Билеты по геометрии (11 класс)


                                  Билет № 3

1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
2. Объем призмы.
1.Три случая расположения прямой и плоскости.
1.Плоскость и прямая имеют одну оющую точку ( ((
2.Прямая лежит в плоскости  а значит имеет с ней 2 общие точки.
1.Пряммая и плоскость не имеют общих точек т.е.((( a



2.Теорема: Объем прямой  призмы  равен  произведению  площади  основания  на
высоту.
Д-во:  Рассмотрим правильную  3-угольную  призму  АВСА1В1С1с  объемом  V   и
высотой h.
                 Проведем такую высоту ?АВС (ВD) кот. разделит этот ?на 2 ?.
                 Поскольку ВВ1D  разделяют  данную  призму  на  2  призмы  ,
                 основания кот является прямоугольный ?ABD  и  ВСD.  Плэтому
                 объем V1 и V2 соответственно равны SABD ·h и SВСD ·h. По св-
                 ву 20 объемов V=V1+V2 т.е           V= SABD  ·h+  SВСD  ·h=
                 (SABD+ SВСD) h. Т.о. V=SАВС·h
                 Д-во Возьмем  произвольную прямую  призму  с  высотой  h  и
                 площадью основания S. Такую
                 призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой
                 h. Выразим объем каждой треугольной призмы по формуле (1) и
                 сложим эти объемы. Вынося  за  скобки  общий  множитель  h,
                 получим в  скобках  сумму  площадей  оснований  треугольных
                 призм, т. е. площадь S  основания  исходной  призмы.  Таким
                 образом,  объем  исходной  призмы  равен  произведению  Sh.
                 Теорема доказана.
                                               Рассмотрим случай , когда
                 призмая является частью параллелепип-ида. Диогональное
                 сечение делит параллелепипед на 2 равные треугольные
                 призмы. Так как Sпол = 1//2 ab то S?=ab =>V?= Sh ч.т.д.



                                  Билет №5
1. Перпендикуляр к наклонной плоскости(формулировки, примеры)
2. Объем цилиндра.
1.Рассмотрим пл ? и т А, не лежащую в этой плоскости.  Проведем  через  т  А
прямую,( к пл ?, и обозначим букв  H  т  пересечения  этой  прямой  с  пл  ?
.Отрезок АН называется, ( проведенным из
                 т А к пл ?, a т Н — основанием (. Отметим в пл  ?    какую-
                 нибудь т М,отличную от Н, и проведем отр  AM.Он  называется
                 наклонной, про-вед из т А к пл ?  ,  а  т  М  —  основанием
                 наклонной. Отрезок НМ наз-ывается проекцией наклонной на пл
                 ?. Сравним ( АН  и  наклон-ную  AM:  в  прямоугольном  ?АМН
                 сторона АН — катет, а  сторона  AM  -  гипотенуза,  поэтому
                 АН<АМ. Итак, (, проведенный аз данной т к пл, меньше  любой
                 наклонной, проведенной из той же т к этой пл.
                 => из всех расстояний от т А до различных т пл ? наименьшим
                 является расстояние до т H. Это расстояние, т. е: длина  (,
                 проведенного из т А к пл ? , называется расстоянием от т  A
                 до пл ?
Замечаиия. 1. Если две плоскости параллельны, то все точки  одной  плоскости
равноудалены от другой плоскости.

2. Теорема. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Д-во. Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h  правильную  n-угольную
призму Fn а в
                 эту призму впишем цилиндр Рп  .  Обозначим  через  V  и  Vn
                 объемы цилиндров Р и Рп, через rп — радиус цилиндра Рп. Так
                 как объем призмы  Fn  равен Snh, где Sn- площадь  основания
                  призмы, а цилиндр Р  содержит  призму  Fn  ,  кот  в  свою
                 очередь  ,  содержит  цилиндр  Рп  ,  то  Vn?).   Поэтому   V    цилиндра   Рп
                 стремиться  к объему  цилиндра  Р:  limVn=V.  Из  равенства
                 (Vn, что

                     n>?
                 limSnh=V. Но limSn=?r2 Т.о V=?r2h. т.к ?r2=S  , то  получим
                 V=Sоснh.

                        n>?                                              n>?



                                  Билет № 6

1. Расстояние  между скрещивающимися прямыми (формулировки, примеры)
2. Объем конуса.
                 Расстояние  между одной из скрещивающихся прямых и
                 плоскостью , проходящей через другую  прямую  параллельную
                 первой , называется расстояни6е между скрещивающимися
                 прямыми.

                 Если две прямые скрещиваются то через каждую из них
                 проходит плоскость  параллельная другой  прямой , и при том
                 только одна.



                 2 Теорема. Объем конуса равен одной  трети произведения
                 площади основания на высоту.
                 Д-во Рассмотрим конус  с объемом V, радиусом  основания R,
                 высо-той h  и вершиной т О . Введем ось Ох (ОМ).
                 Произвольное сечение  конуса пл. , ( к оси Ох  , является
                 кругом  с центром в т М1  пересе-чения  этой пл. с осью Ох.
                 Обозначим  радиус  через R1 ,а S  сечения через  S(х) , где
                 х – абсцисса т М1 . Из подобия  прямоугольных ? ОМ1А1 и
                 ОМА=> что
|ОМ|=|R|, |x|=|R|отк|R| |так|S(x)=|,|S(|(R|
|1 | |1|ил| | |1|уда|=|x|как|(R12 |т|x)|2 |
|  | | |и | | | |   | |R|   |     |о|= |  |
|ОМ| |R|  |h| |R|   | | |   |     | |  |  |
|  | | |  | | | |   | |h|   |     | |  |h2|


                 Применяя основную формулу для  вычисления объемов тел при
                 а=0, b=0, получим
| |h| |  | |h|  | | |         |
| | | |  | | |  | | |h        |
|V|?|?|x2|?|?|x2|?|(|x3|(|1|?R2|
|=| |R|dx|R| |dx|R| |  |=| |h  |
| | |2|= |2| |= |2| |  | | |   |
| | |h|  |h| |  |h| |3 | |3|   |
| | |2|  |2| |  |2| |  | | |   |
| |0| |  | |0|  | | |         |
| | | |  | | |  | | |0        |


Площадь S основания  конуса равна (R2, поэтому V=1/3Sh.
Следствие. Объемом V усеченного конуса , высота кот равна h, а площадь
оснований S и S1вычисляется по формуле       V=1/3h(S·S1+? S·S1).



                                  Билет №7

               1. Угол между скрещивающимися прямыми
               2. Площадь боковой поверхности  цилиндра.
               1.  Пусть  АВ  и  СD  –  скрещивающиеся  прямые   .   Возьмем
                  произвольную т. М1 пространства   и  проведем   через  нее
                  прямые А1В1 и С1D1 , соответственно параллельн АВ и СD
                 Если ? между прямыми А1В1 и С1D1 =?, то  будем  говорить  ,
                 что ? между скрещивающимися  прямыми  АВ  и  СD=?.  Докажем
                 теперь, что ? между прямыми не зависит от выбора  т.  М1  .
                 Действительно , возьмем любую  т.  М2   и  проведем  прямые
                 А2В2и С2D2  соответственно парал. АВ и СD Т.к А1В1? А2D2  ,
                 С1D1? C2D2 , то стороны  углов   с  вершинами  в  т.М1и  М2
                 попарно сонаправлены ( ?А1М1С1 и ?А2М2С2 , ?А1М1D1 и?А2М2D2
                 ) потому эти ?  равны , ?  что ? между А2В2и  С2D2  так  же
                 =?. В качестве т М можно взять  любую  точку  на  одной  из
                 скрещивающихся прямых . Например на СD    отметить  т  М  и
                 через  нее  провести  А'B'  параллельные  АВ  .Угол   между
                 прямыми  A'B'и CD= ?



2.  Терема:  S  боковой  поверхности  цилиндра  равна  произведению   длинны
окружности основания на высоту
                 Разрежем боковую поверхность по образующей АВ и   развернем
                 т.о , что все образующие оказались в одной плоскости ? .  В
                 результате  в  пл  ?   получится  прямоугольник   АВВ'А'  .
                 Стороны АВ и А'В' –два края  разреза   боковой  поверхности
                 цилиндра  по образующей АВ . Это  прямоугольник  называется
                 разверткой  боковой поверхности  цилиндра .  основание  АА'
                 прямоугольника  является  разверткой  окружности  основания
                 цилиндра , поэтому АА'=2?r , AB-h, где г- радиус   цилиндра
                 , h- его высота . за  S бок цилиндра принято считать  S  её
                 развертки . Т.к  S прямоугольника АВВ'А'=  АА'•ВА  =  2?r•h
                 то, для  вычисления  S бок цилиндра  радиуса к и  высоты  h
                 формула
                 S бок=2?rh



                                  Билет № 9

1. Угол между плоскостями (формулировка, примеры)
2.  Сложение векторов. Свойства сложения.



2. Возьмем 2 произвольных вектора a и b .Отложим от какой-нибудь т А  вектор
АВ равный а. Затем от т В   отложим  ВС=b  .  Вектор  АС  называется  суммой
векторов а и b : АС=a+b.
                 Это   правило   сложения   векторов   называется   правилом
                 треугольника.  (по  этому  же   правилу    складываются   и
                 коллинеарные векторы , хотя при их сложении треугольника не
                 получается) Сумма a+b не зависит от выбора т А, от  которой
                 при  сложении   откладывается  вектор  а.  (если   например
                 заменить т А на т А1 то  вектор  АС  заменится  равным  ему
                 вектором А1С1Привило треугольника можно сформулировать и  в
                 другой форме: для любых точек А,В,и С имеет место равенство
                 АВ+ВС=АС. Для сложения 2-ух неколлинеарных  векторов  можно
                 пользоваться так же  правилом  параллелограмма.  Для  любых
                 векторов а, b и с справедливы равенства: a+b=b+a (перемести-
                 тельный   з-н.);(a+b)+с=а+(b+с)(сочетательный   з-н).   Два
                 нулевых вектора  называются противоположными, если их длины
                  равны нулю и они противоположно направлены.Вектором проти-
                 оположным нулевому  вектору  ,  считается  нулевой  вектор.
                 Вектр АВ является проти-воположным вектру ВА



                                 Билет № 10

               1.  Двугранный  угол.  Линейный   угол   двугранного   угла.(
                  формулировки , примеры)
               2. Умножение вектора на число . Св-ва произведения вектора на
                  число.
1.  Двугранным  углом  называют  фигуру  ,  образованную  прямой  а  и  2-мя
полуплоскостями  с общей границей  а,  не  принадлежащими  одной  плоскости.
Полуплоскости, образующие двугранный угол , называются его гранями.
                 У двугранного угла 2 грани, отсюда и название. Прямая  а  –
                 общая граница полуплоскостей- называется ребром двугранного
                 угла. Для измерения двугранного  угла   отметим   на  ребре
                 какую-нибудь т. и в каждой грани  из  этой  точки  проведем
                 перпендикуляр  к  ребру.  Образованный  этими  лучами  угол
                 называется линейный угол двугранного угла. (( АОВ  )  ОА(CD
                 CD(ОВ, то плоскость АОВ (  к  прямой  СD.  Двугранный  угол
                 имеет бесконечное множество линейных углов и они равны друг
                 другу. Рассмотрим 2 линейных (АОВ и (А1О1В1  .  Лучи  ОА  и
                 О1А1 лежат в одной грани (к ОО1, поэтому они  сонаправлены.
                 Точно так же  сонаправлены  ОВ и  О1В1=>  (  А1О1В1  =(АОВ.
                 Градусной мерой двугранного угла  называется градусная мера
                 его линейного угла . Он может быть прямым , острым, тупым (
                 90(,  <90(, >90()



2. Произведение ненулвого вектора а на число k называется такой вектор  b  ,
длинна которого равно (k(((a( , причем  вектор a и b сонаправлены при  k?  0
и противоположно направлены при k<0. Произведением  ненулевого  вектора   на
любое число нулевой вектор.  Произведение вектора а на число k  обозначается
 так : ak. Для любого числа k  и вектора а векторы а и  ka  коллинеарны.  Из
этого определения следует , что произведение любого вектора на число 0  есть
нулевой вектор. Для любых векторов а и b  и любых  чмсел  k,  l  справедливы
равенства:
(kl)a= k(al) (сочетательный з-н)
k(a+b)=ka+kb(?-ый распределительный з-н)
(k+l)a=ka+la  ( II-ой распределительный з-н)
отметим, что (-1)а является вектором противоположному вектору а, т.е.  (-1)а
= -а.  Действитель-но,  длины   векторов  (-1)а  и  а  равны:  ((-1)a(  =((-
1)(((а(=а. Кроме того , если вектолр а ненулевой , то векторы  (-1)  а  и  а
противоположно направлены. Точно так же, как в планеметрии, можно  диказать,
что если  векторы а и b коллинеарны  и а(0 , то существует  число  k  такое,
что b= ka.



                                 Билет № 11

               1. призма (формулировки , примеры)
               2. Скалярное произведение векторов.
1. Призма. Рассмотрим два равных многоугольника А1А2.., Ап и В1В2....Вп,
расположенных в параллельных пл-тях а и р так, что отрезки А1В1 ,А2В2, ...,
АпВп, соединяющие соответственные вершины мн-
                 ков, параллельны.Каждый из п 4-хугольников A1A2B2B1,
                 А2А3В3В2, .... AnA1B1Bn является п-ммом, так как имеет
                 попарно параллельные про-тивоположные стороны.  Мн-к,
                 составленный из 2 равных мн-ков А1A2...An и В1В2...Вп,
                 расположенных в параллельных пл-тях, и n п-ммов  наз
                 призмой Мн-ки A1A2....An и B1B2...Bn наз основаниями, а п-
                 ммы-бокоеыми гранялш призмы.От резки А1В1, А2В2 ..., АпВп
                 наз бо-коеыми ребрами призмы. Эти ребра как противрпрложные
                 стороны п-ммов последовательно приложенных друг к другу,
                 равны в парал-лельны.Призму с основаниями A1A2....An и
                 B1B2...Bn обозначают-A1A2 ....Аn В1В2...Вn и называют п-
                 угольной призмой.4-ехугольная призма- параллелепипед.  (,
                 проведенный из какой-нибудь точки одного ос-нования к
                 плоскости другого основания, называется высотой приз-мы.
                 Если боковые ребра призмы ( к основаниям, то призма наз пря-
                 мой, в противном случае –наклонной. Высота прямой призмы
                 равна ее боковому ребру.Прямая при-зма называется пра-
                 вильной, если ее основания — правильные мн-ки. У такой
                 призмы все боковые грани -равные прямоугольники S полной
                 поверхности. призмы называется сумма площадей всех ее
                 граней, а S боковой поверхности призмы— сумма площа-дей ее
                 боковых граней. Пло-щадь Sполн полной повер-хности выра-
                 жается через площадь S6os боко-вой поверхности и пло-щадь
                 Sосн ос-нования призмы форму Sполн = S6oк+ 2Sосн.


2. Скакалярным произведением 2-ух векторов называется произведение  их  длин
на косинус угла между ними Скал-ое произведение векторов  а и  b  обозначают
так :аb . Т. о. ab=(a(((b( cos (ab). Скал-ое произведение  вектора  равно  0
тогда,  когда   эти  векторы   (;  скал-ый   квадрат   вектора(т.е   скал-ое
призведение вектора на себя) = квадрату его длинны.. Скал-ое произведение 2-
ух  векто-ров  можно  вычислить,  зная  координаты   этих   векторов:скал-ое
произведение векторов  а{x1;y1;z1}  и  b{x2;y2;z2}выражается  формулой:  аb=
x1x2+y1y2+z1z2. Косинус  (  (  между  ненулевыми  вектора-ми  а{x1;y1;z1}  и
b{x2;y2;z2} вычисляется формулой.
|соs|x1x2+y1y2+z1z2. |В самом деле, так как |cos|  |
|(= |                |а b =(а(((b(, то      |(= |ab|
|   |?x12+y1І+z12 ?? |                      |   |  |
|   |x22+y2І+z22     |                      |   |(a|
|   |                |                      |   |((|
|   |                |                      |   |(b|
|   |                |                      |   |( |


                 Подставив сюда выражения  для ab, (а(и(b( через координаты
                 векторов а и b получим эту формулу. Для любых векторов а,b
                 и c и любого числа k справедливы равенства:
                 10.а2 () , причем а2>0 при а(0
                 20.ab=ba(переместительный з-н)
                 30.(a+b)c=ac+bc(распределительный з-н)
                 40.k(ab)=(ka)b (сочетательный з-н)
                 Утверждения 1?-4?относятся и к планиметрии Нетрудно док-ть
                 , что распределительный з-н имеет место для любого числа
                 слагаемых( (a+b+c)d=ad+bd+cd.)



                                 Билет № 12


1. Прямая и правильная призма(формулировки примеры)
2. Существование плоскости , проходящей  через данную прямую и данную
   точку.

1.Если боковые ребра перпендикулярны основаниям, то призма нвзывается
прямой, в противном случае наклонной. Высота прямой призмы равна ее
боковому ребру.
Прямая призма называется правильной, если ее основания- правильные
многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники.



2. Теорема. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
приом только одна .
Д-во. Рассмотрим пр а и не лежащую на ней т М. Отметим на прямой а 2 точки
Р и Н Точки М,Р и Н не лежат на одной прямой поэтому согласно аксиоме А1
через эти 3 точки проходит пл (. Т.к. 2 точки  прямой РиН лежат в пл  (.,
то по аксиоме А2 пл (.проходит через прямую а.Единственность пл, проходящай
 через прямую а и т М, => из того, что любая пл., проходящая через пр а и т
М, проходит через т М, Р и Н .=>, она совпадает с пл (., т.к по аксиоме
А1через 3 точки проходит только одна плоскость.



                                 Билет № 13

1. Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед(формулировка примеры)
2. Теорема о боковой поверхности призмы.
1. Прямоугольный параллелепипед. Параллелепипед называется прямоугольник,
если его боковые ребра (к основанию, а основания представляют собой
прямоугольники: коробки,
                 ящики, комнаты к т. д. прямоугольный параллелепипед ABCD
                 A1B1C1D1.Его основаниями служат прямоугольники ABCD и
                 A1B1C1D1 a боковые ребра АА1, ВВ1, СС1 и DD1 ( к
                 основаниям. Отсюда=>, что АА1(АВ, т. е. боковая граyь
                 АА1В1В — прямоуголь-ник. To же самое можно сказать и об
                 остальных боковых гранях. Та-ким образом, мы обосновали
                 следующее свойство прямоугольного параллелепипеда:
                 1°. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней
                 прямоугольники. Полупл, в кот расположены смежные грани
                 парал-
 да, образуют двугранные углы, кот называются двугранными углами
параллелепипеда.
2°. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда — прямые.
Длины трех ребер, имеющих общую вершину, назовем измерениями прямоугольного
парал-да. Например, у парал-да, можно взять длины ребер АВ, AD и АА1.Длины
смежных сторон можно назвать измерениями прямоугольника и поэтому можно
сказать, что квадрат диагонали, прямоугольника равен сумме квадратов двух
его измерений.



2. Теорема: S боковой поверхности прямой  призмы равна произведению
периметра основания на высоту призмы.
Д-во. Боковая поверхность прямой призмы – прямоугольники , основания
которых- стороны основания призмы, а высота равна h призмы. S боковой
поверхности  призмы равна сумме произведений указанных прямоугольников,
т.е. равна сумме произведений сторон основания нв высоту h. Вынося
множитель h за скобки  получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е
его периметр P. Итак Sбок=Ph

S=AB•h+BC•h+CA•h=h(AB+BC+CA)=Ph



                                 Билет № 14

               1. Пирамида(формулировка , примеры)
               2.  Существование  прямой,  параллельной  данной  прямой    и
                  проходящей через данную точку.
1. Пирамида. Рассмотрим многоугольник  А1А2…Аn   и  точку  Р  не  лежащую  в
плоскости этого  многоугольника  .  Соединив  т.  Р  отрезками  с  вершинами
многоугольника, получим n треугольников РА1А1, РА2А3…,РаnА1.
                 Многоугольник, составленный из n –угольника  А1А2…Аn   и  n
                 тре-угольников  ,   называется   пирамидой.   Многоугольник
                 А1А2…Аn назы-вается основанием, а   треугольники-  боковыми
                 гранями пирамиды. Т.Р называется  вершиной   пирамиды  ,  а
                 отрезки РА1,РА2, …, РАn – её боковыми ребрами . Пирамиду  с
                 основанием А1А2,…Аn и вершиной Р обозначают  так:  РА1А2…Аn
                 –и называют n  –угольной  пирамидой.  Треугольная  пирамида
                 называется  тетраэдр.  Перпендикуляр  ,   проведенный    из
                 вершины  пирамиды  к плоскости основания , называют высотой
                 пирамиды (РН) Площадью полной поверхности пирамиды называют
                 сумму площадей её граней , а площадью боковой  поверх-ности
                 – сумму  площадей её боковых граней



2. Т е о р е м а. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной
прямой, проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна.
Д-во. Рассмотрим прямую a и т М, не лежащую на этой прямой. Через  прямую  a
и т М проходит
                 пл, и притом только одна . Обозначим эту  плоскость  буквой
                 ?. Прямая, проходящая через точку М параллельно  прямой  а,
                 должна лежать в одной плоскости с т М и  прямой  а,  т.  е.
                 должна лежать в плоскости ?. Ho в плоскости ?, как известно
                 из  курса  планиметрии,  через   т   М   проходит   прямая,
                 параллельная прямой а, и притом  только  одна.  Эта  прямая
                 обозначена  буквой  b.  Итак,  b  —  единственная   прямая,
                 проходящая  через  т  М  параллельно  прямой   а.   Теорема
                 доказана.



                                 Билет № 15

               1. Цилиндр (формулировки и примеры)
               2. Признак параллельных прямых.
1. Цилиндр. Рассмотрим  две параллельные плоскости ? и ?  и окружность  L  с
центром О радиуса r , расположенную  в  пл  ?.  Отрезки  прямых  заключенных
между  плоскостями  образуют  цилиндрическую   поверхность.   Сами   отрезки
называются  образующими  цилиндрической  поверхности  По  построению  концов
образующих расположенных  в пл ? заполним окружность
                 L1. Тело ограниченное цилиндрической поверхностью  и  двумя
                 кругами  с  границами  L  и  L1  ,  называется   цилиндром.
                 Цилиндрическая поверхность  называется боковой поверхностью
                 цилиндра, а  круги  -  основаниями  цилиндра  .  Образующие
                 цилиндрической поверхности называются образующими  цилиндра
                 , прямая ОО1- осью цилиндра.
                  Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг
                 одной из его сторон. Сечение цилиндра  ,  проходящее  через
                 ось  ,  представляет  собой  прямоугольник  ,  две  стороны
                 которого  образующие  ,  а  2  другие  –диаметры  оснований
                 цилиндра , такое сечение называется  осевым.  Если  секущая
                 плоскость ? к оси цилиндра , то сечение   является  кругом.
                 Цилиндры так же могут быть и наклонными  или иметь в  своем
                 основании параболу .



Параллельность прямых а и b обозначается так: а||b. Докажем теорему о
параллельных прямых.
Т е о р е м а. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной прямой,
проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна.
Д-во. Рассмотрим прямую a и т М, не лежащую на этой прямой. Через  прямую  a
и т М проходит
                 пл, и притом только одна . Обозначим эту  плоскость  буквой
                 ?. Прямая, проходящая через точку М параллельно  прямой  а,
                 должна лежать в одной плоскости с т М и  прямой  а,  т.  е.
                 должна лежать в плоскости ?. Ho в плоскости ?, как известно
                 из  курса  планиметрии,  через   т   М   проходит   прямая,
                 параллельная прямой а, и притом  только  одна.  Эта  прямая
                 обозначена  буквой  b.  Итак,  b  —  единственная   прямая,
                 проходящая  через  т  М  параллельно  прямой   а.   Теорема
                 доказана.



                                  Билет №16

1. Конус (формулировки и примеры)
2. Признак параллельности прямой и плоскости
1.Конус.  Рассмотрим  окружность  L   с   центром   О    и   прямую   ОР   ,
перпендикулярную  к  плоскости  этой  окружности.  Каждую  точку  окружности
соединим  с  отрезом  в  т.  Р  Поверхность,  образованная  этими  отрезками
называется конической поверхностью
                 а сами отрезки – образующими конической поверхности.  Тело,
                 ограниченное  конической поверхностью  и круг-ом с границей
                 L,  называется  конусом  .Коническая   по-верх   называется
                 боковой поверхностью  конуса, а круг - снованием  конуса  .
                 Т.Р называется вершиной конуса ,  а  образующие  конической
                 поверхности –  образующими  конуса.  Все  образующие  равны
                 друг другу . ОР  ,  прохо-дящая  через  центр  основания  и
                 вершину ,  называется   Осью  конуса  .  Ось  конуса   ?  к
                 плоскости  основания. Отрезок ОР называется высотой конуса.

                 Конус   можно   получить   и    вращением    прямоуголь-ным
                 треугольником вокруг  одного  из  его  катетов.  При   этом
                 боковая  поверхность  образуется  с  помо-щью   гипотенузы.
                 Рассмотрим сечения конуса. Если секущая ось проходит  через
                 ось  , то сечение  пред-ставляет  собой   треугольник  ,  и
                 называется  осевым сечением. Если секущая плоскость ? к оси
                 ОР   конуса, о сечене  пред-ставляет собой круг  с  центром
                 в т.О1  , расположенным на оси конуса. R1 этого круга равен
                 РО1/РО r , где r-  радиус  основания  конуса  ,  что  легко
                 усмотреть из подобия ?РОМ??РО1М1



2.Определение. Прямая и плоскость  называются  параллельными,  если  они  не
имеют общих точек.
Теорема. Если прямая , не лежащая в  даннойц  плоскости,  палаллльна  какой-
нибудь прямой  ,  лежащей  в  этой  плоскости,  то  она  параллнльна  данной
плоскости.
Д-во. Рассмотрим пл.?и 2|прямые a и b ,  расположенные  так,  что  прямая  b
лежит в пл ?, а прямая a  не лежит в этой пл. Докажем, что   ?|a.  Допустим,
что это не так, тогда прямая a пересекает  пл  ?  ,  а  значит  по  лемме  о
пересечении пл параллельными прямыми пр b так же пересекает пл ?  .  Но  это
невозможно , так как пр b лежит в пл ?.  Итак  пр  a  не  пересекает  пл  ?,
поэтому она |этой плоскости.



                                 Билет № 17

               1. Сфера, шар( формулировки, примеры)
               2. Признак параллельности плоскостей.
Определение.  Сферой  называется  поверхность,  состоящая  из  всех   точен.
пространства, расположенных на данном расстоянии or данной точки
                 Данная точка называется  центром  сферы  (т  О),  а  данное
                 расстояние — радиусом сферы. Радиус сферы часто  обозначают
                 буквой R Люб-ой отрезок, соединяющий центр  и  какую-нибудь
                 точку  сферы,  также  называется  радиусом   сферы.Отрезок,
                 соединяющий две точки сферы и проходящий  через  ее  центр,
                 называется диаметром сферы. Очеви-дно, диаметр сферы  равен
                 2R  Отметим,  что  сфера  может  быть  полу-чена  вращением
                 полуокружности  вокруг  ее  диаметра  Тело,   ограни-ченное
                 сферой, называется шаром. Центр,  радиус  и  диаметр  сферы
                 называются  также  центром,  радиусом  и  диаметром   шара.
                 Очевидно, шар радиуса R с  центром  О  содержит  все  точки
                 пространства, кот. Расположены от точки О на расстоянии, не
                 превышающем H (вклю-чая и точку О), и  не  содержит  других
                 точек.



2.Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно
параллельны двум прямым, другой плоскости, то эти плоскости праллельны.
                Д-во. Рассмотрим две плоскости ?  и ?. В плоскости  ?  лежат
                пересека-ющиеся в точке М прямые a и b, а в  плоскости  ?  —
                прямые a1 и b\,  причем a||a1 и b||b1.  Докажвм,  что  a||b.
                Прежде всего отметим, что по признаку параллельности  прямой
                и плоскости a||? и b||?. Допустим, что плоскости ?  и  ?  не
                параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой  прямой  с.
                Мы получили, что плоскость a проходит через  прямую  а,  па-
                раллельную плоскости ?, и пересекает плоскость по прямой  с.
                Отсюда следует, что a||с.
                Но плоскость a проходит также через прямую  b,  параллельную
                плоскости ?. Поэтому b||c.  Т.о,  через  т  М  проходят  две
                прямые a и b, параллельные прямой с. Но это невозможно,  т.к
                по теореме о параллельных  прямых  через  точку  М  проходит
                только одна прямая,  параллельная  прямой  с.  Значит,  наше
                допущение неверно и ?|| ?. Теорема доказана.



                                 Билет № 18

1.Формула прямоугольногопараллелепипеда. (формулировка и пример)
2. Свойства перпендикулярности прямой и плоскости( доказательство одного
из них)



2. Определение. Прямая называется перпендикулярной  к плоскости ,  если  она
                перпендикулярна к любой прямой , лежащей в этой плоскости.
                Теорема. Если одна из 2-ух параллельных прямых перпендикуляр-
                на к плоскости, то  и другая прямая перпендикулярна  к  этой
                плос-кости.
                Д-во. Рассмотрим 2 |а и а1 и пл ?, такую, что а(?.  Докажем,
                что и а1(?.. проведем  какую-нибудь прямую х в пл ?. Так как
                а(?, то а(х. По лемме о перпендикулярности 2-ух параллельных
                прямых к третьей а1(х. Т.о. прямая а1 (  к  любой  прямой  ,
                лежащей в пл ( т.е а1(?.
                Теорема. Если 2 прямые перпендикулярны к плоскости , то  они
                параллельны.



                                    Билет №20


1. Фрмула обьема шара( формула примеры)
2. Теорема о трех перпендикулярах
1.  Теорема: Объем шара радиуса R равен  4/3 (R3
Д-во: Рассмотрим   шар  радиуса  R  с  центром   в  т.О  и  выберем  ост  Ох
произвольным образом. Сечение шара  пл. (к оси Ох  и проходящей  через  т  М
этой оси  является кругом с центром  в т М. Обозничим  радиус этого круга  r
, а его площадь S(x), где х- абсц-исса  т М. Выразим  S(х)через   х  и  R.Из
прямоуголь-ника ОМС находим: r=(OC2 –OM2 =(R2(x2.Так как S(x)=(R2 ,то  S(x)=
((R2- x2). Заметим , что эта фор-мула верна  для  любого  положения  т.М  на
диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию  -R(  x  (R.  Примеряя
основную формулу для вычисления  объемов тел при а= -R, b=R, получим
|V|       R             |(| |4|  |
| |R              R     |x|R| |  |
| |R                    |3| | |  |
| |=?((R2-x2)dx= (R2?   | |(| |(R|
| |dx-(?x2dx=(R2x(-     | |=| |3 |
| |                     |3| |3|  |
| |   -R                | |-| |  |
| |-R              -R   | |R| |  |
| |-R                   | | | |  |



2.Теорема.  Прямая  проведенная  в  плоскости  через   основание   наклонной
                перпендикулярно   к   её   проекции   на   эту    плоскость,
                перпендикулярна и к самой наклонной.
                Д-во. Дана пл ? и  перпендикуляр  АН  ,  АМ-  наклонная,  а-
                прямая, проведенная в пл  ?  через  т  м  (  к  проекции  НМ
                наклонной. Докажем , что а (АМ. Рассотрим пл  АМН.  Пр.а  (к
                этой пл, т.к она   ( к 2-ум пересекающимся прямым АН и  МН(а
                ( НМ по условию и а (АН, т.к. АН( ?). Отсюда =>, что пр а  (
                к любой прямой , лежащей  в пл АМН, в частности  а(АМ
Обратная теорема. Прямая проведенная в плоскости через основание наклонной
перпендикулярно к ней перпендикулярна и к её проекции