Билеты по математическому анализу




                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                  Билет № 1

 1) Сформулируйте понятие полного дифференциала функции двух переменных и
    объясните его геометрический смысл.
 2) Исследуйте на экстремум функцию [pic].
 3) Получите оценку модуля определенного интеграла.
 4) Вычислить интеграл [pic].
 5) Что называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными?
 6) Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].
 7) Дайте определение ортогональной системы. Приведите пример.
 8) Исследовать на абсолютную и условную сходимость [pic].



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                  Билет № 2

 1) Что называется: переменной величиной, областью значений переменной
    величины? Какая переменная величина называется последовательностью?
 9) Найдите [pic] для функции [pic].
10) Выведите формулу для вычисления длины дуги кривой в полярных
    координатах.
11) Вычислить двойной интеграл [pic], где D - треугольник с вершинами О(0,
    0), А(2, 2), В(0, 2).
12) Какой вид имеет однородное дифференциальное уравнение первого порядка?
13) Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].
14) Сформулируйте неравенство Бесселя по тригонометрической системе.
15) Исследовать сходимость ряда[pic]



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                  Билет № 3

 1) Докажите правило дифференцирования [pic].
16) Напишите уравнение касательной плоскости к сфере [pic] в точке [pic].
17) Выведите формулу для вычисления площади криволинейного сектора в
    полярных координатах.
18) Найти [pic].
19) Что называется квазимногочленом?
20) Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].
21) Сформулировать утверждение об оценке остатка знакочередующегося ряда.
22) Исследовать сходимость ряда[pic]



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                  Билет № 4

 1) Опишите задачу о касательной, приводящую к понятию производной.
23) Каков критерий выпуклости графика? Будет ли график функции [pic]
    выпуклым или вогнутым на интервале [pic]? Разъясните геометрическую
    интерпретацию условия выпуклости [pic].
24) Дайте определение соленоидального векторного поля и сформулируйте
    критерий соленоидальности.
25) Вычислить двойной интеграл [pic]

                                                                 [pic].
26) Что называется дифференциальным уравнением Бернулли?
27) Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].
28) Дайте определение знакочередующегося ряда. Приведите примеры.
29) Исследовать сходимость ряда [pic].



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                  Билет № 5

 1) Перечислите основные свойства бесконечно малых и докажите одно из них
    (по Вашему выбору).
30) Найдите область определения функции [pic].
31) Дайте определение потенциального векторного поля и его потенциала.
    Сформулируйте условия потенциальности векторного поля.
32) Вычислить интеграл [pic].
33) Записать дифференциальное уравнение для определителя Вронского системы
    решений однородного линейного дифференциального уравнения.
34) Найти решение дифференциального уравнения [pic], удовлетворяющее
    начальным условиям x(0) = 0, x'(0) = 3.
35) Дайте определение гармонического ряда. Приведите пример. Докажите
    расходимость гармонического ряда.
36) Исследовать сходимость ряда [pic].



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                  Билет № 6

 1) Дайте определение функции двух переменных, ее области определения и
    области значений.
37) Найдите асимптоты графика функции [pic]. Когда у графика могут
    появиться вертикальные асимптоты?
38) Найдите интеграл от простейшей дроби 1-го типа: [pic].
39) Найти [pic].
40) Записать характеристическое уравнение для линейного дифференциального
    уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
41) Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].
42) Докажите экстремальное свойство частных сумм ряда Фурье по
    ортогональной системе.
43) Исследовать сходимость ряда [pic].



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                  Билет № 7

 1) Сформулируйте и докажите теорему об инвариантности формы дифференциала.
44) Найдите вторую производную функции [pic].
45) Какая рациональная дробь называется правильной? Сформулируйте теорему о
    разложении правильной рациональной дроби на простейшие.
46) Найти [pic].
47) В чем заключается свойство единственности решения задачи Коши для
    дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно
    производной?
48) Найти решение дифференциального уравнения [pic], удовлетворяющее
    начальным условиям x(0) = 0, x'(0) = 7.
49) Докажите признак сходимости геометрического ряда.
50) Исследовать сходимость ряда [pic]



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------


                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                  Билет № 8

 1) Докажите правило Лопиталя.
51) Исследуйте возрастание и убывание функции [pic]. Какая функция
    называется возрастающей, в чем состоит признак возрастания?
52) Дайте определение тройного интеграла и получите формулу для вычисления
    массы неоднородного тела.
53) Найти [pic].
54) Что такое линейно независимая система (1(t), (2(t) на ((, ()?
55) Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].
56) Разложите функцию y=(1+х)m (m(R; m(0) в ряд Маклорена.
57) Найти интервал сходимости степенного ряда. Исследовать поведение на
    концах интервала сходимости [pic].



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                  Билет № 9

 1) Что называется градиентом скалярного поля (в случае двух переменных)?
    Перечислите основные свойства градиента.
58) Найдите [pic].
59) Сформулируйте и докажите свойство монотонности определенного интеграла.
60) Найти [pic].
61) Что такое линейно зависимая система (1(t), (2(t) на ((, ()?
62) Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].
63) Разложите функцию y=ex в ряд Маклорена.
64) Исследовать сходимость ряда [pic]



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                 Билет № 10

 1) Дайте определение производной по направлению функции (скалярного поля)
    двух переменных и выведите формулу для нее.
65) Найдите [pic].
66) Назовите механические приложения кратных интегралов, напишите формулы
    для вычисления массы и центра тяжести тела.
67) Сходится ли несобственный интеграл [pic]?
68) Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения второго
    порядка, разрешенного относительно второй производной.
69) Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].
70) Докажите неравенство Бесселя для ортогональной системы.
71) Исследовать сходимость ряда[pic]



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                 Билет № 11

 1) Какой предел называется вторым замечательным? В чем его
    "замечательность"?
72) Найдите [pic] для функции [pic].
73) Дайте определение двойного интеграла и укажите его геометрический смысл
    для неотрицательной функции.
74) Вычислить двойной интеграл [pic]


    [pic].
75) В чем заключается свойство существования решения задачи Коши для
    дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно
    производной, в некоторой области D?
76) Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].
77) Разложите функцию y=sin x в ряд Маклорена и докажите сходимость
    полученного разложения к порождающей функции.
78) Исследовать на абсолютную и условную сходимость [pic].



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                 Билет № 12

 1) Сформулируйте теорему Ролля и объясните ее геометрический смысл.
79) Исследуйте функцию [pic] на выпуклость и вогнутость. Какая кривая
    называется выпуклой?
80) Сформулируйте свойства криволинейного интеграла.
81) Найти [pic].
82) Что называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением n-го
    порядка?
83) Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].
84) Исследуйте сходимость обобщенного гармонического ряда.
85) Исследовать сходимость ряда [pic]



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------


                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                 Билет № 13

 1) Дайте определение бесконечно большой переменной величины и приведите
    пример такой величины.
86) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции [pic] на интервале
    [pic]. Надо ли исследовать характер получающихся стационарных точек при
    отыскании наибольшего и наименьшего значений на интервале?
87) Какие подстановки называются рационализирующими интеграл [pic]?
    Покажите, что универсальная подстановка является рационализирующей для
    интеграла от выражений, рационально зависящих от [pic] и [pic].
88) Найти [pic].
89) Сформулировать теорему существования и единственности решения задачи
    Коши для дифференциального уравнения n-го порядка, разрешенного
    относительно старшей производной.
90) Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].
91) Дайте определение абсолютно сходящегося ряда. Приведите пример.
92) Найти область сходимости степенного ряда[pic].



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                 Билет № 14

 1) В чем состоит связь между понятиями предела и бесконечно малой?
93) Найдите[pic].
94) Напишите формулы для вычисления площади криволинейной трапеции и
    правильных областей относительно оси [pic] и оси [pic].
95) Вычислить двойной интеграл [pic], где D - область, ограниченная линиями
    y = [pic], y = x, y = 4x (x › 0).
96) Какое уравнение называют характеристическим для линейного
    дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
97) Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].
98) Дайте определение ряда Фурье по ортогональной системе. Приведите
    пример.
99) Исследовать сходимость ряда [pic].



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                 Билет № 15

 1) Какие типы интервалов на числовой оси Вы знаете? Чем они отличаются друг
    от друга?
100) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции [pic] в
    прямоугольнике, ограниченном прямыми [pic].
101) Напишите формулу для вычисления площади поверхности вращения вокруг
    оси [pic] и сформулируйте условия, при которых она верна.
102) Найти [pic].
103) Что называется дифференциальным уравнением? Что называется порядком
    дифференциального уравнения?
104) Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].
105) Сформулируйте признак абсолютной сходимости ряда. Приведите пример.
106) Найти интервал сходимости степенного ряда. Исследовать поведение на
    концах интервала сходимости[pic].



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                 Билет № 16

 1) Дайте определение непрерывности функции в точке [pic] и докажите, что
    функция, дифференцируемая в [pic], непрерывна в [pic].
107) Укажите область определения функции [pic]. Какие точки называются
    внутренними, а какие граничными для области?
108) Выведите формулу для вычисления длины дуги кривой в декартовых
    координатах.
109) Найти [pic].
110) Какой вид имеет дифференциальное уравнение Бернулли?
111) Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].
112) Докажите признак сравнения знакоположительных рядов.
113) Найти область сходимости степенного ряда[pic].



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                 Билет № 17

 1) Докажите правило дифференцирования произведения.
114) Найдите [pic].
115) В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла от
    неотрицательной функции?
116) Найти [pic].
117) Записать общий вид дифференциального уравнения первого порядка,
    разрешенного относительно производной.
118) Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].
119) Докажите признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.
120) Исследовать сходимость ряда [pic].



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------


                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                 Билет № 18

 1) Дайте определение предела переменной величины.
121) Найдите производную по направлению [pic] в точке [pic] скалярного поля
    [pic].
122) Укажите, какие подстановки в частных случаях приводят интеграл [pic] к
    интегрированию более простых рациональных дробей, чем при использовании
    универсальной подстановки.
123) Найти [pic].
124) Что называется определителем Вронского для системы решений однородного
    линейного дифференциального уравнения второго порядка?
125) Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].
126) Дайте определение условно сходящегося ряда. Приведите пример.
127) Решить вопрос о сходимости ряда [pic]



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                 Билет № 19

 1) Дайте определение эквивалентных бесконечно малых и докажите одно из
    свойств таких величин (по Вашему выбору).
128) Исследуйте на экстремум функцию [pic]. В чем состоит достаточный
    признак экстремума?
129) Сформулируйте и докажите свойство линейности определенного интеграла.
130) Вычислить двойной интеграл [pic], где D - область, ограниченная
    линиями y = 2 – x2 и y =x.
131) Записать общее решение линейного однородного дифференциального
    уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
132) Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].
133) Докажите теорему Абеля об области сходимости степенного ряда.
134) Исследовать на абсолютную и условную сходимость [pic].



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                 Билет № 20

 1) В чем состоит первый замечательный предел? Опишите также его содержание
    с точки зрения сравнения бесконечно малых.
135) Исследуйте возрастание и убывание функции [pic]. Какая функция
    называется убывающей, в чем состоит признак убывания функции?
136) Укажите рационализирующую подстановку для интегралов вида [pic], где
    [pic] – рациональная функция своих аргументов.
137) Найти [pic].
138) Записать вид частного решения неоднородного линейного
    дифференциального уравнения второго порядка в методе Лагранжа вариации
    постоянных.
139) Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].
140) Сформулируйте признак сравнения числовых знакоположительных рядов.
    Приведите пример.
141) Исследовать сходимость ряда [pic]



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                 Билет № 21

 1) Дайте определение полного дифференциала функции [pic] в точке [pic];
    объясните его геометрический смысл и возможность использования в
    приближенных вычислениях.
142) Найдите производную функции [pic].
143) Дайте определения дифференциальных операций над скалярными и
    векторными полями, циркуляции и потока векторного поля.
144) Вычислить интеграл [pic].
145) Записать общий вид дифференциального уравнения первого порядка.
146) Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].
147) Докажите радикальный признак Коши.
148) Исследовать на абсолютную и условную сходимость [pic].



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                 Билет № 22

 1) Перечислите основные свойства пределов и докажите одно из них (по Вашему
    выбору).
149) Дайте определение экстремума функции [pic], сформулируйте признаки
    экстремума и найдите экстремумы функции [pic].
150) Сформулируйте теоремы о сведении двойных и тройных интегралов к
    повторным.
151) Вычислить площадь области, ограниченной гиперболой y = [pic] и прямой
    y = 3 – x.
152) Сформулировать теорему существования и единственности решения задачи
    Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного
    относительно производной?
153) Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].
154) Сформулируйте комплексную форму ряда Фурье функции с периодом 2l.
155) Исследовать на абсолютную и условную сходимость [pic].



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------


                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                 Билет № 23

 1) Какие функции двух переменных называются дифференцируемыми?
156) Разложите число 10 на два слагаемых так, чтобы произведение их было
    наибольшим. Сформулируйте свойство непрерывной функции, связанное с
    нахождением наибольшего и наименьшего значений.
157) Запишите формулу Грина и сформулируйте условия, при которых она
    справедлива.
158) Найти [pic].
159) Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения n-го
    порядка, разрешенного относительно старшей производной.
160) Найти решение дифференциального уравнения [pic], удовлетворяющее
    начальным условиям x(0) = 1, x'(0) = 8.
161) Разложите функцию y=cos x в ряд Маклорена.
162) Найти область сходимости степенного ряда[pic].



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                 Билет № 24

 1) Докажите теорему о единственности предела переменной величины.
163) Решеткой длиной [pic] надо огородить прямоугольный участок так, чтобы
    он имел наибольшую площадь. Какова будет эта наибольшая площадь? На
    каком свойстве непрерывных функций основано нахождение наибольших и
    наименьших значений?
164) Дайте определение криволинейного интеграла от вектор-функции.
165) Вычислить площадь области, ограниченной параболой y = x2 + 1 и прямой
    y = 4x – 2.
166) Какое дифференциальное уравнение первого порядка называют однородным?
167) Найти решение дифференциального уравнения [pic], удовлетворяющее
    начальным условиям x(0) = 0, x'(0) = -2.
168) Разложите функцию y=arctg x в ряд Маклорена.
169) Исследовать сходимость ряда [pic].



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------


                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                 Билет № 25

 1) Опишите задачу о скорости, приводящую к понятию производной.
170) Найдите [pic].
171) Напишите формулу замены переменной в неопределенном интеграле.
    Сформулируйте условия, при которых она верна, и докажите ее
    справедливость.
172) Найти [pic].
173) Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения первого
    порядка, разрешенного относительно производной.
174) Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].
175) Разложите функцию y=ex в ряд Маклорена и докажите сходимость
    полученного разложения к порождающей функции.
176) Исследовать сходимость ряда [pic].



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                 Билет № 26

 1) Дайте определение производной. В чем состоит геометрический смысл
    производной?
177) Найдите экстремум функции [pic]. Укажите, в чем состоит
    геометрический смысл необходимого признака экстремума (Ферма).
178) Получите оценку модуля двойного интеграла.
179) Найти [pic].
180) Что называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка?
181) Найти решение дифференциального уравнения [pic], удовлетворяющее
    начальным условиям x(0) = 2, x'(0) = 5.
182) Сформулируйте признак Даламбера сходимости знакоположительного ряда.
183) Исследовать сходимость ряда [pic].



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                 Билет № 27

 1) Какая переменная величина называется бесконечно малой?
184) Найдите градиент функции [pic] в точке А(2,1).
185) Выведите формулу для вычисления длины дуги плоской кривой, заданной
    параметрическими уравнениями.
186) Найти [pic]
187) Какой вид имеет дифференциальное уравнение с разделяющимися
    переменными?
188) Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].
189) Докажите необходимый признак сходимости ряда. Приведите пример.
190) Исследовать сходимость ряда [pic]



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                 Билет № 28

 1) Что называется векторным уравнением пространственной кривой? Каков
    геометрический смысл производной векторной функции?
191) Найдите [pic].
192) Сформулируйте и докажите свойство аддитивности определенного интеграла
    по области интегрирования.
193) Найти [pic].
194) Какой вид имеет интеграл Дюамеля и для чего его используют?
195) Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].
196) Дайте определение ряда Фурье для функции с периодом 2l.
197) Исследовать на абсолютную и условную сходимость [pic].



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                 Билет № 29

 1) Дайте определение частной производной для функции двух переменных и
    объясните ее геометрический смысл.
198) Укажите область определения и семейство линий уровня функции [pic].
    Что служит геометрическим изображением (графиком) функции двух
    переменных?
199) В чем состоит метод "понижения степени" для интегралов [pic], где
    [pic] – целые неотрицательные числа.
200) Вычислить площадь области, ограниченной параболами y = x2 и

            y = 2 – x2.
201) Что называется общим решением дифференциального уравнения первого
    порядка, разрешенного относительно производной, в области D, где имеют
    место свойства существования и единственности решения задачи Коши для
    этого уравнения?
202) Найти общее решение дифференциального уравнения  [pic].
203) Дайте определение радиуса сходимости степенного ряда.
204) Найти область сходимости степенного ряда[pic].



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                 Билет № 30

 1) Что означает, что [pic]?
205) Найдите асимптоты графика функции [pic]. Дайте определение асимптоты.
206) Выведите формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
207) Найти [pic].
208) Что называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка?
209) Найти решение дифференциального уравнения [pic], удовлетворяющее
    начальным условиям x(0) = 0, x'(0) = -6.
210) Сформулируйте признак Дирихле для сходимости ряда Фурье.
211) Исследовать сходимость ряда [pic]



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                 Билет № 31

 1) Сформулируйте теорему Лагранжа и объясните ее геометрический смысл.
212) Найдите производную функции [pic].
213) В чем состоит связь определенного интеграла с неопределенным? Докажите
    формулу Ньютона-Лейбница.
214) Найти [pic].
215) Записать систему уравнений для коэффициентов частного решения
    линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка в
    методе Лагранжа вариации постоянных.
216) Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].
217) Докажите признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов.
218) Найти область сходимости степенного ряда[pic].



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                 Билет № 32

 1) Дайте определение точки экстремума функции двух переменных и
    сформулируйте достаточный признак экстремума.
219) [pic], где [pic]. Найдите [pic] и [pic].
220) Что понимают под интегралом с переменным верхним пределом? Докажите
    теорему о непрерывности и дифференцируемости интеграла с переменным
    верхним пределом.
221) Вычислить площадь области, ограниченной кубической параболой y = x3 и
    прямой y = 3x.
222) Что называется интегральной кривой дифференциального уравнения первого
    порядка, разрешенного относительно производной?
223) Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].
224) Сформулируйте равенство Парсеваля-Стеклова для тригонометрической
    системы.
225) Исследовать на абсолютную и условную сходимость [pic].



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                 Билет № 33

 1) Дайте определение предела функции в точке.
226) Исследуйте на экстремум функцию [pic].
227) Выведите формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.
228) Найти [pic].
229) Сформулировать теорему о структуре общего решения неоднородного
    линейного дифференциального уравнения второго порядка.
230) Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].
231) Разложите функцию y=ln(1+x) в ряд Маклорена.
232) Найти область сходимости степенного ряда[pic].



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                 Билет № 34

 1) Дайте определение средней кривизны и кривизны в точке для плоской
    кривой.
233) Вычислите [pic] функции [pic]. Не производя дальнейших вычислений,
    укажите, чему равна [pic] и объясните почему.
234) Выведите формулу для вычисления площади поверхности.
235) Найти [pic].
236) Что называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными?
237) Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].
238) Дайте определение рядов Тейлора и Маклорена. Приведите пример.
239) Исследовать сходимость ряда [pic].



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------



                      Экзаменационный билет по предмету
                            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ



                                 Билет № 35

 1) Дайте определение точки экстремума функции двух переменных и
    сформулируйте необходимый признак экстремума. В чем геометрический смысл
    этого условия?
240) Найдите точки перегиба функции [pic]. В чем состоит необходимое
    условие точки перегиба?
241) Дайте определение поверхностного интеграла от вектор-функции и
    сформулируйте условия его существования.
242) Найти [pic].
243) Сформулировать теорему о структуре общего решения однородного
    линейного дифференциального уравнения второго порядка.
244) Найти общее решение дифференциального уравнения [pic].
245) Докажите предельный признак сравнения для знакоположительных рядов.
246) Найти интервал сходимости степенного ряда. Исследовать поведение на
    концах интервала сходимости [pic].



                                                               Зав. кафедрой
                          --------------------------------------------------