Исследование эмпирической зависимости


                           ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ
                       РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ
                                 ОБРАЗОВАНИЮ

                         МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
                     ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ
                                И АВТОМАТИКИ
                          (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)



                               КУРСОВАЯ РАБОТА



               ТЕМА: «Исследование эмпирической зависимости».

        КУРС: «Математическое моделирование экономических процессов».



                                                    Студентки группы МФ-3-95
                                                           Франковской К. И.



____________________________________________________________________________
МОСКВА
                                              1998



                                    План


1. Введение
2. Исходные данные
3. Исследование на приближение к экспоненциальной зависимости
         1.  Построение графика эмпирической зависимости в
            полулогарифмических координатах
         2. Построение производной
         3. Построение темпа производной
4. Исследование на приближение к степенной зависимости
         1.  Построение обратного темпа роста интеграла степенной
            зависимости
         2.  Построение графика B(X
         3. Построение графика эмпирической последовательности в
            логарифмических координатах
5. Заключение
6. Используемая литература
7. Приложение



                                 1. Введение

    Анализ эмпирических данных используется в качестве анализа многих
экономических показателей для возможности прогнозирования изменения этих
показателей. Прогнозированием различной экономической динамики занимаются
технический и фундаментальный анализы. Технический анализ по результатам
исследования предоставляет конкретное решение по действиям, а на базе
фундаментального анализа, можно построить прогноз динамики изменения
конкретного показателя в будущем.
    В качестве исследуемой последовательности будет взят эмпирический набор
экономических данных, имеющий растущую тенденцию изменения во времени.
    Данные исследования эмпирических данных будут проводиться с целью
выявления некоторых функциональных зависимостей между ними, а также
математической модели, к которой наиболее близко приближается эмпирическая
зависимость.
    В данной курсовой работе будет проведен анализ двух эмпирических
последовательностей на соответствие математическим моделям роста, таким как
экспоненциальная зависимость и степенная зависимость.



                             2. Исходные данные

    В качестве исходных последовательностей взяты статистические данные из
книги «Историческая статистика Соединенных Штатов Америки» – Эмиграция в
США из Центральной Европы с 1886 по 1915 год и Эмиграция в США из СССР и
стран Балтии с 1886 по 1915 год.
    График исходных данных представлен на листе 1 (см. Приложение).
    Эмиграция в США                                         Эмиграция в США
    из Центральной Европы                              из СССР и стран
Балтии
     (Венгрия, Австрия)                         (Литва, Эстония, Латвия,
Финляндия)
    [pic]
    [pic]

        3.Исследование на приближение к экспоненциальной зависимости
    3.1 Построение графика эмпирической зависимости в полулогарифмических
                                 координатах

    Уравнение экспоненциальной функции имеет следующий вид:
                                               X=Cekt    ,
    что является решением дифференциального уравнения:
                                dX/dt = KX  .
    Проинтегрировав это уравнение получим линейную зависимость lnX по t:
                                             lnX = kt + lnC   .
    Эмиграция из Центральной Европы  Эмиграция из СССР и стран Балтии

    [pic]

    [pic]

    Формула, указанная выше позволяет нам сделать утверждение, что если
данные последовательности эмпирических данных приближаются к экспоненте, то
график зависимости lnX от времени должен находиться в линейном коридоре.
    Иными словами, если последовательность представляет собой
экспоненциальную функцию, то ее график в полулогарифмических координатах
спрямляется.
    По данному графику определяется темп роста, равный
                         K =  (2/(1 = (lnX2 – lnX1)/(t2-t1)   ,
    параметр lnC влияет на расположение прямой на плоскости.
    Графики зависимости lnX от t представлены на листе 2 (см. Приложение).
Темп роста К, определенный по графикам, равен для графика зависимости
Эмиграции в США из Центральной Европы – 0,11,  для графика зависимости
Эмиграции из СССР и стран Балтии – 0,13.



                         3.2 Построение производной
    Производная эмпирической последовательности рассчитывается по формуле:

                                     Xґ(ti) = (Xi – Xi-1)/(ti – ti-1) .

    Графики производной изображены на листе 3 (см. Приложение) и
представляют собой колебания, имеющие увеличивающуюся амплитуду во времени.
Это показывает на то, что скорость роста обеих эмпирических зависимостей во
времени увеличивается.
    Эмиграция в США из                                Эмиграция в США из
СССР и
    Центральной Европы                                              стран
Балтии
    [pic]
    [pic]



                      3.3 Построение темпа производной

    График изменения темпа производной строится с использованием формулы:
                       Xґ(ti)/X(ti) = (Xi – Xi-1)/Xi(ti – ti-1)  .
    Эмиграция в США из                                      Эмиграция в США
из
    Центральной Европы                                      СССР и стран
Балтии

    [pic]

    [pic]
    В результате построений получен график, представляющий собой колебания
с различной амплитудой относительно прямой, равной темпу роста К, который
характеризует скорость роста логарифма эмпирической последовательности.



           4. Исследование на приближение к степенной зависимости

    4.1 Построение обратного темпа роста интеграла степенной зависимости

    Степенная функция имеет вид:
                              X = X0(t – t0)B ,
    который является решением дифференциального уравнения следующего вида:
                            dX\dt = BX/(t – t0) .
    Производная степенной функции равна:
                            Xґ = BX0(t – t0)B-1 .
    Темп роста степенной функции равен:
                             Xґ/X = B/(t – t0) ,
    а обратный темп роста степенной функции имеет следующий вид:
                             X/Xґ = (t – t0)/B .
    Но график обратного темпа имеет очень сильные колебания, что не
позволяет с большой точностью отследить тенденцию графика. В следствие
этого  будет построен график обратного темпа интеграла степенной функции,
имеющий более сглаженные колебания и позволяющий достаточно точно
определить тегнденцию графика. График обратного темпа интеграла в идеальном
случае имеет вид прямой с коэффициентом наклона равным В, которая
пересекает ось абсцисс в точке t0.
    Интеграл степенной функции вычисляется по формуле :
                           Y = Xґ(t – t0)B+1/B+1 .
    А обратный темп роста интеграла равен:
                        Yґ/Y = X/Y = (B+1)/(t – t0) .


    Коэффициент наклона прямой В может быть найден из графика по формуле:
                               B = ctg( - 1 ,
    или, другими словами, разности отношения приращения аргумента ((1) к
приращению функции ((2) и 1.
    Обратный темп интеграла степенной зависимости рассчитывается по
формуле:
    Y/Yґ = ((X(t)/X   .
           Эмиграция в США
Эмиграция в США
     из Центральной Европы                                  из СССР и стран
Балтии

[pic]

    [pic]
Полученные графики расположены на листе 5 (см. Приложение).
    Так как графики зависимостей не имеют ярко выраженной тенденции по
приближению к степенной функции, в качестве искомой прямой была взята общая
тенденция роста данного графика, полученная с помощью метода наименьших
квадратов.
     На основе данных графиков получены следующие значения параметров
прямой:
    График обратного темпа интеграла зависимости Эмиграция в США из
Центральной Европы:  t0 = 1877, B = 2.5
    График обратного темпа интеграла зависимости Эмиграция в США из СССР и
стран Балтии: t0 = 1875.5, B = 2.9

    4.2 Построение графика B(X

    Для проверки правильности значений коэффициента наклона В и начального
времени t0, построен график зависимости B(X   от времени.
    Полученые графики расположены на листе 6 (см. Приложение).
    Поскольку, как и в предыдущем случае, невозможно выделить четкую
линейную тенденцию графиков эмпирических последовательностей. Поэтому путем
проведения прямой через минимумы графика и прямой через максимумы графика,
ищется прямая, расположенная на одинаковом расстоянии от обеих прямых.
    В результате проведенных построений определились значения t0. В обоих
случаях они не совпадают со значениями, полученными в результате предыдущих
построений.
    Для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы новое
значение t0 = 1890.
    Для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии новое
значение t0 = 1883.



       Эмиграция в США
Эмиграция в США
    из Центральной Европы                                       из СССР и
стран Балтии

[pic]
    [pic]

    4.3 Построение графика эмпирической последовательности в
логарифмических координатах

    Как было сказано выше, степенная функция имеет вид:

    X = X0(t – t0)B  .
    Прологарифмировав обе части, получаем линейную зависимость lnX от lnT,
где Т = t – t0:
    LnX = lnX0 + Bln(t – t0)  .

    Графики зависимости lnX от lnТ построены с учетом обоих значений t0.
    Для значений t0 (t – t0 = T1,  t0= 1877 для последовательности
Эмиграция в США из Центральной Европы, t0 = 1875,5 для последовательности
Эмиграция в США из СССР и стран Балтии), полученных при исследовании
графиков обратного темпа роста интеграла эмпирической последовательности,
графики имеют вид, представленный на листе 7 (см. Приложение).
        Эмиграция в США
Эмиграция в США
    из Центральной Европы                                  из СССР и стран
Балтии

[pic]

    [pic]

    Как и в предыдущем случае, проводится прямая, находящаяся на одинаковом
расстоянии от прямой, проведенной через минимумы графика и прямой,
проведенной через максимумы графика. Коэффициент наклона данной прямой в
этом случае будет равняться
    Для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы         В
= 2,39;
    Для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии        В
= 2,73.

    Для значений t0 (t – t0 = T2, t0 = 1890 для последовательности
Эмиграция в США из Центральной Европы, t0 = 1883 для последовательности
Эмиграция в США из СССР и стран Балтии), полученных при исследовании
графиков B(X , графики имеют вид, представленный на листе 8 (см.
Приложение).

    Эмиграция в США
Эмиграция в США
    из Центральной Европы                                         из СССР и
стран Балтии

[pic]

    [pic]

    Из аналогично обработанноых графиков эмпирических последовательностей
получены новые значения коэффициентов наклона прямых, равные
    Для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы         В
= 2,44;
    Для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии        В
= 1,82.



    5.Заключение

    В результате проведенных исследований были построены графики
эмпирических зависимостей и из них получено:
    эмпирическая последовательность Эмиграция в США из Центральной Европы
приближается к экспоненциальной зависимости с темпом роста К=0,11
    эмпирическая последовательность Эмиграция в США из СССР и стран Балтии
приближается к экспоненциальной зависимости с темпом роста К=0,13
    эмпирическая последовательность Эмиграция в США из Центральной Европы
приближается к степенной зависимости с параметрами В и t0. При построении
графиков были получены следующие значения параметров:
                            В=2,5                           t0= 1877
      В=2,39                         t0= 1890
                            В=2,44
    эмпирическая последовательность Эмиграция в США из СССР и стран Балтии
приближается к степенной зависимости с параметрами В и t0. При построении
графиков были получены следующие значения параметров:
                            В= 2,9                           t0= 1875,5
                            В= 2,73                         t0=  1883

                            В= 1,82



    6. Используемая литература

    1. Statistical History of USA.



    7. ПРИЛОЖЕНИЕ