Аркфункции


      Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования
элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные
тригонометрические функции.

      Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить
их графики.
Решение: Рассмотрим 1-ю функцию
      y = arcsin(1/x)
Д(f): | 1/x | ? 1 ,
      | x | ? 1 ,
( - ? ; -1 ] U [ 1; + ? )



Функция нечетная



( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;?/2] )


Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є
[-?/2; ?/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда
y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)

Д(f): ( - ? ; -1 ] U [ 1; + ? )



Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2).
Решение:
Д(f): [-1;1]
Четная
f(x) убывает на пр. [0;1]
f(x) возрастает на пр. [-1;0]



Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x).
Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2
f(z) убывает на пр. [-1;1] от ? до 0.
f(y) убывает на пр. [-1;1] от ?2 до 0.



Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x2-1))
Решение:
Д(f): ( - ? ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +? )
Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:
[ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +? )

|X        |0   |< x |1    |< x |+?  |
|         |    |<   |     |<   |    |
|u=1/(x2-1|-1  |?   |+ ?  |?   |0   |
|)        |    |    |- ?  |    |    |
|y=arctg(u|-   |?   |?/2  |?   |0   |
|)        |?/4 |    |- ?/2|    |    |



                Тригонометрические операции над аркфункциями

      Тригонометрические функции от одного и того  же  аргумента  выражаются
алгебраически  одна через другую, поэтому  в  результате  выполнения  какой-
либо  тригонометрической  операции  над  любой  из   аркфункций   получается
алгебраическое выражение.
      В силу определения аркфункций:

      sin(arcsin(x)) = x ,                    cos(arccos(x)) = x
           (справедливо только для x є [-1;1] )
      tg(arctg(x)) = x ,                      ctg(arcctg(x)) = x
            (справедливо при любых x )
Графическое различие между функциями, заданными формулами:

                          y=x                и
y=sin(arcsin(x))



      Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших
тригонометрических операций над аркфункциями.

|Аргумент    |arcsin(x)      |arccos(x)     |arctg(x)      |arcctg(x)   |
|            |               |              |              |            |
|функция     |               |              |              |            |
|sin         |sin(arcsin(x))=|[pic]         |[pic]         |[pic]       |
|            |x              |              |              |            |
|cos         |[pic]          |x             |[pic]         |[pic]       |
|tg          |[pic]          |[pic]         |x             |1 / x       |
|ctg         |[pic]          |[pic]         |1 / x         |x           |

      Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи
рассуждений, приведенных ниже:
     1. Т.к. cos2x + sin2x = 1 и ? = arcsin(x)
      [pic]
      [pic]

      Перед радикалом [pic]следует взять знак “+”, т.к. дуга
[pic]принадлежит правой полуокружности (замкнутой) [pic], на которой
косинус неотрицательный.
      Значит, имеем
      [pic]

     2. Из тождества [pic]следует:
      [pic]

     3. Имеем
      [pic]

     4. [pic]

      Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством
      выведения формул.

      Пример №1. Преобразовать выражение [pic]
      Решение: Применяем формулу [pic], имеем: [pic]

      Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость
      тождеств:
      [pic]
      [pic]

      Пример №3. Пользуясь ...
[pic]

      Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

Пример №5. Положив в формулах
[pic],      и    [pic]
[pic], получим:
[pic],           [pic]

Пример №6. Преобразуем [pic]
Положив в формуле [pic],          [pic]
Получим:
      [pic]
Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга [pic]принадлежит I четверти, а
потому левая часть неотрицательная.


                       Соотношения между аркфункциями

      Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими
из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.
      Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:


      [pic]

      [pic]



      Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями,  вытекающие
из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и  того
же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся  преобразования
одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).

      Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той  же
полуокружности.
      Пусть, например, рассматривается дуга ?, заключенная  в  интервале  (-
?/2; ?/2).
      Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде
арктангенса. В самом деле, дуга [pic]имеет синус, равный sin?  и  заключена,
так же как и ?, в интервале (-?/2; ?/2), следовательно
      [pic]
      Аналогично можно дугу ? представить в виде арктангенса:
      [pic]
      А если бы дуга ? была заключена в интервале ( 0 ; ? ), то она могла бы
быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:
      [pic]
      Так, например:
      [pic]
      [pic]
      Аналогично:
      [pic]

      Формулы преобразования одних аркфункций  в  другие,  значения  которых
содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).
     1. Выражение [pic][pic]через арктангенс.
      Пусть [pic], тогда
      [pic]
      Дуга [pic], по определению арктангенса, имеет тангенс, равный [pic]  и
расположена в интервале (-?/2; ?/2).
      Дуга [pic]имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-?/2;
?/2).
      Следовательно,
      [pic]                                   (1)
      (в интервале ( -1 : 1 )

     2. Выражение [pic]через арксинус.
      Т.к. [pic],      то    [pic]            (2)
      в интервале [pic]

     3. Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства [pic]следует
        тождество
      [pic]                                   (3)

      Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения  которых  выбираются  в
различных  промежутках  (например,  арксинус  и  арккосинус;  арккосинус   и
арктангенс и т.п.).  Если  аргумент  какой-либо  аркфункции  (т.е.  значение
тригонометрической  функции)  положителен,  то   соответственно   аркфункция
(дуга), заключенная в первой четверти, может быть  представлена  при  помощи
любой аркфункции; так, например,
      [pic]

      Поэтому каждая из аркфункций от положительного  аргумента  может  быть
выражена посредством любой другой аркфункции.
      Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит
либо промежутку от -?/2 до 0, либо промежутку от ?/2 до ? и  не  может  быть
представлено в виде аркфункции, значение  которой  принадлежит  другому  (из
этих двух) промежутку.
      Так, например, дуга [pic] не может быть значением  арксинуса.  В  этом
случае
      [pic]

      Формулы преобразования одних аркфункций  в  другие,  значения  которых
выбираются в различных полуокружностях.
     4. Выражение арксинуса через арккосинус.
      Пусть [pic], если [pic], то [pic]. Дуга имеет косинус, равный [pic], а
      поэтому [pic]
      При [pic]это равенство выполняться не может.  В  самом  деле,  в  этом
      случае
      [pic], а для функции [pic]имеем: [pic]
      так как аргумент арккосинуса есть арифметический  корень  [pic],  т.е.
      число неотрицательное.
      Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:



                  Х>0                              X<0


      При отрицательных значениях Х имеем Х<0, а при положительных X>0, и
      [pic]
      Таким образом, имеем окончательно:

      [pic]если [pic],       (4)
                 [pic], если [pic]



      График функции [pic]



      Область определения  есть  сегмент  [-1;1];  согласно  равенству  (4),
закон соответствия можно выразить следующим образом:

                  [pic], если [pic]
                 [pic], если [pic]


     5. Аналогично установим, что при [pic]имеем:
      [pic], если же [pic], то
      [pic]
      Таким образом:
      [pic] [pic], если [pic]                      (5)
                  [pic], если [pic]


     6. Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения
      [pic] при [pic]имеем:
      [pic]
      Если же х<0, то
      [pic]
      Итак,
      [pic] [pic], если [pic]                            (6)
                  [pic], если [pic]


     7. Выражение арккосинуса через арктангенс. Если [pic], то [pic]
      При  [pic] имеем:
      [pic]
      Итак,
      [pic] [pic], если [pic]                      (7)
                  [pic], если [pic]

     8. Выражение арктангенса через арккотангенс.
      [pic] [pic], если х>0                              (8)
                  [pic],если x<0

      При x>0 равенство (8) легко установить; если же x<0, то
      [pic].
     9. Выражение арксинуса через арккотангенс.
      [pic] [pic], если [pic]                      (9)
                  [pic], если [pic]

    10. Выражение арккотангенса через арксинус.
      [pic] [pic], если 00                              (11)
                  [pic], если x<0

      Примеры:

      Пример №1. Исследовать функцию [pic]
      Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением
      значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл).
      Воспользовавшись формулой (8) получим:

      y=    0 , если x>0
            -? , если x<0

      На чертеже изображен график
      данной функции



      Пример №2. Исследовать функцию [pic]
      Решение: Первое слагаемое определено для значений [pic], второе –  для
тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4).
      Т.к. [pic], то получаем
      [pic],
      откуда:
      [pic] на сегменте [0;1]

      Пример №3. Исследовать функцию [pic]
      Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не  превосходят  по
абсолютной величине единицы, поэтому  данная  функция  определена  для  всех
значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4).
      [pic]

      Приняв во внимание равенство

      [pic] [pic], если [pic]
                  [pic], если [pic]


      получим:
      y =   0 ,              если [pic]
            [pic] ,    если [pic]



      Выполнение     обратных      тригонометрических      операций      над
тригонометрическими функциями.
      При преобразовании выражений вида
      [pic]
      следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х  и
в  каком  промежутке  находится  значение  данной  аркфункции.   Рассмотрим,
например, первое из данных выражений:
      [pic]
      Согласно определению арксинуса, y – есть  дуга  правой  полуокружности
(замкнутая), синус которой равен sin x;
      [pic] и     [pic]
      Областью определения функции [pic] служит интервал [pic], так как  при
всех  действительных   значениях   х   значение   промежуточного   аргумента
[pic]содержится  на  сегменте  [pic].  При  произвольном  действительном   х
значение y (в общем случае) отлично от значения х.
      Так, например, при х=?/6 имеем:
      [pic]
      но при х=5?/6
      [pic]
      В  силу  периодичности  синуса  функция  arcsin   x   также   является
периодической с периодом 2?, поэтому достаточно исследовать ее  на  сегменте
[-?/2; 3?/2] величиной 2?.
      Если значение х принадлежит сегменту  [-?/2;  ?/2]  то  y=x,  на  этом
сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла.
      Если значение х принадлежит сегменту [?/2; 3?/2],  то  в  этом  случае
дуга ?-х принадлежит сегменту [-?/2; ?/2]; и, так как
      [pic], то имеем  y=?-х;
      в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=?-х. Если
значение х принадлежит сегменту [3?/2; 5?/2], то,  пользуясь  периодичностью
или путем непосредственной проверки, получим:
      y=х-2?
      Если значение х принадлежит сегменту [-3?/2; -?/2], то
      y=-?-х
      Если значение х принадлежит сегменту [-5?/2; -3?/2], то
      y=х+2?
      Вообще, если [pic], то
      y=х-2?k
      и если [pic], то
      y=(?-х)+2?k

      График функции  [pic]представлен  на  рисунке.  Это  ломаная  линия  с
бесконечным множеством прямолинейных звеньев.



      Рассмотрим функцию [pic]
      Согласно определению арккосинуса, имеем:
      cos y = cos x, где [pic]
      Областью  определения   данной   функции   является   множество   всех
действительных чисел; функция периодическая, с  периодом,  равным  2?.  Если
значение Х принадлежит сегменту [0;  ?],  то  y  =  x.  Если  х  принадлежит
сегменту [?; 2?],  то  дуга  2?-х  принадлежит  сегменту  [0;  ?]  и  [pic],
поэтому:
      [pic]
      Следовательно, на сегменте [?; 2?] имеем y = 2? - x
      Если х принадлежит сегменту [2?; 3?], то y = x - 2?
      Если х принадлежит сегменту [3?; 4?], то y = 4? – x

      Вообще, если [pic], то y = x - 2?k
      Если же [pic], то y = -x + ?k
      Графиком функции [pic]является ломаная линия



                              Формулы сложения

      Формулы сложения дают выражения для  суммы  или  разности  двух   (или
нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана  сумма
аркфункций;  над  этой  суммой  можно  выполнить  любую   тригонометрическую
операцию. (....) В соответствии с  этим  дуга-функция  может  быть  выражена
посредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях  (при  одних
и тех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в  зависимости  от
промежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции.
      Сказанное пояснено ниже на числовых примерах.
      Примеры.
      Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму
      [pic]
      Решение: эта сумма является суммой двух дуг ? и ?, где
      [pic];           [pic]
      В данном случае [pic] (т.к. [pic], а следовательно,  [pic]),  а  также
[pic], поэтому [pic].
      Вычислив синус дуги ?, получим:
      [pic]
      Т.к. сумма ? заключена на сегменте [-?/2; ?/2], то
      [pic]

      Пример №2. Представить дугу ?, рассмотренную в предыдущем  примере,  в
виде арктангенса. Имеем:
      [pic]

      Откуда
      [pic]

      Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму [pic]
      Решение:  в  данном  случае  (в  отличие  от   предыдущего)   дуга   ?
оканчивается во второй четверти, т.к. [pic], а [pic]. Вычисляем [pic]
      В рассматриваемом примере [pic], так как дуги  ?  и  [pic]заключены  в
различных интервалах,
      [pic], а    [pic]
      В данном случае [pic]

      Пример №4. Представить дугу ?, рассмотренную в предыдущем  примере,  в
виде арккосинуса.
      Решение: имеем
      [pic]

      Обе дуги  ?  и  [pic]расположены  в  верхней  полуокружности  и  имеют
одинаковый косинус, следовательно, эти дуги равны: [pic]
      Так как суммы и разности любых аркфункций можно  выражать  при  помощи
произвольных аркфункций,  то  можно  получать  самые  разнообразные  формулы
сложения.  Однако  все  эти  формулы   выводятся   при   помощи   однотипных
рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из  формул  сложения,
по этим образцам можно  получить  аналогичные  формулы  в  различных  прочих
случаях.
      Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов.
      Пусть ? и ? – две дуги, заключенные в промежутке от 0 до  ?/2  (первая
четверть):
      [pic], и    [pic]
      Сумма ? + ? заключена в верхней полуокружности  [pic],  следовательно,
ее можно представить в виде аркфункции, значение которой  выбирается  в  том
же интервале, т.е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса:
      [pic];
      [pic]
      Разность ? – ? заключена в правой полуокружности: [pic]
      Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в
виде арктангенса:
      [pic];
      [pic]
      Так  как  значение  всякой  аркфункции  от  положительного   аргумента
заключено в интервале (0; ?/2) то сумму  двух  аркфункций  от  положительных
аргументов  можно  представить  в  виде  арккосинуса,   а   также   в   виде
арккотангенса, а разность двух аркфункций от положительных аргументов  можно
представить в виде арккосинуса, а также в виде арктангенса.
      Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.
     1. Преобразуем в арккосинус [pic], где [pic] и [pic]
      Имеем:
           [pic]
      Откуда
            [pic]
     2. Аналогично
        [pic], где 0 < x < 1, 0 < y < 1
        [pic], где 0 < x < 1, 0 < y < 1
        [pic]
        [pic]
        [pic]

        Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов.

        1. Выразить сумму [pic]через арксинус
           По определению арксинуса
    [pic]  и     [pic],
    откуда
           [pic]
    Для дуги ? возможны следующие три случая:
    Случай 1: [pic]
Если числа x и y разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, то  имеет
место случай 1.
      В самом деле, при [pic]и [pic], имеем:
      [pic],     и     [pic],
откуда
      [pic]
При x > 0, y > 0 для дуги ?  имеет  место  одна  из  следующих  двух  систем
неравенств:
а) [pic]         б) [pic]
      Необходимым и достаточным  признаком,  позволяющим  отличить  один  от
другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:
      [pic] в случае а)  и  [pic] в случае  б)
      В самом деле, взаимно исключающие  друг  друга  соотношения  а)  и  б)
влекут    за    собой    взаимно    исключающие    следствия     [pic]     и
[pic](соответственно),  а  потому  эти  следствия  служат   необходимыми   и
достаточными признаками наличия данных соотношений.
      Вычислив [pic], получим:
      [pic]
      При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения  неравенства  а)
т.е. [pic]или
      [pic]
      Откуда
            [pic] и, следовательно,  [pic]
      Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств
            [pic];
      но тогда для положительных аргументов –x и –y имеет место случай 1,  а
потому
            [pic] или  [pic]

      Случай 2. [pic]
            В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б);  из
условия [pic]получим  [pic]

      Случай 3. [pic]
            Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и [pic]
      Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:
            [pic]
      откуда        [pic]
            Дуги ? и  [pic]  имеют  одинаковый  синус,  но  (по  определению
арксинуса) [pic], следовательно в случае 1  [pic];
      в случае 2  [pic] и в случае 3  [pic].
      Итак, имеем окончательно:
                             [pic] , [pic] или  [pic]
      [pic]       [pic]; x > 0, y > 0, и [pic]     (1)
                             [pic]; x < 0, y < 0, и [pic]

      Пример:
      [pic]
      [pic];      [pic]

      2. Заменив в (1) x на –x получим:

                             [pic] , [pic] или  [pic]
      [pic]       [pic]; x > 0, y > 0, и [pic]     (2)
                             [pic]; x < 0, y < 0, и [pic]


      3. Выразить сумму [pic]через арккосинус
      [pic] и     [pic]
      имеем
            [pic]
      Возможны следующие два случая.
      Случай 1:  [pic]если  [pic], то
      [pic]
      Приняв во внимание, что обе дуги [pic]и [pic]расположены в  промежутке
[0;?] и что в этом промежутке косинус убывает, получим
      [pic]
      и следовательно,  [pic],  откуда  [pic]

      Случай 2: [pic]. Если [pic], то
      [pic],
      откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим  [pic].
Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если  [pic],
а случай 2, если
[pic].
      Из равенства  [pic] следует, что дуги
[pic] и  [pic] имеют одинаковый косинус.
      В случае 1  [pic], в случае 2  [pic], следовательно,

[pic]       [pic],  [pic]
                       [pic], [pic]          (3)

      4. Аналогично
[pic]       [pic],  [pic]
                       [pic], [pic]           (4)

      пример: [pic]



      5.
                             [pic];  xy < 1
      [pic]       [pic]; x > 1, xy > 1                   (5)
                             [pic]; x < 0, xy > 1
      При xy=1 не имеет смысла

      6.

                             [pic];  xy > -1
      [pic]       [pic]; x > 0, xy < -1            (6)
                             [pic]; x < 0, xy < -1

      7.
                       [pic];  [pic]
      [pic]       [pic]; [pic]                     (7)
                       [pic]; [pic]

      8.
      [pic]       [pic];  [pic]                          (8)
                       [pic];  [pic]

      9.
                       [pic]; [pic]
      [pic]       [pic]; x > 1                           (9)
                       [pic]; x < -1

      10.   [pic]                             (10)
            [pic]                                  (11)
      [pic]       [pic] , если [pic]               (12)
                       [pic], если [pic]

-----------------------
?/2

-?/2

0

1

-1

[pic]

[pic]

-1

1

0

x

?/2

y

x

y

y

x

[pic]

-1

1

0

?/2

?

[pic]

y

x

-1

1

0

y

x

-?/4

-1

1

0

-?/2

?/2

x

y

0

0

y

x

1

-1

x

y

1

-1

arcsin(x)

arccos(x)

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

1

-1

[pic]

X

Y

[pic]

-?

?

X

Y

[pic]

-?

?

0

Х

Y

[pic]