Контрольная работа


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ


            Томский государственный университет систем управления
                         и радиоэлектроники (ТУСУР)



                                                           Кафедра Экономики



                             Контрольная работа
             по дисциплине “Математические модели в Экономике ”


                                 Вариант №18



                                                                   Выполнил:
                                                           Студент  гр. з822
                                                       ________ Васенин П.К.


                                                                  Проверила:

                                                     ________ Сидоренко М.Г.



                                г. Томск 2003

Задание №1

Объём выпуска продукции Y зависит  от  количества  вложенного  труда  x  как
функция
[pic]. Цена продукции v, зарплата p. Другие издержки не  учитываются.  Найти
оптимальное количество вложенного труда.

Решение:

Оптимальное количество вложенного труда обозначим через X*
Определим прибыль [pic]
Воспользуемся соотношением [pic] - т.е.  частные  производные  приравняем  к
нулю, найдём оптимальное количество вложенного труда
[pic]


Задание №2

Даны зависимости спроса D=200-2p и предложения  S=100+3p  от  цены.  Найдите
равновесную
цену, цену при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.

Решение:

Равновесная цена находится путём приравиевания спроса  и  предложения,  т.е.
200-2p=100+3p; p*=20 – равновесная цена.
Найдём прибыль при равновесной цене:
[pic]
Найдём цену, определяющую максимум выручки:
[pic]
При  p*(200-2p)  максимум  достигается  в  точке  p’=50  (определили   через
производную)
W (50)=50*(200-2*50)=5000
Таким  образом,  максимальная  выручка   W(p’)=5000   достигается   не   при
равновесной цене.



Задание №3
Найти решение матричной игры (оптимальные стратегии и цену игры) [pic].
Решение:

1- способ. Проверим на  наличие  седловой  точки.  Седловая  точка  является
одновременно наименьшим элементом строки и наибольшим элементом  столбца.  В
матрице седловой точки нет.
[pic] Выигрыш первого есть случайная величина с рядом распределения:


[pic]
Найдём средний выигрыш за  партию  Первого  –  это  математическое  ожидание
случайной величины W(x,y):
[pic]
Оптимальные стратегии игроков:
[pic]
2 – способ. Если решить эту игру как матричные игры двух игроков  с  нулевой
суммой, то для игры с  матрицей  [pic]  оптимальные  смешанные  для  1  и  2
игроков и цена игры получаются из решения уравнений:
[pic]
[pic]
[pic]
Откуда, Оптимальные стратегии игроков:
[pic]



Задание №4

Для  трехотраслевой  экономической  системы  заданы  матрица   коэффициентов
прямых материальных затрат [pic] и вектор конечной  продукции  [pic].  Найти
коэффициенты полных материальных затрат двумя способами  (с  помощью  формул
обращения   невыраженных   матриц   и    приближённо),    заполнить    схему
межотраслевого баланса.

Решение:

Определим матрицу  коэффициентов  полных  материальных  затрат  приближённо,
учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно.
Матрица косвенных затрат первого порядка:
[pic]
Матрица косвенных затрат второго порядка:
[pic]
Получаем матрицу коэффициентов полных материальных затрат (приближённо):
[pic]
Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью  формул
обращения невыраженных матриц:
Находим матрицу (E-A):
[pic]
Вычисляем определитель этой матрицы:
[pic]
Транспонируем матрицу (E-A):
[pic]
Находим алгебраические дополнение для элемента матрицы (E-A)’:
[pic]
Таким образом:
[pic]

Находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:
[pic]
      Таким образом, расчёты первым и вторым способом  получились  разные  –
это произошло из-за того, что второй способ  наиболее  точен  (рассчитан  по
точным  формулам),  а  первый  способ  рассчитан  приближённо,   без   учёта
косвенных затрат выше второго порядка.
      Для  заполнения  межотраслевого  баланса  необходимо  найти   величину
валовой продукции:
[pic]
                        Схема межотраслевого баланса

|Производящие |Потребляющие отрасли                                                    |
|отрасли      |                                                                        |
|             |1            |2             |3           |Конечная    |Валовая       |
|             |             |              |            |продукция   |продукция     |
|1            |2574,67      |464,32        |0           |640         |3678,1        |
|2            |1839,05      |232,16        |0           |250         |2321,6        |
|3            |0            |232,16        |3328,64     |600         |4160,8        |
|Условно      |             |              |            |            |              |
|чистая       |-735,62      |1392,96       |832,16      |1490        |              |
|продукция    |             |              |            |            |              |
|Валовая      |3678,1       |2321,6        |4160,8      |            |10160,5       |
|продукция    |             |              |            |            |              |



Задание №5

Проверить ряд [pic] на наличие выбросов  методом  Ирвина,  сгладить  методом
простой   скользящеё   средней   с   интервалом   сглаживания   3,   методом
экспоненциального сглаживания (а=0,1),  представить  результаты  графически,
определить  для  ряда  трендовую  модель  в  виде  полинома  первой  степени
(линейную модель),  дайте  точечный  и  интервальный  прогноз  на  три  шага
вперёд.

Решение:

a) Проверим ряд на наличие выбросов методом Ирвина. Метод Ирвина Служит  для
выявления аномальных уровней, т.е. – это отдельное значение временного ряда
которое не отвечает потенциальным  возможностям  исследуемой  экономической
системы и которое, оставаясь в качестве  значения  уровня  ряда,  оказывает
существенное влияние на значение основных характеристик временного ряда,  и
на трендовую модель.
     Для выявления аномальных уровней воспользуемся формулой:
 [pic]
[pic]Расчётные значения:
|[pic] |2,8   |2,3   |1,5   |1,3   |1,2   |1,1   |1     |

Таким образом, при сравнении значений, обнаруживаем, что аномальных  уровней
нет, т.е. [pic].

b) Сгладим методом простой скользящей средней с интервалом сглаживания m=3:
[pic]

|t  |[pi|Метод простой скользящей средней,|
|   |c] |[pic]                            |
|1  |53 |--                               |
|2  |51 |--                               |
|3  |52 |52                               |
|4  |54 |52,3                             |
|5  |55 |53,6                             |
|6  |56 |55                               |
|7  |55 |55,3                             |
|8  |54 |55                               |
|9  |56 |55                               |
|10 |57 |55,6                             |


c) Сгладим экспоненциальным методом с а=0,1 – параметр сглаживания:
[pic]

|t  |[pi|Экспоненциальный метод, [pic]    |
|   |c] |                                 |
|1  |53 |52,1                             |
|2  |51 |51,99                            |
|3  |52 |51,99                            |
|4  |54 |52,19                            |
|5  |55 |52,47                            |
|6  |56 |52,82                            |
|7  |55 |53,04                            |
|8  |54 |53,14                            |
|9  |56 |53,42                            |
|10 |57 |53,78                            |

d) Представим результаты графически:
[pic]



e) Определим для ряда  трендовую  модель  в  виде  полинома  первой  степени
(линейную модель):
[pic]
      Необходимо оценить адекватность и  точность  построения  модели,  т.е.
необходимо выполнение следующих условий:
a) Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности:
[pic]
Проверку случайности  уровней  ряда  проведем  по  критерию  пиков,  должно
выполняться:[pic]
[pic]

|t |Фактическое   |Расчётное   |Отклонение   |Точки пиков|
|  |[pic]         |[pic]       |[pic]        |           |
|1 |53            |51,97       |1,03         |--         |
|2 |51            |52,49       |-1,49        |1          |
|3 |52            |53          |-1           |0          |
|4 |54            |53,52       |0,48         |0          |
|5 |55            |54,03       |0,97         |0          |
|6 |56            |54,55       |1,45         |1          |
|7 |55            |55,06       |-0,06        |0          |
|8 |54            |55,58       |-1,58        |1          |
|9 |56            |56,09       |-0,09        |0          |
|10|57            |56,61       |0,39         |--         |
|55|543           |542,9       |0,1          |3          |



b) Проверка  соответствия  распределения  случайной  компоненты  нормальному
закону распределения:
[pic]

[pic]
Необходимые условия:
[pic]
      Если эти условия выполняются одновременно,  то  гипотеза  о  характере
распределения случайной компоненты принимается, если  выполняется  хотя  бы
одно из следующих неравенств:
      [pic]
то  гипотеза  о  нормальном  распределении  отвергается,  трендовая   модель
признаётся неадекватной.
1)[pic]
2)[pic]
      Таким образом, одно из неравенств  не  выполняется,  трендовая  модель
неадекватна, значит, дальнейшее исследование  не имеет смысла.



Задание №6

Пункт по приёму квартир работает в режиме отказа и состоит из  двух  бригад.
Интенсивность потока  [pic],  производительность  пункта  [pic].  Определить
вероятность того, что оба канала свободны,  один  канал  занят,  оба  канала
заняты,  вероятность   отказа,   относительную   и   абсолютную   пропускную
способности, среднее число занятых бригад.

Решение:

Коэффициент  использования  (количество   заявок,   поступающих   за   время
использования одной заявки)
[pic]
a) Вероятность того, что оба канала свободны:
[pic]
b) Вероятность того, что один канала занят:
[pic]
c) Вероятность того, что оба канала заняты:
[pic]
d) Вероятность отказа в заявке:
[pic]
e) Относительная пропускная способность:
[pic]
f) Абсолютная пропускная способность:
[pic]
g) Среднее число занятых бригад:
[pic]