Волновые уравнения

             Вывод уравнения колебания в электрических проводах.



Электрический ток в проводах характеризуется величиной [pic] и напряжением
[pic] которые зависят от координат Х точки провода и от времени t.
Рассмотрим элемент провода ?Х. Можем написать, что падение напряжения на
элементе ?Х равно

[pic]-[pic].Это падение напряжения складывается из омического, равного
[pic] и индуктивного, равного [pic] Итак
[pic]
где R и L –сопротивление и коэффициент индуктивности рассчитанные на
единицу длинны провода. Знак минус взят потому, что ток течёт в
направлении, обратном возрастанию U.Сокращая на ?Х, получим уравнение
[pic]
Далее разность токов, выходящего из элемента ?Х за время ?t , будет
[pic]
Она расходуется на зарядку элемента, равную [pic] и на утечку через боковую
поверхность провода в следствии несовершенства изоляции, равную [pic]
Здесь А- коэффициент утечки. Приравняем эти выражения
[pic]
Сократим на [pic]
[pic]
Уравнения (2) и (3) принято называть телеграфными уравнениями. Составим
систему уравнений
[pic]
Из этой системы уравнений можно получить уравнение, содержащее только
искомую функцию[pic], и уравнение, содержащее только искомую функцию [pic].
Продифференцируем  члены уравнения (3) по Х; члены уравнения (2)
продифференцируем по t и умножим их на С.
[pic]
[pic]
Аналогичным образом получим уравнение для определения [pic]
[pic]


[pic]
Если можно пренебречь утечкой через изоляцию (А=0) и сопротивлением (R=0),
то уравнения (5) и (6) переходят в волновые уравнения:
[pic]
Исходя из физических условий формулируются граничные и начальные условия
задачи.



                 Навоийский Государственный горный институт

                              Горный факультет
                         Кафедра «Высшей математики»



                             Волновые уравнения



               Подготовил: студент 2-го курса группы 20-02 ГД

                                 Дерюга А.М.



                               Навоий 2004 г.