Балансовая модель


                             БАЛАНСОВАЯ  МОДЕЛЬ
      Изучение балансовых моделей, представляющих собой  одно  из  важнейших
направлений  и   экономико-математических   исследований,   должно   служить
объектом изучения отдельной дисциплины. Наша  цель  –  проиллюстрировать  на
примере балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры.

                         ЛИНЕЙНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

       Пусть  рассматривается  экономическая   система,   состоящая   из   n
взаимосвязанных отраслей производства.  Продукция  каждой  отрасли  частично
идет на внешнее потребление ( конечный продукт ), а частично используется  в
качестве сырья, полуфабрикатов или  других  средств  производства  в  других
отраслях,  в  том  числе  и  в  данной.   Эту   часть   продукции   называют
производственным потреблением. Поэтому каждая  из  рассматриваемых  отраслей
выступает и как производитель продукции ( первый столбец таблицы 1 )  и  как
ее потребитель ( первая строка таблицы 1 ).
       Обозначим  через  xi  валовый  выпуск  продукции   i-й   отрасли   за
планируемый период и через yi – конечный  продукт,  идущий  на  внешнее  для
рассматриваемой  системы  потребление   (   средства   производства   других
экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д. ).
      Таким образом, разность  xi  -  yi   составляет  часть  продукции  i-й
отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного  потребления.  Будем  в
дальнейшем  полагать,  что  баланс  составляется  не  в  натуральном,  а   в
стоимостном разрезе.
       Обозначим  через  xik    часть   продукции   i-й   отрасли,   которая
потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее  продукции  в  размере
хk.


                                        Таблица 1
                   №                                             потребление
   итого на        конечный   валовый
                                                                      отрас.
            внутре            продукт      выпуск

                производ.          (  уi  )               (   хi  )
  №               1          2          …          k            …          n
   потребление
                                                                      отрас.
                ( е хik  )

            1       х11      х12        …       х1k           …          х1n
           е х1k                   у1                 х1

         2      х21        х22         …        х2k           …          х2n
    е х2k               у2                х2

             (     (         (         (          (            (           (
    (                (                (

               i         хi1         xi2          (          xik           (
xin            е xik               yi                xi

             (     (         (         (          (           (            (
    (                (                (

             n      xn1       xn2       (        xnk         (           xnn
         е xnk              yn                xn

  итого
  произв.
  затраты   е хi1      е xi2     (      е xik       (       е xin
 в  k-ю
  отрасль


       Очевидно,  величины,  расположенные  в  строках  таблицы  1   связаны
следующими балансовыми равенствами :

       х1 - ( х11 + х12 + ( + х1n ) = у1
          х2 - ( х21 + х22 + … + х2n ) = у2                   ( 1 )
       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
       xn - ( xn1 + xn2 + … + xnn ) = yn

      Одна из задач балансовых исследований  заключается  в  том,  чтобы  на
базе данных  об  исполнение  баланса  за  предшествующий  период  определить
исходные данные на планируемый период.
      Будем снабжать штрихом ( х’ik , y’i и т.д.  )  данные,  относящиеся  к
истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха  –  аналогичные  данные,
связанные  с  планируемым  периодом.  Балансовые  равенства  (  1  )  должны
выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде.
       Будем  называть  совокупность  значений  y1  ,  y2  ,  …   ,   yn   ,
характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором :
       _
       у = ( у1 , у2 , … , yn ) ,    ( 2 )

а совокупность значений x1 , x2 , … , xn ,определяющих валовый  выпуск  всех
отраслей ( вектор-планом :
       _
       x = ( x1 , x2 , … , xn ).      ( 3 )

      Зависимость  между  двумя  этими  векторами  определяется  балансовыми
равенствами ( 1 ). Однако они не дают возможности определить  по  заданному,
например, вектор у необходимый  для  его  обеспечения  вектор-план  х,  т.к.
кроме искомых неизвестных хk , содержат n2 неизвестных xik , которые в  свою
очередь зависят от xk.
       Поэтому  преобразуем  эти  равенства.  Рассчитаем  величины  aik   из
соотношений :

                xik
       aik = –––  ( i , k = 1 , 2 , … , n ).
                 xk

        Величины   aik   называются   коэффициентами   прямых   затрат   или
технологическими  коэффициентами.  Они  определяют  затраты  продукций   i-й
отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции,  и  зависят
главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли.  С  некоторым
приближением можно полагать, что  коэффициенты  aik  постоянны  в  некотором
промежутке времени, охватывающим как истекший,  так  и  планируемый  период,
т.е., что

       x’ik        xik
      –––  = ––– = aik = const     ( 4 )
        x’k        xk

      Исходя из этого предложения имеем

       xik = aikxk ,         ( 5 )



т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому  выпуску,
или, другими словами,  зависят  линейно  от  валового  выпуска  xk.  Поэтому
равенство ( 5 ) называют условием линейности прямых затрат.
      Рассчитав коэффициенты прямых затрат aik по формуле ( 4  ),  используя
данные об исполнении баланса за  предшествующий  период  либо  определив  их
другим образом, получим матрицу

                       a11 a12 … a1k … a1n
                       a21 a22 … a2k … a2n
             A=     ………………….
                       ai1 ai2 … aik … ain
                       an1 an2 … ank … ann

которую называют  матрицей  затрат.  Заметим,  что  все  элементы  aik  этой
матрицы  неотрицательны.  Это  записывают  сокращено   в   виде   матричного
неравенства А>0 и называют такую матрицу неотрицательной.
      Заданием матрицы  А  определяются  все  внутренние  взаимосвязи  между
производством и потреблением, характеризуемые табл.1
      Подставляя значения xik = aik = xk во все уравнения  системы  (  1  ),
получим линейную балансовую модель :

       x1 - ( a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ) = y1
       x2 - ( a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ) = y2                      ( 6 )
       ……………………………………
       xn - ( an1x1 + an2x2 + … + annxn ) = yn   ,

характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл.1
       Система  уравнений  (  6  )  может  быть  записана  компактнее,  если
использовать матричную форму записи уравнений:
          _        _    _
       Е(х - А(х = У , или окончательно
                     _     _
       ( Е - А )(х = У ,            ( 6( )

где Е – единичная матрица n-го порядка и

                     1-a11   -a12  …  -a1n
      E - A=     -a21   1-a22 …  -a2n
                       …………………
                       -an1    -an2 … 1-ann

      Уравнения ( 6 )  содержат  2n  переменных  (  xi  и   yi  ).  Поэтому,
задавшись значениями n переменных, можно из системы ( 6 ) найти остальные  n
- переменных.
      Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = ( y1 , y2 ,  …
, yn ) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = ( х1  ,
х2 , … хn ).
       Проиллюстрируем  вышеизложенное  на  примере   предельно   упрощенной
системы, состоящей из двух производственных отраслей:



                                                            табл.2

            №     отрас                   Потребление                  Итого
Конечный       Валовый
                                                                           №
 затрат           продукт          выпуск
 отрас                          1                         2

                                           0.2                      0.4
                      1                     100                          160
 260                  240                    500


                                           0.55                    0.1
                      2                     275                           40
   315                  85                     400


                                 Итого                                затрат
  575
  в k-ю                       375                     200
  отрасль  …                                                             575



      Пусть исполнение  баланса  за  предшествующий  период  характеризуется
данными, помещенными в табл.2
      Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат:

                 100                         160                         275
                      40
       а11 = –––– = 0.2 ; а12 = –––– = 0.4 ; а21 = –––– = 0.55 ; а22 =  ––––
= 0.1
                  500                         400                        500
                     400

      Эти коэффициенты записаны в табл.2 в углах соответствующих клеток.
      Теперь может быть записана балансовая модель (  6  ),  соответствующая
данным табл.2

       х1 - 0.2х1 - 0.4х2 = у1
       х2 - 0.55х1 - 0.1х2 = у2

      Эта система двух уравнений может быть использована для определения  х1
и х2 при заданных значениях у1 и у2, для использования  влияния  на  валовый
выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т.д.
      Так, например, задавшись у1=240 и  у2=85,  получим  х1=500  и  х2=400,
задавшись у1=480 и у2=170, получим х1=1000 и х2=800 и т.д.



                         РЕШЕНИЕ БАЛАНСОВЫХ УРАВНЕНИЙ
                         С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.
                         КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ.

      Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения ( 6 ).
      Первый вопрос, который возникает при его исследование,  это  вопрос  о
существование при заданном векторе У>0 неотрицательного решения х>0, т.е.  о
существовании вектор-плана,  обеспечивающего  данный  ассортимент  конечного
продукта У. Будем  называть  такое  решение  уравнения  (  6(  )  допустимым
решением.
       Заметим,  что  при  любой  неотрицательной   матрице   А   утверждать
существование неотрицательного решения нельзя.
      Так, например, если

        0.9  0.8                         0.1   -0.8    и уравнение ( 6( )
А=                 , то Е - А =
        0.6  0.9                        -0.6  0.1
запишется в виде    0.1   -0.8    х1     у1     или в развернутой форме
                                 -0.6    0.1    х2     у2

       0.1х1 - 0.8х2 = у1               ( ( )
       -0.6х1 + 0.1х2 = у2

      Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение
       -0.5х1 - 0.7х2 = у1 + у2,
которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям  х1  и  х2,  если
только у1>0 и у2>0 ( кроме х1=х2=0 при у1=у2=0 ).
      Наконец уравнение вообще может не иметь решений (  система  (  6  )  –
несовместная ) или иметь бесчисленное множество решений ( система (  6  )  –
неопределенная ).
      Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает  ответ  на
поставленный вопрос.
      Теорема.   Если  существует  хоть  один  неотрицательный  вектор  х>0,
удовлетворяющий неравенству ( Е - А )(х>0, т.е. если уравнение ( 6( )  имеет
неотрицательное решение x>0, хотя бы  для  одного  У>0,  то  оно  имеет  для
любого У>0 единственное неотрицательное решение.
       При  этом  оказывается,  что  обратная  матрица  (  Е  -  А  )  будет
обязательно неотрицательной.
        Из   способа   образования   матрицы   затрат   следует,   что   для
предшествующего периода выполняется равенство ( Е -А )(х( = У(, где  вектор-
план х( и ассортиментный вектор У( определяются по исполненному  балансу  за
прошлый период, при этом У(>0. Таким образом, уравнение ( 6(  )  имеет  одно
неотрицательное решение x>0. На основании теоремы заключаем,  что  уравнение
( 6( ) всегда имеет допустимый план и матрица (  Е  -  А  )  имеет  обратную
матрицу.
      Обозначив обратную матрицу ( Е - А )-1 через S = || sik+  ||,  запишем
решение уравнения ( 6(( ) в виде
       _        _
       х = S(У          ( 7 )

      Если будет задан вектор – конечный продукт У и вычислена матрица  S  =
( E - A )-1, то по этой формуле может быть определен вектор-план х.
      Решение ( 7 ) можно представить в развернутой форме:

       x1 = S11y1 + S12y2 + … + S1nyn
       x2 = S21y1 + S22y2 + … + S2nyn                         ( 8 )
       ………………………………
       xn = Sn1y1 + Sn2y2 + … + Snnyn


                        ПОЛНЫЕ ВНУТРИПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ
                                  ЗАТРАТЫ.
      Выясним экономический смысл элементов Sik матрицы S.
      Пусть производится только  единица  конечного  продукта  1-й  отрасли,
т.е.
                  1
       _         0
       У1 =    (
                  0

      Подставляя этот вектор в равенство ( 7 ), получим

                    1             S11
       _           0             S21       _
       х = S(    :     =        :      = S1
                                       0                                 Sn1
   0
                                                                           _
   1
задавшись ассортиментным вектором   У2 =     0        , получим

    :

    0


                   0             S12
       _          1             S22        _
       х = S(   :     =       :        = S2
                   0             Sn2

      Аналогично, валовый выпуск х,  необходимый  для  производства  единицы
конечного продукта k-й отрасли, составит

                   0           S1k
       _          :            S2k       _
       х = S(   1   =      :       = Sk   ,                  ( 9 )
                   :            Snk
                   0

т.е. k-й столбец матрицы S.
      Из равенства ( 9 ) вытекает следующее:
Чтобы выпустить только единицу конечного продукта k-й отрасли, необходимо  в
1-й отрасли выпустить х1=S1k, во 2-й х2=S2k и т.д., в i-й отрасли  выпустить
xi=Sik и, наконец, в n-й отрасли выпустить xn=Snk единиц продукции.
      Так при этом виде конечного продукта производства только единица  k-го
продукта,  то  величины  S1k,  S2k,  …,  Sik,  …,  Snk,  представляют  собой
коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и т.д.,  n-й  отраслей  идущей
на изготовление указанной единицы    k-го  продукта.  Мы  уже  ввели  раннее
коэффициенты прямых затрат a1k, a2k, …, aik, …, ank на единицу продукции  k-
й отрасли,  которые  учитывали  лишь  ту  часть  продукции  каждой  отрасли,
которая потребляется непосредственно k-й отраслью. Но, очевидно,  необходимо
обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы  продукция  i-й  отрасли
поступала бы только в k-ю отрасль в  количестве  aik,  то  производство  k-й
отрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты  1-
й отрасли ( a1k ), 2-й отрасли (a2k ) и т.д. А они в свою очередь не  смогут
работать, если не будут получать продукцию той же i-й отрасли ( ai1, ai2,  …
и т.д.). Проиллюстрируем сказанное на примере табл.2
      Пусть  нас не интересует выпуск для внешнего потребления продукции  2-
й отрасли ( k=2 ) и мы хотим определить затраты  продукции  1-й  отрасли  на
единицу этой продукции. Из табл.2 находим, что на каждую  единицу  продукции
2-й отрасли ( х2=1 ) затрачивается: продукции  1-й  отрасли  a12=0.4  и  2-й
отрасли a22=0.1.
      Таковы будут прямые затраты. Пусть нужно изготовить у2=100.  Можно  ли
для этого планировать выпуск 1-й отрасли х1=0.4(100=40  ?  Конечно,  нельзя,
т.к. необходимо учитывать, что 1-я отрасль часть своей продукции  потребляет
сама ( а11=0.2 ), и поэтому суммарный  ее  выпуск  следует  скорректировать:
х1=40+0.2(40=48. Однако  и  эта  цифра  неверна,  т.к.  теперь  уже  следует
исходить из нового объема продукции 1-й отрасли – х1(=48 и т.д. Но  дело  не
только в этом. Согласно табл.2 продукция 2-й отрасли  также  необходима  для
производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому  потребуется  выпускать  больше,
чем у2=100. Но тогда возрастут потребности в продукции  1-й  отрасли.  Тогда
достаточно    обратиться  к    составленной    систем   уравнений,   положив
у1=0  и   у2=1   ( см п.2 ):

       0.8х1 - 0.4х2 = 0
       -0.55х1 + 0.9х2 = 1

      Решив эту систему, получим х1=0.8 и х2=1.5.  Следовательно,  для  того
чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й отрасли,  необходимо  в  1-й
отрасли выпустить продукции  х1=0.8.  Эту  величину  называют  коэффициентом
полных затрат и  обозначают  ее  через  S12.  Таким  образом,  если  а12=0.4
характеризует  затраты  продукции  1-й  отрасли  на   производство   единицы
продукции 2-й отрасли, используемые непосредственно во 2-й отрасли (  почему
они и были названы прямые затраты ), то  S12  учитывают  совокупные  затраты
продукции 1-й  отрасли  как  прямые  (  а12  ),  так  и  косвенные  затраты,
реализуемые через другие ( в данном случае через 1-ю  же  )  отрасли,  но  в
конечном  счете  необходимые  для  обеспечения  выпуска  единицы   конечного
продукта 2-й отрасли. Эти косвенные затраты составляют S12-a12=0.8-0.4=0.4
       Если  коэффициент  прямых  затрат  исчисляется  на  единицу  валового
выпуска,  например  а12=0.4  при  х2=1,   то   коэффициент   полных   затрат
рассчитывается на единицу конечного продукта.
      Итак, величина Sik характеризует полные затраты продукции i-й  отрасли
для производства единицы конечного  продукта  k-й  отрасли,  включающие  как
прямые ( aik ), так и косвенные ( Sik - aik ) затраты.
      Очевидно, что всегда Sik > aik.
      Если необходимо  выпустить  уk  единиц  k-го  конечного  продукта,  то
соответствующий валовый выпуск каждой отрасли составит на основании  системы
( 8 ):

       x1 = S1k(yk, x2 = S2k(yk, …, xn = Snk(yk ,

что можно записать короче в виде:
       _    _
       x = Sk(yk            ( 10 )

Наконец,  если  требуется  выпустить  набор  конечного  продукта,   заданный
ассортимент-

                         _        у1
ным вектором  У  =     :       ,  то  валовый   выпуск   k-й   отрасли   xk,
необходимый  для    его
                                   уn

обеспечения,  определится  на  основании  равенств  (  10  )  как  скалярное
произведение столбца Sk на вектор У, т.е.
                                                             _  _
       xk = Sk1y1 + Sk2y2 + … + Sknyn = Sk(y ,              ( 11 )
а весь вектор-план х найдется из формулы ( 7 ) как  произведение  матрицы  S
на вектор У.
     Таким  образом,  подсчитав  матрицу   полных   затрат   S,   можно   по
формулам ( 7 )  –  (  11  )  рассчитать  валовый  выпуск  каждой  отрасли  и
совокупный валовый выпуск всех отраслей при  любом  заданном  ассортиментном
векторе У.
      Можно также определить, какое изменение в вектор-плане  (х  =  (  (х1,
(х2, …, (хn ) вызовет заданное изменение ассортиментного  продукта  (У  =  (
(у1, (у2, …, (уn ) по формуле:
         _          _
       (х = S((У ,         ( 12 )

      Приведем пример расчета коэффициентов  полных  затрат  для  балансовой
табл.2. Мы имеем матрицу коэффициентов прямых затрат:

         2      0.4
         А =
                    0.55   0.1

Следовательно,

                         1           -0.2         -0.4                   0.8
-0.4
      Е - А =                                         =
                     -0.55       1        -0.1               -0.55     0.9

Определитель этой матрицы

                                0.8     -0.4
       D [ E - A ] =                         = 0.5
                               -0.55    0.9

Построим присоединенную матрицу ( Е - А )*. Имеем:

                              0.9     0.4
       ( Е - А )* =                           ,
                              0.55   0.8

откуда обратная матрица, представляющая собой таблицу  коэффициентов  полных
затрат, будет следующей:

                                   1         0.9       0.4               1.8
 0.8
       S = ( Е - А )-1 = –––                            =
                                   0.5       0.55     0.8                1.1
1.6

      Из этой матрицы заключаем, что полные  затраты  продукции  1-й  и  2-й
отрасли, идущие на производство  единицы  конечного  продукта  1-й  отрасли,
составляет S11=0.8 и  S21=1.5.  Сравнивая  с  прямыми  затратами  а11=0.2  и
а21=0.55, устанавливаем, косвенные  затраты  в  этом  случае  составят  1.8-
0.2=1.6 и 1.1-0.55=0.55.
      Аналогично, полные затраты 1-й и 2-й отрасли на  производство  единицы
конечного продукта 2-й отрасли равны S12=0.8  и  S22=1.5,  откуда  косвенные
затраты составят       0.8-0.4=0.4 и 1.6-0.1=1.5.
      Пусть требуется изготовить 480 единиц продукции 1-й  и 170 единиц  2-й
отраслей.

Тогда необходимый валовый выпуск х =  х1 найдется из равенства ( 7 ):
                                                                       х2

       _        _          1.8     0.8         480            1000
       х = S(У =                         (                =
             1       1.6         170             800     .



     ПОЛНЫЕ ЗАТРАТЫ ТРУДА                       КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ И Т.Д.

      Расширим табл.1, включив в нее,  кроме  производительных  затрат  xik,
затраты  труда,  капиталовложений  и  т.д.  по  каждой  отрасли.  Эти  новые
источники  затрат  впишутся  в  таблицу  как  новые  n+1-я,  n+2-я  и   т.д.
дополнительные строки.
      Обозначим  затраты  труда  в  k-ю  отрасль  через  xn+1,k,  и  затраты
капиталовложений – через xn+2,k ( где k = 1, 2, …, n  ).  Подобно  тому  как
вводились прямые затраты  aik,

                                        xn+1,k
введем в рассмотрение коэффициенты прямых затрат труда an+1,k = –––––  , и

                                           xk
                                               xn+2,k
капиталовложений   an+2,k  =  –––––  ,   представляющих      собой    расход
соответствующего
                                                  xk
ресурса  на  единицу  продукции,  выпускаемую  k-й  отраслью.  Включив   эти
коэффициенты в структурную матрицу ( т.е. дописав их в  виде  дополнительных
строк ), получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат:

                          a11     a12     …     a1k     …     a1n
                           a21       a22       …       a2k       …       a2n
  основная часть матрицы
                          …………………………………
          А( =         ai1      ai2     …     aik      …     ain
                          …………………………………
            an1     an2     …     ank     …     ann
            an+1,1 an+1,2  …    an+1,k   …   an+1,n
                           an+2,1  an+2,2    …      an+2,k     …     an+2,n
дополнительные строки

       При  решение  балансовых  уравнений  по-прежнему  используется  лишь
основная часть матрицы ( структурная матрица А ).  Однако  при  расчете  на
планируемый период  затрат  труда  или  капиталовложений,  необходимых  для
выпуска  данного  конечного  продукта,  принимают  участие   дополнительные
строки.
      Так, пусть, например, производится единица продукта 1-й отрасли, т.е.

       _       1
       У =   0
                 :
                0        .

      Для этого требуется валовый выпуск продукции



                       S11
       _    _        S21
       x = S1 =     :
                       Sn1

      Подсчитаем  необходимые  при  этом  затраты  труда  Sn+1,1.  Очевидно,
исходя из смысла коэффициентов an+1,k прямых  затрат  труда  как  затрат  на
единицу продукции k-й отрасли и величин S11, S12,  …,  S1n,  характеризующих
сколько единиц продукции необходимо  выпустить  в  каждой  отрасли,  получим
затраты труда  непосредственно  в  1-ю  отрасль  как  an+1,1S11,  во  2-ю  –
an+1,2S21 и т.д., наконец в n-ю отрасль an+1,nSn1. Суммарные затраты  труда,
связанные с производством единицы конечного продукта 1-й отрасли, составят:

    _    _
       Sn+1,1 = an+1,1S11 + an+1,2S21 + … + an+1,nSn1 = an+1S1  ,

т.е. равны скалярному произведению ( n+1 )-й строки расширенной матрицы  А(,
которую обозначим an+1, на 1-й столбец матрицы S.
       Суммарные  затраты  труда,  необходимые  для  производства  конечного
продукта k-й отрасли, составят:
                    _    _
       Sn+1,k = an+1Sk            ( 13 )

Назовем эти  величины  коэффициентами  полных  затрат  труда.  Повторив  все
приведенные рассуждения при  расчете  необходимых  капиталовложений,  придем
аналогично предыдущему к коэффициентам полных затрат капиталовложений:
                    _    _
       Sn+2,k = an+2Sk            ( 14 )

      Теперь можно дополнить матриц  S  строками,  состоящими  из  элементов
Sn+1,k  и   Sn+2,k,  образовать  расширенную  матрицу  коэффициентов  полных
затрат:

                               S11      S12      …      S1k      …       S1n
          матрица коэффициентов
                               S21      S22      …      S2k      …       S2n
           полных внутрипроизводст.
                               …………………………………                  затрат
              S( =          Si1      Si2     …     Sik      …    Sin
                                                               …………………………………
                          ( 15 )
              Sn1     Sn2     …     Snk     …    Snn
                                Sn+1,1  Sn+1,2   …    Sn+1,k    …     Sn+1,n
        дополнительные строки
                               Sn+2,1 Sn+2,2  …   Sn+2,k   …   Sn+2,n

       Пользуясь  этой  матрицей  можно  рассчитать   при   любом   заданном
ассортиментном векторе У не только необходимый валовый выпуск продукции х  (
для чего используется матрица S ), но и необходимые суммарные затраты  труда
xn+1, капиталовложений xn+2 и т.д., обеспечивающих  выпуск  данной  конечной
продукции У.
      Очевидно,

       xn+1 = Sn+1,1y1 + Sn+1,2y2 + … + Sn+1,nyn ,         ( 16 )
       xn+2 = Sn+2,1y1 + Sn+2,2y2 + … + Sn+2,nyn ,

т.е.  суммарное  количество  труда  и  капиталовложений,   необходимых   для
обеспечения ассортиментного вектора конечной продукции  У,  равны  скалярным
произведениям соответствующих дополнительных строк матрицы S( вектор У.
      Наконец, объединяя формулу ( 7 )  с  формулами  (  16  ),  приходим  к
следующей компактной форме:

                    x1
                    x2
      _             :                _
      x =         xn        = S(У            ( 17 )
                   xn+1
                   xn+2

      Пусть дополнительно к данным, помещенным в табл.2, известны по  итогам
исполнения баланса фактические затраты труда xn+1,k ( в тыс.  человеко-часов
) и капиталовложений xn+2,k ( в тыс. руб. ), которые записаны в табл.3
      Переходя  к  коэффициентам  прямых  затрат  aik,  получим  расширенную
матрицу:

                   0.2    0.4
       А( =     0.55  0.1
                   0.5    0.2
                   1.5    2.0


                                              Таблица 3
                 №  отраслей             потребление                   итого
    конечный    валовый
                                                                           №
        затрат        продукт       выпуск
      отраслей                          1                      2

                      1                          100                     160
        260               240               500

                      2                          275                      40
         315                85                400

                   труд                         250                       80
      330

       капиталовложе-           750                  800                1550

       ния

      Обратная матрица S = ( E - A )-1  была  уже  подсчитана  в  предыдущем
пункте.
      На основании ( 13 ) рассчитаем  коэффициенты  полных  затрат  труда  (
Sn+1,k=S3,k ):
                 _  _
       S31 = a3(S1 = 0.5 ( 1.8 + 0.2 ( 1.1 = 1.12 ;
                 _  _
       S32 = a3(S2 = 0.5 ( 0.8 + 0.2 ( 1.6 = 0.72

и капиталовложений Sn+2,k = S4,k:
                 _  _
       S41 = a4(S1 = 1.5 ( 1.8 + 2.0 ( 1.1 = 4.9 ;
                 _  _
       S42 = a4(S2 = 1.5 ( 0.8 + 2.0 ( 1.6 = 4.4 .

      Таким образом, расширенная  матрица  S(  коэффициентов  полных  затрат
примет вид:

                  1.8    0.8
      S( =      1.1    1.6
                  1.12   0.72
                  4.9     4.4
        Если      задаться      на      планируемый      период      прежним
ассортиментным   вектором
У =    240   , то рассчитав по формулам ( 16 ) суммарные затраты труда  xn+1
и
          85
капиталовложений xn+2, получили бы xn+1 = x3 = 1,12 ( 240  +  0.72  (  85  =
268.8 + 61.2 = 330 тыс. чел.-ч. и xn+2 = xn = 4.9 ( 240 + 4.4 ( 85 = 1176  +
374 = 1550 тыс.руб., что совпадает с исходными данными табл.3.
      Однако  в  отличие от табл.3, где эти суммарные  затраты  группируются
по отраслям
( 250 и 80 или 750 и  800  ),  здесь  они  распределены  по  видам  конечной
продукции: на продукцию 1-й отрасли 268.8 и на продукцию 2-й  отрасли  61.2;
соответственно затраты капиталовложений составляют 1176 и 374.
      При любом новом значении  ассортиментного  вектора  У  все  показатели
плана, такие, как валовая  продукция  каждой  отрасли  и  суммарные  расходы
трудовых ресурсов и капиталовложений найдем из формулы ( 17 ).
      Так, пусть задан ассортиментный вектор У =    480   . Тогда

           170

                    _                   х1                1.8            0.8
1000
              х =          х2    =    1.1       1.6         480     =    800

                             х3          1.12   0.72       170           600

                                    х4                  4.9              4.4
 3100

      Отсюда заключаем, что  запланированный  выпуск  конечного  продукта  У
может быть достигнут при валовом выпуске  1-й  и  2-й  отраслей:  х1=1000  и
х2=800, при суммарных затратах труда х3=660  тыс.  чел.-ч.  и  при  затратах
капиталовложений х4=3100 тыс.руб.



       Рассмотренные  теоретические  вопросы  и  примеры  расчета,  конечно,
далеко не исчерпывают важную для практики область  балансовых  исследований.
Здесь проиллюстрировано только одно направление приложения линейной  алгебры
в экономических исследованиях.



                                   Задача

      В таблице указаны расходные  нормы  двух  видов  сырья  и  топлива  на
единицу продукции соответствующего цеха, трудоемкость продукции в  человеко-
часах на единицу продукции, стоимость единицы соответствующего  материала  и
оплата за 1 чел.-ч.

                                                                     Таблица

                                  Нормы расхода

                     Обозначения      Стоимость
                                                  I                       II
       III

              Сырье     I                        1.4                     2.4
0.8                  a4                        5

              Сырье     II                       –                       0.6
1.6                  a5                        12

              Сырье     III                      2.0                     1.8
2.2                  a6                        2

     Трудоемкость                10                   20                  20
                              а7                                          12



      Определить:
а) суммарный  расход  сырья,  топлива  и  трудовых  ресурсов  на  выполнение
производственной программы;
б) коэффициенты прямых затрат сырья, топлива и  труда  на  единицу  конечной
продукции каждого цеха;
в) расход сырья, топлива и трудовых ресурсов по цехам;
г) производственные затраты по цехам ( в руб. ) и  на  всю  производственную
программу завода;
д) производственные затраты на единицу конечной продукции.

      Решение:
а) Суммарный расход сырья I  можно  получить,  умножив  соответствующую  1-ю
строку второй таблицы на вектор х, т.е.

       _ _                                 235
       а4х = ( 1.4; 2.4; 0.8 )     186     = 1088
                                             397

      Аналогично можно получить расход сырья II и т.д.
      Все это удобно записать в виде произведения:

       1.4    2.4    0.8         235                 1088           Сырье  I

        0      0.6    1.6         186       =         746              Сырье
II
          2.0        1.8        2.2             397                     1678
Топливо
           0.1        0.2        0.2                                    1409
Человеко-часов.

б) Расход сырья I на единицу конечной продукции 1-го цеха (  у1=1  )  найдем
из выражения  1.4S11  +  2.4S21  +  0.8S31.  Следовательно,  соответствующие
коэффициенты  полных  затрат  сырья,  топлива  и  труда  на  каждую  единицу
конечного продукта получим из произведения матрицы:


    I         II        III

       1.4     2.4     0.8           1.04     0.21     0.02             1.97
2.92                 1.36                              Сырье               I

         0     0.6     1.6           0.21     1.05     0.13      =      0.17
0.84    2.09                Сырье II
       2.0     1.8     2.2           0.03     0.13     1.26             2.53
2.60    5.23                Топливо
                       10                        20                       20
15.2    24.8    28.0                Труд

      Таким образом, например, для изготовления  у1=1  необходимо  затратить
1.97 единиц сырья I, 0.17 единиц сырья II, 2.53 единиц топлива и 15.2  чел.-
ч.
в) Расход сырья, топлива и т.д. по каждому из цехов получим из умножения  их
расходных норм на соответствующие валовые выпуски  по  цехам.  В  результате
получим матрицу полных расходов:

                                   I        II       III
       Сырье I            330    440    318
       Сырье II             0      111    635
       Топливо           470    335    873
       Труд                 2350  3720  7940

г) Производственные расходы по цехам можем получить  путем  умножения  слева
строки стоимостей ( 5; 12; 2; 1.2 ) на последнюю матрицу:

                                      330    440    318
                                              0            111           635
I        II        III
      ( 5; 12; 2; 1.2 )        470    335    873         =   (  5410;  8666;
20484 )
                                      2350  3720  7940

д)  Наконец,  производственные  затраты  на  единицу   конечной   продукции,
необходимые для  определения  себестоимости  продукции,  можем  найти  путем
умножения слева матрицы полных затрат, найденной в п.б., на строку цен:

                       1.97    2.92    1.36
                        0.17     0.84     2.09                 I         II
            III
       ( 5; 12; 2; 1.2 )      2.53    2.60    5.23        =  (  35.3;  59.6;
75.7 )
                                     15.2    24.8    28.0

      Таким образом,  внутрипроизводственные  затраты  на  единицу  товарной
продукции I, II и III  цехов  соответственно  составляют:  35.3  руб.,  59.6
руб., 75.7 руб.