Атомические разложения функций в пространстве Харди

                        Міністерство  Освіти  України

                       Одеський державний університет

                              ім. І.І.Мечнікова

                 Інститут математики, економіки та механіки



                        Атомічні розкладення функцій
                              у просторі Харді



                                   Дипломна робота
                                   студентки V курсу
                                   факультету математики
                                   Семенцовой В.А.

                                   Науковий керівник
                                   Вартанян Г.М.



                                Одеса - 2000



                                 Содержание

Введение....................................................................
................   3

Глава I.  Основные сведения об интеграле Пуассона и
                          пространствах            [pic],             [pic]и
[pic].................................  8
§I.1.                                                               Интеграл
Пуассона.....................................................  8
§I.2.                                                           Пространства
[pic].......................................................  12
§I.3.                              Пространства                       [pic]и
[pic].........................................  17
§I.4.        Произведение  Бляшке,  нетангенциальная
                                                                максимальная
функция............................................... 22

Глава II. Атомические разложения функции в пространстве
                                    [pic],                      пространство
ВМО........................................ 26
§II.1.       Пространство  [pic], критерий принадлежности
                       функции        из        [pic]           пространству
[pic]....................... 26
§II.2.       Линейные ограниченные функционалы на [pic],
                            двойственность              [pic]              и
ВМО.................................. 32

Литература..................................................................
................ 37



                                  Введение.

    Целью  настоящей  работы   является   изучение   основных   понятий   и
результатов, полученных  в области пространств Харди, которая  не  изучалась
в рамках университетского  курса.  В  работе  прослежена  взаимосвязь  между
следующими понятиями : интеграл Пуассона, пространства [pic] , [pic],  [pic]
 и  [pic], раскрыта суть  и  структура  этих  объектов.  Описание  указанных
понятий вводится именно в такой последовательности  ,  так  как  определение
каждого последующего объекта дается на основе понятий,  расположенных  левее
в выше перечисленном ряду объектов.
    Работа состоит из двух глав, каждая из которых делится на параграфы.  В
первой главе изучены свойства пространств [pic] , [pic], [pic], а во  второй
мы доказываем коитерий принадлежности функции из [pic] пространству [pic]  и
двойственность пространств [pic] и [pic].
    В  работе   мы   рассматриваем   случай   [pic]периодических   функций.
Используемые обозначения имеют следующий смысл:
    [pic] - пространство [pic]периодических, непрерывных на [pic] функций;
    [pic]- пространство [pic]периодических, бесконечно дифференцируемых  на
[pic]функций;
    [pic] - пространство [pic]периодических, суммируемых  в  степени  р  на
[pic]функций, т.е.для которых [pic], [pic];
    [pic]- пространство [pic]периодических ограниченных на [pic] функций;
    [pic]- носитель функции [pic].


    В  §I.1.вводится  понятие  интеграла  Пуассона:   интегралом   Пуассона
суммируемой на  [-(,(]   2(-периодической  комплекснозначной  функции  [pic]
называется функция
                             (r ( x ) = [pic] ,
где     [pic] ,   t ( ((((((((((- ядро Пуассона.
    Здесь мы доказываем следующие свойства ядра Пуассона, которые мы
неоднократно будем использовать в  ряде доказательств:
       а) [pic] ;
                          б)                     [pic]                     ;

       в) для любого (>0
          [pic]
    Основной целью данного  параграфа  являются  две  теоремы  о  поведении
интеграла Пуассона [pic]при [pic]:
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции [pic]( -(, ( ) , 1 ( p  <  (  ,
имеет место равенство[pic]
                                          [pic]  ;
если же ( (x) непрерывна на  [ -(, ( ]  и  ( (-() = ( (() , то
                                          [pic].
Теорема 2 (Фату).
Пусть [pic]- комплекснозначная функция из [pic] . Тогда
                               [pic]             для  п.в.  [pic].
В этом параграфе мы обращались к следующим понятиям:
    Определение1. Функция [pic]называется аналитической в точке [pic], если
она дифференцируема в этой точке и в  некоторой  ее  окрестности.   Говорят,
что функция [pic]аналитична на некотором  множестве,если  она  аналитична  в
каждой точке этого множества.
    Определение2. Действительная  функция  двух  действительных  переменных
[pic] называется гармонической в области [pic], если [pic]  и  удовлетворяет
уравнению Лапласа:
                                   [pic].
    Определение3. Две  гармонические  функции  [pic]  и   [pic],  связанные
условиями  Коши-Римана  :    [pic],      [pic]  ,   называются  гармонически
сопряженными функциями.
    Определение4. Под нормой пространства [pic] понимается
                               [pic] , [pic].
    Определение5.  Под нормой пространства  [pic]понимается
                               [pic] , [pic].
    Определение6. Пусть [pic] ( или [pic],[pic]).  Модуль  непрерывности  (
соответственно   интегральный   модуль   непрерывности)    функции     [pic]
определяется равенством
    [pic],  [pic].
    ([pic],  [pic]).
    Определение7.   Последовательность   [pic]функций,   определенных    на
множестве Х с заданной на нем мерой, называется  сходящейся  почти  всюду  к
функции [pic], если          [pic] для почти всех [pic], т.е. множество  тех
точек [pic], в которых данное соотношение не выполняется, имеет меру нуль.
    В  §I.2  мы  рассматриваем  пространства  [pic]  -   это   совокупность
аналитических в единичном круге  функций  F  (z)  ,   для   которых  конечна
норма
                                   [pic] .
Основным результатом этого параграфа  является  теорема  о  том,  что  любую
функцию [pic]([pic]) можно предсавить в виде
                         [pic],      [pic]  , [pic],
где [pic]  для п.в. [pic] , при этом
      [pic]      [pic] ;
       [pic]         [pic].
    Использованные в данном параграфе  понятия  мы  принимаем  в  следующих
определениях:
    Определение8.  Говорят, что действительная функция  [pic], заданная  на
отрезке  [a,b],  имеет  ограниченную   вариацию,   если   существует   такая
постоянная [pic], что каково бы ни  было  разбиение  отрезка  [a,b]  точками
[pic] выполнено неравенство [pic].
    Определение9.  Действительная   функция   [pic],  заданная  на  отрезке
[a,b], называется абсолютно непрерывной на   [a,b], если  для  любого  [pic]
найдется  число  [pic]такое,  что  какова  бы  ни   была   система   попарно
непересекающихся интервалов [pic], [pic]  с  суммой   длин,  меньшей  [pic]:
[pic], выполняется неравенство [pic].
    В  третьем  параграфе  первой  главы  мы   переходим   к   рассмотрению
пространств [pic] и  [pic].  Пространство  [pic]([pic])  представляет  собой
совокупность  тех  функций  [pic],  [pic],   которые   являются   граничными
значениями   функций   (действительных   частей   функций)   из[pic],   т.е.
представимы в виде [pic] ([pic]). Здесь мы  получаем  следующие  результаты:
при [pic]  пространство [pic] совпадает с [pic], а при  р=1  [pic] уже,  чем
[pic], и состоит  из функций [pic], для которых  и  [pic].
      В  §I.4  мы  вводим  понятие  произведения  Бляшке   функции   [pic],
аналитической в круге [pic] с  нулями  [pic],  [pic]  ([pic])  с  учетом  их
кратности:
                                   [pic],
где [pic] - кратность нуля функции [pic] при [pic].
    Здесь доказывается, что каждая функция  [pic] представима в виде
[pic], где [pic] не имеет нулей в круге [pic]  и  [pic],   [pic],а  [pic]  -
произведение Бляшке функции [pic].
    Затем мы рассматриваем понятие нетангенциальной максимальной функции  .
Пусть [pic],  [pic], - произвольное число.  Обозначим  через  [pic],  [pic],
область, ограниченную двумя касательными,  проведенными  из  точки  [pic]  к
окружности [pic], и наибольшей из дуг окружности, заключенных между  точками
касания ( при [pic]  [pic]  вырождается  в  радиус  единичного  круга).  Для
[pic]положим
                               [pic] , [pic],
где [pic] -  интеграл  Пуассона  функции  [pic].  Функция  [pic]  называется
нетангенциальной максимальной функцией для [pic].
     Тут же мы доказываем теорему об  оценке  [pic]:  если  [pic]  ([pic]),
[pic], то [pic] и   [pic].
    Первые результаты о максимальных функциях были  получены  в  1930  году
Харди и Литтлвудом.
    Во второй главе два параграфа.
В §II.1 рассматривается пространство [pic]. Как ранее отмечалось,  оно  уже,
чем [pic]. Поэтому в данном параграфе большой интерес  представляет  теорема
- критерий принадлежности  функции  пространству    [pic].   Здесь  вводится
понятие  атома:  действительная  функция  [pic]  называется   атомом,   если
существует обобщенный интервал [pic] такой, что
      а) [pic];   б) [pic];     в) [pic].
Атомом  назовем  также  функцию  [pic],  [pic].  Под  обобщенным  интервалом
понимается либо интервал из   [pic], либо множество вида[pic]  [pic]([pic]).

    Данный параграф  посвящен  аналогу  теоремы,  доказанной  в  1974  году
Р.Койфманом о том, что функция [pic]тогда  и  только  тогда,  когда  функция
[pic] допускает представление в виде
[pic],  [pic],  где [pic], [pic], - атомы.    (*)
При этом    [pic],   где inf берется по всем разложениям  вида  (*)  функции
[pic], а   с и С [pic]  - абсолютные константы.
    Роль атомических разложений заключается в том, что они в  ряде  случаев
позволяют свести вывод глубоких фактов к относительно  простым  действиям  с
атомами.
В частночти, из атомического разложения функций, принадлежащих  пространству
[pic], легко вытекает полученный  в  1971  году  Ч.Фефферманом  результат  о
двойственности пространств [pic]  и  [pic].  Доказательству  этого  факта  и
посвящен второй параграф данной главы. Сперва мы вводим  определение  [pic]:
пространство ВМО  есть  совокупность  всех  функций  [pic],  удовлетворяющих
условию
                                    [pic] ,                             (91)
где [pic] ,  а  sup  берется по всем обобщенным интервалам [pic] .  А  затем
доказываем теорему о том, что [pic].



                                  Глава I.
                  Основные сведения об интеграле Пуассона и
                      пространствах [pic], [pic]и [pic]
                           §I.1.Интеграл Пуассона.

    Пусть ((x( , g(x) , x(R1 –суммируемые на (-(, (( ,  2(-  периодические,
комплекснозначные функции. Через   f(g(x)  будем обозначать свертку
    [pic]                  f(g(x)  =[pic][pic]dt[pic][pic]   [pic][pic]
    Из теоремы  Фубини  следует,  что  свертка  суммируемых  функций  также
суммируема на (-(,(( и
                         cn  (  f(g  )  =  cn  (  f  )(  c-n  (   g   )   ,
n = 0, (1 , (2 , ...            ( 1 )

где ( cn ( f )( - коэффициенты Фурье функции  f ( x ) :
                                 cn     (f)=     [pic]-i     n     tdt     ,
  n = 0, ((((((((
    Пусть  ( ((L1 (-((((() . Рассмотрим при  ( ( r (((  функцию
                       (r ( x )  =  [pic]n  (  f  )  r((n  (  ei  n  x    ,
x (((((((((((  .                  ( 2 )
    Так как [pic]  для  любых  x (((((((((((, n = 0, ((((((((, а ряд  [pic]
сходится (так как согласно теореме  Мерсера  [4]  коэффициенты  Фурье  любой
суммируемой функции по ортогональной  системе  ограниченных  в  совокупности
функций [pic] стремятся к нулю при [pic]), то по признаку  Вейерштрасса  ряд
в  правой  части  равенства  (2)  сходится  равномерно  по  х   для   любого
фиксированного   r ,  ( ((r ((( . Коэффициенты    Фурье  функции     (r  (х(
равны cn ( fr ) = cn (f)( r( n (( ,    n = 0 , ((((((((((,  а  это   значит,
что (r ( x ( можно представить в виде свертки :[pic]
                              (r     (     x      )      =      [pic]      ,
                       ( 3 )
где
                           [pic]  ,                                    t   (
(((((((((((                  ( 4 )
          Функция двух переменных  Рr (t) ,   0 (((r((( ,  t (((((((((  (  ,
называется ядром Пуассона ,  а  интеграл (3)  -  интегралом Пуассона .
[pic][pic][pic][pic][pic]
Следовательно,
                     Pr ( t ) = [pic]     ,    0(((r ( ( ,   t ((((((((((  .
                    ( 5 )
Если  (( L( ( -(( ( )  ( действительная функция , то , учитывая , что
c-n  ( f ) = [pic], n = 0((((((((((( из соотношения (2) мы получим :
fr ( x ) = [pic]
=[pic]                                                                     ,
   ( 6 )
где
                          F ( z ) = c0 ( f ) +  2  [pic]             (  z  =
reix  )                     ( 7 )
 - аналитическая в единичном круге функция как сумма равномерно  сходящегося
   по х  ряда [5]. Равенство (6) показывает, что  для  любой  действительной
   функции (( L1( -(, ( ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая
   в единичном круге функция
                  u ( z ) = (r (eix )  , z = reix    ,  0 (( r (1  ,    x  (
[ -(, ( ] .
При этом гармонически сопряженная  с  u (z)  функция  v (z)  c  v  (0)  =  0
задается формулой
                     v    (z)    =    Im    F    (z)     =     [pic]       .
       ( 8 )
Утверждение1.
Пусть  u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге   (  z  (((((((((
( ((( ( функция  и ( (x) = u (eix) , x(((((, ( ( . Тогда
                  u (z) = [pic]                ( z = reix  ,    ( z ( ( (  )
              ( 10 )
Так как  ядро Пуассона  Pr (t) - действительная функция, то  равенство  (10)
достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:
                                             [pic] =[pic],          ( z (  (
(+ ( .
Но тогда коэффициенты Фурье функции [pic]  связаны  с  коэффициентами  Фурье
функции  [pic] следующим образом :
                                       [pic]
и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).

Прежде чем перейти к изучению  поведения функции (r (x) при  r((  ,  отметим
некоторые свойства ядра Пуассона:
      а) [pic] ;
      б)                               [pic]                               ;
            (11)
      в) для любого (>0
          [pic]
Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а  для  доказательства  б)
достаточно положить в (2) и (3)  ( (х( ( (.[pic]
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции [pic]( -(, ( ) , 1 ( p  <  (  ,
имеет место равенство[pic]
                                          [pic]  ;
если же ( (x) непрерывна на  [ -(, ( ]  и  ( (-() = ( (() , то
                                          [pic].
                               Доказательство.
В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона
                     [pic] .                                  ( 12 )
Для   любой   функции   [pic]   ,   пользуясь   неравенством   Гельдера    и
положительностью ядра Пуассона , находим[pic]
[pic][pic]
[pic].
Следовательно,
                            [pic][pic].
Для данного ( ( (  найдем  ( = ( (() такое, что   [pic].  Тогда  для   r   ,
достаточно близких к единице, из свойств а)-в) мы получим  оценку
[pic][pic][pic].
Аналогично,  второе утверждение теоремы 1 вытекает из неравенства
                            [pic][pic].
                                                         Теорема 1 доказана.

Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого  типа",
которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.

ОпределениеI.1.
Пусть функция [pic], суммируема на любом  интервале  (a,b),  a 0
[pic]  ,  [pic].
Теорема 2 (Фату).
Пусть [pic]- комплекснозначная функция из [pic] . Тогда
                               [pic]             для  п.в.  [pic].
                               Доказательство.
Покажем, что  для  [pic] и  [pic]
                                                       [pic]               ,
                           ( 13 )
где  С - абсолютная константа , а  M ( f, x ) - максимальная функция для   f
(x)*). Для этой цели  используем легко выводимую из (5) оценку
              [pic]
(К - абсолютная константа).
Пусть  [pic]-  такое число, что
                                   [pic].
Тогда  для  [pic]
[pic]
[pic][pic][pic]
[pic][pic]
[pic].
Неравенство (13)  доказано.  Возьмем  слабый  тип  (1,1)  оператора   [pic].
Используя его, найдем такую последовательность функций [pic] ,что
      [pic],
      [pic]                                                  ( 14 )
      [pic]   для п.в. [pic].

Согласно (13) при   x( (-((()
[pic]
[pic]
Учитывая , что по теореме 1  [pic] для каждого x( [-(( (]  и (14)
из последней оценки  получим
[pic]  при  r(1.
                                                         Теорема 2 доказана.
Замечание1.
Используя вместо (13)  более сильное неравенство (59),  которое  мы  докажем
позже, можно показать, что для п.в. x( [-(( (]   [pic],   когда  точка  reit
стремится к  eix  по некасательному к окружности  [pic]  пути.


                         §I.2.Пространства Hp.[pic]
Определение I.3.
Пространство [pic]- совокупность аналитических в единичном круге  функций  F
(z) ,  для  которых конечна норма
                                                          [pic] .
                                         (15)
Пусть комплекснозначная функция  [pic] удовлетворяет условиям
                         [pic]                         [pic]
                                         (16)
тогда функция  F (z) , определенная равенством
                     [pic]                       (17)
принадлежит пространству [pic],  причем
                                                      [pic] .
                              (18)
[pic]
[pic]Действительно,   аналитичность  функции   F  (z)  следует  из  (16)   и
равенства (2). Кроме того,  в силу неравенства   [pic]    мы имеем
                                             [pic]                       (()
С другой  стороны ,  по теореме 1  ( а  при  р=(  в силу теоремы 2)
                                      [pic]  .   Отсюда        [pic]    ((()
Учитывая  (()  и  ((() ,  получим  (18).

Ниже мы докажем,  что любую функцию   [pic]   [pic]   можно   представить  в
виде  (17). Для этого нам потребуется
Теорема 3.
Пусть комплекснозначная функция   (  (t)   имеет  ограниченную  вариацию  на
 [ -(((]  и
                                     [pic]                              (19)
Тогда   ( (t)  абсолютно непрерывна  на  [-(((].
Замечание2.
В (19) и ниже  рассматривается интеграл  Лебега-Стилтьеса,   построенный  по
комплекснозначной функции ограниченной вариации ( (t) . Мы говорим, что
( (t)= u (t)+ i v (t)  имеет ограниченную вариацию  (абсолютно  непрерывна),
если обе  действительные  функции  u  (t)   и    v  (t)  имеют  ограниченную
вариацию (соответственно абсолютно непрерывны). При этом интеграл
                                    [pic]
определен для каждой непрерывной на [-(((] функции f (t) , а также если
[pic] - характеристическая функция замкнутого множества  [pic].
                          Доказательство теоремы 3.
Нам достаточно проверить, что для любого замкнутого множества  [pic],
[pic] ,
                [pic]                                                   (20)
Для этой цели убедимся, что справедлива
Лемма 1.
Пусть F - замкнутое, а   V - открытое множества , причем      [pic] и
[pic]. Тогда для всякого [pic] ,  существует функция  [pic] вида
                   [pic]      ,                                         (21)
обладающая свойствами:
      а)     [pic] ;
      б)          [pic]  ;
             (22)
      в)           [pic]    .

Выведем из леммы 1 оценку (20), а затем докажем саму лемму 1.
Пусть [pic]  ,  где    [pic]  - конечная или бесконечная  последовательность
дополнительных интервалов множества F,  и для  [pic]
                                   [pic].
Очевидно, что [pic]- открытое множество и [pic].
Рассмотрим для данных  [pic]  функцию  [pic],  построенную  в  лемме  1  для
числа  (   и   множества  [pic].  Тогда   нетрудно  проверить[3],  что  если
[pic],  а  [pic] , то разность
                                   [pic].                               (23)
Но в силу (19) и  равномерной  сходимости  ряда  (21)  (так  как  ряд  Фурье
бесконечно дифференцируемой функции сходится равномерно)
                                   [pic] ,
и мы получаем равенство (20).

Перейдем к доказательству  леммы 1. Нам понадобится
ОпределениеI.4.
Средние Фейера - это средние вида
[pic]  [pic], где [pic],  [pic],  [pic] - ядро Дирихле,
[pic], [pic]- ядро Фейера.
Отметим,  что  при  [pic]  ядро  Фейера  обладает   следующими   свойствами:
а) [pic], [pic];             б) [pic],
Мз которых вытекает, что для [pic]  и  [pic]
[pic],  [pic]
Также известно [3], что средние Фейера [pic] равномерно сходятся к [pic].

Пусть  f(t) - непрерывная на  [-(, (]  функция, для которой
                             [pic][pic] и  [pic]
Так как средние Фейера  [pic]равномерно сходятся  к   [pic] и
[pic]  ,  то существует тригонометрический полином
                    [pic]                                               (24)
такой, что
                                                        [pic]           (25)
Пусть [pic].  Рассмотрим для каждого (((  такую функцию [pic], что
                               [pic],   [pic]
                                    [pic]
(функцию   [pic]  можно  построить  следующим  образом:    взять   замкнутое
множество [pic]   с мерой  [pic] ,  достаточно близкой  к  2(,  и положить
[pic]   ).
Так  как     [pic]     (здесь  число  m   то  же,   что  в  (24)),  то   для
достаточно малых  (((  функция    [pic]  удовлетворяет соотношениям
                                                 [pic]                  (26)
При этом  [pic],  если  [pic].   Тогда  средние Фейера  [pic] функции   h(t)
 имеют вид
                                    [pic]
и при достаточно большом  N
                                                    [pic]               (27)
Положим
               [pic]  ,                 [pic]                           (28)
Так как h(t) - действительная функция, то [pic] ,  n=(((((((((. Поэтому
                               [pic]   и   [pic].                       (29)
Определим искомую функцию g(t) :
                                    [pic]
Ясно, что   [pic], а из (24) и (28) следует, что  [pic] при n<0,  т.е.
                [pic]                                                   (30)
В силу  соотношений (25), (27) и (29)  для  [pic]
[pic] ,
а для  [pic]
                                   [pic] .
Наконец, для любого  [pic]
                                   [pic].
Таким образом, функция g(t)  обладает всеми нужными свойствами (22).  Лемма1
, а вместе с ней и теорема 3 доказаны.

Теорема 4.
Пусть функция [pic]. Тогда для п.в. [pic] существует предел
                 [pic]                                                  (31)
При этом
      1)     [pic]  ,      [pic]  , [pic] ;
      2)      [pic]      [pic] ;
      3)      [pic]         [pic].
                               Доказательство:
Нам достаточно доказать, что  для  каждой  функции  [pic]  найдется  функция
[pic] такая, что имеет место 1).  Действительно, если [pic],  то  тем  более
[pic] и из 1) и теоремы 2 вытекает справедливость равенства  (31)  для  п.в.
[pic]. При этом [pic]  и  по теореме 1  [pic]
[pic]. Наконец, из 1) следует, что
                                    [pic]
а тогда
                                   [pic].
Пусть [pic]. Для построения  искомой функции  [pic] положим
                       [pic],      [pic] ,     [pic].
Функции [pic],  [pic],  имеют  равномерно  ограниченную  по  r  вариацию  на
[pic]:
                                   [pic].
Следовательно, по теореме Хелли [2] найдутся функция  ограниченной  вариации
[pic] и последовательность [pic] , такие, что [pic] в каждой точке  [pic]  и

                                                   [pic]                (32)
для любой функции [pic]. При этом  для  n=1,2,...
                                    [pic]
(мы учли аналитичность  функции F(z) в единичном круге) и  ,  следовательно,
по теореме 3 [pic] абсолютно непрерывна :  существует  функция   [pic],  для
которой
                              [pic],       [pic]
Тогда
                                        [pic]    , [pic]                (33)
Зафиксируем число  [pic]  .   Функция   [pic],  аналитична  в  круге  [pic],
поэтому согласно  утверждению 1
                            [pic] ,        [pic].
В пределе  при [pic]  из  последнего равенства вытекает, что
[pic] ,   [pic] , [pic].
Равенство 1) ,  а вместе с ним  и теорема 4 доказаны.



                    §I.3.Пространства    [pic] и  [pic].

Обозначим  через  [pic]  [pic]  класс  тех  функций  [pic],  [pic],  которые
являются граничными значениями функций из [pic], т.е. представимы в виде
                       [pic]  для п.в. [pic],   [pic].
В силу пунктов 3)   и   2)   теоремы  4   [pic]   и  каждая  функция   [pic]
удовлетворяет условию (16). С другой стороны,  выше  мы  доказали,  что  для
произвольной [pic]   с  условием  (16)  интеграл  Пуассона  (17)  определяет
функцию из [pic]. Следовательно,
                                              [pic].                    (34)
Из (34)  вытекает,  что  [pic](замкнутое)  -   подпространство  пространства
[pic], а  [pic] - банахово пространство  с нормой (15).
Пусть [pic]. Положим
                                   [pic],
                                   [pic],                               (35)
                                    [pic]

ОпределениеI.5.
Если функция  [pic],  то  сопряженной  к  ней  функцией  называется  функция
[pic],   [pic],
где интеграл понимается в смысле главного  значения,  т.е.  как  предел  при
[pic] интегралов                           [pic].
В дальнейшем нам понадобится
Утверждение2.
Для любой функции [pic] сопряженная функция [pic] существует и конечна  п.в.
на [pic]; при этом
а) [pic] ,  y>0;
б) если [pic], [pic], то  [pic] и [pic].
Теорема 5.
Следующие условия эквивалентны [pic]:
      а)    [pic] ;
      б)     [pic],   [pic],   [pic],  [pic] ;
      в)      [pic] ;
      г)      [pic] ,  где  [pic]-  такая  действительная  функция,  что  ее
      сопряженная [pic] также принадлежит пространству [pic]:
                                                         [pic].         (36)
                               Доказательство:
Эквивалентность условий  а)  и  б)  непосредственно  вытекает  из  (34),   а
эквивалентность условий а) и в) - из  теорем 4 и 2.
Докажем, что из г)  следует  б).  Для  этого  достаточно  проверить,  что  в
случае, когда функция  и  ее  сопряженная  суммируемы  :[pic],  имеют  место
равенства
                                 [pic],   [pic]                         (37)
Непосредственный подсчет по формуле (36) показывает, что
[pic],   [pic],     [pic],     [pic]
[pic]. Следовательно, равенства (37) выполняются, если  [pic]-  произвольный
тригонометрический полином.
Пусть [pic] фиксировано. Для произвольной функции [pic] и [pic] положим
                            [pic] ,        [pic],
 где   [pic],   [pic],   [pic].
Покажем, что равенство (37) для фиксированного нами  номера  n  вытекает  из
следующих свойств функций [pic] (наличие этих свойств мы установим  ниже):
      1)   [pic],         [pic],     [pic];
      2)   при [pic] функции  [pic] , [pic], сходятся по мере к
            [pic];
      3)  [pic] ,    [pic] ,    [pic],
           где  С - абсолютная константа.

Итак, предположим, что имеют место соотношения 1) - 3).
Легко видеть, что  [pic],  где  [pic],  поэтому из  2)  вытекает  сходимость
по мере последовательности функций [pic],[pic]:
                    [pic] по мере [pic].                                (38)
Для произвольного [pic] найдем тригонометрический полином [pic] такой, что
                             [pic],      [pic] .                        (39)
Тогда согласно 3)
                                            [pic]                       (40)
и при [pic]
                                       [pic].                           (41)
Так как  [pic] - полином, то  [pic] и
                                                        [pic] .         (42)
Учитывая, что [pic], и пользуясь оценками (40)-(42),  мы  находим   [pic]  ,
[pic],
что вместе с (38) доказывает равенство (37).

Докажем теперь, что для произвольной функции [pic]  справедливы  соотношения
1)-3). Оценка 1) сразу следует из неравенства Чебышева, так как [pic].
Чтобы доказать 2), фиксируем произвольное [pic] и представим функцию  [pic]в
виде
                               [pic],   [pic],  [pic] .                 (43)
Из непрерывности функции [pic] легко следует, что
                                    [pic]
 равномерно по  [pic]. Поэтому при достаточно больших [pic]  с  учетом  (43)
мы будем иметь
                                                       [pic],   [pic]   (44)
Кроме того,  в силу 1) и (43)
                                   [pic] ;
из этого неравенства и (44) вытекает, что при   [pic]
                                   [pic].
Для доказательства оценки 3) заметим, что
                                   [pic],
где  [pic].  Применяя  неравенство  а)  утверждения  2  для  функции  [pic]и
учитывая, что [pic], получим 3).
Свойства 1)-3) доказаны. Тем самым установлено, что из условия г) в  теореме
5 следует б). Для завершения доказательства теоремы 5  достаточно  показать,
что из в) вытекает г).
Пусть   [pic]  ([pic],[pic],[pic])  и
[pic]. Тогда  по теореме 4  [pic], [pic] и надо доказать только, что [pic]
для п.в. [pic].
Так как ядро Пуассона - действительная функция, мы можем утверждать,  что
при [pic] и [pic]
                               [pic],  [pic].
С другой стороны, из 2), 8) и (37) вытекает, что для любого [pic],
                                                      [pic],  [pic].
                       (45)
Согласно теореме 1
                                               [pic].                   (46)
Кроме того,  в  силу  утверждения  2,  из  сходимости  [pic]([pic])  следует
сходимость по мере функций [pic] к [pic]. Таким образом,
                           [pic] по мере  ([pic]),
а потому , учитывая (46), [pic] для п.в. [pic].
Теорема 5 доказана.
Следствие 1.
      а) Если [pic],  то  [pic];
      б) если [pic] и  [pic], то  [pic];
      в) если [pic], [pic],   [pic],  [pic],  то
                                   [pic].                               (47)
                               Доказательство.
Соотношения а) и б) сразу следуют из  эквивалентности  условий  а)  и  г)  в
теореме 5.
Чтобы получить в), положим
                                   [pic],
                                   [pic].
Согласно теореме 5 [pic],  [pic], а  следовательно,  [pic].  Но  тогда  (для
п.в. [pic]) [pic], и из определения класса [pic] мы получим, что
              [pic].                                                    (48)
Из (48) непосредственно вытекает равенство (47).
Замечание 3.
Если [pic], то в силу п. г) теоремы 5 и  утверждения  2  пространство  [pic]
совпадает с [pic]. Для  р=1 это не так. Пространство [pic] уже,  чем  [pic],
и состоит согласно п. г) теоремы 5 из функций [pic], для которых  и  [pic].
[pic] - банахово пространство с нормой
                                  [pic].                                (49)
Полнота  [pic]  с  нормой  (49)  следует  из  утверждения   2    и   полноты
пространства [pic]: если [pic]  при [pic], то  [pic],  [pic], [pic],  и  так
как [pic]по мере  при [pic], то [pic]и [pic] при [pic].
Замечание 4.
Согласно замечанию 3 равенство (47)  выполняется,  в  частности,  в  случае,
когда [pic], [pic], [pic], [pic].
Отметим также, что, взяв в (47) вместо [pic]  функцию [pic] и  учитывая  б),
мы получим
                                [pic],   если [pic].                    (50)

                          §I.4.Произведение Бляшке,
                   нетангенциальная максимальная функция.
Пусть  последовательность  ненулевых  комплексных  чисел   (не   обязательно
различных) - [pic] удовлетворяет условию
                    [pic] ,  [pic],  [pic].                             (51)
Рассмотрим произведение(произведение Бляшке)
                                    [pic].                              (52)
Для фиксированного [pic],  [pic],  при  [pic] имеет место оценка
                                      [pic].                            (53)
Так как ряд (51) сходится, то из (53) легко вывести, что  произведение  (52)
сходится  абсолютно  и  равномерно  в  круге  [pic],  т.е.   функция   [pic]
аналитична в единичном круге и имеет нули в точках [pic],  [pic],  и  только
в этих точках. При этом, пользуясь неравенством [pic] ([pic]  ,  [pic]),  мы
находим
         [pic] ,   [pic].                                               (54)
Допустим теперь, что [pic] ([pic]) - нули некоторой функции [pic] с   [pic],
причем каждый из них повторяется со своей кратностью. Докажем, что ряд  (51)
сходится. Положим
                               [pic] ,   [pic]
Функция [pic] ([pic]) аналитична в круге  радиуса больше единицы,  и  [pic],
если  [pic] .  Следовательно, [pic] и  согласно  п.3  теоремы  4  [pic].  Но
тогда
                                    [pic]
и
                   [pic],   [pic]                                       (55)
Так как  [pic], [pic], то из (55) вытекает сходимость произведения [pic],  а
значит, и сходимость ряда (51).
ОпределениеI.6.
Пусть  [pic] - аналитическая в круге [pic] функция и [pic], [pic] ([pic])  -
 ее нули, повторяющиеся со своей кратностью. Пусть также [pic]  -  кратность
нуля функции [pic] при [pic]. Произведение
                     [pic]                                              (56)
называется произведением Бляшке функции [pic].
Справедлива
Теорема 6.
Каждая функция  [pic] представима в виде
                                   [pic],
где [pic] не имеет нулей в круге [pic] и
                               [pic],  [pic],
а [pic] - произведение Бляшке функции [pic].
                               Доказательство.
Пусть [pic], [pic] ([pic]) - нули функции [pic] (  или,  что  то  же  самое,
нули функции [pic]) Тогда, как отмечалось  выше,  [pic]  -  аналитическая  в
круге [pic] функция и
         [pic] ,   [pic].                                               (57)
При этом функция [pic] также аналитична в единичном круге, не  имеет  в  нем
нулей и [pic] .
Для доказательства обратного  неравенства  рассмотрим  частные  произведения
(56):
                          [pic],   [pic],   [pic].
Так как [pic] для любого [pic], то по теореме 4
                                    [pic]
и
                             [pic] , если [pic].
Устремив в последнем неравенстве число m к  бесконечности  и  учитывая,  что
[pic] ([pic]) равномерно по [pic], мы получим
                               [pic],  [pic],
т.е. [pic],  [pic].
Теорема 6 доказана.
ОпределениеI.7.
Пусть [pic],  [pic], - произвольное число.  Обозначим  через  [pic],  [pic],
область, ограниченную двумя касательными,  проведенными  из  точки  [pic]  к
окружности [pic], и наибольшей из дуг окружности, заключенных между  точками
касания ( при [pic]  [pic]  вырождается  в  радиус  единичного  круга).  Для
[pic]положим
                               [pic] , [pic],
где [pic] -  интеграл  Пуассона  функции  [pic].  Функция  [pic]  называется
нетангенциальной максимальной функцией для [pic].
В силу теоремы 2
                       [pic] для п.в. [pic].                            (58)
Установим,  что  для  произвольной  функции   [pic]    величина   [pic]   не
превосходит (по порядку) значения максимальной функции [pic]*)  в  точке  х,
т.е.
                              [pic],   [pic].                           (59)
Нам понадобится
утверждение 3.
а) если функция [pic], то для любого [pic]
                                   [pic];
б) если функция [pic],[pic] то [pic],
где [pic] - постоянная, зависящая  только от числа р.

Пусть [pic] и [pic]. По определению интеграла Пуассона
                                    [pic]
Положим [pic]. Тогда будем иметь
                                    [pic]
и, в силу неравенства [pic], [pic], и периодичности [pic],
                                             [pic].                     (60)
Так  как  обе  функции  [pic]   и    [pic]  положительны  при    [pic]     и
отрицательны  при   [pic]  (  из  (5)),  то,  предполагая  без   ограничения
общности, что [pic], мы получим
                                              [pic].                    (61)
Для  [pic] имеют место оценки
                                   [pic],
                                   [pic].
Следовательно,  для доказательства неравенства  (59)  достаточно  проверить,
что
                                  [pic] при  [pic],                     (62)
если [pic]. Пусть [pic], тогда
                                   [pic].
В остальных случаях неравенство (62) очевидно. Из (58), (59)  и  утверждения
3 вытекает, что для любой функции [pic],  [pic],
                                          [pic],                        (63)
где [pic] - постоянная, зависящая только от [pic] .
Теорема 7.
Пусть [pic] ([pic]),  [pic] и
                               [pic] , [pic].
[pic]Тогда [pic] и
                                [pic].                                  (64)
                               Доказательство.
Утверждение теоремы 7 в случае, когда [pic], есть  прямое  следствие  оценки
(63) и теоремы 4. Пусть  теперь  [pic].  По  теореме  6  [pic],  где  [pic],
[pic], если  [pic]   и   [pic].  Из  функции  [pic]  можно  извлечь  корень:
существует функция [pic] такая, что [pic],  и,  следовательно  из  (64)  при
р=2, получим
                                   [pic].
Оценка снизу для [pic] вытекает из (58).
Теорема 7 доказана.



                  Глава II. Атомические разложения функции
                   в пространстве [pic], пространство ВМО.
     §II.1.Пространство [pic], критерий принадлежности функции из [pic]
                             пространству [pic].

Рассмотрим  [pic]  ([pic])  -   пространство   функций   [pic],   являющихся
граничными значениями действительных частей функций из пространства [pic]:
                          [pic]  для п.в. [pic],   [pic].               (65)
Ранее мы доказали, что
                                          [pic],   [pic],               (66)
и что [pic]- банахово пространство с нормой
                                  [pic];                                (67)
при этом, если в (65) [pic], то
                                      [pic]    ([pic]) .                (68)
В замечании 3 уже  говорилось  о  том,  что  при  [pic]  пространство  [pic]
совпадает с пространством [pic] и из утверждения 2 следует, что
                              [pic]    ([pic]).
Последнее соотношение теряет силу при [pic] - нетрудно  проверить,  что  при
[pic]
                                   [pic],
где
                                    [pic]
и,  следовательно,  существует  функция  [pic],  для  которой  [pic].  Таким
образом,  [pic]  -  собственное  подпространство  в  [pic].  Ниже  мы  дадим
критерий принадлежности функций к пространству  [pic].
ОпределениеII. 8.
Множество [pic] мы будем называть обобщенным интервалом, если [pic]  -  дуга
на единичной  окружности,  т.е.  [pic]  -  либо  интервал  из   [pic],  либо
множество вида
                            [pic]  ([pic]).                             (69)
Точку [pic] назовем центром обобщенного интервала [pic], если [pic] -  центр
дуги [pic]. Длиной обобщенного интервала [pic] естественно назвать  величину

                                    [pic]
Определение II.9.
Действительную функцию [pic]  назовем  атомом,  если  существует  обобщенный
интервал [pic] такой, что
      а) [pic];
      б) [pic];
      в) [pic].
Атомом назовем также функцию [pic], [pic].
Теорема 8.
Для того, чтобы  выполнялось  включение:  [pic],  необходимо  и  достаточно,
чтобы функция [pic] допускала представление в виде*)
                            [pic],  [pic],                              (70)
где [pic], [pic], - атомы. При этом
                                       [pic],                           (71)
где inf берется по всем разложениям вида (70)  функции  [pic],  а    с  и  С
[pic]  - абсолютные константы.
                               Доказательство.
Достаточность.
Пусть для функции [pic] нашлось разложение вида (70). Покажем, что  [pic]  и
[pic] . Для этого достаточно проверить, что для  любого  атома  [pic]  имеет
место неравенство
                 [pic].                                                 (72)
Пусть [pic]- такой обобщенный интервал, что
                              [pic],  [pic] , [pic]                     (73)
(случай   [pic] тривиален). Так как [pic] , то нам остается доказать, что
                      [pic].                                            (74)
Для  любого  измеримого  множества  [pic],  применяя  неравенство   Коши   и
пользуясь утверждением 2  и соотношениями (73), мы находим
                                                                [pic],  (75)
откуда сразу вытекает (74), в случае, когда  [pic].
Допустим теперь, что [pic], и  обозначим  через  [pic]  обобщенный  интервал
длины [pic] с тем же центром, что и [pic]. Из (75) следует, что
                                   [pic].
Нам  остается   оценить   интеграл   [pic].   Мы   воспользуемся   очевидным
неравенством
                               [pic],   [pic],
где [pic]- длина наименьшей из двух дуг  единичной  окружности,  соединяющих
точки [pic] и [pic],  а  [pic] - абсолютная  постоянная.  В  силу  (73)  при
[pic] мы имеем
[pic]где  [pic]-  центр   обобщенного   интервала   [pic].   Из   последнего
соотношения, учитывая, что  [pic] и  [pic],  мы находим
                          [pic], [pic], где [pic] .
Следовательно,
                                   [pic].
Оценка (74), а потому и оценка (72) доказаны.
Необходимость.
Построим для данной функции [pic] разложение (70), для которого
                                   [pic].
Пусть функция  [pic] с  [pic] такова,  что  выполнено  соотношение  (65),  и
пусть [pic] ([pic]) - нетангенциальная максимальная функция для [pic], т.е.
                         [pic] , [pic],                                (75')
где [pic]- область, ограниченная двумя касательными, проведенными  из  точки
[pic] к окружности [pic], и наибольшей дугой окружности  [pic],  заключенной
между точками касания.
Теорема  7  утверждает,  что  [pic],  поэтому  нам  достаточно  найти  такое
разложение функции  [pic] на атомы (70), что
                           [pic],                                       (76)
где постоянные С  и   [pic]([pic])  не  зависят  от  [pic].  Для  построения
разложения (70) с условием (76)  фиксируем  число  [pic]:  пусть,  например,
[pic]. Не ограничивая общности, мы можем считать, что
                      [pic].                                            (77)
Рассмотрим на отрезке [pic] множества
                                      [pic] ,  [pic] ,  [pic]           (78)
Так как при любом [pic] множество точек единичной окружности [pic]  открыто,
то ясно, что при [pic]  множество  [pic]  (если  оно  непустое)  представимо
(единственным образом) в виде суммы непересекающихся обобщенных интервалов:
                           [pic],  [pic] при [pic],  [pic] ,  [pic].    (79)
Положим              [pic]  и  при  [pic]
                                                    [pic]               (80)
Так как  [pic] конечна для п.в. [pic],  то  из  определения  функций  [pic],
[pic], следует, что для п.в. [pic]      [pic]  при  [pic],  а  значит,   для
п.в. [pic]
                                   [pic] .
Отсюда, учитывая, что [pic], а следовательно из (80), [pic]  при  [pic],  мы
находим, что
                                       [pic],                           (81)
где [pic]- характеристическая функция множества [pic].  Из  (81),  учитывая,
что [pic], мы для функции [pic] получаем следующее разложение:
                                 [pic]     для п.в. [pic],              (82)
где
                                       [pic],    [pic],  [pic]          (83)
С помощью функций [pic] мы и  построим  нужное  нам  разложение  вида  (70).
Прежде всего отметим, что при  [pic],  [pic]
                                  [pic] , [pic] .                       (84)
Докажем теперь, что для п.в. [pic]
                            [pic] , [pic] ,                             (85)
где постоянная [pic] зависит только от числа  [pic],  зафиксированного  нами
ранее.
Так как из (65) и (75') [pic] для п.в.[pic] , то из  (77) следует, что
                                   [pic].
Пусть теперь [pic],  [pic] - один из обобщенных интервалов  в  представлении
(79), тогда из (77) и (78)  [pic] , и если [pic],  [pic]  -  концевые  точки
дуги [pic] ([pic]) , то [pic], а значит,
               [pic],  [pic].                                           (86)
Из неравенств (86) согласно (75') следует, что
                             [pic]  при  [pic].                         (87)
Легко видеть (учитывая,  что [pic]  и  [pic])  ,  что  множества   [pic]   и
[pic] пересекаются в одной точке:
         [pic] с   [pic] ,  [pic].                                      (88)
Пусть [pic],  [pic], - отрезок, соединяющий точки [pic]  и  [pic].  Так  как
[pic] , [pic], то из непрерывности  функции  [pic]  при  [pic]и  неравенства
(87) вытекает, что [pic], если [pic], [pic], и  [pic].  Поэтому  ,  учитывая
(88)
                  [pic] , [pic],[pic],   [pic].                         (89)

|Рассмотрим область [pic],       |[pic]                           |
|ограниченную                    |                                |
|отрезками [pic] и  [pic] и дугой|                                |
|[pic];                          |                                |
|пусть, далее, для [pic]         |                                |
|[pic] ,                         |                                |
|[pic],  [pic].                  |                                |


По теореме Коши [5]             [pic].
Отсюда и из (89), учитывая, что для любой дуги [pic]  справедливо  равенство
[pic],
мы получим
                                   [pic].
Но в силу теорем 4 и 5
                               [pic],  [pic],
и так как [pic],  [pic], то мы находим, что
                            [pic] .                                    (89')
Легко видеть, что отношение  [pic]    ограничено  сверху  числом,  зависящим
только от (, поэтому
                             [pic] , [pic].                             (90)
Так как  [pic], то из соотношений (90)  и  (80)  вытекает,  что  для  [pic],
[pic], справедливо неравенство (85). Для п.в. [pic] неравенство  (85)  сразу
следует из определения функций [pic] и множеств [pic].
Пользуясь оценкой (85) , из (83) мы получаем, что [pic], а это  значит,  что
функции
                           [pic]  , [pic] , [pic],
являются  атомами.  Тогда,  преобразуя   неравенство   (82),   мы   получаем
разложение функции [pic] на атомы:
                          [pic]  для  п.в. [pic] ,
где                 [pic] ,  [pic].
Оценим  сумму  модулей   коэффициентов   указанного   разложения.   Учитывая
равенство (77), имеем
[pic][pic].
Неравенство (76), а потому и теорема 8 доказаны.



  §II.2. Линейные ограниченные функционалы на [pic], двойственность [pic] и
                                    ВМО.
Дадим описание пространства  [pic],  сопряженного  к  банахову  пространству
[pic]. Нам потребуется
Определение II.10.
Пространство ВМО  есть  совокупность  всех  функций  [pic],  удовлетворяющих
условию
                                    [pic] ,                             (91)
где [pic] ,  а  sup  берется по всем обобщенным интервалам [pic] .
Нетрудно убедится, что ВМО является банаховым пространством с нормой
                                 [pic] .                                (92)
Ясно, что [pic] . В то же  время  ВМО  содержит  и  неограниченные  функции.
Нетрудно проверить, например, что функция  [pic].
Теорема 9.
[pic], т.е.
а) если [pic], и для произвольной функции [pic]  рассмотреть  ее  разложение
на атомы (по теореме 8):
                    [pic],  [pic] , [pic], [pic] - атомы*)              (93)
и положить
                                       [pic] ,                          (94)
то сумма [pic] ряда (94) конечна, не зависит от  выбора  разложения  (93)  и
задает ограниченный линейный функционал на  [pic];
б) произвольный ограниченный линейный функционал [pic] на  [pic]  представим
в виде (94), где  [pic]. При этом
                                    [pic]
(С, С1 - абсолютные постоянные).

Лемма 2.
Пусть функция  [pic] такова, что  для  любого  обобщенного  интервала  [pic]
найдется постоянная [pic], для которой
                                   [pic],
где М не зависит от [pic]. Тогда  [pic] и [pic].
                               Доказательство.
Для любого обобщенного интервала [pic] мы имеем
                                   [pic],
откуда согласно (91) получаем утверждение Леммы 2.
Следствие 2.
Если [pic], то [pic] и
                    [pic].                                              (95)
Следствие 2 непосредственно вытекает из леммы 2, если учесть, что
                                    [pic]
для произвольного обобщенного интервала [pic].
                          Доказательство теоремы 9.
а) Пусть [pic]. Положим
                                    [pic]
Так как всегда  [pic] , то, учитывая равенства
      [pic],  [pic] ,  [pic]
                                   [pic],
мы с помощью следствия 2 находим
                            [pic],  [pic]                               (96)
Допустим, что  [pic] ( по утверждению 2 и (66)).  По  теореме  8  существует
разложение
                                      [pic],  [pic] ,                   (97)
где функции [pic] являются атомами и [pic], и при [pic]
                             [pic],  [pic] , [pic].                     (98)
Из соотношений (96), (97) и (98) вытекает, что при  [pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic]
[pic].
Отсюда, учитывая, что  функции  [pic],   [pic],  по  модулю  не  превосходят
суммируемой функции  [pic] и для п.в. [pic] [pic], мы получим, что
                                [pic][pic] .
Таким образом, равенством
                              [pic] , [pic],                            (99)
определяется ограниченный линейный  функционал  на  всюду  плотном  в  [pic]
линейном многообразии (плотность функций из   [pic]  в   [pic]  вытекает  из
теоремы 8, так как для всякой функции [pic] частные  суммы  разложения  (70)
сходятся к  [pic] по норме  [pic],  и,  очевидно,  принадлежат  пространству
[pic]).  Поэтому функционал [pic] можно единственным образом  продолжить  на
все пространство [pic]:
                                  [pic],  [pic].                       (100)
Остается доказать, что для любого разложения вида  (93)  функции  [pic]  ряд
(94) сходится и его сумма равна [pic]. Последнее сразу  следует  из  (99)  и
сходимости ряда (93), по норме [pic] к  [pic]:
                                   [pic].
б) Пусть L - произвольный ограниченный линейный функционал на  [pic].  Тогда
из теоремы 4.1 и (67) для любой функции [pic]
                                    [pic]
(С - абсолютная постоянная). Это  значит,  что  L  -  ограниченный  линейный
функционал на [pic], а следовательно, найдется функция [pic] с
                      [pic] ,                                          (101)
для которой
                              [pic] , [pic].                           (102)
В частности, равенство (102) выполняется,  если  [pic]-  произвольный  атом.
Докажем, что
                     [pic].                                            (103)
Пусть I - произвольный обобщенный интервал, [pic] - произвольная  функция  с
[pic]. Тогда функция
                               [pic] , [pic] ,
является атомом и в силу теоремы 8 [pic]. Поэтому
[pic]
[pic] .
Подбирая в последнем  неравенстве  функцию  [pic]  оптимальным  образом,  мы
получим, что для любого обобщенного интервала  I
                                   [pic],
что с учетом соотношения [pic][pic]  доказывает оценку (103).
Таким образом, для [pic] значение функционала [pic] совпадает  со  значением
ограниченного линейного функционала [pic] на элементе [pic] (см. (99) и  уже
доказанное утверждение а) теоремы 9). Так как пространство  [pic]  плотно  в
[pic], то, следовательно,
                    [pic][pic]  для любой функции  [pic].
Полученное равенство завершает доказательство теоремы 9.



                                 Литература

1. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды — М.: Наука, 1984.—495с.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы  теории  функций  и  функционального
   анализа — М.: Наука, 1989. — 623с.
3. Тер-Крикоров А.М.,  Шабунин  М.И.  Курс  математического  анализа  —  М.:
   Наука, 1988. —815с.
4.  Бари  Н.К.  Тригонометрические  ряды  —М.:  Гос.  издательство   физико-
   математической литературы, 1961. —936с.
5. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций  -  М.:  Наука,
   1978. — 415с.
6. Дж.Гарнетт Ограниченные аналитические функции — М.: Мир, 1984. - 469с.
7.  Фихтенгольц  Г.М.  Основы   математического   анализа   —   М.:   Наука,
   1964.—т.2,—463с.
8.  Вартанян  Г.М.  Аппроксимативные  свойства  и  двойственность  некоторых
   функциональных пространств — Одесса, 1990 —111с.



*) Мы считаем , что f (x) = 0  ,    если   (x( ( ( .

*) Так как функция [pic] определялась для функций [pic], заданных на  [pic],
то мы дополнительно полагаем [pic], если [pic]; [pic]при [pic] и  [pic]  при
[pic].

*) В силу условий а) и в) в определении 9 [pic],  [pic], поэтому ряд (70)
сходится по норме пространства [pic] и п.в.

*) Возможен случай,  когда [pic] при  [pic].