Высшая математика


                   Государственный университет управления

                         Институт заочного обучения
                         Специальность – менеджмент



                             КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

                      по дисциплине: Высшая математика.

                                Вариант № 1.



Выполнил студент Ганин Д.Ю.
Студенческий билет № 1211
Группа № УП4-1-98/2



                               Москва, 1999 г.

                                 Содержание


Часть I.    3


    Задание №2. Вопрос №9.   3

    Задание №3. Вопрос №1.   3

    Задание №12. Вопрос №9.  5

    Задание №13. Вопрос №2.  5

    Задание №18. Вопрос №9   6

Часть II.   9


    Задание №8. Вопрос №8.   9

    Задание №12. Вопрос №9.  10

    Задание №14. Вопрос №2.  10

    Задание №15. Вопрос №6.  11

    Задание №18. Вопрос №9.  12

Дополнительно Часть I. 13


    Задание №7. Вопрос №1.   13

    Задание №9. Вопрос №8.   13

    Задание №11. Вопрос №6.  14

    Задание №15. Вопрос №1.  15

Дополнительно Часть II.      15


    Задание №7. Вопрос №1.   15

    Задание №9. Вопрос №8.   16

    Задание №11. Вопрос №6.  18

    Задание №15. Вопрос №1.  18

Часть I.


Задание №2. Вопрос №9.

       В штате гаража числится 54 водителя. Сколько свободных дней может
  иметь каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из
  имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта.

Решение:

|[pic]       |машин ежедневно остается в гараже на              |
|            |профилактическом ремонте.                         |
|[pic]       |машин с водителями ежедневно уходят в рейс.       |
|[pic]       |водителей из штата гаража ежедневно не выходит в  |
|            |рейс из-за профилактического ремонта автомашин.   |
|[pic]       |количество водителей в течение месяца, не         |
|            |выходящих в рейс из-за профилактического ремонта  |
|            |автомашин.                                        |
|[pic]       |дней в месяц каждый водитель из штата гаража не   |
|            |выходит в рейс из-за профилактического ремонта    |
|            |автомашин.                                        |


|Ответ:  |Каждый водитель из штата гаража в течение месяца    |
|        |может иметь [pic] свободных дней.                   |


Задание №3. Вопрос №1.

       Построить график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS(P) и
  найдите координаты точки равновесия, если [pic], [pic].

Решение:

    Построим в плоскости POQ график функции спроса Q=QD(P) и предложения
Q=QS(P). Для этого найдем координаты пересечения с осями координат:

|С осью OP (Q=0):                 |С осью OQ (P=0):                  |
|Для Q=QS(P):    |Для Q=QD(P):    |                                  |
|[pic]           |[pic]           |[pic]                             |
|[pic]           |[pic]           |[pic]                             |
|                |[pic]           |                                  |


    Т.к. функции QS(P) и QD(P) – линейные функции, то их графиками являются
прямые, для построения которых достаточно определить их точки пересечения с
осями координат. Они найдены, значит можно производить построение графика
(рис.1).



    Найдем точку равновесия графиков функции спроса и предложения (М), в
которой спрос равен предложению. Для этого решим систему:
[pic], из этой системы получаем: [pic]
[pic]
[pic]
[pic], тогда [pic], значит координаты  т.M[pic].


|Ответ:  |Координаты точки равновесия равны [pic],  [pic]     |



Задание №12. Вопрос №9.

       Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите
  производные следующих функций:
                                                                       [pic]

Решение:


[pic]



|Ответ:  |Производная заданной функции равна  [pic]           |


Задание №13. Вопрос №2.

       Используя дифференциал функции, найдите приближенное значение
|числа:  |[pic]                                                     |


Решение:


[pic]


|Ответ:  |Приближенное значение заданного числа равно 1,975.    |



Задание №18. Вопрос №9


|Исследуйте функцию и постройте ее график:       |[pic]             |


Решение:

1. Область определения данной функции: [pic].
2. Найдем точки пересечения с осями координат:
|С осью OY [pic]:         |С осью OX [pic]:                          |
|[pic]                    |[pic], дробь равна нулю, если ее числитель|
|                         |равен нулю, т.е.                          |
|                         |[pic]                                     |
|                         |[pic]                                     |
|                         |[pic]                                     |
|Точка пересечения: [pic] |Точки пересечения: [pic], [pic]           |


3. Т.к. все точки входят в область значений функции, то точек разрыва НЕТ.
4. Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. нет точек разрыва.
   Правая и левая наклонные асимптоты имеют уравнение: [pic], где:
[pic][pic]т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение
имеет вид: [pic], т.е. [pic]- уравнение горизонтальной асимптоты.
5. Найдем точки экстремума заданной функции. Для этого найдем ее первую
   производную:
[pic]
Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке первая
производная функции равна нулю, т.е. [pic]:
[pic], дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. [pic], отсюда
[pic], следовательно [pic], значит точка [pic] - точка экстремума функции.

На участке[pic] производная [pic] > 0, значит, при [pic], заданная функция
возрастает.

На участке[pic] производная [pic] < 0, значит, при [pic], заданная функция
убывает (рис 2.).

Следовательно [pic] - точка максимума заданной функции [pic].

6. Найдем участки выпуклости/вогнутости заданной функции. Для этого найдем
   ее вторую производную:
[pic]
Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке вторая производная
функции равна нулю, т.е. [pic]:
[pic], дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е.  [pic], значит
[pic], тогда [pic], отсюда [pic]
Отсюда [pic], [pic].
На участке[pic] производная [pic]>0, значит это участок вогнутости графика
функции.

На участке [pic] производная [pic] >0,
значит это тоже участок вогнутости графика функции.
Следовательно, при[pic] график заданной функции является вогнутым.
На участке[pic] производная [pic]<0, значит, при [pic] график заданной
функции является выпуклым (рис. 3).

Следовательно, точки [pic], [pic] - точки перегиба графика заданной функции
[pic].

Выполненные исследования заданной функции позволяют построить ее график
(см. рис. 4).


Часть II.


Задание №8. Вопрос №8.

       Фирма производит товар двух видов в количествах[pic] и[pic]. Задана
  функция полных издержек [pic]. Цены этих товаров на рынке равны [pic] и
  [pic]. Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная
  прибыль, найти эту прибыль.
       [pic],   [pic], [pic]

Решение:

Пусть [pic] - функция прибыли, тогда
[pic]
Найдем первые частные производные функции [pic]:
[pic], [pic]. Найдем стационарные точки графика функции [pic]. Для этого
решим систему:
[pic]
[pic]
Следовательно [pic]- стационарная точка. Проверим ее на экстремум, для
этого
введем обозначения: [pic], [pic], [pic],
тогда [pic], [pic], [pic], [pic]. Т.к. [pic]> 0, то экстремум есть, а т.к.
[pic]< 0, то это максимум. Следовательно, при объемах выпуска [pic]и [pic],
достигается максимальная прибыль равная:
[pic]


|Ответ:  |[pic] и  достигается при объемах выпуска [pic]и [pic].   |



Задание №12. Вопрос №9.

|Вычислить неопределенный интеграл:         |[pic]                   |


Решение:

                                    [pic]


|Ответ:  |[pic]                                                    |


Задание №14. Вопрос №2.

       Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость)
       [pic].

Решение:


[pic]


|Ответ:  |Данный несобственный интеграл – расходящийся.            |
Задание №15. Вопрос №6.

|Решить уравнение          |[pic]                                    |


Решение:

[pic]. Разделив обе части на [pic], получим [pic]. Проинтегрируем
полученное уравнение [pic]. Представим [pic], как [pic], тогда
                                    [pic]
                                    [pic]
                                    [pic]

|Ответ:  |Решением данного уравнения является [pic].               |



Задание №18. Вопрос №9.

|Найти общее решение уравнения:       |[pic]                        |


Решение:

    Найдем корни характеристического уравнения: [pic], тогда [pic],
следовательно [pic], [pic], тогда
фундаментальную систему решений образуют функции:
                                [pic], [pic]
Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями
уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений [pic] и [pic],
возьмем [pic], [pic], тогда общее решение однородного уравнения будет иметь
вид: [pic]
    Представим правую часть уравнения, как [pic] и сравним с выражением,
задающим правую часть специального вида:
[pic]. Имеем [pic], [pic], тогда т.к. [pic] - многочлен второй степени, то
общий вид правой части:  [pic]. Найдем частные решения:
                             [pic], [pic], [pic]

                                    [pic]

                                    [pic]
Сравним коэффициенты при [pic] слева и справа, найдем [pic], решив систему:
[pic], отсюда [pic].
Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид:
[pic].

|Ответ:  |[pic].                                                    |



Дополнительно Часть I.


Задание №7. Вопрос №1.

       Найти предел: [pic].

Решение:

    [pic].


|Ответ:  |Заданный предел равен [pic].                        |


Задание №9. Вопрос №8.

       Найдите уравнение асимптот и постройте их графики:
                                   [pic].

Решение:

1. Область определения данной функции: [pic].
2. Т.к. точка [pic] не входят в область значений функции, то это точка
   разрыва, а т.к. [pic] и [pic], следовательно, уравнение [pic] – уравнение
   вертикальной асимптоты.

3. Уравнения правой и левой наклонных асимптот имеют вид: [pic], где:
[pic]
                                    [pic]
т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение наклонной

асимптоты имеет вид: [pic].

Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем
точки пересечения наклонной асимптоты [pic] с осями
 координат:

С осью OX: точка[pic],
с осью OY: точка[pic]



|Ответ:  |[pic] и [pic] – уравнения асимптот заданной функции.|


Задание №11. Вопрос №6.

       Исходя из определения производной, докажите: [pic].

Решение:

    Т.к. по определению производная функции [pic] в точке [pic] вычисляется
по формуле [pic], тогда приращение [pic] в точке [pic]: [pic].
Следовательно [pic].

|Ответ:  |[pic].                                                    |


Задание №15. Вопрос №1.

       Найдите пределы, используя правило Лопиталя:  [pic].

Решение:

[pic].


|Ответ:  |Заданный предел равен [pic].                        |


Дополнительно Часть II.


Задание №7. Вопрос №1.

       Написать в точке [pic] уравнение касательной плоскости к поверхности,
       заданной уравнением: [pic].

Решение:

    Уравнение касательной плоскости к графику функции [pic] в точке [pic]
имеет вид: [pic]. Поэтому, продифференцируем заданное уравнение
поверхности: [pic]. Подставив в полученное уравнение координаты точки [pic]
вместо значений переменных, и заменив дифференциалы переменных на их
приращения, получим:

                                    [pic]
                                   [pic].


|Ответ:  |Уравнение касательной плоскости к заданной          |
|        |поверхности в заданной точке [pic] имеет вид [pic]. |



Задание №9. Вопрос №8.

       Найти наибольшее и наименьшее значение функции [pic] в области:
       [pic].

Решение:

    Т.к.  заданная  функция  дифференцируется  в   замкнутой   ограниченной
области,  то  свое  наибольшее/наименьшее  значение  она  достигает  или   в
стационарной  точке  внутри  области  дифференцирования,  или   на   границе
области.
Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему:
[pic],  точка  [pic]  не  принадлежит  заданной  области  дифференцирования,
значит   стационарных   точек    внутри    области    нет,    следовательно,
наибольшее/наименьшее  значение  функцией  достигается  на  границе  области
дифференцирования. Граница области ограничена окружностями  [pic]  и  [pic].
Найдем    наибольшее/наименьшее     значение     на     границах     области
дифференцирования. Для этого составим функцию Лагранжа:
1. [pic], тогда [pic],  [pic], следовательно, система уравнений для
   определения координат экстремальной точки имеет вид:
                                    [pic]
Эта система имеет четыре решения:
|[pic], [pic],   |Точка [pic] – точка условного максимума, при этом  |
|[pic]           |функция [pic].                                     |
|[pic], [pic],   |Точка [pic] – точка условного максимума, при этом  |
|[pic]           |функция [pic].                                     |
|[pic], [pic],   |Точка [pic] – точка условного минимума, при этом   |
|[pic]           |функция [pic].                                     |
|[pic], [pic],   |Точка [pic] – точка условного минимума, при этом   |
|[pic]           |функция [pic].                                     |


2. [pic], тогда [pic],  [pic],
следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной
точки имеет вид:
                                    [pic]
Эта система также имеет четыре решения:
|[pic], [pic],   |Точка [pic] – точка условного максимума, при этом   |
|[pic]           |функция [pic].                                      |
|[pic], [pic],   |Точка [pic] – точка условного максимума, при этом   |
|[pic]           |функция [pic].                                      |
|[pic], [pic],   |Точка [pic] – точка условного минимума, при этом    |
|[pic]           |функция [pic].                                      |
|[pic], [pic],   |В точке [pic] – точка условного минимума, при этом  |
|[pic]           |функция [pic].                                      |

Следовательно, заданная функция [pic] в заданной области дифференцирования
достигает наибольшего значения в точках [pic] и [pic] и наименьшего в
точках [pic] и [pic] при этом графики функций [pic] и [pic] касаются
окружности [pic] в точках [pic], [pic] и [pic], [pic] соответственно (см.
рис.6).


|Ответ:  |Заданная функция [pic] при условии [pic] имеет [pic]|
|        |и [pic].                                            |



Задание №11. Вопрос №6.

       Вычислить неопределенный интеграл: [pic].

Решение:

                                    [pic]


|Ответ:  |Заданный неопределенный интеграл равен [pic].             |


Задание №15. Вопрос №1.

       Решить уравнение:  [pic].

Решение:

[pic]. Разделив обе части на [pic], получим [pic]. Проинтегрируем
полученное уравнение:
                                    [pic]
                                   [pic].


|Ответ:  |Решением данного уравнения является [pic].               |

-----------------------
                                                                  Рисунок 2.

[pic]

                                                  Исследование на экстремум.

                                                                  Рисунок 1.
[pic]

                                        График функции спроса и предложения.

                                                                  Рисунок 4.
                                    [pic]

|График заданной функции                                |[pic]      |


                                                                  Рисунок 3.

[pic]

                                                 Исследование на выпуклость.

                                                                  Рисунок 5.

                                                                       [pic]
                                               Графики асимптот функции[pic]

                                                                  Рисунок 6.

                                                                       [pic]
              График наибольших/наименьших значений функции [pic] при [pic].