё от некоторого числа параметров А1,А2...Аn; эти параметры требуется определить так, чтобы уклонение вАппроксимация непрерывных функций многочленами функции F(P,A1,A2...An) от функции f(P) было наименьшим. При этом, конечно, должно быть указано, что понимают под уклонением F от f или, как ещё принято говорить, под расстоянием между F и f.

Если, например, рассматриваются ограниченные функции, то в качестве расстояния между двумя функциями можно взять верхнюю грань вАппроксимация непрерывных функций многочленами модуля их разности. При таком определении расстояния для совокупности всех ограниченных вАппроксимация непрерывных функций многочленами функций оказываются справедливыми многие соотношения, которые мы имеем для точек обычного 3х-мерного пространства.

Последнее обстоятельство, с которым постоянно приходится сталкиваться в математике при рассмотрении других классов функций и многих иных совокупностей (множеств), привело к созданию весьма важного понятия метрического пространства, так что при дальнейшем изложении совокупностьАппроксимация непрерывных функций многочленами - это метрическое, либо Гильбертово пространство.

1.1. Основная теорема аппроксимации линейном нормированном пространстве

Пусть Е- произвольное нормированное пространство, пусть g1,g2...gn- n линейно- независимых элементов из Е. Основную задачу аппроксимации применительно к рассматриваемому нами “линейному случаю” можно сформулировать следующим образом: дан элемент хАппроксимация непрерывных функций многочленамиЕ, требуется определить числаАппроксимация непрерывных функций многочленами...Аппроксимация непрерывных функций многочленами так, чтобы величинаАппроксимация непрерывных функций многочленами получила наименьшее значение.

Докажем, что требуемые значения чиселАппроксимация непрерывных функций многочленами существуют.

Предварительно заметим, чтоАппроксимация непрерывных функций многочленами- есть непрерывная функция своих аргументов. Действительно, в силу неравенства треугольника:

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Введём теперь вторую непрерывную функцию:

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

На “сфере”Аппроксимация непрерывных функций многочленами, которая является ограниченным замкнутым множеством точек в n-мерном конечном Евклидовом пространстве, функцияАппроксимация непрерывных функций многочленами по известной теореме Вейерштрасса имеет некоторый минимумАппроксимация непрерывных функций многочленами.

Неотрицательное числоАппроксимация непрерывных функций многочленами)- нижняя грань значения функцийАппроксимация непрерывных функций многочленами. Если

Аппроксимация непрерывных функций многочленами, то

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Желая найти минимум функцииАппроксимация непрерывных функций многочленами, мы можем ограничиться рассмотрением только значенийАппроксимация непрерывных функций многочленами, для которыхАппроксимация непрерывных функций многочленами, т.е. рассмотрением функцииАппроксимация непрерывных функций многочленами в ограниченной замкнутой области, а в такой области непрерывная функция имеет минимум.

Итак, существование линейной комбинацииАппроксимация непрерывных функций многочленами, дающей наилучшую аппроксимацию элемента х, доказано.

Строго нормированное пространство.

Возникает вопрос, когда выражениеАппроксимация непрерывных функций многочленами, дающее наилучшую аппроксимацию элемента х, будет единственным дляАппроксимация непрерывных функций многочленами?

Указанная единственность во всяком случае имеет место тогда, когда пространство Е строго нормировано, т.е. когда в неравенствеАппроксимация непрерывных функций многочленами знак “=” достигается только приАппроксимация непрерывных функций многочленами.

В самом деле, допуская, что пространство Е строго нормировано, предположим, что элемент х имеет два выражения:Аппроксимация непрерывных функций многочленами иАппроксимация непрерывных функций многочленами наилучшего приближения, причём g1,g2...gn линейно независимы.

Аппроксимация непрерывных функций многочленами где, как легко видеть, можно принять, чтоАппроксимация непрерывных функций многочленами и, посколькуАппроксимация непрерывных функций многочленами, то

Аппроксимация непрерывных функций многочленами, и, значит,

Аппроксимация непрерывных функций многочленамиАппроксимация непрерывных функций многочленамиАппроксимация непрерывных функций многочленами

Следовательно, в силу строгой нормированности пространства:Аппроксимация непрерывных функций многочленами.

В этом соотношенииАппроксимация непрерывных функций многочленами должно =1, т.к. в противном случае элемент х был бы линейной комбинацией элементов g1,g2...gn и, значит, было быАппроксимация непрерывных функций многочленами. Но еслиАппроксимация непрерывных функций многочленами=1, то

Аппроксимация непрерывных функций многочленами и, значит,Аппроксимация непрерывных функций многочленами, т.к. элементы g1,g2...gn линейно независимы. Таким образом, рассматриваемые выражения- тождественны.

Примером строго нормированного пространства является пространство Н, а также Lp при р>1, но пространства С и L не являются строго нормированными.

Действительно, возьмём интервал [-1,1] и две линейно независимые функции x(t) и y(t)Аппроксимация непрерывных функций многочленами)=arg y(Аппроксимация непрерывных функций многочленами).

Тогда очевидно,Аппроксимация непрерывных функций многочленами. Чтобы доказать, чтоАппроксимация непрерывных функций многочленамине есть строго нормированное пространство, достаточно взять x(t)=1, приАппроксимация непрерывных функций многочленами и x(t)=0, при t<0 ,а y(t)=1-x(t).

Геометрическая интерпретация.

Проблема, существование решения которой мы ранее доказали, допускает полезную геометрическую интерпретацию. Действительно, совокупность точек видаАппроксимация непрерывных функций многочленами, где зафиксированные элементы g1,g2...gnАппроксимация непрерывных функций многочленами линейно независимы, а a1,a2...anпробегают всевозможные комплексные числа, представляют некоторое линейное многообразиеАппроксимация непрерывных функций многочленами в том смысле, что изАппроксимация непрерывных функций многочленами следует, что Аппроксимация непрерывных функций многочленами при произвольных комплексныхАппроксимация непрерывных функций многочленами. Это линейное многообразие, очевидно, является пространством, так как оно содержит точку 0. При n=1 мы получаем “прямую”; при n=2- “плоскость”, а вообще- “n- мерную плоскость”.

Наша проблема, таким образом, состояла в нахождении точки конечномерного подпространства G пространства E, которая от заданной точки хАппроксимация непрерывных функций многочленами находится на кратчайшем расстоянии (в метрике пространства Е). Мы доказали, что такая точка в G существует.

Если само пространство Е не является конечномерным, т.е. если в нём имеется сколько угодно линейно независимых между собой векторов, то Е содержит бесконечномерные подпространства. Пусть G- такое подпространство.

Возникает вопрос, существует ли в G точка, наименее удалённая от заданной точкиАппроксимация непрерывных функций многочленами. Заметим, если пространство Е строго нормировано, то в G во всяком случае не может существовать более одной точки, наименее удалённой от данной точкиАппроксимация непрерывных функций многочленами.

1.2. Теоремы аппроксимации в пространстве Н.

Пусть G- некоторое подпространство пространства Гильберта Н, и пусть точка xАппроксимация непрерывных функций многочленами- точка, не принадлежит G. Если в G существует точка y, наименее удалённая от x, то вектор x-y ортогонален к каждому вектору g из G, т.е. (x-y, g)=0,Аппроксимация непрерывных функций многочленами. Чтобы доказать это утверждение, предположим, что в G существует вектор f, для которогоАппроксимация непрерывных функций многочленами, и рассмотрим векторАппроксимация непрерывных функций многочленами.

ИмеемАппроксимация непрерывных функций многочленамии, значит:Аппроксимация непрерывных функций многочленами, а это противоречит предположению, что y- есть наименее удалённая точка от x подпространства G. Вектор y из G, обладающий тем свойством, что разность x-y ортогональна к G, естественно назвать проекцией x на G.

В этом случае, когда подпространство конечномерно и образовано линейно независимыми векторами g1,g2...gn, мы можем, пользуясь доказанными предложениями, фактически найти вектор y=Аппроксимация непрерывных функций многочленами, наименее уклоняющийся от вектора x. Действительно, вектор y- есть проекция x на G и, значит, он должен удовлетворять уравнениям:

Аппроксимация непрерывных функций многочленами (k=1,2...n) (1), которые в подробной записи имеют вид:

Аппроксимация непрерывных функций многочленами (2)

и представляют систему линейных уравнений, для нахождения коэффициентовАппроксимация непрерывных функций многочленами.

Детерминант этой системы, т.е.

Аппроксимация непрерывных функций многочленами ,

носит название детерминанта Грама системы векторов g1,g2...gn.

Так как пространство Н строго нормировано, а векторы gi линейно независимы, то при любом векторе x система (2) имеет одно и только одно решение. Отсюда вытекает, что детерминант Грама линейно независимых векторов всегда отличен от нуля.

Найдём ещё выражение для квадрата погрешности, с которой вектор y аппроксимирует вектор x, т.е. для величиныАппроксимация непрерывных функций многочленами.

В силу (1), имеем равенство

Аппроксимация непрерывных функций многочленами или

Аппроксимация непрерывных функций многочленами.

Присоединяя это уравнение к системе (2) и исключаяАппроксимация непрерывных функций многочленами, найдём, что

Аппроксимация непрерывных функций многочленами , откудаАппроксимация непрерывных функций многочленами.

Итак, мы нашли:Аппроксимация непрерывных функций многочленами (3)

Из этого соотношения, и из того, что G(g1)=(g1,g1)>0 Аппроксимация непрерывных функций многочленами вытекает, что детерминант Грама всегда больше либо равен нулю, причём он обращается в нуль тогда и только тогда, если между векторами есть линейная зависимость (в частности, если один из векторов равен нулю).

1.3. Первая теорема Вейерштрасса.

Мы рассмотрели теорему аппроксимации в произвольном линейном нормированным пространстве Е. Теперь рассмотрим пример линейного нормированного пространства- пространство С.

Пространство С: совокупность всех непрерывных функций x=x(P) от точки Р в ограниченном замкнутом множествеАппроксимация непрерывных функций многочленами обычного пространства любого числа измерений- это есть линейное нормированное пространство.

Из теоремы в применении к пространству вытекает следующий факт: пусть f(x)- непрерывная функция в конечном интервале [a,b]; тогда при любом n существует полиномАппроксимация непрерывных функций многочленами, который среди полиномов n-й степени наименее уклоняется от f(x), в том смысле, чтоАппроксимация непрерывных функций многочленами, где Qn(x)- произвольный полином n-й степени. Ясно, чтоАппроксимация непрерывных функций многочленами.

Теперь докажем, чтоАппроксимация непрерывных функций многочленами приАппроксимация непрерывных функций многочленами. Это утверждение и составляет содержание теоремы Вейерштрасса (1885), которая гласит:

если f(x) непрерывна в конечном замкнутом интервале [a,b], то всякомуАппроксимация непрерывных функций многочленами), для которого во всём интервале [a,b] имеет место неравенствоАппроксимация непрерывных функций многочленами.

Не нарушая общности, примем, что а=0, b=1. Приведём доказательство С.П.Бернштейна.

Для этого построим полиномАппроксимация непрерывных функций многочленами,Аппроксимация непрерывных функций многочленами и докажем, что равномерно во всём интервале [0,1]Аппроксимация непрерывных функций многочленами. Напишем тождества:

Аппроксимация непрерывных функций многочленами (1);Аппроксимация непрерывных функций многочленами, из которых последите два получаются дифференцированием по р соотношения:

Аппроксимация непрерывных функций многочленами. Из написанных тождеств вытекает, чтоАппроксимация непрерывных функций многочленами (2).

Умножая (1) на f(x) и отнимая Bn(x), получим, что

Аппроксимация непрерывных функций многочленами, где суммирование в распространено на те значения к, для которыхАппроксимация непрерывных функций многочленами, а суммирование вАппроксимация непрерывных функций многочленами- на остальные значения к.

Так как f(x) непрерывна в замкнутом интервале [0,1], и, значит, ограничена:Аппроксимация непрерывных функций многочленами во всём этом интервале, тоАппроксимация непрерывных функций многочленами

А это выражение на основании (2):Аппроксимация непрерывных функций многочленами, гдеАппроксимация непрерывных функций многочленами, и, значит,Аппроксимация непрерывных функций многочленами приАппроксимация непрерывных функций многочленами.

Окончательно:Аппроксимация непрерывных функций многочленами, что и доказывает теорему Вейерштрасса.

Заметим, что если Pn(x) равномерно стремится к f(x) приАппроксимация непрерывных функций многочленами, то f(x) разлагается в равномерно сходящийся ряд.

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Поэтому т. Вейерштрасса состоит так же в том, что всякая непрерывная в конечном интервале [a,b] функция f(x) может быть разложена в равномерно сходящийся приАппроксимация непрерывных функций многочленами ряд, члены которого- полиномы.

1.4. Вторая теорема Вейерштрасса.

Она относится к периодическим непрерывным функциям:

Если F(t)- непрерывная функция с периодом 2Аппроксимация непрерывных функций многочленами, то каково бы ни было числоАппроксимация непрерывных функций многочленами), которая для всех t удовлетворяет неравенству:

Аппроксимация непрерывных функций многочленами.

II. Круг идей П.Л. Чебышева.

Пусть даны замкнутый (конечный или бесконечный) интервал [a,b] числовой оси и две вещественные непрерывные в [a,b] функции f(x) и S(x). Составим выражение:Аппроксимация непрерывных функций многочленами (*), где m и n заданы и поставим задачу найти вещественные параметры p0,p1...pm; q0,q1...qn так, чтобы уклонениеАппроксимация непрерывных функций многочленами Q(x) от f(x) было наименьшим.

В частном случае, когда S(x)=1, m=0 и интервал [a,b] конечен, поставленная задача переходит в задачу о наилучшем приближении в пространстве С заданной функции с помощью многочлена степени n.

Будем полагать, что m=n-k, кроме того, если интервалом [a,b] является вся числовая ось, мы будем предполагать, чтоАппроксимация непрерывных функций многочленами и будем рассматривать только те функции, для которыхАппроксимация непрерывных функций многочленами, m условимся считать чётным.

2.1 Обобщённая теорема Валле-Пуссена.

Если многочленыАппроксимация непрерывных функций многочленами;Аппроксимация непрерывных функций многочленами, гдеАппроксимация непрерывных функций многочленами иАппроксимация непрерывных функций многочленами,Аппроксимация непрерывных функций многочленами, не имеют общего делителя , а выражениеАппроксимация непрерывных функций многочленами в интервале [a,b] остаётся конечным и если разность f(x)-R(x) принимает в последовательных точках x1<x2<...<xn интервала [a,b], отличные от значенияАппроксимация непрерывных функций многочленами с чередующимися знаками, N=m+n-d+2,Аппроксимация непрерывных функций многочленами, то для каждой функцииАппроксимация непрерывных функций многочленами имеет место неравенство: Аппроксимация непрерывных функций многочленами, гдеАппроксимация непрерывных функций многочленами. Это же неравенство имеет место, если R(x)=0 и N=n+2.

Значение этой теоремы состоит в том, что она даёт возможность получить для погрешности наилучшего приближения некоторую оценку снизу.

Теорема существования.

Среди функций Q(x) существует по крайней мере одна, для которой HQ имеет наименьшее значение.

Т.о., пусть НАппроксимация непрерывных функций многочленами- есть нижняя грань множества всех HQ. По определению, следовательно, существует бесконечная последовательность функций Qi(x), для которойАппроксимация непрерывных функций многочленами.

2.2. Теорема Чебышева.

Функция Р(х), которая из всех функций вида Q(x) наименее уклоняется в [a,b] от функции f(x), единственна.

Эта функция вполне характеризуется таким своим свойством, если она приведена к видуАппроксимация непрерывных функций многочленами, а если P(x)=0, тоАппроксимация непрерывных функций многочленами.

Теорема Чебышева показывает, что существует единственная функция P(x), дающая наилучшее приближение к данной функции f(x) (т.е. наименее отклоняется от f(x)) в данном нормированном пространстве.

Случай аппроксимации многочленами.

Особенно важным является частный случай, когда S(x)=1, m=0 и интервал [a,b] конечен. В этом случае мы получаем теорему:

многочлен n-й степени P(x), который наименее уклоняется (в метрике пространства С) от заданной непрерывной функции f(x), единственен и вполне характеризуется тем, что число последовательных точек интервала [a,b], в которых разность f(x)-P(x) принимает с чередующимися знаками значениеАппроксимация непрерывных функций многочленами не меньше, чем n+2.

2.3 Переход к периодическим функциям.

Допустим, чтоАппроксимация непрерывных функций многочленами- есть непрерывная периодическая функция с периодомАппроксимация непрерывных функций многочленами, которую нужно наилучшим образом аппроксимировать на всей оси при помощи тригонометрической суммы:Аппроксимация непрерывных функций многочленами порядка n. Сделаем замену переменнойАппроксимация непрерывных функций многочленами так, что интервалуАппроксимация непрерывных функций многочленами будет соответствовать интервалАппроксимация непрерывных функций многочленами.

Т.к.Аппроксимация непрерывных функций многочленами) при помощи выражения вида:Аппроксимация непрерывных функций многочленами. Выражение W2n(x) можно рассматривать как частный случай выражения Q(x), если положить m=0,Аппроксимация непрерывных функций многочленами. Легко видеть, что общие теоремы применимы, и теорема Чебышева гласит:

тригонометрическая сумма n-го порядкаАппроксимация непрерывных функций многочленами), в которых разностьАппроксимация непрерывных функций многочленами| не меньше, чем 2n+2.

Одну и ту же функцию f(x) в (0,Аппроксимация непрерывных функций многочленами) можно разложить в ряд по sin, по cos, по sin и cos, т.к. если f(x) определена на (0,Аппроксимация непрерывных функций многочленами), то доопределить f(x) наАппроксимация непрерывных функций многочленами можно бесконечным множеством способов. Следовательно, задача о разложении f(x) в ряд имеет бесчисленное множество решений. Из всех этих решений выделяются 2:

Если f(x) доопределить чётным образом, то получим ряд только по cos кратных дуг;

Если f(x) доопределить нечётным образом, то получим ряд только по sin.

Пример: f(x)=x наАппроксимация непрерывных функций многочленами

Аппроксимация непрерывных функций многочленами ,Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Аппроксимация непрерывных функций многочленамиАппроксимация непрерывных функций многочленами;

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Аппроксимация непрерывных функций многочленами;

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Для sin аналогично, только f(x)- нечётная.

2.4 Обобщение теоремы Чебышева.

Мы рассмотрели алгебраические и тригонометрические многочлены на некотором интервале и сформулировали для них теорему Чебышева об аппроксимации этих функций. Теперь рассмотрим произвольную, непрерывную на [a,b] вещественную функцию.

Рассмотрим систему вещественных непрерывных функций f1(x),f2(x)...fn(x) в конечном или бесконечном интервале [a,b], которая удовлетворяет условиям Хаара: единственность полинома наименьшего уклонения для каждой функции f(P) будет тогда и только тогда, когда каждый полином F(P,x)Аппроксимация непрерывных функций многочленами0 имеет в ограниченном замкнутом точечном множествеАппроксимация непрерывных функций многочленами не более n-1 различных нулей.

Такую систему называют системой Чебышева относительно интервала [a,b].

Лемма: Пусть x1,x2...xn-1 произвольно взятые различные точки из интервала [a,b]. В таком случае существует (и с точностью до постоянного множителя только 1) нетривиальный полиномАппроксимация непрерывных функций многочленами, который имеет своими нулями следующие точки:

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Других нулей у этого полинома нет, и, если т. xk лежит внутри [a,b], то при переходе через неё полином F(x,Аппроксимация непрерывных функций многочленами) меняет знак.

Обобщение: Если S- есть система Чебышева относительно интервала [a,b], а f(x)- произвольная непрерывная в [a,b] вещественная функция, то полином F(x,Аппроксимация непрерывных функций многочленами), который в метрике С наименее уклоняется в [a,b] от f(x) вполне определяется тем, что разностьАппроксимация непрерывных функций многочленами принимает с чередующимися знаками своё максимальное значение по крайней мере в n+1 последовательных точках интервала [a,b].

Теперь мы можем рассматривать функции в произвольных нормированных пространствах.

III. Методы аппроксимации 3.1 Приближение функций многочленами.

Алгебраическим многочленом степени n называется функцияАппроксимация непрерывных функций многочленами- действительные числа, называемые коэффициентами.

Алгебраические многочлены являются простейшими функциями. Они непрерывны при любом x. Производная многочлена- так же многочлен, степень которого на единицу меньше степени исходного. Так, если степень n, тоАппроксимация непрерывных функций многочленами.

В школьном курсе математики рассматриваются функции f(x)=ax, f(x)=logax, f(x)=sin(x) и др., изучаются их свойства, строятся графики. Однако вопрос о методах вычисления значений названных функций при заданных значениях аргумента не рассматривается. Вместе с тем, он очень важен. Познакомимся с методами приближения функций, или методами аппроксимации.

3.2 Формула Тейлора.

Рассмотрим функцию y=f(x), определённой на некотором промежутке, содержащим т.а. Предположим, что эта функция имеет производные (n+1)-го порядка.Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Уравнение касательной к графику функции в т. х=а имеет вид:Аппроксимация непрерывных функций многочленами.

Многочлен 1-й степени:Аппроксимация непрерывных функций многочленами в т. х=а совпадает со значением f(x) в этой точке: P1(a)=f(a). Многочлен в т. х=а имеет то же значение производной, что и функция. Действительно, P1'(x)=f'(a), следовательно, P1'(а)=f'(a). График многочлена Р1(х) касается графика функции y=f(x) в т. М0(а,f'(a)).

Можно найти многочлен 2-й степени, а именно:Аппроксимация непрерывных функций многочленами, который в т. х=а будет иметь с функцией y=f(x) общее значение и одинаковые значения как первых, так и вторых производных. График многочлена Р2(х) вблизи т. х=а ещё теснее будет прилегать к графику функции y=f(x) по сравнению с графиком многочлена Р1(х).

Естественно ожидать, что многочлен, имеющий при х=а первые n производных, одинаковых с соответствующими производными функции f(x) в той же точке, при х, близких к а, будет хорошо приближать f(x). В этом случае вместо f(x) можно рассматривать указанный многочлен, а для приближённого вычисления f(x) при заданном х достаточно вычислить его значения при том же х.

Этот многочлен получают в результате решения следующей задачи: для функции f(x), имеющей в окрестности т. х=а производные до порядка n+1 включительно, найти многочлен Рn(x) степени не выше n такой, что Pn(a)=f(a); Pn'(a)=f'(a); Pn''(a)=f''(a);... Pn(n)(a)=f(n)(a).

Эти равенства означают, что в т. х=а значения многочлена Рn(x) и функции y=f(x), а так же их соответствующих производных совпадают. Многочлен Pn(x) представим в виде:Аппроксимация непрерывных функций многочленами. КоэффициентыАппроксимация непрерывных функций многочленами определяются, предварительно найдя его производные:

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

......................................

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Подставляя в формулы значения х=а, получим:

Аппроксимация непрерывных функций многочленамиАппроксимация непрерывных функций многочленами...Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Из этих равенств находим, что

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Получаем искомый многочлен:

Аппроксимация непрерывных функций многочленами.

Обозначим через rn(x) разность между функцией f(x) и многочленом Pn(x).

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Величину rn(x) называет остаточным членом. Видно, что при тех же значениях х, для которых rn(x) достаточно мал, вместо f(x) можно рассматривать многочлен Pn(x).

Оценим величину остаточного члена rn(x). Запишем его в виде

Аппроксимация непрерывных функций многочленами ,

где Q(x)- функция, которую нужно определить. Формула примет вид:

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

При фиксированных значениях а и х функция Q(x) имеет определённые значения, которые обозначаются через Q.

Рассмотрим вспомогательную функцию переменной t (a<t<x)

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Применяя правила дифференцирования алгебраической суммы и произведения двух функций, находим производную функции F(t) по аргументу t.(x и а- фиксированные, следовательно, f(x)- постоянная).

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Приведя подобные слагаемые, получим:

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Из формулы функции F(t) видно, что F(x)=0 и F(a)=0. Воспользуемся свойством дифференцируемой функции:

Если дифференцируемая функция f(x) обращается в нуль при х=а и х=b, f(a)=0, f(b)=0, (aАппроксимация непрерывных функций многочленамиb), то между точками а и b найдётся по крайней мере одна т.с, в которой равна нулю производная данной функции: f'(c )=0. (т. Ролля).

Геометрически это означает, если в т. а и b f(a)=0 и f(b)=0, тоАппроксимация непрерывных функций многочленамитакое, что в т. С(с,f(c )) касательная к графику y=f(x) параллельна оси ОХ.

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Корнем или нулём функции называют такое значение аргумента х0 , при котором функция f(x0)=0.

С учётом этого понятия указанное свойство можно сформулировать так: между двумя различными корнями дифференцируемой функции находится хотя бы один корень её производной (т. Ролля).

Поскольку F(x)=0 и F(a)=0, то к функции F(t) можно применить свойство:Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Так как с заключено между а и х, то его можно представить в видеАппроксимация непрерывных функций многочленами

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Говорят, что это равенство выражает остаточный член формулы в форме Лагранжа. Подставим его в формулу:

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Эту формулу называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Если а=0, тоАппроксимация непрерывных функций многочленамиАппроксимация непрерывных функций многочленами

Формула Тейлора для функций sinx, cosx, ex

Выведем формулы Тейлора для элементарных функций f(x)=sinx, f(x)=cosx, f(x)=ex.

Рассмотрим функцию f(x)=sinx. Найдём производную n+1- го порядка.

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Вычислим значение функции и её производной при х=0.

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Подставим эти значения в формулу Тейлора:

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

2.Аналогично находим формулу Тейлора для f(x)=cosx.

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

3.Рассмотрим функцию f(x)=ex.

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

4.Рассмотрим функцию f(x)=(a+x)n ,Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Эту формулу называют биномом Ньютона. Отметим частные случаи:

n=2 (a+x)2=a2+2ax+x2

n=3 (a+x)3=a3+3a2x+3ax2+x3

Приближение функций sinx, cosx, ex алгебраическими многочленами.

В формуле Тейлора для sinx положим n=2m-1

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Остаточный член этой формулы имеет вид:

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Оценим его модуль. Поскольку

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Отбрасывая остаточный член, получим приближённо:

Аппроксимация непрерывных функций многочленами.

Она может быть применена для вычисления значений функции f(x)=sinx при заданных значениях аргумента х. Эти вычисления сводятся к вычислениям значений алгебраического многочлена степени 2m-1Аппроксимация непрерывных функций многочленами. Следовательно, вместо функции f(x)=sinx можно рассматривать алгебраический многочлен, который приближённо заменяет её. Говорят, что указанный многочлен приближает данную функцию. Оценка такого приближения определяется формулой:Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Полагая n=2m в формуле для cosx, аналогично:Аппроксимация непрерывных функций многочленами , погрешность Аппроксимация непрерывных функций многочленами.

Например, для приближённой формулыАппроксимация непрерывных функций многочленами

В случае функции f(x)=ex, получаем:Аппроксимация непрерывных функций многочленами

В общем случае, отбросив остаточный член, получим приближённую формулу:Аппроксимация непрерывных функций многочленами.

Она позволяет заменить данную функцию алгебраическим многочленом n-й степени:

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Ряд Тейлора.

Обратимся к формуле (1). Разность между функцией f(x) и её многочленом в правой части называют отклонением, которое выражается остаточным членом rn(x).Если в формуле рассматривать всё больше и больше членов, то может оказаться, что отклонение стремится к нулю, но не для всякой функции и не для любого значения х. Однако существует широкий класс функций, для которых остаточный член действительно стремится к нулю приАппроксимация непрерывных функций многочленами, по крайней мере для значений, заполняющих некоторый промежуток, содержащий т.а. Именно для таких функций формула Тейлора позволяет вычислить f(x) с любой степенью точности. ЕслиАппроксимация непрерывных функций многочленами, то из формулы Тейлора следует:Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Число слагаемых является неограниченным. Выражение в правой части формулы называют рядом Тейлора, а функцию f(x)- суммой этого ряда.

Ряд Тейлора можно записать в таком виде:

Аппроксимация непрерывных функций многочленами, при а=0Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Выражение в правой части этой формулы называют рядом Маклорена. Получаем:

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Условие сходимости:

Для разложения f(x) в степенной ряд (т.е. в ряд Тейлора), необходимо и достаточно, чтобы предел остаточного члена формулы Тейлора был равен нулю:Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Степенной ряд сходится при любых х или говорят, что его областью сходимости является промежутокАппроксимация непрерывных функций многочленами. Из этих формул видно, что sin(-x)=-sinx, т.е. f(x)=sinx- нечётная функция.

cos(-x)=cosx, f(x)=cosx- чётная функция.

Примеры разложения функций в степенные ряды.

Степенной рядАппроксимация непрерывных функций многочленами можно рассматривать как геометрический с первым членом а=1 и знаменателем q=x. ЕслиАппроксимация непрерывных функций многочленами, т.е.Аппроксимация непрерывных функций многочленами, то данный ряд сходится.Аппроксимация непрерывных функций многочленами .

Мы получили разложение функцииАппроксимация непрерывных функций многочленами в степенной ряд. Этот ряд сходится приАппроксимация непрерывных функций многочленами.

Аналогичными рассуждениями можно установить, чтоАппроксимация непрерывных функций многочленами сходится приАппроксимация непрерывных функций многочленами. Степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать, т.е. обращаться с ним как с многочленом.

В формуле (1) заменим x на t и проинтегрируем получившийся ряд на промежутке [0,x];Аппроксимация непрерывных функций многочленамиАппроксимация непрерывных функций многочленами,

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Так же заменим x на t в формуле (2). Получим

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Разложение (3) в степенной ряд сходится приАппроксимация непрерывных функций многочленами. Оно может быть использовано для вычисления логарифмов натуральных чисел. Положим в формуле (3)Аппроксимация непрерывных функций многочленами, где n- натуральное число, 0<x<1, при любом n ряд в правой части этой формулы будет сходится.Аппроксимация непрерывных функций многочленами Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Пользуясь этой формулой, можно последовательно вычислитьАппроксимация непрерывных функций многочленами

Обратимся снова к формуле (2). ПолагаяАппроксимация непрерывных функций многочленами, записываем полученный ряд и интегрируем его по отрезку [0,x], 0<x<1.Аппроксимация непрерывных функций многочленами Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Пусть х=1 в этой формулеАппроксимация непрерывных функций многочленами

Аппроксимация непрерывных функций многочленами Можно приближённо вычислитьАппроксимация непрерывных функций многочленами.

Биномиальный ряд

Разложим в ряд Маклорена функцию

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

В соответствии с формулой Маклорена:

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Ряд в правой части называют биномиальным. Можно доказать, что биномиальный ряд сходится приАппроксимация непрерывных функций многочленами, т.е. областью его сходимости служит интервал (-1,1). Отметим, что ряд (2) является частным случаем этого ряда приАппроксимация непрерывных функций многочленами.

В случаеАппроксимация непрерывных функций многочленами формула принимает вид:

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

все члены, начиная с n+1-го обращаются в 0. В правой части формулы разложения Аппроксимация непрерывных функций многочленами их остаётся конечное число, ряд обрывается. Эта формула при а=1 является частным случаем бинома Ньютона.

Применение рядов в приближённых вычислениях.

Знакочередующимся рядом называется ряд, у которого любые 2 члена с номерами k и k+1 (k=1,2,3..) имеют противоположные знаки.

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда выражается следующей теоремой:

Теорема1 Знакочередующийся рядАппроксимация непрерывных функций многочленами сходится, если модуль его членов убывают с возрастанием номера k и общий член стремится к 0, т.е., если выполняются 2 условия:

ak+1<ak, k- нат. число;

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Теорема2 Сумма остатка знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница, имеет знак первого оставшегося члена и по модулю не превосходит его модуля.

С помощью рядов можем вычислять приближённо значения логарифмов, корней различной степени, определённых интегралов, тригонометрических функций.

Пусть неизвестное число А каким-то образом представлено сходящимся рядом:

Аппроксимация непрерывных функций многочленами,где а1...аn- некоторые числа.

Погрешность при замене А на Аn выражается суммой остатка аn=an+1+an+2+... Т.к. ряд сходится, тоАппроксимация непрерывных функций многочленами и поэтому при достаточно большом n погрешность станет сколь угодно малой. Другими словами, искомое А посредством частичной суммы Аn указанного ряда можно выразить с любой заданной точностью.

Если ряд знакочередующийся, удовлетворяет условиям признака Лейбница, то сумма остатка имеет знак своего первого члена и по модулю не превышает его.

В случае ряда с положительными членамиАппроксимация непрерывных функций многочленами

3.3. Ряды Фурье.

Мы показали приближение некоторых функций алгебраическими многочленами, теперь покажем, как приближаются функции тригонометрическими многочленами. Инструментом для этого будут ряды Фурье.

Тригонометрическим рядом называют функциональный ряд вида:Аппроксимация непрерывных функций многочленами называют коэффициентами ряда.

Пусть данный тригонометрический ряд сходится и его сумма равна f(x). Тогда Аппроксимация непрерывных функций многочленами.

Тригонометрической системой функций называют бесконечное множество функцийАппроксимация непрерывных функций многочленамиЭта система обладает свойствами:

1.Определённый интеграл по отрезкуАппроксимация непрерывных функций многочленами от квадрата любой функции отличен от 0, причём

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

2. Определённый интеграл по отрезкуАппроксимация непрерывных функций многочленами от произведения любых двух различных функций равен нулю, т.е.

Аппроксимация непрерывных функций многочленами,Аппроксимация непрерывных функций многочленами,

Аппроксимация непрерывных функций многочленами,Аппроксимация непрерывных функций многочленами,

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Замечание 1: Система функцийАппроксимация непрерывных функций многочленами называется ортогональной на отрезке [a,b], если

1.Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Видим, что тригонометрическая система функций является ортогональной на отрезкеАппроксимация непрерывных функций многочленами.

Будем считать, что выполнено условие, при котором этот тригонометрический ряд можно интегрировать почленно, тогда его коэффициенты определяются формулами:

Аппроксимация непрерывных функций многочленамиАппроксимация непрерывных функций многочленамиАппроксимация непрерывных функций многочленами

Тригонометрический ряд, определяемый такими коэффициентами, называется рядом Фурье, а числа an, bn- коэффициентами Фурье функции f(x).

Замечание 2: Формулы a0 и an можно объединить в одну:Аппроксимация непрерывных функций многочленами

При этом появляется удобство обозначения начального члена тригонометрического ряда через a0/2, а не через a0. Замечание 3: Два аналитических выражения могут совпадать в некотором промежутке, но не совпадать при этом на всей числовой прямой.

Пример:

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Замечание 4: Тригонометрическим рядом на всей числовой прямой можно представить только периодическую функцию.

Пример:Аппроксимация непрерывных функций многочленами

f(x)- ограничена, непрерывна, монотонна

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

а).Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

б).Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Аппроксимация непрерывных функций многочленами

Приближение функций тригонометрическими многочленами.

Тригонометрическими многочленами n-го порядка называют функцию вида:Аппроксимация непрерывных функций многочленами или короче:Аппроксимация непрерывных функций многочленами.

Рассмотрим сумму первых n членов ряда Фурье:Аппроксимация непрерывных функций многочленами.

Эта сумма является тригонометрическим многочленом n-го порядка, начальный член которого представлен в виде a0/2. В качестве приближения функции f(x) с периодом 2Аппроксимация непрерывных функций многочленами тригонометрическим многочленом берут указанную сумму Sn(x), т.е.Аппроксимация непрерывных функций многочленами.

Естественно, при этом возникает вопрос об ошибке приближения. Если функция с периодом 2Аппроксимация непрерывных функций многочленамиимеет при всех х производную f®(x) порядка r, удовлетворяющая неравенствуАппроксимация непрерывных функций многочленами, то можно доказать, что ошибка приближения выражается следующим неравенством: Аппроксимация непрерывных функций многочленами, где Cr- постоянная, зависящая только от r. Отсюда видно, что ошибка стремится к нулю при n стремящемуся к бесконечности. Причём тем быстрее, чем больше производных имеет функция.

Для аналитических функций оценка будет ещё лучше. Аналитической в области определения называют функцию, которая разлагается в сходящейся к ней степенной ряд в области определения. Для функция, аналитических на всей действительной оси, оценка приближения выражается неравенством:Аппроксимация непрерывных функций многочленами.С и g- положительные постоянные, связанные с f(x), q<1.

И обратно, если для функции f(x) выполняется это неравенство, то она является аналитической. Можно утверждать: если функция разлагается в сходящийся к ней ряд Фурье, то отсюда ещё не следует, что она аналитическая. Однако f(x) будет аналитической, если уклонение от суммы первых n членов её ряда Фурье имеет оценку, т.е. убывает быстрее члена убывающей геометрической прогрессии.

Чтобы обеспечить приближение произвольных непрерывных периодических функций тригонометрическими многочленами, пользуются так называемыми методами суммирования рядов Фурье. В качестве тригонометрических многочленов, приближающих функцию, вместо сумм Фурье рассматривают некоторые их видоизменения. Один из таких методов состоит в следующем: для непрерывной периодической функции находят её ряд Фурье, который может быть и не сходящимся, а затем составляется среднее арифметическое первых частичных сумм этого ряда:Аппроксимация непрерывных функций многочленами, гдеАппроксимация непрерывных функций многочленами.

Среднее арифметическоеАппроксимация непрерывных функций многочленами называют суммой Фейера n-го порядка, соответствующей данной функции f(x). Название этих сумм дано в честь венгерского математика Липота Фейера (1880-1959), который первым предложил указанный метод. Он доказал, чтоАппроксимация непрерывных функций многочленами, если f(x)- непрерывная функция.

Заключение.

Теорией приближения функций многочленами занимались такие математики, как Эйлер, Лаплас, Фурье, Понселе, и, наконец, Чебышев.

У Чебышева, который приступил к задаче о наилучшем устройстве параллелограмма Уатта, возникли математические вопросы, о которых в то время знали очень мало. Для решения он разработал метод, названный французским математиком Жозефом Бертраном (1822-1900) чудом анализа. Этот метод сохранил своё значение и после того, как паровые машины, а вместе с ними и параллелограмм Уатта, отошли на задний план. Созданная Чебышевым теория приближения функций интенсивно развивалась и развивается сейчас в трудах российских и иностранных учёных. В терминах этой теории отражена одна из фундаментальных идей математики- приближение (замена) сложных объектов более простыми и удобными. Эта идея является основной в вопросах взаимосвязей математики и практики, что стимулировало развитие теории приближения функций в прошлом и, надо полагать, обеспечит к ней интерес в будущем.

Вообще теория аппроксимации непрерывных функций многочленами играет очень большую роль в математики, так же в решении технических проблем. Этот вопрос ещё до конца не исчерпан и новые открытия ждут своего часа.

Литература Ефимов Н.В., Высшая геометрия, М., "Наука", 1971. Постников М.М., Аналитическая геометрия, М., "Наука", 1973. Розенфельд Б.А., Многомерные пространства, М., "Наука", 1966. Розенфельд Б.А., Неевклидовы пространства, М., "Наука", 1969. Сазанов А.А., Четырехмерный мир Минковского, М., "Наука", 1988. Яглом И.М., Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия, М., "Наука", 1969.