Реферат: Алгебра матриц

Основные понятия

Определение. Прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, заполненная некоторыми математическими объектами, называется Алгебра матриц – матрицей.

Мы будем рассматривать числовые матрицы. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Для обозначения матрицы, как правило, используются круглые скобки. При записи, в общем виде элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, из которых первый указывает номер строки, а второй – номер столбца матрицы. Например, матрица

.
Алгебра матриц

.

В сокращенной записи: А=(аij); где аij - действительные числа, i=1,2,…m;

j=1,2,…,n (кратко Алгебра матриц , Алгебра матриц. ). Произведение Алгебра матриц называют размером матрицы.

Матрица называется квадратной порядка n, если число ее строк равно числу столбцов и равно n:

Алгебра матриц

 Упорядоченный набор элементов а11,а22,…,аnn называется главной диагональю, в свою очередь, а1n,а2,n-1,…,аn1 – побочной диагональю матрицы. Квадратная матрица, элементы которой удовлетворяют условию:          Алгебра матриц

называется диагональной, т.е. диагональная матрица имеет вид:

               Алгебра матриц

Диагональная матрица порядка n называется единичной, если все элементы ее главной диагонали равны 1. Матрица любого размера называется нулевой или нуль матрицей, если все ее элементы равны нулю. Единичная матрица обозначается буквой Е, нулевая – О. Матрицы имеют вид:

.
Алгебра матриц           Алгебра матриц

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

Определение. Суммой матриц А=(аij) и B=(bij) одинаковых размеров Алгебра матриц называется матрица С=(сij) тех же размеров, такая что cij=aij+bij для всех i и j.

Алгебра матриц.

Таким образом, чтобы сложить матрицы А и В, надо сложить их элементы, стоящие на одинаковых местах. Например,

A + B = Алгебра матриц = C

Определение. Произведение матрицы А на число l называется матрица         lА=(l аij), получаемая умножением всех элементов матрицы А на число l.

Алгебра матриц

Например, если Алгебра матриц и l=5,   то Алгебра матриц

Разность матриц А и В можно определить равенством А-В=А+(-1)В.

Рассмотренные операции называются линейными.

Отметим некоторые свойства операций.

Пусть А,В,С – матрицы одинакового размера; a,b - действительные числа.

А+В = В+А – коммутативность сложения.

(А+В)+С = А+(В+С) – ассоциативность сложения.

Матрица О, состоящая из нулей, играет роль нуля: А+О=А.

Для любой матицы А существует противоположная –А, элементы которой отличаются от элементов А знаком, при этом А+( -А)=О.

a(bА) = (ab)А = (aА)b.          6. (a+b)А = aА+bА.

            7.   a(А+В) = aА+aВ.         8.  1* А = А.          9.   0 * А = 0.

Умножение матриц

В матричной алгебре важную роль играет операция умножения матриц, это весьма своеобразная операция.

Определение. Произведением матрицы А=(аij)  размера Алгебра матриц и прямоугольной матрицы B=(bij)  размера  Алгебра матриц называется прямоугольная матрица С=(сij) размера Алгебра матриц, такая что cij=ai1+b1j+ ai2+b2j+…+ aik+bkj; Алгебра матриц , Алгебра матриц.

Таким образом, элемент произведения матриц А и В, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений элементов i-ой строки первой матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца второй матрицы В т.е.

 Алгебра матриц.

Алгебра матрицПроизведение С=АВ определено, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Это условие, а также размеры матриц можно представить схемой:

Алгебра матриц

Алгебра матрицОчевидно, что операция умножения квадратных матриц всегда определена.

Примеры. Найдем произведения матриц АВ и ВА, если они существуют.

1.  Алгебра матриц, Алгебра матриц.

     Алгебра матриц 

     Алгебра матриц

                                          Алгебра матриц

2.  Алгебра матриц, Алгебра матриц.

     Алгебра матриц 

     Алгебра матриц

                                          Алгебра матриц

Таким образом, коммутативный (переместительный) закон умножения матриц, вообще говоря, не выполняется, т.е. Алгебра матриц В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А  n-го порядка на единичную матрицу Е такого же порядка, т.е. Алгебра матриц

3. Алгебра матриц, Алгебра матриц.

Для этих матриц произведение как АВ ,так и ВА не существует.

Алгебра матрицАлгебра матриц

      Алгебра матриц

Получим Алгебра матриц, ВА – не существует.

Свойства умножения матриц.

Пусть А,В,С – матрицы соответствующих размеров (т.е. произведения матриц определены), l - действительное число. Тогда на основании определений операций и свойств действительных чисел имеют место следующие свойства:

(АВ)С = А(ВС) – ассоциативность.

(А+В)С = АС+ВС – дистрибутивность.

А(В+С) = АВ+АС – дистрибутивность.

l(АВ) = (lА)В = А(lВ).

ЕА = АЕ = А, для квадратных матриц единичная матрица Е играет роль единицы.

Приведем пример доказательства лишь одного свойства. Докажем, например, свойство 3.

Пусть для А=(аij), B=(bij), C=(cij) произведения матриц определены. Найдем элемент i-ой строки и j-го столбца матрицы А(В+С). Это будет число

аi1(b1j+c1j)+ аi2(b2j+c2j)+…+аin(bnj+cnj) =

(аi1b1j+ai2b2j+…+ainbnj)+ (аi1c1j+ai2c2j+…+aincnj).

Первая сумма в правой части равенства равна элементу из i-ой строки и j-го столбца матрицы АВ, а вторая сумма равна элементу из i-ой строки и j-го столбца матрицы АС. Рассуждение верно при любых i и  j, то свойство 3 доказано.

Упражнение 1. Проверьте свойство ассоциативности 1 для матриц:

Алгебра матриц, Алгебра матриц, Алгебра матриц.

Упражнение 2. Проверьте свойство дистрибутивности 2 для матриц:

Алгебра матриц, Алгебра матриц, Алгебра матриц.

Упражнение 3. Найти матрицу А3, если Алгебра матриц.

Вырожденные и невырожденные матрицы

Определение. Матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если определитель матрицы отличен от нуля.

Пример. Алгебра матриц, Алгебра матриц = 16-15 = 1 Алгебра матриц 0; А – невырожденная матрица.

                Алгебра матриц, Алгебра матриц = 12-12 = 0;  А – вырожденная матрица.

Теорема. Произведение матриц есть вырожденная матрица тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей есть вырожденная матрица.

Необходимость. Пусть АВ – вырожденная матрица, т.е. Алгебра матриц=0. Тогда, в силу того, что определитель произведения матриц равен произведению определителей перемножаемых матриц, имеем Алгебра матриц Это значит, что хотя бы одна из матриц А или В является вырожденной.

Достаточность. Пусть в произведении АВ матрица А вырожденная, т.е. Алгебра матриц=0. Найдем Алгебра матриц, т.к. Алгебра матриц=0; итак, Алгебра матриц=0; АВ - вырожденная матрица.

Замечание. Доказанная теорема справедлива для любого числа множителей.

Обратная матрица

Определение. Квадратная матрица В называется обратной по отношению к матрице А такого же размера, если

АВ = ВА = Е.          (1)

Пример. Алгебра матриц, Алгебра матриц.

              Алгебра матриц Алгебра матриц

В – матрица обратная к А.

Теорема. Если  для данной матрицы обратная существует, то она определяется однозначно.

Предположим, что для матрицы А существуют матрицы Х и У, такие, что

                                                     АХ = ХА = Е        (2)

АУ = УА = Е       (3)

Умножая одно из равенств, например, АХ = Е слева на У, получим У(АХ) = УЕ. В силу ассоциативности умножения имеем (УА)Х = УЕ. Поскольку УА = Е, то ЕХ = УЕ, т.е.      Х = У. Теорема доказана.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы).

Обратная матрица А-1 существует тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная.

Необходимость. Пусть для матрицы А существует обратная А-1, т.е.                        А Алгебра матриц А-1 = А-1Алгебра матрицА = Е. Тогда, ½ААлгебра матриц А-1½= ½А½Алгебра матриц½А-1½=½Е½=1, т.е. ½А½Алгебра матриц0 и ½А-1½Алгебра матриц0;       А – невырожденная.

Достаточность. Пусть дана невырожденная матрица порядка n

Алгебра матриц,

так что ее определитель Алгебра матриц0. Рассмотри матрицу, составленную из алгебраических дополнений к элементам матрицы А:

Алгебра матриц,

ее называют присоединенной к матрице А.

Следует обратить внимание на то, что алгебраические дополнения к элементам i-ой строки матрицы А стоят в i-ом столбце матрицы А*, для Алгебра матриц.

Алгебра матрицАлгебра матрицНайдем произведения матриц АА* и А*А. Обозначим АА* через С, тогда по определению произведения матриц имеем: Сij = аi1А 1j + а i2А 2j + … + а inАnj; i = 1, n: j = 1, n.

При i = j получим сумму произведений элементов i - ой строки на алгебраические дополнения этой же строки, такая сумма равняется значению определителя. Таким образом Сij = |А| = D - это элементы главной диагонали матрицы С. При i Алгебра матриц j, т.е. для элементов Сij  вне главной диагонали матрицы С, имеем сумму произведений всех элементов некоторой строки на алгебраические дополнения другой строки, такая сумма равняется нулю. Итак, Алгебра матриц = АА*

Аналогично доказывается, что произведение А на А* равно той же матрице С. Таким образом, имеем А*А = АА* = С. Отсюда следует, что

Алгебра матриц

Поэтому, если в качестве обратной матрицы взять Алгебра матриц, то Алгебра матриц Итак, обратная матрица существует и имеет вид:

Алгебра матриц.

Пример. Найдем матрицу, обратную к данной:

Алгебра матриц

Находим D = |А| = -1 ¹ 0, ААлгебра матриц существует. Далее находим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

ААлгебра матриц = Алгебра матриц = 0 ; ААлгебра матриц = Алгебра матриц = -1; ААлгебра матриц = Алгебра матриц = 3;

ААлгебра матриц = Алгебра матриц = -3; ААлгебра матриц = Алгебра матриц = 3; ААлгебра матриц = Алгебра матриц = -4;

ААлгебра матриц = Алгебра матриц = 1; ААлгебра матриц = Алгебра матриц = -1; ААлгебра матриц = Алгебра матриц = 1;

ААлгебра матриц = Алгебра матриц