Курсовая работа: Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Курсовая работа по информатике

Исполнитель: Солнцев П.В.

Санкт-Петербургский Государственный Технологический Институт (Технический Университет)

Санкт-Петербург 2001

Введение

В решении любой прикладной задачи можно выделить три основных этапа: построение математической модели исследуемого объекта, выбор способа и алгоритма решения полученной модели, численная реализация алгоритма.

Цель данной работы – на примере исследования распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне освоить основные методы приближённых вычислений, приобрести практические навыки самостоятельных исследований, существенно опирающихся на использование методов прикладной математики.

Постановка задачи

Физическая модель

В ряде практических задач возникает необходимость исследования распределения температуры вдоль тонкого цилиндрического стержня, помещённого в высокотемпературный поток жидкости или газа. Это исследование может проводиться либо на основе обработки эксперимента (измерение температуры в различных точках стержня), либо путём анализа соответствующей математической модели.

В настоящей работе используются оба подхода.

Тонкий цилиндрический стержень помещён в тепловой поток с постоянной температурой , на концах стержня поддерживается постоянная температура 0.

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

1.2 Математическая модель

Совместим координатную ось абсцисс с продольной осью стержня с началом в середине стержня. Будем рассматривать задачу (распределения температуры по стержню) мосле момента установления режима Т0.

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Первая математическая модель использует экспериментальные данные, при этом измеряют температуру Ui стержня в нескольких точках стержня с координатами xi. Результаты измерения Ui рассматривают как функцию регрессии и получают статистики. Учитывая чётность U(x) можно искать её в виде многочлена по чётным степеням x (ограничимся 4-ой степенью этого многочлена).

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

 (1.1)

Задача сводится к отысканию оценок неизвестных параметров, т.е. коэффициентов a0 , a1 и a2 , например, методом наименьших квадратов.

Вторая математическая модель, также использующая экспериментальные данные, состоит в применении интерполяционных формул и может употребляться, если погрешность измерений температуры Ui пренебрежимо мала, т.е. можно считать, что U(xi)=Ui

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Третья математическая модель основана на использовании закона теплофизики. Можно доказать, что искомая функция U(x) имеет вид:

 (1.2)

где коэффициент теплопроводности, коэффициент теплоотдачи, D – диаметр стержня, температура потока, в который помещён стержень.

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Ищем U(x) как решение краевой задачи для уравнения (1.2) с граничными условиями:

 (1.3)

на отрезке [-L|/2;L/2], где L – длина стержня, постоянная температура, поддерживаемая на концах стержня.

Коэффициент теплопроводности  зависит от температуры:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

 (1.4)

где начальное значение коэффициента теплопроводности, вспомогательный коэффициент.

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Коэффициент теплоотдачи вычисляют по формуле:

 (1.5)

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

т.е. как среднее значение функции

за некоторый отрезок времени от 0 до Т, здесь значение при t стремящемся к бесконечности, b – известный коэффициент.

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Время Т0, по истечении которого распределение температуры в стержне можно считать установившимся определяется по формуле:

 (1.6)

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

где а – коэффициент температуропроводности, наименьший положительный корень уравнения:

 (1.7)

Задание курсовой работы

Вариант № 136

Исходные данные:

L = 0.0386 м

D = 0,00386 м

оС

оС

141,85 (Вт/м*К)

2,703*10-4

6,789*10-7

3,383*102 (Вт/м2*К)

218 оС

 А = 3,043*10-5 (м2/с)

11

X, м U, oC
0 353
0,00386 343
0,00772 313
0,01158 261
0,01544 184
0,01930 74

2. Обработка результатов эксперимента.

2.1 Задача регрессии. Метод наименьших квадратов.

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Ищем функцию регрессии в виде (1.1). Оценки коэффициентов находим с помощью МНК, при этом наименьшими будут оценки, обеспечивающие минимум квадратов отклонений оценочной функции регрессии от экспериментальных значений температуры; суммирование ведут по всем экспериментальным точкам, т.е. минимум величины S:

 (2.1)

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

В нашем случае необходимым т достаточным условием минимума S будут:

Где k = 0, 1, 2. (2,2)

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Из уравнений (2.1) и (2.2) получаем:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

 (2.3)

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Сумма

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Система (2.3) примет вид:

 (2.4)

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

В результате вычислений получаем Sk и Vj. Обозначим матрицу коэффициентов уравнения (2.4) через “p”:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Методом Гаусса решаем систему (2.4) и найдём обратную матрицу p-1. В результате получаем:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Подставляя в (2.1) найденные значения оценок коэффициентов ак, находим минимальное значение суммы S:

 Smin=0.7597

При построении доверительных интервалов для оценок коэффициентов определяем предварительно точечные оценки.

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Предполагается, что экспериментальные значения xi измерены с пренебрежимо малыми ошибками, а случайные ошибки измерения величины Ui независимы и распределены по нормальному закону с постоянной дисперсией , которая неизвестна. Для имеющихся измерений температуры Ui неизвестная дисперсия оценивается по формуле:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Где r – число степеней свободы системы, равное разности между количеством экспериментальных точек и количеством вычисляемых оценок коэффициентов, т.е. r = 3.

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Оценка корреляционной матрицы имеет вид:

 

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Оценки дисперсий параметров оценок коэффициентов найдём по формулам:

 Где Sk – минор соответствующего диагонального элемента матрицы нормальной системы;

 главный определитель нормальной системы.

В нашем случае:

S0=3.5438 10-22

S1=-8.9667 10-14

S2=6.3247 10-7

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Откуда:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Найденные оценки коэффициентов распределены по нормальному закону, т.к. линейно зависят от линейно распределённых экспериментальных данных Ui.

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Известно, что эти оценки несмещённые и эффективные. Тогда случайные величины:

 Имеют распределения Стьюдента, а r = 3.

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Выбираем доверительную вероятность =0,9 и по таблице Стьюдента находим критическое значение равное 2,35, удовлетворяющее равенству:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Доверительные интервалы для коэффициентов:

 (2.4*)

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

В нашем случае примут вид:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

2.2 Проверка статистической гипотезы об адекватности модели задачи регрессии.

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Имеется выборка объёма n экспериментальных значений (xi;Ui). Предполагаем, что ошибки измерения xi пренебрежимо малы, а случайные ошибки измерения температур Ui подчинены нормальному закону с постоянной дисперсией Мы выбрали функцию регрессии в виде:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Выясним, нельзя ли было ограничиться многочленом второго порядка, т.е. функцией вида:

 (2.5)

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

C помощью МНК можно найти оценки этих функций и несмещённый оценки дисперсии отдельного измерения Ui для этих случаев:

Где r1 = 4 (количество точек – 6, параметра – 2).

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Нормальная система уравнений для определения новых оценок коэффициентов функции (2.5)с помощью МНК имеет вид:

 (2.7)

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Решая эту систему методом Гаусса, получим:

 (2.8)

Чем лучше функция регрессии описывает эксперимент, тем меньше для неё должна быть оценка дисперсии отдельного измерения Ui, т.к. при плохом выборе функции в дисперсию войдут связанные с этим выбором дополнительные погрешности. Поэтому для того, чтобы сделать выбор между функциями U(x) и U(1)(x) нужно проверить значимость различия между соответствующими оценками дисперсии, т.е. проверить гипотезу:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Н0 – альтернативная гипотеза

Т.е. проверить, значимо ли уменьшение дисперсии при увеличении степени многочлена.

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

В качестве статического критерия рассмотрим случайную величину, равную:

 (2.9)

имеющую распределение Фишера с(r ; r1) степенями свободы. Выбираем уровень распределения Фишера, находим критическое значение F*, удовлетворяющее равенству: p(F>F*=

В нашем случае F=349.02, а F*=10,13.

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Если бы выполнилось практически невозможное соотношение F>F, имевшее вероятность 0,01, то гипотезу Н0 пришлось бы отклонить. Но в нашем случае можно ограничиться многочленом

, коэффициенты в котором неодинаковы.

3. Нахождение коэффициента теплопроводности .

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

 Коэффициент вычислим по формуле (1.5), обозначим:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

 (3.1)

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Определим допустимую абсолютную погрешность величины интеграла I, исходя из требования, чтобы относительная погрешность вычисления не превосходила 0,1%, т.е.:

 (3.2)

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Т.к. из (3.1) очевидно, что , то условие (3.2) заведомо будет выполнено, если:

 (3.3)

Т.е. в качестве предельно допустимой абсолютной погрешности вычисления интеграла I возьмём 0,001Т (3.4)

Т=218 оС, следовательно, 0,218 оС.

3.1 Вычисление интеграла I методом трапеции

 Использование теоретической оценки погрешности

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Для обозначения требуемой точности количества частей n, на которые нужно разбить отрезок интегрирования [0;T] определяется по формуле:

, где M[f”(t)], t e [0;T], f(t)=e-bt3

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Учитывая формулу (3.4) получаем:

 (3.5)

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Дифференцируя f(t), получим:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

А необходимое условие экстремума: f”(t)-f’’’(t)=0, откуда получаем:

Далее вычисляем значения f’’(t) при t=t1, t=t2, t=0 и t=T, получаем:

f’’(t1)=1.5886 10-4

f’’(t2)=-1.6627 10-4

f’’(0)=0

f’’(T)=7.4782 10-6

Итак: M1,5886 10-4, откуда n=25.66; принимаем N=26.

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Далее вычислим интеграл I:

Погрешность вычисления :

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

3.2 Вычисление интеграла I методом парабол

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

При расчётах будем использовать теоретическую оценку погрешности с помощью правила Рунге. Для обеспечения заданной точности количество частей n, на которое следует разделить интервал интегрирования можно определить по формуле:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

, откуда:

Нахождение М4 можно провести аналогично нахождению М2 в предыдущем пункте, но выражение для fIV(t) имеет довольно громоздкий вид. Поэтому правило Рунге – наиболее простой способ.

Обозначим через In и I2n значение интеграла I, полученное при разбиении промежутка интегрирования соответственно на n и 2n интервалов. Если выполнено равенство: |I2n-In| = 15 , то |I-I2n|=

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Будем , начиная с n=2, удваивать n до тех пор, пока не начнёт выполняться неравенство (*1), тогда:

 (3.6)

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Согласно формуле парабол (3.7):

Результаты вычислений сведём в таблицу:

n In I2n
4 102.11
8 101.61 0.5017

По формуле (3.7) I = 101,61 что в пределах погрешности совпадает со значением, полученным по методу трапеций

n=8 n=4
ti (8) y8 ti (4) y4
0 1 0 1
27.25 0.9864
54.5 0.8959 54.5 0.8959
81.75 0.6901
109 0.4151 109 0.4151
136.25 0.1796
163.5 0.0514 163.5 0.0514
190.75 0.0089874
218 0.00088179 218 0.00088179

4. Вычисление времени Т0 установления режима

4.1 Решение уравнения комбинированным методом

Время установления режима определяется по формулам (1.6) и (1.7).

Проведём сначала отделение корней. Имеем y = ctg(x) и y = Ax. Приведём уравнение к виду: A x sin(x)-cos(x) = 0. Проведём процесс отделения корня.

F(x) -1 -0.6285 0.4843
x 0.01 0.05 0.1

т.е. с [0.01;0.05]

Убедимся, что корень действительно существует и является единственным на выбранном интервале изоляции.

f(a) f(b)0 – условие единственности также выполняется. Проведём уточнение с погрешностью не превышающей 

Строим касательные с того конца, где f(x) f”(x)>0

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

f”(x)=(2A+1)cos(x) – A x sin(x). f”(x)>0 на (a;b), следовательно касательные строим справа, а хорды слева. Приближение корня по методу касательных:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

по методу хорд:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Вычисление ведём до того момента, пока не выполнится условие:

Результаты вычислений заносим в таблицу:

n an bn f(an) f(bn)
0 0.05 0.1 -0.6285 0.4843
1 0.07824 0.08366 -0.0908 0.0394
2 0.08202 0.08207 -9.1515 10-4 3.7121 10-4
3 0.08206 0.08206 -8.4666 10-8 3.4321 10-8

Т0 = 72,7176 секунд.

4.2 Решение уравнения комбинированным методом

Приведём f(x) = 0 к виду x = (x). Для этого умножим обе части на произвольное число , неравное нулю, и добавим к обеим частям х:

X = x - f(x)

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

xx - A x sin(x) + cosx)

В качестве возьмём:

где М = max [f’(x)] на [a;b], а m = min [f’(x)] на [a’b]

В силу монотонности f’(x) на [a;b] имеем m = f’(а), М = f’(b). Тогда 0,045.

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Приближение к корню ищем по следующей схеме:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Вычисление ведём до тех пор, пока не выполнится условие:

 (q = max |’(x)| на [a’b])

’(x) на [a’b] монотонно убывает, поэтому максимум его модуля достигается на одном из концов.

’(0,05) = 0,3322 ’(0,1) = -0,3322, следовательно, q = 0.3322 < 1. В этом случае выполняется условие сходимости и получается последовательность:

i xi ( xi)  xi
0 0.075 0.082392 0.00739
1 0.082392 0.082025 0.000367
2 0.082025 0.08206 3.54 10-5
3 0.08206 0.082057 3.33 10-6
4 0.082057 0.082057 3.15 10-7

Итак, с погрешностью, меньшей 10-4, имеем:

Т0 = 72,7176 с. , 0.03142

5. Решение краевой задачи

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Используем метод малого параметра. Краевую задачу запишем в виде:

 (5.1)

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Введя новую переменную y = (U - , запишем (5.1) в виде:

 (5.2)

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

0.18L/2 =0.0193. В качестве малого параметра возьмём .

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

 Тогда, подставив y(x) в уравнение (5.2) и перегруппировав члены при одинаковых степенях , получим:

 (5.3)

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Ограничимся двумя первыми членами ряда:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Из (5.2) и (5.3) находим общее решение уравнения для y0:

где y0 с тильдой – частное решение данного неоднородного уравнения; y(1) и y(2) – линейно независимые решения однородного уравнения.

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Корни уравнения:

y0общ = 1 + c1ch(px)+c2sh(px), где p = 0.01953

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Константы найдём из граничных условий:

откуда с1 = 0, с2 = -0,57; т.е. имеем функцию:

y0 = 1 - 0.57 sh(px)

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Общее решение:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Частное решение:

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получим:

А1 = 0; А2 = -0,1083; В1 = 0; В2 = 17,1569;

Тогда общее решение для y1 имеет вид:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

с3 = 0; с4 = 0,0462

Перейдя к старой переменной U, получим:

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне



Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Итоговое уравнение:

Пользуясь этой формулой, составим таблицу значений функции U(x):

x U(x) U
0 352.9075 353
0.0019 350.4901
0.0039 343.1972 343
0.0058 330.9053
0.0077 313.4042 313
0.0097 290.391
0.0116 261.4598 261
0.0135 226.0893
0.0154 1836255 184
0.0174 133.2579
0.0193 74 74

Используя данную таблицу, строим график функции U(x).

 [см. приложение 1]

6. Заключение

Решение задачи на ЭВМ при помощи вычислительной системы ManhCad 7.0 дало результаты (функцию распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне), полученные по решению практического задания и обработкой эксперимента (функции регрессии), которые практически (в пределах погрешности) совпадают с экспериментальными значениями.

Список литературы

1. Методические указания «Методы приближённых вычислений. Решение нелинейных уравнений» (ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1983)

2.Методические указания «Приближённые методы ислисления определённых интегралов» (ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1986)

Методические указания «Изучение распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне» (ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1988)