Асимптота


                       МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ,
                             МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА



                                   РЕФЕРАТ



по дисциплине: Высшая математика
на тему: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)



                                                Выполнила: студентка 1 курса
                                                   Экономического факультета
                                                        (вечернее отделение)
                                                                Козлова М.А.
                                                       Проверил: Рошаль А.С.



                               Москва 2002 год



                                      2


                                 Содержание



                                                                    Введение
                                                                           3

                                                   2.   Нахождение асимптоты
                                                                           4
                                          2.1 Геометрический смысл асимптоты
                                                                           5
   2.2 Общий метод нахождения асимптоты
                     6
                                                                   3.   Виды
                                                                           8
                                                3.1 Горизонтальная асимптота
                                                                           8
   3.2 Вертикальная асимптота
                                 9
                                                     3.3 Наклонная асимптота
                                                                          10

                                                   Использованная литература
                                                                          12



                                      3



                                  Введение


Асимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи
продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так
что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной.
Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они
проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы, конхоиды,
логарифмич. линии, циссоиды и др.).



                                      4

                           2. Нахождение асимптоты

  Пусть функция f (x) определена для всех x ( а (соответственно для всех
x ( а). Если существуют такие числа k и l, что f(x) ( kx ( l = 0 при х ( (
( (соответственно при х ( ( (), то прямая
                                 y = kx + l
называется асимптотой графика функции f (x) при x ( ( ( (соответственно при
х ( ( ().
Существование асимптоты графика функции означает, что при х ( + (
(или х ( ( () функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть
отличается от линейной функции на бесконечно малую.


              x[pic]( 3x ( 2
Найдём, например, асимптоту графика функции y =       x (1
Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов,
                                      2                         2
получим y = x ( 4 +  x + 1   Так как   x + 1   = 0 при х ( ( (, то прямая y
= x-4
является асимптотой графика данной функции как при х ( + (,
так и при х ( ( (.



                                      5

                     2.1 Геометрический смысл асимптоты

Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) – точка
графика функции f, М[pic] - проекция этой точки на ось Ох, АВ – асимптота,
( - угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох, ( ([pic],
MP – перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Q – точка
пересечения прямой ММ[pic] с асимптотой АВ (рис.1).
[pic]
                             (рис.1)

Тогда ММ[pic] = f (x), QM[pic] = kx + l, MQ = MM[pic] ( QM[pic] = f (x) –
(kx +l),
MP = MQ cos (. Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулю
множитель cos (, поэтому условия MQ ( 0 и MP ( 0 при х ( ( (
(соответственно при х ( ( () эквивалентны, то есть lim MQ = 0,
то и lim MP = 0, и наоборот.                                           х (
( (
       х ( ( (

Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние
до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится к нулю, когда
точка М = (x, f (x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность»
(при х ( ( ( или, соответственно, х ( ( ().



                                      6

                     2.2 Общий метод отыскания асимптоты

Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты, то есть способ определения
коэффициентов k и l в уравнении y = kx + l.
Будем рассматривать для определённости лишь случай х ( ( ( (при х ( ( (
рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеет асимптоту
y = kx + l при х ( ( (. Тогда, по определению,
                             f (x) = kx + l + 0
Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к пределу
при х ( ( (. Тогда
                               lim [pic] = k.
                                                        х ( ( (
Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для
определения l формулу
                            l = lim (f (x) – kx).
[pic]                                    х ( ( (
Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и l, что
выполняется условие l = lim (f (x) – kx), то прямая y = kx + l является
                                                 х ( ( (
асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) – kx)
имеем
[pic]
                      х ( ( (
                         lim (f (x) ( (kx + l)( = 0,
                                              х ( ( (

то есть прямая y = kx + l действительно удовлетворяет определению
асимптоты, иначе говоря, выполняется условие f (x) = kx + l + 0. Таким
образом, формулы lim [pic] = k. и l = lim (f (x) – kx)
                                 х ( ( (                 х ( ( (
сводят задачу отыскания асимптот y = kx + l к вычислению пределов
определённого вида. Более того, мы показали, что если существует


представление функции f в виде f (x) = kx + l + 0, то k и l выражаются по
формулам lim [pic] = k. и l = lim (f (x) – kx)
                  х ( ( (                 х ( ( (
Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно
единственно.
Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) = [pic],
найденную нами выше другим способом:

                                      7

                                    [pic]

то есть мы, как и следовало ожидать, получили тоже уравнение асимптоты
y = x – 4, как при х ( ( (, так и при х ( - (.
В  виде  y  =  kx  +  l  может  быть  записано   уравнение   любой   прямой,
непараллельной оси Oy. Естественно распространить  определение  асимптоты  и
на прямые, параллельные оси Oy.



                                      8

                                   3. Виды
                        3.1 Горизонтальная асимптота

Пусть ( lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f (x) имеется
горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всего имеет такой вид
(при x ( +() (рис.2)

                                                               (рис.2)


хотя в принципе, может иметь и такой вид (рис.3)



                             (рис.3)



                                      9

                         3.2 Вертикальная асимптота

                                (рис.4)


Пусть при x ( a ( 0 lim f (x) = ( (. Тогда говорят, что прямая x = a
является
                                   х ( (
вертикальной асимптотой f (x). График функции f (x) при приближении x к а
ведёт примерно так (рис.4), хотя, конечно, могут быть разные варианты,
связанные с тем, куда уходит f (x) в + ( или ( (.
Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид
[pic].
Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения
[pic]



                                     10

                           3.3 Наклонная асимптота

                        (рис.5)

Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b. Значение функции при аргументе х
есть  d = ax + b – f (x). Неограниченное приближение к асимптоте означает,
что величина d = ax + b – f (x) стремится к 0 при х ( ( (
lim [f (x) – (ax + b)] = 0.
x ( (
Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремится к нулю величина
 [pic]
Но тогда мы имеем [pic]
и так как последний предел равен нулю, то
[pic]
Зная а, можно найти и b из исходного соотношения

[pic]
Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.

Пример
[pic]
[pic]
то есть асимптота при x ( +( имеет уравнение y=x.
                                     11

Аналогично можно показать, что при x ( - ( асимптота имеет вид y = - x.
Сам график функции [pic] выглядит так (рис.6)

                                 (рис.6)



                                     12

                          Использованная литература

1. Р.Б. Райхмист «Графики функций», Москва, 1991г.
2. Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» т.1, Москва 1981
3. Лекции по математике