Реферат: Дифференциальные уравнения I и II порядка

Введение.

Исследование поведения различных систем (технические, экономические, экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными. Рассмотрим следующий пример из области рекламного дела.

При организации продажи нового товара торговым предприятиям зачастую приходится прибегать к услугам рекламы. Для того, чтобы последняя была успешной и современной, необходимо знать закон распространения информации о новом товаре среди ее потенциальных покупателей. Найдем вид указанной закономерности при следующих предположениях относительно рассматриваемого процесса.

Пусть N – общее число потенциальных покупателей нового товара, x(t) – число покупателей, знающих к моменту времени t о поступлении в продажу нового товара, [N-x(t)] – число покупателей еще не имеющих информации о товаре.

Предположим, что информация о товаре распространяется среди покупателей посредством их общения между собой. Будем считать, что в течение достаточно малого промежутка времени возможна встреча лишь двух покупателей, и вероятность этой встречи считаем равной P. Вероятность того, что при встрече покупатель, знающий о товаре, встретиться с покупателем, еще не имеющем информации о товаре, равна (N-x)/N. Тогда скорость изменения величины x(t) в момент t равняется px(N-x)/N систематическому ожиданию числа покупателей впервые узнавших о товаре. Таким образом, получаем уравнение

Дифференциальные уравнения I и II порядка илиДифференциальные уравнения I и II порядка.

Данное уравнение содержит величину x и ее производнуюДифференциальные уравнения I и II порядка, т.е. является дифференциальным. Решая полученное уравнение, найдем вид зависимости величины x от t:

Дифференциальные уравнения I и II порядка, где параметр A подбирается, исходя из условия x=x0 в некоторый момент t=t0. Например, если при t=0 величина x(0)=g N (g - доля покупателей, обладающих информацией о товаре к началу рассматриваемого процесса), тоДифференциальные уравнения I и II порядка. На рис. 1 показан график искомой функции x=x(t). В экономической литературе график известен как логистическая кривая.

Отметим, что логистическая кривая дает также представление о процессе распространения технологических новшеств, эпидемий и даже слухов.

В качестве второго примера рассмотрим задачу представления в виде уравнения однопараметрического семейства кривых, обладающих некоторым общим свойством.

Пусть однопараметрическое семейство кривых задается уравнением Ф(X,Y,C)=0, где C – параметр. Составим дифференциальное уравнение, которое описывает общее свойство присущее всем кривым данного семейства. Предположим, что отдельная кривая семейства заданных функций y=f(x,c). Тогда подставляя ее в общее уравнение семейства получаем тождествоДифференциальные уравнения I и II порядка.

Предполагая дифференцируемость функции Ф(X,Y,C) и дифференцируя Ф(x,f(x,c),c) по x, получаем

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Рассматривая последнее вместе с уравнением Ф(x,y,c)=0, т.е. рассматривая систему

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

и исключая в ней параметр C, в результате получим дифференциальной уравнение

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

описывающее свойство присущее всем кривым семейства.

Например, пусть семейство кривых представляет семейство гипербол xy=c.

Дифференцируя данное уравнение по x, получаемДифференциальные уравнения I и II порядка.

Так как при этом автоматически произошло исключение параметра c, то последнее уравнение, являясь дифференциальным, представляет семейство вышеуказанных гипербол.

1. Основные понятия и определения.

Определение. Уравнение, связывающее функцию y, ее аргумент x и ее производные, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Обыкновенное дифференциальное уравнение символически можно записать в виде

Дифференциальные уравнения I и II порядка илиДифференциальные уравнения I и II порядка.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например:

А)Дифференциальные уравнения I и II порядкаявляется дифференциальным уравнением 1-го порядка;

Б)Дифференциальные уравнения I и II порядкаявляется дифференциальным уравнением 2-го порядка;

В)Дифференциальные уравнения I и II порядкаявляется дифференциальным уравнением n-го порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y=f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество.

Например, пусть дано дифференциальной уравнениеДифференциальные уравнения I и II порядка.

Тогда любая функция вида y=c1sinx+c2cosx, где c1, c2 – произвольные постоянные, является решением этого уравнения.

Действительно, дифференцируя уравнение y=c1sinx+c2cosx дважды по x получаемДифференциальные уравнения I и II порядка. Подставляя выражения дляДифференциальные уравнения I и II порядка и y в левую часть исходного дифференциального уравнения получаемДифференциальные уравнения I и II порядка.

Процесс решения дифференциального уравнения называют интегрированием. Поэтому само решение называют еще интегралом уравнения.

Как правило, дифференциальному уравнению отвечает множество решений (смотрите вышеприведенный пример), задаваемых семейством функций y=f(x,c) в явном виде или Ф(x,y,c)=0 в неявном виде. В этих уравнениях с-параметр семейства. Таких параметров, вообще говоря, может быть несколько.

В общем случае обыкновенному дифференциальному уравнению n-го порядка

Дифференциальные уравнения I и II порядка отвечает семейство решений, содержащих n параметров.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция y=f(x, c1, c2, …, cn), зависящая от аргумента x и n произвольных постоянных c1, c2, …, cn, которая будучи подставлена в уравнение обращает его в тождество.

Отметим, что эта функция может задаваться и неявным образом, тогда она представляется уравнением Ф(x , y,c1, c2, …, cn)=0.

Общее решение дифференциального уравнения называется также общим интегралом.

Чтобы из общего уравнения выделить некоторое конкретное частное решение дифференциального уравнения, необходимо задать значения для параметров c1, c2 , …, cn. Обычно значения этих произвольных постоянных c1, c2 , …, cn определяются заданием начальных условий: y(x0)=y0,Дифференциальные уравнения I и II порядка. Эти начальные условия дают соответственно n уравнений

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

………………………………

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

решая которые относительно c1, c2 , …, cn находят значения этих постоянных.

Например, для дифференциального уравнения 1-го порядкаДифференциальные уравнения I и II порядкаобщее решение имеет вид y=f(x,c). Тогда начальное условие y(x0)=y0 выделяет из всего семейства интегральных кривых кривую, проходящую через точку M(x0,y0).

Геометрическая интерпретация.

Геометрическое представление решения дифференциального уравнения рассмотрим на примере уравнения 1-го порядка видаДифференциальные уравнения I и II порядка.

В плоскости введем декартову систему координат с осями x и y. Каждой точке M(x,y) плоскости поставим в соответствие векторДифференциальные уравнения I и II порядка, отложенный от точки M.

Таким образом дифференциальное уравнениеДифференциальные уравнения I и II порядка порождает в плоскости XOY поле направлений (естественно, указанное поле существует только в области определения функции f(x,y)). Тогда решением дифференциального уравнения будет такая кривая, которая в каждой точке касается вектора поля направляющей.

Действительно, пусть y=h(x) уравнение указанной выше кривой. Тогда в каждой точке кривой касательная к ней имеет направлениеДифференциальные уравнения I и II порядка, где a - угол наклона касательной к оси x. ИзДифференциальные уравнения I и II порядка (условие касания кривой с векторомДифференциальные уравнения I и II порядка) и равенства абсцисс векторовДифференциальные уравнения I и II порядка иДифференциальные уравнения I и II порядкавытекает тождествоДифференциальные уравнения I и II порядка, выполняющееся в точках кривой y=h(x). Последнее означает, что y=h(x) является решением уравненияДифференциальные уравнения I и II порядка.

И обратно, если y=h(x) решение дифференциального уравненияДифференциальные уравнения I и II порядка поля направлений.

В качестве иллюстрации возьмем уравнениеДифференциальные уравнения I и II порядка.

Для построения поля направлений удобно использовать метод изоклин. Изоклина это линия в каждой точке которой векторДифференциальные уравнения I и II порядка поля направлений одинаков. Таким образом, изоклины даются уравнением f(x,y)=l , и каждой точке изоклины соответствует векторДифференциальные уравнения I и II порядка.

Для рассматриваемого дифференциального уравнения изоклины задаются уравнениемДифференциальные уравнения I и II порядка или y=-l x.

Как видно, изоклинами являются прямые, проходящие через точку начала координат. На рис. 2 изображены изоклины отвечающие значениямДифференциальные уравнения I и II порядка, черточками изображены направления векторовДифференциальные уравнения I и II порядка в таких изоклин. Из рис. 2 видно, что интегральные кривые уравнения напоминают гиперболы. Действительно, как будет показано ниже, общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения имеет вид yx=c, т.е. задает семейство гипербол. Параметрам c>0 отвечают гиперболы I и III координатных узлов, значениям c<0 отвечают гиперболы II и IV координатных узлов.

2. Существование решения дифференциального уравнения первого порядка.

Задано дифференциальное уравнение вида

Дифференциальные уравнения I и II порядкаили, иначе,Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Пусть y=y(x) – решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0. Тогда изДифференциальные уравнения I и II порядка следует, что f(x,y(x)) – производная функции y(x) и, следовательно, y(x) – первообразная для f(x,y(x)). Если F(x) – некоторая другая первообразная для f(x,y(x)), то , как известно, y(x)=F(x)+c0. Из y(x0)=y0, y(x0)=F(x0)+c0 получаем c0=y0-F(x0), т.е. y(x)=F(x)-F(x0)+y0.

Семейство всех первообразных для f(x,y(x)) представляется неопределенным интеграломДифференциальные уравнения I и II порядка. Тогда разность F(x)-F(x0) равна значению определенного интегралаДифференциальные уравнения I и II порядка,

И, следовательно, получаем

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

т.е. y(x) является решением интегрального уравнения

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Задача поиска решения дифференциального уравненияДифференциальные уравнения I и II порядка, удовлетворяющего начальному условию y(x0)=y0, получила в литературе название задачи Коши.

Первое доказательство существования и единственности решения дифференциального уравненияДифференциальные уравнения I и II порядка было получено в 1820-1830 г.г. и связано с именем Коши (1789-1857).

Теорема. Пусть задано уравнениеДифференциальные уравнения I и II порядка и начальные значения x0,y0.

Тогда если

А) функция f(x,y) непрерывна по обеим переменным x и y в замкнутой областиДифференциальные уравнения I и II порядка;

Б) функция f(x,y) удовлетворяет в областиR по переменной y условию Липшица, т.е.Дифференциальные уравнения I и II порядка, где L – постоянная;

То существует единственное решение y=y(x) указанного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0 и являющееся непрерывно дифференцируемым в интервалеДифференциальные уравнения I и II порядка, гдеДифференциальные уравнения I и II порядка.

Доказательство теоремы приводить не будем, укажем лишь, что может быть осуществлено методом последовательных приближений Пикара (1856-1941), использующего ранее приведенное интегральное уравнение.

Последовательность функций, дающих приближенное решение уравнения, строится по правилу:

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

………………………………

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Далее можно показать, что функцияДифференциальные уравнения I и II порядка дает единственное решение дифференциального уравненияДифференциальные уравнения I и II порядка в промежуткеДифференциальные уравнения I и II порядка.

Выше был рассмотрен случай дифференциального уравнения первого порядка разрешенного относительно производной y/.

Более общим видом является случай уравнения видаДифференциальные уравнения I и II порядка, не разрешимого относительно производной y/.

Допустим, что данное уравнение может быть разрешено относительно y/, и в общем случае это дает несколько вещественных уравненийДифференциальные уравнения I и II порядка (k=1,2,…,m).

Если при этом каждая из функцийДифференциальные уравнения I и II порядка (k=1,2,…,m) удовлетворяет теореме существования и единственности решения, то через точку (x0,y0) будет проходить m интегральных кривых уравненияДифференциальные уравнения I и II порядка. Пусть при этом каждая точка кривой имеет свой наклон касательной, отличный от других кривых. В этом случае также говорят, что задача Коши имеет единственное решение. Общим решением уравнения называют совокупность всех общих решений каждого из уравненийДифференциальные уравнения I и II порядка (k=1,2,…,m), т.е. решения y=Yk(x,c) (k=1,2,…,m).

Пример. Рассматривается дифференциальное уравнение видаДифференциальные уравнения I и II порядка. Разрешая его относительно y/ получаем два уравнения y/=1 и y/=-1, т.е. через каждую точку плоскости xOy проходят две интегральные кривые, касательные к которым имеют два разных угла наклона к оси Ox в 450 и 1350. Общим решением уравнения будет семейство интегральных кривых y=x+c и y=-x+c.

Особым решением дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения I и II порядка илиДифференциальные уравнения I и II порядка

называется решением y=y(x), которое во всех своих точках не обладает свойством единственности. Через каждую точку такого решения проходит не менее двух интегральных кривых, имеющих одинаковое направление касательной.

Отметим, что из сказанного выше следует, что дифференциальное уравнение может иметь решения не являющиеся ни частными, ни особыми, а именно, если эти решения получаются склеиванием кусков из частных и особых решений.

2. Особые решения дифференциального уравнения.

Пусть рассматривается дифференциальное уравнение первого порядка общего вида F(x,y,y/)=0.

Тогда существование его особого решения прежде всего может быть связано с условиемДифференциальные уравнения I и II порядка, не обеспечивающим представление y/ как неявной функции переменных x и y, задаваемой уравнением F(x,y,y/)=0.

Таким образом, формируя систему уравнений

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

и исключая из нее переменную y/, получаем функцию y=y(x), которая может дать особое решение дифференциального уравнения F(x,y,y/)=0.

Определение. Кривая, получаемая исключением параметра p из системы уравнений

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

называется дискретной кривой уравнения F(x,y,y/)=0.

Для того, чтобы дискретная кривая давала особое решение дифференциального уравнения, остается проверить, что она удовлетворяет уравнению F(x,y,y/)=0, и что через каждую ее точку проходит хотя бы одна интегральная кривая общего решения этого уравнения, т.е. проверить, что в точках дискретной кривой нарушается свойство единственности решения дифференциального уравнения.

Пример 1. Дано уравнениеДифференциальные уравнения I и II порядка.

Как было указано выше его особое решение дается уравнениями y=x+c и y=-x+c. Опреляя для него дискретную кривую имеем систему уравнений

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Очевидно, данная система решения не имеет, поэтому рассматриваемое дифференциальное уравнение особых решений не имеет.

Пример 2. Рассмотрим решение уравненияДифференциальные уравнения I и II порядка

Его общее решение имеет видДифференциальные уравнения I и II порядка. Выписывая систему уравнений

Дифференциальные уравнения I и II порядка илиДифференциальные уравнения I и II порядка, (где p=y/)

и исключая из нее переменную p, получаем уравнение дискретной кривой y=0 (ось Ox). Очевидно, она является решением дифференциального уравнения, так как из y=0=const следует y/=0. Кроме того через любую точку M(x0;0) этой кривой проходит частное решение дифференциального уравнения, получаемое из общего при c=-x0. Не трудно убедиться, что касательные в точке M(x0;0) дискретной кривой и частного решения совпадают. Таким образом, дискретная кривая y=0 является особым решением исходного дифференциального уравнения.

Ниже на рис. 3 изображено семейство интегральных кривых этого уравнения, являющееся семейством парабол.

Из рисунка видно, что дискретная кривая y=0, являющаяся осью Ox, касается в каждой точке некоторой кривой семейства.

Выше была рассмотрена ситуация, когда уравнение F(x,y,y/)=0 не определяло y/ как неявную функцию переменных x и y, так как выполнялось условиеДифференциальные уравнения I и II порядка.

Предположим теперь, что в области D, где ищется решение дифференциального уравнения, выполняется условиеДифференциальные уравнения I и II порядка. В этом случае уравнение F(x,y,y/)=0 определяет y/ как неявную функцию от x и y, т.е. можно считать y/=f(x,y) или даже явно выразить y/ через x и y в виде y/=f(x,y). Тогда особое решение будет связано с нарушением условий приведенной выше в параграфе 3, теоремы Коши существования и единственности решения дифференциального уравнения.

Таким невыполнимым условием, обычно, берется условие Липшица, и геометрическое место точек, в которых оно нарушается, задается условиемДифференциальные уравнения I и II порядка или, считаяДифференциальные уравнения I и II порядка, условиемДифференциальные уравнения I и II порядка.

Пример 3. Рассматривается дифференциальное уравнениеДифференциальные уравнения I и II порядка (сравните с примером 2). ЗдесьДифференциальные уравнения I и II порядка. Так какДифференциальные уравнения I и II порядка, то дискретная кривая отсутствует. ИзДифференциальные уравнения I и II порядка и условияДифференциальные уравнения I и II порядка, находим, что в точках кривой y=0, являющейся осью Ox, нарушается условие теоремы Коши. Следовательно, эта кривая y=0 может быть особым решением. Остается проверить, что она удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению и что в ее точках нарушается условие единственности прохождения интегральной кривой. Общее решение данного уравнения имеет видДифференциальные уравнения I и II порядка, т.е. такой же, как и в примере 2. Разбирая пример 2, выполнимость обоих условий была проверена. Следовательно, решение y=0 действительно является особым.

Пример 4. Дано уравнениеДифференциальные уравнения I и II порядка.

Для негоДифференциальные уравнения I и II порядка, т.е. дискретной кривой нет. ИзДифференциальные уравнения I и II порядка и условияДифференциальные уравнения I и II порядка, получаем точки кривой y=0, в которых нарушены условия теоремы Коши.

Однако, в данном случае кривая y=0 не удовлетворяет дифференциальному уравнению. Следовательно, это уравнение особых решений не имеет.

Особым решением дифференциального уравнения довольно часто бывают огибающие семейства его интегральных кривых.

Определение. Кривая y=y(x) называется огибающей семейства интегральных кривых интегрального уравнения, задаваемого общим решением Ф(x,y,c)=0, если в каждой точке она касается одной из кривых данного семейства, т.е. имеет с ней в этой точке общую касательную.

Для нахождения огибающей может быть использован следующий подход.

Пусть огибающая задана параметрически уравнениями x=x(t),y=y(t).

Со значением параметра t можно связать значение постоянной c, отвечающей той интегральной кривой семейства Ф(x,y,c)=0, которая касается огибающей в точке M(x(t),y(t)), т.е. величину c можем рассматривать как функцию параметра t, а именно c=c(t).

Подставляя функции x=x(t),y=y(t) и c=c(t) в Ф(x,y,c)=0, получаем тождество

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Предполагая, что Ф(x,y,c) имеет непрерывные частные производные первого порядка, из тождества вытекаетДифференциальные уравнения I и II порядка.

Покажем, чтоДифференциальные уравнения I и II порядка. Действительно, k-угловой коэффициент касательной для огибающей в точке x0=x(t0), y0=y(t0) при t=t0 равен

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Уравнение Ф(x,y,c0)=0, где c0=c(t0), задает интегральную кривую семейства, проходящую через точку M0(x0, y0). Угловой коэффициент касательной к данной интегральной кривой в точке M0(x0, y0) равенДифференциальные уравнения I и II порядка, гдеДифференциальные уравнения I и II порядка уравнение данной кривой. Рассматривая уравнение Ф(x,y,c0)=0, как неявное задание уравнения Дифференциальные уравнения I и II порядка интегральной кривой, значение Дифференциальные уравнения I и II порядка найдем из соотношенияДифференциальные уравнения I и II порядка, предполагаяДифференциальные уравнения I и II порядка.

ИзДифференциальные уравнения I и II порядка получаемДифференциальные уравнения I и II порядка и

Дифференциальные уравнения I и II порядка или

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Таким образом, для произвольного значения t0 параметра t выполняется Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Следовательно, изДифференциальные уравнения I и II порядка с учетом доказанного соотношения получаем

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Но так какДифференциальные уравнения I и II порядка, ибоДифференциальные уравнения I и II порядка, то из последнего вытекает, что в точках огибающей должно выполняться условие Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Таким образом, для нахождения огибающей надо рассмотреть систему уравнений

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Исключая из нее параметр c, найдем уравнение y=y(x) или Y(x,y)=0 огибающей (исключая точки, где одновременноДифференциальные уравнения I и II порядка иДифференциальные уравнения I и II порядка). Окончательно убеждаясь в том, что поперечная кривая является огибающей, проверяя условие касания в каждой ее точке интегральной кривой семейства.

Пример 5. Снова рассмотрим уравнение из примера 2Дифференциальные уравнения I и II порядка. Его общее решение имеет видДифференциальные уравнения I и II порядка, т.е.Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Для нахождения огибающей рассмотрим систему

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Из нее получаем уравнение огибающей y=0. Далее убеждаемся, что y=0 действительно является огибающей, так как через каждую ее точку M(x0;0) проходит интегральная кривая со значением параметра c=-x0.

Пример 6. Рассмотрим дифференциальное уравнениеДифференциальные уравнения I и II порядка. Его общее решение имеет вид (x-c)2+y2=1 получаемДифференциальные уравнения I и II порядка. ПодставляяДифференциальные уравнения I и II порядка и (x-c)2+y2=1 в левую часть уравнения, получим тождествоДифференциальные уравнения I и II порядка.

Нетрудно видеть, что семейством интегральных кривых являются окружности единичного радиуса с центром в точках (c,0), лежащих на оси Ox.

На рис. 4 изображено семейство этих окружностей.

Из рисунка видно, что семейство интегральных кривых имеет две огибающие y=1 и y=-1, удовлетворяющих диффренциальному уравнению и, следовательно, дающих его два особых решения.

Найдем уравнения огибающих аналитически. Из Ф(x,y,c)=(x-c)2+y2-1, Дифференциальные уравнения I и II порядка получаем следующую систему уравнений

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Исключая из уравнения параметр c, получаем y2=1. Данное уравнение дает две огибающих y=1 и y=-1.

Пример 7. Дано уравнениеДифференциальные уравнения I и II порядка.

Его общее решение будетДифференциальные уравнения I и II порядка, представляющем семейство гипербол, изображенных на рис. 5.

ИзДифференциальные уравнения I и II порядка для нахождения предполагаемых огибающих получаем систему уравнений

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Исключая из уравнений параметр c получаем уравнение кривой y=0, являющейся осью Ox.

Кривая y=0 удовлетворяет дифференциальному уравнению и, следовательно, является его решением. Однако, она не является огибающей, так как не имеет общих точек с интегральными кривыми семейства. Таким образом, являясь решением уравнения, она не является его особым решением.

Далее будут рассмотрены методы решения отдельных типов дифференциальных уравнений.

3. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка

Дифференциальные уравнения I и II порядка

называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в видеДифференциальные уравнения I и II порядка илиДифференциальные уравнения I и II порядка.

Разнося переменные x и y и их дифференциалы в разные стороны такого уравнения, оно может быть записано в виде

Дифференциальные уравнения I и II порядка (отсюда происходит название данного типа уравнения).

Можно следующую интерпретацию происхождения данного уравнения.

Пусть величина Z является с одной стороны функцией величины y, т.е. z=M(y). С другой стороны величина Z является функцией величины x, т.е. z=g(x). Например, если Z-объем выпуска продукции, то с одной стороны z зависит от величины y – объема основных фондов, с другой стороны z может рассматриваться зависимой от величины x – объема затрачиваемых трудовых ресурсов. Таким образом, через соотношения z=H(y) и z=G(x) одна из величин y или x представляется функцией другой величины x или, соответственно, y. Исходное дифференциальное уравнение отображает эту функциональную связь через дифференциалы функций H(y) и G(x), уравнивая их, т.е. dz=dH(y)=dG(x). Отсюда можно считать, чтоДифференциальные уравнения I и II порядка.

Таким образом, чтобы найти эту функциональную связь в виде y=y(x),x=x(y) или f(x,y)=0, надо проинтегрировать каждую из частей дифференциального уравнения, получая

Дифференциальные уравнения I и II порядка,Дифференциальные уравнения I и II порядка и затем приравнять их H(y)+c1=G(x)+c2 (имея в виду z=H(y)+c1, z=G(x)+c2, и затем z исключается). Вместо двух постоянных c1 и c2 обычно берется одна c=c2-c1, и тогда общее решение дифференциального уравнения записывается в виде

H(y)=G(x)+c.

Если это возможно, из него одна из величин может быть представлена явно функцией другой y=y(x) или x=x(y).

Пример 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение получаемое при моделировании процесса распространения информации о новом товаре

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Данное уравнение, очевидно, относится к уравнению с разделяющимися переменными. Разнеся переменные x и t и их дифференциалы по разные стороны, уравнение запишем в виде

Дифференциальные уравнения I и II порядка илиДифференциальные уравнения I и II порядка.

Проинтегрируем каждую из сторон этого уравнения:

Дифференциальные уравнения I и II порядка

Приравнивая найденные интегралы получаем

Дифференциальные уравнения I и II порядка илиДифференциальные уравнения I и II порядка,

где c=N(c1-c2). Отсюда далееДифференциальные уравнения I и II порядка, гдеДифференциальные уравнения I и II порядка. Так как по смыслу задачи Дифференциальные уравнения I и II порядка, тоДифференциальные уравнения I и II порядка, и тогдаДифференциальные уравнения I и II порядка. Окончательно общее решение дифференциального уравнения получает вид

Дифференциальные уравнения I и II порядка, гдеДифференциальные уравнения I и II порядка>0.

Нетрудно проверить, что дискретной и огибающей кривых дифференциальное уравнение не имеет. Однако беря крайние значения дляДифференциальные уравнения I и II порядка равныеДифференциальные уравнения I и II порядка, получаем кривые x=N и x=0, являющиеся решениями уравнения, но не особыми.

Пример 2. Возьмем дифференциальное уранение

Дифференциальные уравнения I и II порядка илиДифференциальные уравнения I и II порядка,

геометрическая иллюстрация решений которого рассматривается в параграфе 2.

Данное уравнение является с разделяющимися переменными> Разнося переменные в разные стороны, записываем уравнение в виде

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Интегрирование левой и правой частей уравнения, дает общее решение видаДифференциальные уравнения I и II порядка, где постоянная взята в виде lnc,c>0. Далее несложно преобразовать данное уравнение к виду

Дифференциальные уравнения I и II порядка илиДифференциальные уравнения I и II порядка, где постояннаяДифференциальные уравнения I и II порядкауже не имеет ограничений на знак.

Как видно получилось семейство гипербол.

Пусть из данного семейства интегральных кривых (гипербол) необходимо выделить кривую (решение) проходящую через точку M(1,1), т.е. выделить решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1. Для этого в общее решение уравнения подставим значения x=1, y=1, и найдем, отвечающее искомой кривой, значение постояннойДифференциальные уравнения I и II порядка. Очевидно, это значение равноДифференциальные уравнения I и II порядка. Следовательно, искомое частное решение определяется уравнением

Yx=1 илиДифференциальные уравнения I и II порядка.

Пример 3. Рассмотрим уравнениеДифференциальные уравнения I и II порядка, приведенное в параграфе 3. Разрешая его относительно y/, получаем два уравнения y/=1 и y/=-1 илиДифференциальные уравнения I и II порядка иДифференциальные уравнения I и II порядка.

Оба являются с разделяющимися переменными и приводятся к виду dy=dx и dx=-dx. Интегрирование левых и правых частей уравнений дает следующие их общие решения y=x+c и y=-x+c.

Пример 4. Следующим уравнением возьмем уарвнениеДифференциальные уравнения I и II порядка из примера в параграфе 4.

Разрешая его относительно y/ получаем

Дифференциальные уравнения I и II порядка илиДифференциальные уравнения I и II порядка.

Разделяя переменные имеем

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Найдем интегралы от левой и правой частей уравнения:

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Приравнивая интегралы и заменяя две постоянных на одну получаем следующий вид общего решения уравнения

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Возводя в квадрат обе части данного уравнения, получаем окончательный вид общего решения

(x-c)2+y2=1.

Пример 5. Решить дифференциальное уравнениеДифференциальные уравнения I и II порядка,

Найти его частное решение при условииДифференциальные уравнения I и II порядка.

Разрешая уравнение относительно y/, видим, что оно является уравнением с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Разнося переменные по разные стороны уравнения получаем

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Интегрируя каждую из частей этого уравнения, получаем следующее общее решение исходного дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения I и II порядка илиДифференциальные уравнения I и II порядка.

Используя начальное условиеДифференциальные уравнения I и II порядка, определяем значение константы c для искомого частного решенияДифференциальные уравнения I и II порядка. Искомое частное решение дается уравнениемДифференциальные уравнения I и II порядка.

4. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Функция f(x,y) называется однородной степени m, еслиДифференциальные уравнения I и II порядка.

Функция f(x,y) называется однородной нулевой степени, еслиДифференциальные уравнения I и II порядка.

Например, функцияДифференциальные уравнения I и II порядка является однородной второй степени. Действительно,Дифференциальные уравнения I и II порядка. ФункцияДифференциальные уравнения I и II порядка однородная нулевой степени, так какДифференциальные уравнения I и II порядка.

Всякая однородная функция нулевой степени может быть представлена в виде функции от отношения y/x (или отношения x/y). Действительно, пусть f(x,y) – однородная функция нулевой степени, тогда, взяв в качествеДифференциальные уравнения I и II порядка, имеем Дифференциальные уравнения I и II порядка может рассматриваться как функция отношения y/x, т.е. Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка F(x,y,y/)=0, называется однородным, если оно может быть представлено в виде y/=f(x,y) илиДифференциальные уравнения I и II порядка., где f(x,y) – однородная функция нулевой степени.

Решение однородного дифференциального уравнения сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными заменой y/x=u или y=ux, где u-функция от x.

Подставляя в исходное уравнениеДифференциальные уравнения I и II порядка иДифференциальные уравнения I и II порядка, получаем уравнение видаДифференциальные уравнения I и II порядка илиДифференциальные уравнения I и II порядка, являющиеся с разделяющимися переменными. Если u=g(x,c) или Ф(x,u,c)=0 является его общим решением, то y=xg(x,c) или Ф(x,y/x,c)=0 будет общим решением исходного уравнения.

Пример 1. Рассматривается уравнение

(x2-y2)dx+2xydy=0.

Перепишем его в видеДифференциальные уравнения I и II порядка. Справа стоит функция однородная нулевой степени. Действительно,Дифференциальные уравнения I и II порядка. Итак, преобразованное уравнение является однородным дифференциальным уравнением. Решаем его заменой y=ux. Получаем

Дифференциальные уравнения I и II порядка илиДифференциальные уравнения I и II порядка, т.е.Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Разделяя переменные приходим к уравнению

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Интегрируем левую и правую части этого уравнения:

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Приравнивая найденные интегралы, получаем общее решение вспомогательного дифференциального уравнения относительно переменных x и u

Дифференциальные уравнения I и II порядка илиДифференциальные уравнения I и II порядка, где c>0.

Потенциируя последнее выражение, общее решение получает видДифференциальные уравнения I и II порядка, где c – произвольная постоянная.

Заменяя u=y/x, получаем общий интеграл исходного дифференциального уравнения Дифференциальные уравнения I и II порядка или y2+x2=cx,

Последнее выражение приводится к виду

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Таким образом, семейством интегральных кривых исходного уравнения является семейство окружностей с центрами в точкахДифференциальные уравнения I и II порядка, лежащих на оси x, и радиусамиДифференциальные уравнения I и II порядка. Очевидно, все эти окружности касаются оси y в точке начала координат. На рис. 6 изображено семейство этих окружностей.

Пример 2. Требуется найти частное решение уравненияДифференциальные уравнения I и II порядка,

Удовлетворяющих начальному условию y(1)=0.

Нетрудно видеть (убедиться), что справа стоит однородная функция нулевой степени. Итак, исходное дифференциальное уравнение является однородным. Выполняя замену y=ux, приводим его к виду

Дифференциальные уравнения I и II порядка илиДифференциальные уравнения I и II порядка.

Разделяем переменные, получаем

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Интегрируя обе части этого уравнения, получаем общее решение вспомогательного дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения I и II порядка илиДифференциальные уравнения I и II порядка.

Подставим в негоДифференциальные уравнения I и II порядка и получимДифференциальные уравнения I и II порядка. Логарифмируя обе части этого уравнения получаемДифференциальные уравнения I и II порядка и далееДифференциальные уравнения I и II порядка.

Последнее соотношение дает общее решение исходного дифференциального уравнения. Чтобы найти частное решение, воспользуемся начальными условиями x=1,y=0. Подставим их в общее решениеДифференциальные уравнения I и II порядка, отсюдаДифференциальные уравнения I и II порядка иДифференциальные уравнения I и II порядка.

Таким образом, искомое частное решение имеет видДифференциальные уравнения I и II порядка.

5. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y/+g(x)y=h(x).

Такое название ему дано в связи с тем, что относительно переменных y и y/ его можно рассматривать как линейное.

ЕслиДифференциальные уравнения I и II порядка, то уравнение принимает простой вид y/=h(x), и сводится к нахождению неопределенного интеграла Дифференциальные уравнения I и II порядка. Его общее решение тогда имеет видДифференциальные уравнения I и II порядка.

ЕслиДифференциальные уравнения I и II порядка, то уравнение называется однородным линейным. Оно приобретает видДифференциальные уравнения I и II порядка, и, как нетрудно видеть, сводится к решению уравнения с разделяющимися переменнымиДифференциальные уравнения I и II порядка и далееДифференциальные уравнения I и II порядка.

Его общее решение имеет видДифференциальные уравнения I и II порядка, гдеДифференциальные уравнения I и II порядка - некоторая первообразная для функции g(x).

Предположим теперь, чтоДифференциальные уравнения I и II порядка, функции g(x) и h(x) являются непрерывными. Пусть y=f(x,c) – искомое общее решение линейного дифференциального уравнения.

Представим исходное уравнение в виде

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

и подставим в выражение, стоящее в квадратных скобках,Дифференциальные уравнения I и II порядка, т.е. как бы полагая в общем решенииДифференциальные уравнения I и II порядка. Тогда вышеприведенное уравнение примет вид

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

являясь линейным однородным дифференциальным уравнением (в нем вместо y взята для удобства переменная z, чтобы не возникло путаницы решений этого уравнения с исходным).

Общее решение этого уравнения, как уже отмечалось ранее, может быть представлено в виде

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

где A – произвольная постоянная. Очевидно,Дифференциальные уравнения I и II порядка является его частным решением, и, следовательно, может быть получено при некотором значенииДифференциальные уравнения I и II порядка, т.е.

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Если теперь освободиться от условия фиксирования постояннойДифференциальные уравнения I и II порядка, то получаем, что общее решение исходного уравнения имеет вид

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

В нем второй множитель функцияДифференциальные уравнения I и II порядка является, как нетрудно видеть, частным решением при c=1 однородного линейного уравненияДифференциальные уравнения I и II порядка. Первый множитель функция Дифференциальные уравнения I и II порядка представляет общее решение дифференциального уравнения u/v(x)=h(x).

Действительно, подставляя в это уравнение u/x(x,c), получаем тождество

Дифференциальные уравнения I и II порядка

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Таким образом, показано, что общее решение линейного дифференциального уравнения Дифференциальные уравнения I и II порядка

Представляется в виде y=u(x,c)v(x), где v(x) – частное решение однородного уравненияДифференциальные уравнения I и II порядка, решаемое при c=1, u(x,c) – общее решение уравнения u/v(x)=h(x).

Нетрудно видеть, что в обоих случаях приходится решать уравнение с разделяющимися переменными.

Заметим, что хотя при решении однородного уравненияДифференциальные уравнения I и II порядка бралось частное решение V(x) однородного уравнения v/+g(x)v=0,

Являющегося уравнением с разделяющимися переменными.

На втором этапе определяется решение u(x,c) дифференциального уравнения u/v(x)=h(x),

Также являющегося уравнением с разделяющимися переменными. После их решений общее решение исходного линейного уравнения представляется в виде

Y=u(x,c)v(x).

Пример 1. Решить уравнение

Y/+2y=sinx.

Сначала решаем однородное уравнение v/+2v=0.

Из него получаем

Дифференциальные уравнения I и II порядка илиДифференциальные уравнения I и II порядка.

Интегрируя его левую и правую части, получаем его общий интеграл (решение) вида

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Полагая в нем c=0 и потенциируя его, получаем следующее его нетривиальное частное решениеДифференциальные уравнения I и II порядка.

Далее решаем уравнение вида

Дифференциальные уравнения I и II порядка илиДифференциальные уравнения I и II порядка.

Разнося переменные в разные части уравнения и интегрируя их, получаем общее решение этого уравнения

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Вычислим интеграл:

Дифференциальные уравнения I и II порядка

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Рассматривая данное уравнение, как уравнение относительно интеграла, находим его вид

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Следовательно,Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Тогда общее решение исходного уравнения будет

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Предположим теперь, что требуется выделить частное решение, проходящее через точку M(0,0), т.е. решение, удовлетворяющее начальному условию y(0)=0. Для этого подставим значения x=0, y=0 в общее решение и найдем соответствующее значение постоянной c:

Дифференциальные уравнения I и II порядка, отсюда c=0,2.

Искомым частным решением является

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Пример 2. Решить уравнение

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

являющееся линейным дифференциальным уравнением.

На первом этапе найдем решение соответствующего линейного однородного уравнения

Дифференциальные уравнения I и II порядка, илиДифференциальные уравнения I и II порядка.

Разделяя переменные по разные стороны уравнения, имеем

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Интегрируя обе части данного уравнения, получаем следующее его частное решение

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

На втором этапе решаем уравнение вида

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Делая заменуДифференциальные уравнения I и II порядка, сокращая обе части уравнения наДифференциальные уравнения I и II порядка и разделяя переменные, имеем du=x2dx.

Интегрируя правую и левую части уравнения, получаем его общее решение

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

6. Дифференциальное уравнение первого порядка в полных дифференциалах.

Определение. Пусть дифференциальное уравнение первого порядка представлено в виде

M(x,y)dx+N(x,y)dx=0,

Где M(x,y) и N(x,y) – функции двух переменных x и y. Тогда, если левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y), т.е.

dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy,

то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.

Уравнение в полных дифференциалах кратко можно представить в виде

dU(x,y)=0,

а поэтому общий интеграл (решение) такого уравнения имеет вид U(x,y)=0.

Дифференциальное уравнение такого типа возникает, когда поведение системы подчинено условию сохранения некоторой величины U(энергии, массы, стоимости и т.д.).

Отметим следующий признак, позволяющий определить является ли рассматриваемое уравнение уравнением в полных дифференциалах.

Путьс

dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy, тогда функции M(x,y) и N(x,y) должны быть для U(x,y) частными производными первого порядка, соответственно, по переменным x и y, т.е.

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Предполагая функции M(x,y) и N(x,y) непрерывными и имеющими непрерывные частные производные, соответственно, по y и x, т.е. выполнение соотношений

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

из тождества

Дифференциальные уравнения I и II порядка

получаем, что для M(x,y) и N(x,y) должно выполняться условие

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Полученное условие является не только необходимым, но и достаточным для того, чтобы уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

Было уравнением в полных дифференциалах.

Нахождение общего решения уравнения в полных дифференциалах проводится в два этапа.

На первом этапе функция U(x,y) рассматривается как функция только аргумента x, переменная y получает как бы фиксированное значениеДифференциальные уравнения I и II порядка . Тогда соотношению

Дифференциальные уравнения I и II порядка

ставится в соответствие дифференциальное уравнение

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Пусть его общее решение представляется в виде

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Но так как решение уравнения зависит от y, то в общем решении постоянная c является функцией y, т.е. c=h(y). Следовательно, общее решение предыдущего дифференциального уравнения, снимая с y условие закрепления его значения, имеет вид

U(x,y)=g(x,y)+h(y).

На втором этапе находится вид функции h(y). Для этого обратимся к соотношению

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

в котором уже закрепляется как бы значение переменной x.

Используя данное соотношение и вид функции U(x,y), получаем дифференциальное уравнение, связывающее переменные h и y:

Дифференциальные уравнения I и II порядка илиДифференциальные уравнения I и II порядка.

Интегрируя это уравнение, находим его общее решение

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

ИзДифференциальные уравнения I и II порядка, получаем окончательный вид функции U(x,y), а именно

Дифференциальные уравнения I и II порядка

В последнем двойном интеграле вместоДифференциальные уравнения I и II порядка можно взять функцию Дифференциальные уравнения I и II порядка (т.к.Дифференциальные уравнения I и II порядка). Тогда функция U(x,y) получает вид

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Так как общее решение исходного дифференциального уравнения записывается в виде U(x,y)=c=const, то, заменяя две постоянных на одну, получаем следующий вид общего решения уравнения

Дифференциальные уравнения I и II порядка или

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Пример 1. Дано дифференциальное уравнение

(6x2y2+6xy-1)dx+(4x3y+3x2y+2y)dy=0.

В нем M(x,y)=6x2y2+6xy-1, N(x,y)=4x3y+3x2y+2y. ИзДифференциальные уравнения I и II порядка и тождестваДифференциальные уравнения I и II порядка,

Следует, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Проведем его решение в два этапа.

На первом решаем уравнение

Дифференциальные уравнения I и II порядка или dU=(6x2y2+6xy-1)dx,

в котором переменная y считается закрепленной. Интегрируя это уравнение, получаем

U(x,y)=2x3y2+3x2y-x+h(y).

На втором этапе определяем вид функции h(y), используя для этого соотношение

Дифференциальные уравнения I и II порядка

и дифференциальное уравнение для h и y

4x3y+3x2+h/(y)=4x3y+3x2+2y илиДифференциальные уравнения I и II порядка.

Интегрируя последнее, получаем h=y2+c. Общий интеграл исходного уравнения тогда можно записать в виде

2x3y2+3x2y-x+y2=c.

Пример 2. Найти решение уравнения

2xsinydx+(3y2+x2cosy)dy=0.

Проверяем, является ли оно уравнением в полных дифференциалах? Для этого из M(x,y)=2xsiny, N(x,y)=3y2+x2cosy

Находим

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Так как, очевидно, выполняется условие

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

то уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.

Сначала решаем уравнение

Дифференциальные уравнения I и II порядка или dU=2xsinydx,

считая y постоянной. Интегрирование уравнения дает

U(x,y)=x2siny+h(y).

Затем находим функцию h(y), используя соотношения

Дифференциальные уравнения I и II порядка, с одной стороны, иДифференциальные уравнения I и II порядка, с другой стороны. Соотношения приводят к дифференциальному уравнению

Дифференциальные уравнения I и II порядка илиДифференциальные уравнения I и II порядка.

Интегрируя последнее уравнение, получаем h=y3+c.

Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения записывается в виде

X2siny+y3+c=0.

Далее рассмотрим понятие интегрирующего множителя. Ранее отмечалось, что уравнение в полных дифференциалах возникает, когда поведение системы сохраняет некоторую величину U, т.е. удовлетворяет соотношению

U(x,y)=c.

Дифференциальным аналогом его является уравнение dU(x,y)=0 или

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,

ГдеДифференциальные уравнения I и II порядка.

Предположим теперь, что частные производные функции U(x,y) представимы в виде

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Тогда соотношению U(x,y)=e будет соответствовать уравнение в полных дифференциалах вида

M(x,y)g(x,y)dx+N(x,y)g(x,y)dy=0.

Если теперь данное уравнение разделить на общий множитель слагаемых g(x,y), то получим уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.

Решение последнего уравнения эквивалентно решению предыдущего, из которого оно получено, однако оно может уже не являться уравнением в полных дифференциалах, также для него возможно будет

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

В то же время после умножения его на множитель g(x,y), оно становится уравнением в полных дифференциалах.

Определение. Функция g(x,y) называется интегрирующим множителем дифференциального уравнения

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,

Если после умножения его на эту функцию оно становится уравнением в полных дифференциалах.

Данный способ решения дифференциального уравнения называется методом интегрирующего множителя.

Найдем условие, которому должен подчиняться интегрирующий множитель g(x,y). Из предложения, что уравнение

M(x,y)g(x,y)dx+N(x,y)g(x,y)dy=0

Становится уравнением в полных дифференциалах следует выполнение условия

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Разверернув левую и правую части этого тождества

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

заключаем, что функция g(x,y) должна являться решением уравнения

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

В общем случае решение данного уравнения вызывает затруднения. Отметим два случая, когда его решение становится проще.

Случай первый. Пусть

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Тогда интегрирующий множитель можно искать в виде функции зависящей только от x.

Действительно, пусть g=g(x). Тогда в видуДифференциальные уравнения I и II порядка; получаем, что искомая функция g(x) является решением дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения I и II порядка илиДифференциальные уравнения I и II порядка,

интегрируя которое, находим

Дифференциальные уравнения I и II порядка, т.е.Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Второй слуяай относится к аналогичной ситуации, когда

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Тогда интегрирующий множитель ищется в виде функции только от y, т.е. g=g(y).

Аналогично предыдущему, не трудно видеть, что функция g(y) является решением уравнения

Дифференциальные уравнения I и II порядка

и представляется в виде

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Пример 3. Дано уравнение

(y2-3xy-2x2)dx+(xy-x2)dy=0.

Из M(x,y)=y2-3xy-2x2, N(x,y)=xy-x2,Дифференциальные уравнения I и II порядка, Дифференциальные уравнения I и II порядка следуетДифференциальные уравнения I и II порядка, т.е. уравнение не является в полных дифференциалах.

Однако из соотношения

Дифференциальные уравнения I и II порядка

вытекает, что можно найти такой интегрирующий множитель g=g(x), после умножения на который исходное уравнение становится уравнением в полных дифференциалах.

Указанный множитель находим из уравнения

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

интегрируя которое получаемДифференциальные уравнения I и II порядка, или g=xc. Так как в качестве множителя достаточно взять одну из функций, то положим c=1 и, тогда, g=x.

Умножая исходное уравнение на множитель g=x, получаем

(xy2-3x2y-2x3)dx+(x2y-x3)dy=0,

являющееся уже уравнением в полных дифференциалах. Интегрируя его, находим

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

затем из U/y=x2y-x3+h/(x) и U/y=N(x,y)=x2y-x3

получаем x2y-x3+h/=x2y-x3, т.е.Дифференциальные уравнения I и II порядка и,

следовательно, h=c=const. Таким образом, общее решение имеет вид

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Пример 4. Требуется решить уравнение

(2xy2-y)dx+(y2+x+y)dy=0.

Из M(x,y)=2xy2-y, N(x,y)=y2+x+y,Дифференциальные уравнения I и II порядка следует

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Однако из соотношения

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

вытекает, что для исходного дифференциального уравнения существует интегрирующий множитель g=g(y), с помощью которого уравнение становится уравнением в полных дифференциалах.

Интегрирующий множитель находится из уравнения

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Интегрируя его, получаемДифференциальные уравнения I и II порядка.

Умножая исходное уравнение на множительДифференциальные уравнения I и II порядка, приходим к уравнению

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Это уравнение является уже уравнением в полных дифференциалах. Решаем его

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

затем изДифференциальные уравнения I и II порядка

получаем

Дифференциальные уравнения I и II порядка илиДифференциальные уравнения I и II порядка.

Интегрируя последнее уравнение, имеемДифференциальные уравнения I и II порядка.

Таким образом, общий интеграл исходного уравнения имеет вид

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

7. Дифференциальные уравнения второго порядка.

Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка имеет следующий общий вид

F(x,y,y/,y//)=0 илиДифференциальные уравнения I и II порядка.

Наше знакомство с дифференциальными уравнениями второго порядка будет ограничено рассмотрением линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y//+py/+qy=h(x),

где p и q – числа, h(x) – некоторая функция от x.

Если в этом уравненииДифференциальные уравнения I и II порядка, то оно называется однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Рассмотрим решение однородного уравнения

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Этому явлению может быть поставлено в соответствие квадратное уравнение вида Дифференциальные уравнения I и II порядка,

Называемое характеристическим. Его корниДифференциальные уравнения I и II порядка, как известно, определяются формулами

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Возможны следующие три случая для вида корнейДифференциальные уравнения I и II порядка этого уравнения:

1) корни уравнения – действительные и различные;

2) корни – действительные и равные;

3) корни уравнения – комплексно-сопряженные.

Для каждого из этих случаев однородное дифференциальное уравнение имеет свой вид общего интеграла.

Случай 1. Дискриминант характеристического уравнения положителен, т.е. p2-4q>0. Тогда оба корняДифференциальные уравнения I и II порядкадействительные и различные. В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

где c1, c2 – произвольные постоянные.

Действительно, еслиДифференциальные уравнения I и II порядка, тоДифференциальные уравнения I и II порядка, Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Подставляя выражения для y,y/ и y// в уравнение получим

Дифференциальные уравнения I и II порядка

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Случай 2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю, т.е p2-4q=0.

Тогда оба корняДифференциальные уравнения I и II порядка действительные и равные, т.е.Дифференциальные уравнения I и II порядка.

В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Случай 3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен, т.е. p2-4q<0.

Тогда говорят, что квадратное уравнение не имеет действительных корней (или что оба корня являются комплексно-сопряженными). В этом случае, обозначая

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

общее решение однородного уравнения дается в виде

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Рассмотрим теперь решение неоднородного уравнения

y//+py/+g(y)h(x),

где h(x) – некоторая функция от x.

Пусть в этом уравнении q=0, тогда, используя подстановку y/=z, y//=z/, приходим к решению линейного дифференциального уравнения первого порядка z/+pz=h(x).