Курсовая работа: Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

Курсовая работа по курсу «Математика»

Кировоград 2004

Вступление

Элементы математического анализа занимает значительное место в школьном курсе математики. Учащиеся овладевают математическим аппаратом, который может быть эффективно использован при решении многих задач математики, физики, техники. Язык производной и интеграла позволяет строго формулировать многие законы природы. В курсе математики с помощью дифференциального и интегрального исчислений исследуются свойства функций, строятся их графики, решаются задачи на наибольшее и наименьшее значения, вычисляются площади и объемы геометрических фигур. Иными словами, введение нового математического аппарата позволяет рассмотреть ряд задач, решить которые нельзя элементарными методами. Однако возможности методов математического анализа такими задачами не исчерпывается.

Многие традиционные элементарные задачи (доказательство неравенств, тождеств, исследование и решение уравнений и другие) эффективно решаются с помощью понятий производной и интеграла. Школьные учебники и учебные пособия мало уделяют внимания этим вопросам. Вместе с тем нестандартное использование элементов математического анализа позволяет глубже усвоить основные понятия изучаемой теории. Здесь приходится подбирать метод решения задачи, проверять условия его применимости, анализировать полученные результаты. По существу, зачастую проводится небольшое математическое исследование, в процессе которого развиваются логическое мышление, математические способности, повышается математическая культура.

Для многих задач элементарной математики допускается как «элементарное», так и «неэлементарное» решение. Применение производной и интеграла дает как правило более эффективно решение. Появляется возможность оценить силу, красоту, общность нового математического аппарата.

Методы математического анализа используются не только для решения поставленных задач, но и являются источником получения новых фактов элементарной математики.

Раздел 1. Некоторые применения производной

1.1. Применение производной при решении неравенств

Дифференциальное исчисление широко используется при исследовании функций. С помощью производной можно найти промежутки монотонности функции, ее экстремальные точки, наибольшие и наименьшие значения.

Если функция f имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке некоторого промежутка, то она возрастает (убывает) на этом промежутке. При нахождении промежутков монотонности нужно иметь в виду, что если функция возрастает (убывает) на интервале (a,b) и непрерывна в точках a и b, то она возрастает (убывает) на отрезке [a,b].

Если точка x0 является точкой экстремума для функции f и в этой точке существует производная, то f/(x0)=0. В точке экстремума функция может не иметь производную. Внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими. Чтобы установить, имеет ли функция в данной критической точке экстремум, пользуются следующими достаточными признаками существования экстремума.

Если функция f непрерывна в точке x0 и существуют такие точки a, b, что f/(x0)>0 (f/(x0)<0 ) на интервале (a,x0) и f/(x0)<0 (f/(x0)>0 ) на интервале (x0,b), то точка x0 является точкой максимума (минимума) функции f.

Для отыскания наибольших и наименьших значений f на отрезке [a,b] достаточно сравнить между собой значения f в точках a, b и в критических точках из отрезка [a,b].

Эти результаты применимы при решении многих элементарных задач, связанных с неравенствами.

Пусть, например, требуется доказать, что на некотором промежутке имеет место неравенство f(x)³g(x). Обозначим f(x)-g(x) через F(x). С помощью производной F/(x) находим наименьшее значение F на данном промежутке. Если оно неотрицательно, то во всех точках рассматриваемого промежутка F(x)³0, т.е.

f(x)³g(x).

Задача 1.1. Доказать что (e+x)e-x>(e-x)e+x для 0<x<e.

Решение.

Данное неравенство равносильно следующему: (e-x)ln(e+x)>(e+x)ln(e-x).

Пусть f(x)=(e-x)ln(e+x)-(e+x)ln(e-x),

тогда  f/(x)=-ln(e+x)+(e-x)/(e+x)-ln(e-x)+(e+x)/(e-x).

Так как (e-x)/(e+x)+(e+x)/(e-x)=2(e2+x2)/(e2-x2)>2,

ln(e+x)+ln(e-x)=ln(e2-x2)<lne2=2,

то f/(x)>0 при 0<x<e. Следовательно, функция f возрастает на интервале (0,e). Функция f(0) – непрерывна. Поэтому эту точку можно включить в промежуток возрастания. Поскольку f(0)=0, а f возрастает при 0£x<e, то f(x)>0 при 0<x<e. Отсюда получаем решение задачи 1.

Задача 1.2. Доказать неравенство tgka+ctgka³2+k2cos22a, 0<a<p/2, k–натуральные.

Решение.

Неравенство можно записать в виде: (ctgk/2a–tgk/2a)2³k2cos22a.

Пусть сначала 0<a<p/4. На этом интервале ctg a> tg a, cos 2a>0, поэтому последнее неравенство эквивалентно неравенству ctgk/2a–tgk/2a ³ k*cos 2a.

Положим f(a)=ctgna–tgna–2n*cos 2a, где n=k/2.

Далее, f/(a) = –(n/sin2a)ctgn-1a – (n/cos2a)tgn-1a + 4n*sin 2a = – n((ctgn-1a + tgn-1a) + (ctgn+1a + tgn+1a) – 4sin 2a) £ – n(2-2sin 2a)<0 при 0<a<p/4.

Здесь, как и в предыдущей задаче, использован тот факт, что сумма взаимно обратных положительных чисел больше или равна 2. Таким образом, на интервале 0<a<p/4 функция f убывает. В точке a=p/4 она непрерывна, поэтому (0; p/4] является промежутком убывания f. Наименьшим значением функции на этом промежутке является f(p/4)=0. Следовательно, f(a)³0 при 0<a<p/4. Для указанного промежутка неравенство доказано. Если p/4<a<p/2, то 0<p/2–a<p/4. Однако неравенство не меняется при заменен a на p/2–a. Задача 2 решена.

Задача 1.3. Что больше ep или pe ?

Решение.

Для решения задачи исследуем вопрос о существовании решений уравнения с двумя неизвестными: ab=ba, a>0, b>0. Исключим тривиальный случай a=b и для определенности будем предполагать, что a<b. Ввиду симметричности вхождения a и b в уравнение, последнее замечание не ограничивает общности рассуждений. Ясно, что уравнение ab=ba равносильно уравнению b*(ln a)=a*(ln b), или

(ln a)/a = (ln b)/b.

Пусть f(x)=(ln x)/x  (1). Существование решений уравнения (1) эквивален-тно наличию значений x1 и x2 (x1<x2) таких, что f(x1)=f(x2). В этом случае пара (x1,x2) является решением уравнения (1). Иными словами, требуется выяснить, найдется ли прямая y=c, пересекающая график функции f по крайней мере в двух различных точках. Для этого исследуем функцию f. Ее производная f/(x)=(1–ln x)/x2 в области определения f имеет единственную критическую точку x=e. При 0<x<e f/(x)>0 функция f возрастает, а при x>e f/(x)<0 функция f убывает. Поэтому в точке x=e f принимает свое наибольшее значение (1/e). Так как функция (ln x)/x непрерывна и возрастает на промежутке (0,e], то она на этом промежутке принимает все значения от –¥ до 1/е. Аналогично, на промежутке [e,¥) функция f принимает все значения из (0,1/e]. Из результатов исследования функции f вытекают следующие утверждения:

1. Если 0<a<b и a£1, то (ln a)/a<(ln b)/b. Поэтому ab<ba . Следовательно, уравнение (1) и равносильное ему уравнение ab=ba не имеют решений.

2. Если 1<a<b£e, то ab<ba и уравнение ab=ba также не имеют решений.

3. Если b>a>e, то ab>ba.

Таким образом, если (a,b) является решением уравнения ab=ba , то 1<a<e, b>e. Более того, при каждом фиксированном значении 1<a<e найдется единственное значение b>e такое, что ab=ba

Для ответа на вопрос задачи 3 достаточно положить a=e, b=p и воспользоваться утверждением (1). Итак, ep > pe . Задача 3 решена.

Задача 1.4. Два туриста отправились по одному маршруту. В первый день они прошли одно и то же расстояние. В каждый из следующих дней первый турист увеличивал пройденный путь, по сравнению предыдущим, на одно и то же расстояние, а второй – в одно и то же число раз. Выяснилось, что в n-тый день (n>2) путешествия туристы снова прошли одно и то же расстояние. Доказать, что за n дней первый турист прошел путь больший, чем второй.

Решение.

Расстояние, пройденное первым туристом за n дней, представляет собой сумму n первых членов арифметической прогрессии, а вторым – сумму n первых членов геометрической прогрессии. Обозначим эти расстояния соответственно Sn и Sn/. Если a – первый член прогрессии, d – разность арифметической прогрессии, q – знаменатель геометрической прогрессии, то

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств   Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

Приравнивая n-е члены прогрессий, находим

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств  Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

Тогда  Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, где q>1 (по условию задачи). Задача 4 будет решена, если мы покажем, что Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, где n>2, q>1  (2)

При n=3 имеем Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, что равносильно очевидному неравенству Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Предполагая, что неравенство (2) справедливо при n=k, докажем его для n=k+1. Имеем

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

Для завершения доказательства достаточно убедиться, то выражение Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств при k>2. Здесь целесообразно обратиться к производной.

Пусть Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств Производная Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств положительная при x>1. Поэтому f при x>1 возрастает. Так как f(1)=0 и функция f непрерывна в точке x=1, то f(x)>0 при x>1, т.е. f(q)>0. Итак, Sn>Sn/. Задача 4 решена.

1.2. Использование основных теорем дифференциального исчисления при доказательстве неравенств

ТЕОРЕМА 1 (Ролля).Пусть функция f:[a,b]®R удовлетворяет условиям:

1) fÎC[a,b];  2) "xÎ(a,b) существует f/(x);  3) f(a)=f(b). Тогда $CÎ(a,b): f/(C)=0.

Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий 1)-3) теоремы на интервале (a,b) существует точка С, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс. На практике чаще используется следующее утверждение теоремы Ролля: между любыми двумя нулями дифференцируемой функции существует хотя бы один нуль у производной.

ТЕОРЕМА 2 (Лагранжа про среднее значение, или про конечное приращение). Допустим что функция f:[a,b]®R удовлетворяет условиям:

1) fÎC[a,b];  2) "xÎ(a,b) существует f/(x). Тогда $CÎ(a,b): f(b)-f(a)=f/(C)(b-a).

Отношение (f(b)-f(a))/(b-a) есть тангенс угла наклона к оси абсцисс секущей, которая проходит через точки (a, f(a)), (b, f(b)). Геометрический смысл теоремы Лагранжа: при выполнении условий 1)-2) теоремы на интервале (a,b) существует точка С, в которой касательная к графику функции в точке (C, f(C)) параллельна секущей.

Следствие 1. Пусть функція f:[a,b]®R имеет производную f/ на (a,b) і "xÎ(a,b) f/(x)=0. Тогда для некоторого LÌ R "xÎ(a,b) f(x)=L.

Следствие 2. Функции f:[a,b]®R, g:[a,b]®R имеют произодныеі f/ и g/ на (a,b) и "xÎ(a,b) f/(x)=g/(x). Тогда для некоторого числа LÌ R "xÎ(a,b): f(x)=g(x)+L.

Следствие 3. Пусть функция f:[a,b]®R имеем производную f/ на (a,b) и для некоторого LÌ R "xÎ(a,b) f/(x)=L. Тогда для некоторого MÌ R "xÎ(a,b): f(x)=Lx+M.

ТЕОРЕМА 3 (Коши). Пусть функции f:[a,b]®R, g:[a,b]®R удовлетворяют условиям: 1) f, gÎC[a,b]; 2) "xÎ(a,b) существуют производныеі f/ и g/ ; 3) "xÎ(a,b) g/(x)¹0.

Тогдаі $CÎ(a,b): (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f/(C)/g/(C).

Теорема Лагранжа – это частный случай теоремы Коши при g(x)=x, xÎ[a,b].

Задача 1.5. Доказать, что для любых x, y Ì R: ½sin x – sin y½£½x–y½;   x, y Ì R: ½cos x – cos y½£½x–y½;  x, y Ì R: ½arctg x – arctg y½£½x–y½;

x, y Ì [1; +¥): ½Öx – Öy½£ 0.5½x–y½.

Доказательство этих неравенств аналогичное. Поэтому рассмотрим доказательство первого неравенства. Пусть, например x<y. К фунции sin применим на отрезке [x,y] теорему Лагранжа:

$CÎ(x,y): ½sin x – sin y½=½cos C½(x–y). Учитывая неравенство ½cos u½£1, uÎR, получим требуемое неравенство.

Задача 1.6. Доказать, что для любого x Ì R: ex ³ 1+x, причем равенство может быть тогда и только тогда, когда x=0.

Пусть сначала x>0. По теореме Лагранжа для функции f(u)=eu, uÎ[0,x],

$CÎ(0,x): ex – e0 = eC(x-0)>x, так как eC>1 для C>0. Если x<0, то теорему Лагранжа используем для функции f(u)=eu, uÎ[x,0]. Имеем $CÎ(x,0): e0 – ex = eC(0-x)<–x, так как –x>0, а eC<1 для C<0. Таким образом, при x¹0 имеем ex > 1+x.

Задача 1.7. Доказать, что для любого x >0: ex>1+x+(x2/2).

Для доказательства неравенства применим теорему Коши к функциям

f(u)=eu,  g(u)=1+u+(u2/2),  uÎ[0,x]. Получим $CÎ(0,x): (ex – e0)/(1+x+(x2/2)–1) = eC/(1+c). Учитывая доказанное неравенство, найдем (ex-1)/(x+(x2/2))>1, откуда ex>1+x+(x2/2).

Задача 1.8. Доказать, что для 0<x<p/2 выполняется sin x > (2/p)x.

Пусть f(x)=(sin x)/x (0<x£p/2). Производная f/(x)=cos x (x–tg x)/x2 (0<x<p/2) будет отрицательной, так как x<tg x. Таким образом, функция f(x) убывает и f(x)>f(p/2)=2/p, если 0<x<p/2.

Задача 1.9. Доказать, что при x>0 выполняется cos x >1–(1/2)x2.

Функция f(x)=cos x –1+(1/2)x2 равна 0 при x=0. Ее производная, при x>0,

f/(x) = –sin x+x>0 (или sin x< x). Т.е., функция f(x) для x³0 возрастающая, а при x<0 будет f(x)>f(0)=0, т.е. cos x>1–(1/2)x2.

Отсюда, аналогично при x>0 получим sin x>x–(1/6)x3.

Задача 1.10. Доказать, что при 0<x<p/2 выполняется tg x > x+(1/3)x3.

Для этого достаточно установить, что для указанных x производная функции tg x–x–(1/3)x3, равна sec2x–1–x2, положительна, т.е. что tg2x – x2>0, а это приводит к известному неравенству tg x>x.

Задача 1.11. Доказать, что при x>0 выполняется ln x £ x-1.

Так как функция f(x)=ln x–x (x>0) имеет производную f/(x)=(1/x)–1 > 0 (при 0<x<1) и f/(x)=(1/x)–1 < 0 (при x>1), то функция возрастает пока x изменяется на промежутке (0,1], и убывает на промежутке [1;+¥). Отсюда получаем, что f(1)=–1 будет наибольшим значением функции, так что для x>0 выполняется ln x £ x-1.

1.3. Применение производной при решении уравнений

Покажем, как с помощью производной можно решать вопросы существова-ния корней уравнения, а в некоторых случаях и их отыскания. По-прежнему основную роль здесь будут играть исследования функции на монотонность, нахождение ее экстремальных значений. Кроме того, будет использован ряд свойств монотонных и непрерывных функций.

Свойство 1. Если функция f возрастает или убывает на некотором промежутке, то на этом промежутке равнение f(x)=0 имеет не более одного корня.

Это утверждение вытекает непосредственно из определения возрастающей и убывающей функций. Корень уравнения f(x)=0 равен абсциссе точки пересечения графика функции y=f(x) с осью x.

Свойство 2. Если функция f определена и непрерывна на промежутке [a,b] и на его концах принимает значения разных знаков, то между a и b найдется точка c, в которой f(c )=0.

Задача 1.12. Решить уравнение  Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

Решение.

Заметим, что Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств является корнем уравнения. Докажем, что других корней это уравнение не имеет. Исследуем функцию f, где Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, на монотонность. Производная Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Установим промежутки, на которых функция Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств сохраняет знак. Для этого исследуем ее на монотонность. Производная Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Так как при Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, то Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств при Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Следовательно, функция Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств возрастает при положительных значениях x; Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Поэтому Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств при Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. В силу четности функции Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств она принимает положительные значения при всех Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Следовательно, f возрастает на всей числовой оси. Согласно свойству 1, уравнение Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств имеет не более одного корня. Итак, Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств – единственный корень уравнения.

Задача 1.13. Решить систему уравнений  Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

Решение.

Система эквивалентна следующей: Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

Из первого уравнения следует, что Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, из второго – Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Выразим з первого уравнения x через y: Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Тогда Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. положив Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, получим Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств или Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Производная функции f, где Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, равна Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. она отрицательна при всех значениях t. Таким образом, функция f убывает. Поэтому уравнение Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств имеет не более одного корня. Заметим, что Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств является его корнем. Итак, Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств единственное решение системы.

Задача 1.14. Доказать, что уравнение Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств имеет единственный корень, лежащий в интервале Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств.

Решение.

Уравнение равносильными преобразованиями приводится к виду Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, где Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Функция f возрастающая, так как Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств при всех Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Согласно свойству 1, уравнение имеет не более одного решения. Функция f непрерывна, кроме того, Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. В силу свойства 2 уравнение на интервале Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств имеет корень.

В задаче 3 требовалось доказать, что корень уравнения принадлежит некоторому промежутку. Мы пользовались свойством 2 непрерывной на отрезке функции, принимающей на концах этого отрезка значения разных знаков. Этот путь не всегда приводит к цели при решении подобных задач. Иногда целесооб-разно воспользоваться следующим свойством дифференцируемых функций.

Свойство 3 (Теорема Ролля). Если функция f непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и f(a)=f(b), то существует точка Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств такая, что Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств.

 На геометрическом языке свойство 3 означает следующее: если Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, то на графике кривой Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств найдется точка С с координатами Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, где касательная к графику параллельна оси x.

Задача 1.15. Доказать, что уравнение Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств при Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств имеет не более одного действительного корня.

Решение.

Предположим, что уравнение имеет, по крайней мере, два корня Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств и Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Функция f, где Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств дифференцируема на всей числовой прямой. Так как Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, то согласно свойству 3, ее производная Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенствна интервале Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств имеет корень. Однако при Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств уравнение Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств решений не имеет. Полученное противоречие показывает, что уравнение не может иметь более одного корня.

Задача 1.16. Доказать, что многочлен Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств,

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств имеет не более n корней.

Решение.

Согласно свойству 3, между двумя корнями многочлена лежит, по крайнем мере, один корень его производной. Поэтому, если многочлен f(x) имеет Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, различных корней, то его производная Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств должна иметь не менее (k-1) корней. Точно так же Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств – не менее k-2 корней и т.д., n-ая производная – не менее (k-n) корней, Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Это невозможно, так как Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств является отличной от нуля постоянной.

Задача 1.17. Доказать, что многочлен Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств имеет корень между 0 и 1 (Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств).

Решение.

Применение свойства 2 к цели не приводит, так как Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Рассмотрим функцию g, где Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Для нее функция f является производной. Так как Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, то согласно свойству 3, при некотором Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств.

Задача 1.18. Доказать, что уравнение Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств не имеет действительных корней.

Решение.

Пусть Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, тогда Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Если x – корень уравнения, то Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, т.е. функция f, в силу ее непрерывности, убывает в окрестности каждого корня. Заметим, что если уравнение имеет корни, то они отрицательные. Известно, что многочлен n-й степени имеет не более n корней. Обозначим через Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств - наибольший из корней. Тогда существует такое Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств что Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Так как Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, то на интервале Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств должен находиться корень x многочлена f(x). получили противоречие.

Рассмотрим уравнение вида Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, где f, g – взаимно обратные, возрастающие функции, имеющие одинаковые области определения. Покажем, что это уравнение равносильно уравнению Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. (3)

В самом деле, пусть а является корнем уравнения (3), т.е. Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Учитывая, что область определения функции g совпадает со множеством значений функции f им наоборот, можно записать: Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, или Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, т.е. Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, а является корнем уравнения Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств.

Обратно, пусть Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, но Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Тогда Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств или Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. первом случае Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Точно так же получается противоречие и во втором случае.

Таким образом, получен один частный прием равносильного преобразования уравнений.

Задача 1.19. Решить уравнение Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств.

Решение.

Перепишем данное уравнение в виде Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Функция Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств непрерывна, возрастающая (как сумма двух возрастающих функций Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств и Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств), поэтому она имеет обратную. Найдем ее: Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Итак, обратной для f является функция Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, совпадающая правой частью уравнения. На основании доказанного выше уравнение эквивалентно уравнению Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Ясно, что Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств является корнем уравнения. Убедимся, что других корней уравнение не имеет.

Пусть Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Тогда Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств положительна как разность между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств и Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств.Таким образом, функция h возрастает на всей числовой оси. Так как Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, то h(x)>0 при Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств и Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств при Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, т.е. Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств - единственный корень уравнения.

Раздел 2. Первообразная и интеграл в задачах элементарной математики

2.1. Применение интеграла от монотонных функций к доказательству неравенств

Если Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств при Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, то Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, отрезком [a,b] оси x и перпендикулярами к оси x в точках a и b.

Пусть функция f положительна, непрерывна и возрастающая на [a,b]. Разобьем отрезок [a,b] на n частей точками Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств.

Сумма Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств равна сумме площадей прямоугольников, построенных на отрезках Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств как на основаниях, с высотами Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, т.е. равна площади ступенчатой фигуры «вписанной» в криволинейную трапецию. Так как функция f возрастает, то эта площадь меньше площади криволинейной трапеции. Отсюда

         Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств                (2.1)

Аналогично, рассматривая площадь «описанной» ступенчатой фигуры, получаем

                 Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств                   (2.2)

Если функция f положительна, непрерывна и убывающая на [a,b], то

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств          (2.3)

Покажем на ряде примеров, как соотношения (2.1)-(2.3) используются при доказательстве неравенств.

Задача 2.1. Доказать, что если Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, то Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств.

Решение.

Выражение Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств совпадает с левой частью неравенства (2.1), где Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Функция Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств на интервале Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств возрастает, непрерына, положительна. Поэтому, согласно (1), Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Функция Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств является первообразной для функции Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, так как

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Поэтому Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Левая часть двойного неравенства доказана. Правая часть получается из соотношения (2.2) для функции Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств при тех же предположениях.

При решении задачи 1 мы использовали тот факт, что площадь криволиней-ной трапеции, ограниченной графиком непрерывной, положительной, возрастаю-щей на [a,b] функции Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, отрезком [a,b] оси x и прямыми Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, заключена между площадями прямоугольников, построенных на [a,b] как на основании, с высотами Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств и Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств соответственно.

Площади прямоугольников дают, вообще говоря, довольно грубые приближения для площади криволинейной трапеции. Более точные оценки получаются путем разбиения отрезка [a,b] на достаточно большое число частей.

Задача 2.2. Пусть Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Доказать, что для каждого Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств.

Решение.

Рассмотрим Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств и функцию Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Она непрерывна, положительна и убывающая. Воспользуемся неравенством (2.3), где Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. (Точки Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств делят отрезок Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств на отрезки одинаковой длины Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств). Получим

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

Отсюда Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Кроме того,

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, т.е.

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств.

В приведенном решение выражение для Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств легко представлялось в виде площади некоторой ступенчатой фигуры. Чтобы воспользоваться рассмотренным в задаче методом доказательства неравенств, чаще приходится предварительно преобразо-вывать выражения, встречающиеся в неравенствах.

Задача 2.3. Доказать, что для каждого натурального n Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств.

Решение.

Левую часть неравенства при Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств можно представить в следующем виде:

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

Рассмотрим функцию Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств на отрезке Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств.Этот отрезок точками Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, разбивается на n равных частей длины 1. Выражение

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств равно сумме площадей прямоугольников, построенных на отрезках Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств как на основаниях с высотами Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Функция Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств при

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств положительна, непрерывна, убывающая. Поэтому можно воспользоваться неравенством (2.3). Имеем  Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

Заметим, что при Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств неравенство очевидно.

2.2. Монотонность интеграла

Из определения интеграла вытекает, что для неотрицательной непрерывной на отрезке [a,b] функции f Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств для всех Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств.

Теорема 1. Пусть функции f и g непрерывны на отрезке [a,b] и для всех Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Тогда для всех Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств: Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Это свойство называют монотонностью интеграла.

С помощью теоремы 1 почленно проинтегрировав обе части неравенства, можно получить целую серию новых неравенств. Например,

при Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств имеем очевидное неравенство Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Применим теорему 1, положив Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Функции f, g удовлетворяют условиям теоремы на промежутке Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Поэтому для произвольного Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств: Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, т.е. Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств (1). Применяя тот же метод к неравенству (1), получаем Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, или Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Отсюда Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Продолжая аналогично, имеем Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств,

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств и т.д.

В рассмотренном примере выбор исходного неравенства не составил труда. В иных случаях этот первый шаг решения задачи не столь очевиден. Теорема 1 дает, по существу, прием для получения исходного неравенства.

Пусть требуется проверить истинность неравенства

              Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств                                     (2.4)

Если справедливо соотношение  Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, то согласно теореме 1, имеет место и неравенство

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, или Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств  (2.5).

Если имеет место неравенство Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, то, складывая его почленно с (2.4), устанавливаем справедливость неравенства (2.5).

Задача 2.4. Доказать, что при Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств.  (2.6)

Решение.

Неравенство (2.6) перепишем в виде Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Левая и правая части последнего неравенства представляют собой функции от Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Обозначив Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, получим Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств  (2.7). Докажем, что (2.7) выполняется при Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Найдем производные обеих частей неравенства (2.7). Соответственно имеем:

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. При Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Действительно, Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Применяя теорему 1 для функций Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств и Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств при Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, получаем Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Так как Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, то

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Отсюда при Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств следует (2.6).

Задача 2.5. Доказать, что при Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств:  Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств.

Решение.

Вычислим производные левой и правой частей: Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

Ясно, что Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, поскольку Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Так как Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств и Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств непрерывные функции, то, согласно теореме 1, имеет место неравенство

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, т.е. Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Задача 2.5. решена.

Теорема 1 позволяет устанавливать истинность нестрогих неравенств. Утверждение, содержащееся в ней, можно усилить, если потребовать выполнения дополнительных условий.

Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1 и, кроме того, для некоторого Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств имеет место строгое неравенство Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Тогда при Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств также имеет место строгое неравенство Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств.

Задача 2.6. Доказать, что при Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств: Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств (2.8).

Решение.

Предварительно следует проверить соответствующее неравенство для производных левой и правой частей, т.е. что Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, или Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Его справедливость при Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств можно установить, если применить теорему 1 к неравенству Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Поскольку, кроме того, Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, то выполняются все условия теоремы 2. Поэтому имеет место строгое неравенство Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, или Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. После преобразований придем к неравенству (2.8).

2.3. Интегралы от выпуклых функций

При решении многих задач целесообразно применять следующий подход.

Разделим отрезок [a,b], на котором задана непрерывная функция f. на n частей точками Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Построим прямоугольные трапеции, основаниями которых являются отрезки xkyk, xk+1yk+1, а высотами – xkxk+1, k=0,1,…,n-1. Сумма площадей этих трапеций при достаточно большом n близка к площади криволинейной трапеции. Чтобы этот факт можно было применить к доказательству неравенств функция f должна удовлетворять некоторым дополнительным требованиям.

Пусть функция f дважды дифференцируема на некотором промежутке и в каждой точке этого промежутка f//(x)>0. Это означает, что функция f/ возрастает, т.е. при движении вдоль кривой слева направо угол наклона касательной к графику возрастает. Иными словами, касательная поворачивается в направлении, обратном направлению вращения часовой стрелки. График при этом «изгибается вверх», «выпячиваясь вниз». Такая функция называется выпуклой. График выпуклой функции расположен «ниже» своих хорд и «выше» своих касательных. Аналогично, если f//(x)<0, то f/ убывает, касательная вращается по часовой стрелке и график лежит «выше» своих хорд, но «ниже» своих касательных. Такая функция называется вогнутой.

Функция Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств вогнута в области своего определения, так как Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Вторая производная функции Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств положительна на всей числовой прямой. Поэтому Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств – выпуклая функция. Для функции Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств вторая производная Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств при Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств при Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, т.е. функция Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств на интервале

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств вогнута, а на Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств выпукла.

Задача 2.7. Доказать, что Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

Решение.

Левая часть этого неравенства равна площади прямоугольной трапеции, основания которой равны значениям функции Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств в точках Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств и Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, т.е. Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенстви Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, а высота – Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Функция Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств выпуклая. Поэтому площадь криволинейной трапеции, ограниченной ее графиком, прямыми Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств и отрезком [a,b] оси x, меньше площади прямоугольной трапеции. Итак,

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств.

Подобный результат имеет место и в общем случае. Пусть функция f на отрезке [a.b] непрерывна, положительна и выпукла. Тогда

           Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств                            (2.9)

Если же непрерывная, положительная функция f вогнута, то

             Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств                     (2.10)

Задача 2.8. Доказать, что для Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств выполняется неравенство Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

Решение.

Функция Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств непрерывна, положительна, вогнута. Поэтому для нее выполняется неравенство (2), где Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Имеем

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств.

График функции f, выпуклой на отрезке [a,b] лежит выше любой касательной к этому графику, в частности касательной, проведенной через точку кривой с абсциссой Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств.

Если касательная пересекает ось абсцисс вне отрезка [a,b], то она отсекает от криволинейной трапеции прямоугольную трапецию, а не треугольник. Площадь прямоугольной трапеции равна произведению ее средней линии Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств на высоту Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Поэтому

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств                    (2.11)

аналогично, если функция f вогнута, то

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств                    (2.12)

Соотношение остается справедливым если касательная к графику Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств пересекает ось абсцисс в точках a и b.

Задача 2.9. Доказать, что если 0<a<b , то выполняется Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств.

Решение.

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, т.е. Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Касательная к кривой Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств в точке Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств отсекает от криволинейной трапеции прямоугольную трапецию, высота которой Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, а средняя линия Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Площадь этой трапеции равна Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Согласно неравенству (2.6), Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств.

Убедимся, что указанная касательная отсекает именно трапецию, а не треугольник. Для этого достаточно проверить что точка ее пересечения с осью абсцисс лежит вне отрезка [a,b]. Уравнение касательной к кривой Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств в точке Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств имеет вид Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. В данном случае Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, т.е. Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств есть уравнение касательной. Положив в нем Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, найдем абсциссу точки пересечения касательной с осью Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств: Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, ч т.д.

Из соотношений (2.9)-(2.12) можно получить новые неравенства. Неравенства (2.9) и (2.11) совместно дают оценку снизу и сверху для интеграла Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств от непрерывной, положительной и выпуклой функции. Аналогичные оценки получаем для интегралов от вогнутых функций из неравенств (2.10) и (2.12). Вернемся к задаче 2.9. Ее удалось решить, применив неравенство (3) к функции Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств на отрезке [a,b]. Кроме того, в силу неравенства (2.9)

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, т.е. Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств.

Объединяя этот результат с неравенством, доказанным в задаче 2.9, получим двойное неравенство

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

2.4. Некоторые классические неравенства и их применение

Приведем вывод некоторых замечательных неравенств с помощью интегрального исчисления. Эти неравенства широко используются в математике, в том числе и при решении элементарных задач.

Пусть y=f(x) – непрерывная возрастающая при x>0 функция. Кроме того, f(0)=0, f(a)=b, где a, b некоторые положительные действительные числа. Из школьного курса математики известно, что если функция f возрастает и непрерывна на некотором промежутке, то существует функция f-1, обратная функции f. Ее область определения совпадает с множеством значений f. функция f-1 непрерывна и возрастает в области своего определения.

Отсюда следует, что для данной функции f существует непрерывная возрастающая обратная функция f-1 такая, что f-1(0)=0, f-1(b)=a. Графики зависимостей y=f(x) и x=f-1(y) совпадают.

Площадь S1 криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x), y=0, x=0, x=a, равна Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств.

Площадь S2 криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=f-1(y), x=0, y=0, y=b, равна Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

В последнем равенстве мы переобозначили переменную интегрирования, что, конечно, несущественно при вычислении интеграла. Поскольку площадь прямоугольника равна сумме площадей S1 и S2, то

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

Может оказаться, что f(a) не равно заданному числу b, т.е. f(a)>b или f(a)<b.

В каждом из этих случаев площадь прямоугольника меньше суммы площадей криволинейных трапеций, равной S1+S2.

Объединяя эти три случая, получаем следующий результат.

Пусть f и f-1 – две непрерывные возрастающие взаимно обратные функции, обращающиеся в нуль в начале координат. Тогда для a>0, b>0 имеет место неравенство

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств                     (2.13)

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда b=f(a). Это неравенство называют неравенством Юнга. Оно является источником получения других важных неравенств.

Пример 2.10. Функция f, где f(x)=x, удовлетворяет условиям, при которых справедливо соотношение (1). Далее.,f-1(x)=x. Поэтому

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств                      (2.14)

Пример 2.11. Функция f, где f(x)=xa, a>0, непрерывна, возрастает при x>0, f(0)=0. Обратной для нее является функция f-1, где f-1(x)=x1/a. Из неравенства (2.13) имеем

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Обозначив Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, получим

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств                                (2.15)

Из неравенства (2.15) может быть получено известное неравенство Гельдера:

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

где Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

Из неравенства (2.15) может быть выведено и так называемое интегральное неравенство Гельдера:

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

где Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств.

Полагая r=2, получим известное неравенства Коши-Буняковского:

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

Задача 2.21. Доказать, что для произвольного Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств выполняется

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

Решение.

Неравенство достаточно доказать при Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств. Положив в неравенстве Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, имеем

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

Так как Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, то получаем Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств, или Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа для 9-10 классов / Под ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 1986. – 336с.

2. Бродский Я.С., Слипенко А.К. Производная и интеграл в неравенствах, уравнениях, тождествах. – К., Выща школа, 1988. – 120с.

3. Дороговцев А.Я. Інтеграл та його застосування. – К.: Вища школа. 1974. – 125с.

4. Дорофеев Г.М. Применение производных при решении задач в школьном курсе математики // Математика в школе. – 1980. – №5 – с. 12-21, №6 – с. 24-30.

5. Рижов Ю.М. Похідна та її застосування. – К. Вища школа, 1977. – 83с.

6. Ушаков Р.П., Хацет Б.І. Опуклі функції та нерівності. – К. Вища школа, 1986. – 112с.

7. Шунда Н.М., Томусяк А.А. Практикум з математичного аналізу: Вступ до аналізу. Диференціальне числення. Навч. посібник.– К., Вища школа, 1993.– 375с.