Затухание ЭМВ при распространении в средах с конечной проводимостью


                  МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
                    Харьковский национальный университет
                              им. В.Н. Каразина
                          Радиофизический факультет



                               КУРСОВАЯ РАБОТА
                             ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

   «Затухание ЭМВ  при распространении в средах с конечной проводимостью»



Руководитель:
Колчигин Н.Н.
Студент группы РР-32
Бойко Ю.В.



                                Харьков 2004


                                 Содержание

  Введение  4
  Основная часть 5
    1. Вывод уравнений для плоских волн 5
    2. Связь характеристик распространения с параметрами среды 9
    3. Вычисление затухания в данной среде    14
  Список использованной литературы      15
                                   ЗАДАНИЕ

1.Изучить общие сведения и формулы.
2.Построить зависимость электрической компоненты поля от глубины
проникновения.
3.Вычислить затухание на глубине Н=0,5 м, (=10 м, в пресной воде ((=80,
(=10-3 См/м)

                                  Введение

Распространение электромагнитных волн широко рассматривается  в  литературе,
но в ней большое внимание уделяется распространению  волн  в  диспергирующих
средах и законам геометрической  оптики.  В  данной  работе  рассматривается
связь    характеристик  распространения  с  параметрами  среды  и  затухание
элекромагнитных волн в средах с конечной проводимостью
Основная часть

                     1. Вывод уравнений для плоских волн


     Рассмотрим    электромагнитный    волновой    процесс,    векторы
[pic] и    [pic]которого могут быть представлены в виде
                   [pic]=[pic]((,t),            [pic]=[pic]((,t)
                                          (1.1)
                                    [pic]
           Рис.  1.1.   Направление  распространения плоской волны
     Здесь (рис.   1.1.)  [pic]   есть  расстояние   от   начала
координатной системы до плоскости
                                    [pic]

а [pic] является постоянным  единичным  вектором. Так  как  производные по
координатам будут равны  [pic] и т. д., то

                                    [pic]
                     [pic]                        (1.2)
                                 [pic] (1.3)
                                    [pic]
     Следовательно, для плоской волны уравнения Максвелла принимают вид
                                    [pic]
                            [pic]                        (1.4)
                              [pic],      [pic]
     Последние два уравнения означают независимость проекций [pic] и  [pic]
на направление распространения от координаты (, т. е. E( =const  и  H(=const
в данный момент времени.  Исследуем  их  поведение  во  времени.  Для  этого
второе уравнение  (1.4)    умножим скалярно на [pic]:
                                    [pic]
     Так как
                                    [pic]
     то
                                    [pic]
     и
                                 [pic][pic]

     или [pic], т.е.  dH( = 0, H( = const.   Для  исследования поведения E(
умножим скалярно  первое  из уравнений  (1.4)   на [pic]:
                                    [pic]
     Так  как [pic], получаем
                                    [pic]
     Прибавим к этому равенству [pic]
                                    [pic]
                                    [pic]
                                    [pic]
                                    [pic]
     Следовательно, при конечной ( компонента E( экспоненциально убывает со
временем, т. е.  статическое  электрическое  поле  не  может  поддерживаться
внутри проводника.
     Найдем   уравнения   для   [pic]   и    [pic]отдельно.    Для    этого
продифференцируем по t первое из уравнений (1.4)
                                 [pic][pic]
     Найдем [pic] из второго   из   уравнений   (1.4),   продифференцировав
его по (:
                                    [pic]
     Получаем
                                 [pic][pic]
     откуда
                                    [pic]
                          [pic], так как [pic][pic]
     Отсюда следует
                        [pic]                  (1.6)
     Аналогично
                     [pic]                        (1.7)
     Эти уравнения   можно   решить    методом    разделения    переменных,
идем решение для комплексной амплитуды Е поля [pic], Положив
                                E=f1(()f2(()
     Получаем
                                    [pic]
                       [pic]       (1.8)
     Общее решение для f1 будет
                                    [pic]
Частное решение для f2 возьмем в виде
                                    [pic]
     Таким образом, решением  для [pic] будет выражение
                                    [pic]
     Решая уравнение (1.7), получим аналогичное решение для [pic]
                                    [pic]
     Подставив эти значения во второе из уравнений (1.4), получим
                                    [pic]
     откуда
                                    [pic]
     Так как  (  в  этом  равенстве  может  принимать    любые    значения,
коэффициенты при экспонентах должны равняться нулю:
                                    [pic]
                                    [pic]
     Поэтому
                                  [pic]
                                  [pic]                  (1.9)
     Отсюда следует  ([pic][pic])=0 (так как ([pic][[pic][pic]])=0), т.  е.
векторы [pic] и [pic]ортогональны  к  направлению [pic] и друг к другу.

         2. Связь характеристик распространения с параметрами среды

     Установим связь между р и k. Из (1.8) получим
                                    [pic]
                     [pic]                        (2.1)
     Если задана периодичность в пространстве, т.  е.  k,    то  р    можно
найти из уравнения (2.1)
                                    [pic]
     Тогда
                                    [pic]

     где
                                    [pic]
     Распространение возможно, если q действительно.  Волновой  процесс,  в
котором поверхности  равных  амплитуд  и  поверхности  равных  фаз  являются
плоскостями, называется плоской волной.  Простейшим  случаем  плоской  волны
является плоская однородная волна.  В  плоской  однородной  волне  плоскости
равных амплитуд совпадают с плоскостями равных фаз. Фазовая  скорость  такой
волны будет равна
                                    [pic]

     Если [pic], то q — мнимое, и распространения нет: существует
пространственная периодичность по ( и монотонное затухание. Начальная  форма
волны не смещается вдоль оси (, волновое явление вырождается в диффузию.
     Частный случай временной зависимости р = i(. Тогда
                                    [pic]
                                 [pic]                   (2.2)
     Таким образом,  при  [pic]  волновое  число  k  комплексно.  Обозначим
k=(+i(, где ( — фазовая константа, ( — коэффициент затухания. Тогда
                                    [pic]
                                    [pic]
                                  [pic]                        (2.3)

     Следовательно, при р=i( имеет место  волновой  процесс  с  затуханием,
если [pic].
     Исследуем фазовую скорость волны в среде с конечными ( и (. Поскольку
волновое число комплексно: k=(+i(, имеем
                                    [pic]
     ([pic]2 считаем равным нулю).
     В общем случае [pic]1 также комплексно: [pic],
                                    [pic]
     где (, (, [pic], ( — действительные числа. Отсюда получаем  выражение
фазовой скорости
                                    [pic]
     Действительно,   так как [pic] представляет   скорость,   с   которой
движется плоскость постоянной фазы
                                 [pic]=const
     то
                                    [pic]
     откуда
                                    [pic]
     Для определения   степени затухания  и  фазовой скорости  нужно
вычислить ( и (. Из уравнений (2.3) получаем
                                    [pic]
                                    [pic]
     Введем обозначение
                                    [pic]


      тогда
                                    [pic]
     или
     [pic]
     Здесь   нужно   оставить знак   +,  так как ( — действительное число
           [pic]  (2.4)
     Аналогично получим для (
                        [pic]                  (2.5)
     Отсюда находим фазовую скорость
                           [pic]            (2.6)
     Зависимость фазовой скорости от частоты  сложная:  если  (,  (,  (  не
зависят от частоты, то с увеличением ( фазовая  скорость  увеличивается,  т.
е. в сложной волне гармоники убегают вперед.
     Рассмотрим зависимость  поглощения (, определяемого равенством  (2.5),
от электрических характеристик  среды.  Член  [pic]  представляет  отношение
[pic], так как [pic]. Следовательно,
                                    [pic]
     Но [pic], поэтому при tg(<<1
                                 [pic][pic]
     Ограничившись двумя членами разложения, получим
                            [pic]                         (2.7)
     Следовательно, по поглощению волны можно определить tg(:
                                 [pic] [pic]
                                    [pic]
     при [pic](единица длины) получаем
                                    [pic]
     Измеряется ( в неперах
                                    [pic]
     или в децибелах
                                    [pic]
     где P — мощность.
     В случае малых   tg(   зависимость  (  от   частоты   пренебрежимо
мала, так как
                                    [pic]
                                    [pic]
     В случае tg(>> 1 формулы (2.4), (2.5) можно упростить и привести к
виду
                                    [pic]

     Фазовая скорость
                                    [pic]

                   3. Вычисление затухания в данной среде

Электромагнитная волна (=10м проникает в воду пресного водоема ((=80, (=10-
3См/м) на глубину 0,5м.
                                    [pic]
                                    [pic]
                             [pic],      tg(<<1
                                    [pic]
                                    [pic]
                                  [pic] 1/м
                           [pic], на глубине 0,5 м

                       Список использованной литературы


   1. Семенов А.А. Теория электромагнитных волн.-М.: Изд-во МГУ,1968.
   2. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны.-М.:Сов.Радио, 1957.
   3. Баскаков С.И. Электродинамика и распространение волн.-М.: Высш.шк.,
      1992.
   4. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах.-М.: Наука ,1973.
   5. Тамм И.Е. Основы теории электричества.-М.: Наука, 1989.