Доклад: Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

1. Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга кривой задана уравнением y=f(x), a≤x≤b, и имеет плотность 1) Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики=Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики(x), то статические моменты этой дуги Mx и My относительно координатных осей Ox и Oy равны

Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

моменты инерции IХ и Iу относительно тех же осей Ох и Оу вычисляются по формулам

Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

а координаты центра масс Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики и Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики — по формулам

Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

где l— масса дуги, т. е.

Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

Пример 1. Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей Ох

и Оу дуги цепной линии y=chx при 0≤x≤1.

1) Всюду в задачах, где плотность не указана, предполагается, что кривая однородна и Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики=1.

Имеем: Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физикиСледовательно,

Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики 

Пример 2. Найти координаты центра масс дуги окружности x=acost, y=asint, расположенной в первой четверти.

Имеем: Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

Отсюда получаем:

Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики 

В приложениях часто оказывается полезной следующая

Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой ее центром масс.

 Пример 3. Найти координаты центра масс полуокружности Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

Вследствие симметрии Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики. При вращении полуокружности вокруг оси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики, а длина полуокружности равна па. По теореме Гульдена имеем Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

Отсюда Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики, т.е. центр масс C имеет координаты CПриложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики.

2. Физические задачи. Некоторые применения определенного интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в примерах 4—7.

Пример 4. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики (м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.

Так как путь, пройденный телом со скоростью Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики(t) за отрезок времени [t1,t2], выражается интегралом

Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

то имеем:

Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики