Движение в центрально-симметричном поле



                Национальный Технический Университет Украины

                     «Киевский Политехнический Институт»



                                   Реферат

                        По курсу: Квантовая Механика
                                  На тему:
                « Движение в центрально – симметричном поле »



                                                            Выполнил студент
                                                                группы ДС-71
                                                            Садрицкий Роман.



                                 Киев-1999г.

Содержание:


   Движение в центрально-симметричном поле.


   Падение частицы на центр.


   Движение в кулоновом поле ( сферические координаты ).



 1.Движение в центрально-симметричном поле.


  Задача о движении двух взаимодействующих друг с другом частиц в квантовой
механике может быть сведена к задаче об одной частице, - аналогично тому,
как это может быть сделано в классической механике. Гамильтониан двух
частиц ( с массами  [pic]) , взаимодействующих по закону [pic] [pic]-
расстояние между частицами), имеет вид

                                          [pic][pic]           (1,1)

где [pic]- операторы Лапласа по координатам частиц. Введем вместо  радиусов-
векторов частиц [pic] и [pic] новые переменные [pic] и [pic]:

                                              [pic]           [pic]
         (1,2)

[pic] - вектор взаимного расстояния, а [pic]- радиус-вектор центра инерции
частиц. Простое вычисление приводит к результату:

                                             [pic]              (1,3)

( [pic] и  [pic]- операторы Лапласа соответственно по компонентам векторов
[pic] и [pic];
[pic] - полная масса системы; [pic] - приведенная масса). Таким образом,
гамильтониан распадается на сумму двух независимых частей. Соответственно
этому, можно искать [pic] в виде произведения [pic], где функция [pic]
описывает движение центра инерции ( как свободное движение частицы с массой
[pic]), а [pic] описывает относительное движение частиц ( как движение
частицы массы [pic] в центрально-симметричном поле [pic] ).
    Уравнение Шредингера для движения частицы в центрально-симметричном
поле имеет вид

                                              [pic]
      (1,4)

Воспользовавшись известным выражением для оператора Лапласа в сферических
координатах, напишем это уравнение в виде

     [pic].

                                            (1,5)

Если ввести сюда оператор квадрата момента:

                                [pic],

то мы получим

                              [pic]                (1,6)

   При движении в центрально-симметричном поле момент импульса сохраняется.
 Будем рассматривать стационарные состояния с определенными значениями
момента [pic] и его проекции [pic]. Заданием значений [pic] и [pic]
определяется угловая зависимость волновых функций. Соответственно этому,
ищем решения уравнения (1,6) в виде

                                                    [pic]
                 (1,7)

где [pic]- сферические функции. Поскольку [pic] , то для «радиальной
функции» [pic] получаем уравнение

                           [pic]              (1,8)

Это уравнение не содержит вовсе значения [pic], что соответствует [pic]-
кратному вырождению уровней по направлениям момента.
     Займемся исследованием радиальной части волновых функций. Подстановкой

                                                       [pic]
                          (1,9)

уравнение (1,8) приводится к виду

                                       [pic]                     (1,10)

Если потенциальная энергия [pic] везде конечна, то должна быть конечной во
всем пространстве, включая начало координат, также и волновая функция
[pic], а следовательно, и ее радиальная часть [pic]. Отсюда следует, что
[pic] должна обращаться в нуль при [pic]:

                                                            [pic]
                                 (1,11)

В действительности это условие сохраняется также и для поля, обращающегося
при [pic] в бесконечность.
      Уравнение (1,10) по форме совпадает с уравнением Шредингера для
одномерного движения в поле с потенциальной энергией

                                              [pic]
     (1,12)

равной сумме энергии [pic], и члена

                                                       [pic] ,

который можно назвать центробежной энергией. Таким образом, задача о
движении в центрально-симметричном поле сводится к задаче об одномерном
движении в области, ограниченной с одной стороны ( граничное условие при
[pic]). «Одномерный характер» имеет также и условие нормировки для функции
[pic], определяющееся интегралом

                                   [pic].

   При одномерном движении в ограниченной с одной стороны области уровни
энергии не вырождены. Поэтому можно сказать, что заданием значения энергии
решение уравнения (1,10), т.е. радиальная часть волновой функции,
определяется полностью. Имея также в виду, что угловая часть волновой
функции полностью определяется значениями [pic] и [pic], мы приходим к
выводу, что при движении в центрально-симметричном поле волновая функция
полностью определяется значениями [pic]. Другими словами, энергия, квадрат
момента и его проекция составляют полный набор физических величин для
такого движения.
    Сведение задачи о движении в центрально-симметричном поле к одномерному
позволяет применить осцилляционную теорему. Расположим собственные значения
энергии ( дискретного спектра ) при заданном [pic] в порядке возрастания,
перенумеровав их порядковыми номерами [pic], причем наиболее низкому уровню
приписывается номер [pic]. Тогда  [pic] определяет число узлов радиальной
части волновой функции при конечных значениях [pic] (не считая точки
[pic]). Число [pic] называют радиальным квантовым числом. Число [pic] при
движении в центрально-симметричном поле иногда называют азимутальным
квантовым числом, а [pic]- магнитным квантовым числом.
    Для обозначения состояний с различными значениями момента [pic] частицы
существует общепринятая символика; состояния обозначаются буквами
латинского алфавита со следующим соответствием:

               [pic]  1    2   3    4   5   6   7  . . .[pic]
                                               [pic]  [pic]  [pic] [pic]
[pic]  [pic]  [pic]  [pic]                                     (1,13)

   Нормальным состоянием при движении частицы в центрально-симметричном
поле всегда является  [pic]- состояние; действительно, при [pic] угловая
часть волновой функции во всяком случае имеет узлы, между тем как волновая
функция нормального состояния не должна иметь узлов вовсе. Можно также
утверждать, что наименьшее возможное при заданном [pic] собственное
значение энергии растет с увеличением [pic]. Это следует уже из того, что
наличие момента связано с добавлением в гамильтониане существенно
положительного члена [pic], растущего с увеличением [pic].
  Определим вид радиальной функции вблизи начала координат. При этом будет
считать, что

                                                        [pic]
                         (1,14)

Ищем [pic] в виде степенного ряда по [pic], оставляя при малых [pic] только
первый член разложения; другими словами, ищем [pic] в виде [pic].
Подставляя это в уравнение

                                               [pic],

получающееся из (1,8) умножением последнего на [pic] и переходя к [pic],
найдем

                                                       [pic].

Отсюда
                                             [pic]              или
  [pic].

Решение [pic] не удовлетворяет необходимым условиям; оно обращается в
бесконечность при [pic] ( напомним, что [pic] ). Таким образом, остается
решение с [pic], т.е. вблизи начала координат волновые функции состояний с
данным [pic] пропорциональны [pic]:

                                                            [pic].
                           (1,15)

Вероятность частице находиться на расстоянии от центра между [pic] и [pic]
определяется величиной [pic] и поэтому пропорциональна [pic]. Мы видим, что
она тем быстрее обращается в нуль в начале координат, чем больше значение
[pic].


       2. Падение частицы на центр.


Для выяснения некоторых особенностей квантовомеханического движения полезно
изучить случай, не имеющий, правда, непосредственного физического смысла, -
движение частицы в поле с потенциальной энергией, обращающейся в некоторой
точке ( начале координат ) в бесконечность по закону [pic]; вид поля вдали
от начала координат нас не будет интересовать. Этот случай – промежуточный
между теми, когда имеются обычные стационарные состояния, и случаями, когда
происходит «падение» частицы на начало координат.
   Вблизи начала координат уравнение Шредингера в рассматриваемом случае
будет следующим:

                                                         [pic]
                     (2,1)

( [pic]- радиальная часть волновой функции), где введена постоянная

                                                          [pic]
                          (2,2)

и опущены все члены более низкого порядка по [pic]; значение энергии [pic]
предполагается конечным, и потому соответствующий член в уравнении тоже
опущен.
     Ищем[pic] в виде [pic]; тогда получаем для [pic] квадратное уравнение

                                                            [pic][pic]
с двумя корнями

                                    [pic],              [pic]
 (2,3)

   Для дальнейшего исследования удобно поступить следующим образом. Выделим
вокруг начала координат малую область радиуса [pic] и заменим функцию [pic]
в этой области постоянной величиной [pic]. Определив волновые функции в
таком «обрезанном» поле, мы затем посмотрим, что получается при переходе к
пределу [pic].
   Предположим сначала, что [pic]. Тогда [pic] и [pic] - вещественные
отрицательные числа, причем [pic]>[pic]. При [pic] общее решение уравнения
Шредингера имеет вид ( везде речь идет о малых [pic])

                                                         [pic]
                           (2,4)


([pic]- постоянные). При [pic] решение уравнения

                                                        [pic]


конечное в начале координат, имеет вид

                                                        [pic]
                   (2,5)
При [pic] функция [pic] и ее производная [pic] должны быть непрерывными
функциями. Удобно написать одно из условий в виде условия непрерывности
логарифмической производной от [pic]. Это приводит к уравнению

                                         [pic]

или

                                        [pic].

Решенное относительно [pic], это уравнение дает выражение вида

                                                          [pic]
                           (2,6)

      Переходя теперь к пределу [pic] , находим, что [pic] ( напоминаем,
что [pic] ). Таким образом, из двух расходящихся в начале координат решений
уравнения Шредингера (2,1) должно быть выбрано то, которое обращается в
бесконечность менее быстро:

                                                                [pic].

      Пусть теперь [pic]. Тогда [pic]  и [pic] комплексны:

                                                     [pic].

Повторяя предыдущие рассуждения, снова придем к равенству (2,6), которое
при подстановке значений [pic] и [pic] дает

                                                           [pic].
                      (2,8)

При [pic] это выражение не стремится ни к какому определенному пределу. Так
что прямой переход к пределу [pic] невозможен. С учетом (2,8) общий вид
вещественного решения может быть написан следующим образом:

                                    [pic].                    (2,9)

   Эта функция обладает нулями, число которых неограниченно растет с
уменьшением [pic]. Поскольку, с одной стороны, выражение (2,9) справедливо
для волновой функции ( при достаточно малых [pic]) при любом конечном
значении энергии [pic] частицы, а, с другой стороны, волновая функция
нормального состояния совсем не должна иметь нулей, то мы можем заключить,
что «нормальное состояние2 частицы в рассматриваемом поле соответствует
энергии [pic]. Но во всяком состоянии дискретного спектра частица находится
в основном в области пространства, в которой [pic]. Поэтому при [pic]
частица находится в бесконечно малой области вокруг начала координат, т.е.
происходит «падение» частицы в центр.
   «Критическое» поле [pic] , при котором становится возможным падение
частицы в центр, соответствует значению [pic]. Наименьшее значение
коэффициента при [pic] получается при [pic], т.е.

                                                           [pic].
                             (2,10)

      Из формулы (2,8) ( для [pic] ) видно, что допускаемое решение
уравнения Шредингера ( вблизи точки, где [pic] ) расходится при [pic] не
быстрее чем [pic]. Если поле обращается при [pic] в бесконечность медленнее
чем [pic], то в уравнении Шредингера в области вблизи начала координат
можно вовсе пренебречь [pic] по сравнению с остальными членами, и мы
получим те же решения, что и для свободного движения, т.е. [pic] . Наконец,
если поле обращается в бесконечность быстрее чем [pic] ( как [pic] с [pic]
), то волновая функция вблизи начала координат пропорциональна [pic]. Во
всех этих случаях произведение [pic] обращается при [pic] в нуль.
    Далее, исследуем свойства решений уравнения Шредингера в поле,
спадающем на больших расстояниях по закону [pic]  при произвольном его виде
на малых расстояниях. Предположим сначала, что [pic]. Легко видеть, что в
этом случае может существовать лишь конечное число отрицательных уровней
энергии[1]. Действительно, при энергии [pic] уравнение Шредингера на
больших расстояниях имеет вид (2,1) с общим решением (2,4). Но функция
(2,4)не имеет ( при [pic] ) нулей; поэтому все нули искомой радиальной
волновой функции лежат на конечных расстояниях от начала координат и их
число, во всяком случае, конечно. Другими словами, порядковый номер уровня
[pic], замыкающего дискретный спектр, конечен.
    Если же [pic], то дискретный спектр содержит бесконечное число
отрицательных уровней энергии. Действительно, волновая функция состояния
[pic] имеет на больших расстояниях вид (2,9) с бесконечным числом нулей,
так что ее порядковый номер во всяком случае бесконечен.
    Наконец, пусть поле [pic] во всем пространстве. Тогда при [pic]
происходит падение частицы. Если же [pic], то отрицательные уровни энергии
отсутствуют вовсе. Действительно, волновая функция состояния [pic] будет во
всем пространстве вида (2,7); она не имеет вовсе нулей на конечных
расстояниях, т.е. соответствует наиболее низкому (при данном [pic] ) уровню
энергии.



3. Движение в кулоновом поле ( сферические координаты ).


   Очень важным случаем движения в центрально-симметричном поле является
движение в кулоновом поле

                                                               [pic]

( [pic] - положительная постоянная ). Мы будем рассматривать сначала
кулоново притяжение, соответственно чему будем писать [pic]. Из общих
соображений заранее очевидно, что спектр отрицательных собственных значений
энергии будет дискретным ( с бесконечным числом уровней ), а спектр
положительных энергий – непрерывным.
   Уравнение (1,8) для радиальных функций имеет вид

                                      [pic]              (3,1)

Если речь идет об относительном движении двух притягивающихся частиц, то
под [pic] надо подразумевать их приведенную массу.
    В вычислениях, связанных с кулоновским полем, удобно пользоваться
вместо обычных особыми единицами для измерения всех величин, которые мы
будем называть кулоновскими единицами. Именно, в качестве единиц измерения
массы, длины и времени выберем соответственно

                                                    [pic]    [pic]
[pic]

Все остальные единицы выводятся отсюда; так, единицей энергии будет

                                                                  [pic].

Далее будем пользоваться этими единицами.

   Уравнение (3,1) в новых единицах принимает вид

                                             [pic]       (3,2)

                                                    Дискретный спектр.

   Введем вместо параметра [pic] и переменной [pic] новые величины:

                                         [pic]             [pic]
                    (3,3)

При отрицательных энергиях [pic] есть вещественное положительное число.
Уравнение (3,2) после подстановки (3,3) приобретает вид

                                    [pic]                        (3,4)

( штрихи обозначают дифференцирование по [pic] ).
    При малых [pic] решение, удовлетворяющее необходимым условиям
конечности, пропорционально [pic] ( см. (1,15)). Для выяснения
асимптотического поведения [pic] при больших [pic] опускаем в (3,4) члены с
[pic] и [pic] и получаем уравнение

                                                               [pic]

откуда [pic]. Интересующее нас исчезающее на бесконечности решение,
следовательно, при больших [pic] ведет себя, как [pic].
    Виду этого естественно сделать подстановку

                                                    [pic],
                         (3,5)

после чего уравнение (3,4) принимает вид

                                 [pic]                               (3,6)

Решение этого уравнения должно расходиться на бесконечности быстрее
конечной степени [pic], а при [pic]=0 должно быть конечным. Удовлетворяющее
последнему условию решение есть вырожденная гипергеометрическая функция

                                    [pic]   [pic]   [pic]
                    (3,7)

Решение, удовлетворяющее условию на бесконечности, получится лишь при целых
отрицательных ( или равных нулю ) значениях [pic], когда функция (3,7)
сводится к полиному степени [pic]. В противном случае она расходится на
бесконечности, как [pic].
    Таким образом, мы приходим к выводу, что число [pic] должно быть целым
положительным, причем при данном [pic] должно быть

                                                                [pic]
                                      (3,8)

   Вспоминая определение (3,3) параметра [pic], находим

                                                         [pic]
                  (3,9)

Этим решается задача об определении уровнем энергии дискретного спектра в
кулоновском поле. Мы видим, что имеется бесконечное множество уровней между
нормальным уровнем [pic] и нулем. Интервалы между каждыми двумя
последовательными уровнями  уменьшаются с увеличением [pic]; уровни
сгущаются по мере приближения к значению [pic], при котором дискретный
спектр смыкается с непрерывным. В обычных единицах формула (3,9) имеет
следующий вид:

                                                          [pic]
                               (3,10)

     Целое число [pic] называется главным квантовым числом. Радиальное же
квантовое число, определенное в п.1, равно

                                                          [pic].

    При заданном значении главного квантового числа число [pic] может
принимать значения

                                                         [pic]
                            (3,11)

всего [pic] различных значений. В выражение (3,9) для энергии входит только
число [pic]. Поэтому все состояния с различными [pic], но одинаковыми [pic]
обладают одинаковой энергией. Таким образом, каждое собственное значение
оказывается вырожденным не только по магнитному квантовому числу [pic] (
как при всяком движении в центрально-симметричном поле ), но и по числу
[pic]. Это последнее вырождение ( о нем говорят, как о случайном или
кулоновом ) специфично именно для кулонового поля. Каждому данному значению
[pic] соответствует [pic] различных значений [pic]; поэтому кратность
вырождения  [pic]- го уровня энергии равна

                                                           [pic]
                           (3,12)

    Волновые функции стационарных состояний определяются формулами (3,5),
(3,7). Вырожденная гипергеометрическая функция с целыми значениями обоих
параметров совпадает, с точностью до множителя, с так называемыми
обобщенными полиномами Лагерра. Поэтому

                                            [pic].

Радиальные функции должны быть нормированы условием

                                                          [pic].



Их окончательный вид следующий:

             [pic]

              [pic]            (3,13)

    Вблизи начала координат [pic] имеет вид

                                     [pic]
(3,14)

На больших расстояниях

                            [pic].                  (3,15)

Волновая функция [pic] нормального состояния затухает экспоненциально на
расстояниях порядка [pic], т.е. в обычных единицах, [pic].
    Средние значения различных степеней [pic] вычисляются по формуле

                                                     [pic].

Приведем несколько первых величин [pic] ( с положительными и отрицательными
[pic] ):

                  [pic],     [pic],

                   [pic],                        [pic].
             (3,16)



                             Непрерывный спектр.

    Спектр положительных собственных значений непрерывен и простирается от
нуля до бесконечности. Каждое из этих собственных значений вырождено с
бесконечной кратностью; каждому значению [pic] соответствует бесконечное
множество состояний с [pic], пробегающими все целые значения от [pic] до
[pic] ( и со всеми возможными, при данных [pic], значениями [pic] ).
    Определяемое формулами (3,3) число [pic] и переменная [pic] теперь
чисто мнимы:

                              [pic],           [pic],
            (3,17)

где [pic]. Радиальные собственные функции непрерывного спектра имеют вид

                            [pic]               (3,18)

где [pic]- нормировочный множитель. Они могут быть представлены в виде
комплексного интеграла

                        [pic],              (3,19)

который берется по контуру ( см. рис ниже ).


                                                   [pic]
                                                   [pic]



Подстановкой [pic] этот интеграл приводится к более симметричному виду

                        [pic]              (3,20)

( путь интегрирования обходит в положительном направлении точки [pic] ). Из
этого выражения непосредственно видно, что функции [pic] вещественны.
   Асимптотическое разложение вырожденной гипергеометрической функции
позволяет непосредственно получить такое же разложение для волновой функции
[pic]
                                    [pic]

                                                (3,21)

   Если нормировать волновые функции «по шкале [pic]» , то нормировочный
коэффициент [pic] равен

                                             [pic]
          (3,22)

Действительно, асимптотическое выражение [pic] при больших [pic]( первый
член разложения (3,21) ) тогда имеет вид

                                  [pic],

                                               (3,23)
                                             [pic]

в согласии с общим видом нормировочных волновых функций непрерывного
спектра в центрально-симметричном поле. Выражение (3,23) отличается от
общего вида наличием логарифмического члена в аргументе у синуса;
поскольку, однако, [pic] растет при увеличении [pic] медленно по сравнению
с самим [pic], то при вычислении нормировочного интеграла, расходящегося на
бесконечности, наличие этого члена не существенно.
  Модуль Г-функции, входящий в выражение (3,22) для нормировочного
множителя, может быть выражен через элементарные функции. Воспользовавшись
известными свойствами Г-функций

                         [pic],              [pic],

имеем

                                   [pic],

                                    [pic]

и далее

                                   [pic].

Таким образом,

                                       [pic]                      (3,24)

( при [pic] произведение заменяется на 1 ).
    Предельным переходом [pic] можно получить радиальную функцию для
особого случая равной нулю энергии. При [pic]

[pic][pic]

                                                               [pic],

где [pic] - функция Бесселя. Коэффициенты [pic] (3,24) при [pic] сводятся к

                                    [pic]


Отсюда находим


                                                [pic]
      (3,25)

Асимптотический вид этой функции при больших [pic]

                                        [pic]                   (3,26)

Множитель [pic] исчезает при переходе к нормировке «по шкале энергии», т.е.
от функции [pic] к функции [pic]; именно функция [pic] остается конечной в
пределе [pic].
   В кулоновом поле отталкивания [pic] имеется только непрерывный спектр
положительных собственных значений энергии. Уравнение Шредингера в этом
поле может быть формально получено из уравнения для поля притяжения
изменением знака у [pic]. Поэтому волновые функции стационарных состояний
получаются непосредственно из (3,18) посредством этой же замены.


Нормировочный коэффициент снова определяется по асимптотическому выражению
и в результате получается
                                   [pic],

                [pic].         (3,27)

Асимптотическое выражение этой функции при больших [pic] имеет вид

                                   [pic],

                                           (3,28)
                                   [pic].



                        Природа кулонова вырождения.

    При классическом движении частицы в кулоновом поле имеет место
специфический для этого поля закон сохранения; в случае поля притяжения

                                                     [pic]
              (3,29)

В квантовой механике этой величине отвечает оператор

                                                      [pic]
             (3,30)

коммутативный, как легко проверить, с гамильтонианом [pic].
    Прямое вычисление приводит к следующим правилам коммутации для
операторов [pic] друг с другом и с оператором момента:

                          [pic],                 [pic].
(3,31)

    Некоммутативность операторов [pic] друг с другом означает, что величины
[pic] не могут иметь в квантовой механике одновременно определенных
значений. Каждый из этих операторов, скажем [pic], коммутативен с такой же
компонентой момента [pic], но некоммутативен с оператором квадрата
момента [pic]. Наличие новой сохраняющейся величины, не измеримой
одновременно с другими сохраняющимися величинами, , приводит к
дополнительному вырождению уровней, - это и есть специфическое для кулонова
поля «случайное» вырождение дискретных уровней энергии.
  Происхождение этого вырождения можно сформулировать также и в терминах
той повышенной симметрии ( по сравнению с симметрией по отношению  к
пространственным вращениям ), которой обладает кулонова задача в квантовой
механике.
    Для этого отмечаем, что для состояний дискретного спектра, с
фиксированной отрицательной энергией, можно заменить [pic] в правой стороне
соотношения (3,31) на [pic] и ввести вместо [pic] операторы [pic]. Для них
правила коммутации принимают вид

                              [pic],                      [pic]
       (3,32)

Вместе с правилом [pic] эти соотношения формально совпадают с правилами
коммутации операторов бесконечно малых поворотов в четырехмерном евклидовом
пространстве. Это и есть симметрия кулоновой задачи в квантовой механике.
   Из соотношений коммутации (3,32) можно снова получить выражение для
уровней энергии в кулоновом поле. Перепишем их, введя вместо [pic] и [pic]
операторы

                                         [pic],        [pic].
          (3,33)

Для них имеем

                   [pic] ,    [pic] ,    [pic]             (3,34)

Эти правила формально совпадают с правилами коммутации двух независимых
векторов трехмерного импульса. Поэтому собственные значения каждого из
квадратов [pic] и [pic] равны [pic] и [pic], где [pic]. С другой стороны,
по определению операторов [pic] и [pic], находим, после простого
вычисления:

                                   [pic],

                                    [pic]

( при вычислении суммы [pic] снова заменено [pic] на [pic] ). Отсюда

                                    [pic]

(где [pic] ) и затем [pic].



Обозначив

                                             [pic],            [pic],
                 (3,35)

приходим к требуемому результату [pic]. Кратность вырождения уровней равна,
как и следовало: [pic]. Наконец, поскольку [pic] , то при заданном [pic]
орбитальный момент пробегает значения от [pic] до [pic].


-----------------------
[1] Предполагается, что при малых [pic]поле таково, что падения частицы не
происходит.