Высшая математика, интегралы (шпаргалка)

Равномерная непрерывность

Определение 28.7: Функция [pic]называется равномерно непрерывной на
множестве [pic], если: [pic]. (в отличие от критерия Коши: [pic]).

Пояснение: [pic] Пусть: [pic]. Тогда: [pic] Т.е. функция [pic]не является
равномерно непрерывной на множестве [pic].
Теорема 28.3: Непрерывная на отрезке функция – равномерно непрерывна на
нём.
 Классы интегрируемых функций
Теорема 28.4: Непрерывная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5: Монотонная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5: Если функция [pic]определена и ограничена на отрезке [pic], и
если [pic]можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки
разрыва этой функции на [pic]. Причём общая длина этих интервалов меньше
[pic]. То [pic]- интегрируема на [pic].

Замечание: Очевидно, что если [pic]- интегрируема на [pic], а
[pic]отличается от [pic]только в конечном числе точек, то [pic]-
интегрируема на [pic]и [pic].
 
Существование первообразной
Определение 28.9: Пусть [pic]- интегрируема на [pic], [pic], тогда:
[pic]функция [pic]интегрируема на [pic]и функция [pic]называется интегралом
с переменным верхним пределом, аналогично функция [pic]- интеграл с
переменным нижним пределом.
Теорема 28.6: Если функция [pic]- непрерывна на [pic], то у неё существует
на [pic]первообразная, одна из которых равна: [pic], где [pic].

Замечание 1: Из дифференцируемости функции [pic]следует её непрерывность,
т.е. [pic]

Замечание 2: Поскольку [pic]- одна из первообразных [pic], то по
определению неопределённого интеграла и теореме о разности первообразных:
[pic]. Это связь между определённым и неопределённым интегралами

Интегрирование подстановкой

Пусть  для  вычисления  интеграла  [pic]от   непрерывной   функции   сделана
подстановка [pic].
Теорема. Если 1. Функция [pic]и ее производная [pic]непрерывны при [pic]
2. множеством значений функции [pic] при [pic]является отрезок [a;b]
3. [pic], то [pic]=[pic].
Док-во: Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке  [a;b].  Тогда  по
формуле  Ньютона-Лейбница  [pic]=[pic].   Т.к.   [pic],   то   [pic]является
первообразной для функции [pic], [pic]. Поэтому по формуле  Ньютона-Лейбница
имеем
[pic]=[pic][pic].
Формула замены переменной в определенном интеграле.
   1. при вычислении опред.  интег-ла  методом  подстановки  возвращаться  к
      старой переменной не требуется;
   2. часто вместо подстановки [pic]применяют подстановку t=g(x)
   3.  не  следует  забывать  менять  пределы  интегрирования   при   замене
      переменных.
Интегрирование заменой переменной.
а). Метод подведения под знак дифференциала
Пусть требуется вычислить интеграл [pic]. Предположим, что существуют
дифференцируемая функция [pic]и функция [pic]такие, что подынтегральное
выражение [pic]может быть записано в виде:
[pic].
Тогда: [pic]. Т.е. вычисление интеграла [pic]сводится к вычислению
интеграла [pic](который может оказаться проще) и последующей подстановке
[pic].
Пример: Вычислить [pic].
[pic].
Подстановка: [pic].
б). Метод подстановки
Пусть требуется вычислить интеграл [pic], где [pic]. Введём новую
переменную формулой: [pic], где функция [pic]дифференцируема на [pic]и
имеет обратную [pic], т.е. отображение [pic]на [pic]- взаимно-однозначное.
Получим: [pic]. Тогда [pic]. Т.е. вычисление интеграла [pic]сводится к
вычислению интеграла [pic](который может оказаться проще) и последующей
подстановке [pic].
Пример: Вычислить [pic].
[pic], откуда: [pic].
Интегрирование по частям. Пусть [pic]- дифференцируемые функции, тогда
справедлива формула: [pic], или короче: [pic]. Эта формула используется в
тех случаях, когда подынтегральное выражение [pic]можно так представить в
виде [pic], что интеграл [pic]вычисляется проще исходного.
Пример: Вычислить [pic].
Положим [pic]. Тогда [pic]. В качестве [pic]выберем первообразную при
[pic]. Получим [pic]. Снова [pic]. Тогда [pic]. Окончательно получим:
[pic].

Замечание 26.5: Иногда при вычислении интеграла [pic]методом интегрирования
по частям получается зависимость: [pic]. Откуда можно получить выражение
для первообразной: [pic].

Интегрирование рациональных функций

Постановка задачи:[pic][pic] [pic]
|1). [pic]                    |2). [pic]                        |
|3). [pic]                                                       |


т.е. все задачи сводятся к задаче B.2).
Теорема 1: Пусть [pic], тогда, если: [pic], где [pic], то [pic][pic]Из этой
теоремы следует, что для интегрирования любой рациональной функции
необходимо уметь интегрировать следующие функции:
|1. [pic]      |2. [pic]    |3. [pic]     |4. [pic]      |5. [pic]     |
|6. [pic]      |7. [pic]    |8. [pic]     |9. [pic]      |10. [pic].   |


Интегрирования дробно-линейных и квадратичных иррациональностей
[pic]
Сделав подстановку: [pic], получим: [pic].
тогда [pic]
[pic]
a). Подстановки Эйлера.
1). Корни многочлена [pic]- комплексные, сделав подстановку: [pic],
получим: [pic].
2). Корни многочлена [pic]- действительные: [pic]. Подстановка: [pic],
получаем: [pic].
b). Подстановка: [pic], далее, если:
|1). [pic]подстановка - [pic]      |2). [pic]подстановка - [pic]                 |
|3). [pic]подстановка - [pic]                                                     |


c).
Если [pic]подстановка - [pic]


Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических

[pic]
Универсальная подстановка: [pic], тогда: [pic]
[pic]подстановка: [pic]
[pic]или [pic]- нечётные: вносим функцию при нечётной степени под знак
дифференциала
Интегрируется по частям



Неопределенный интеграл

Определение 26.1: Функция [pic]называется первообразной для функции [pic]на
[pic], если: [pic].
Пусть [pic]и [pic]- первообразные функции [pic]на [pic]. Тогда:   [pic].
Определение 26.2: Неопределённым интегралом от функции [pic]на
[pic]называется объединение всех первообразных [pic]на этом интервале.
Обозначается: [pic].

Замечание 26.1: Если [pic]- одна из первообразных [pic]на [pic], то [pic].

Замечание 26.2: Подынтегральное выражение в определении представляет из
себя полный дифференциал первообразной [pic]на [pic], т.е. [pic].

Замечание 26.3: Два неопределённых интеграла равны “с точностью до
постоянной”.
Св-ва неопределенного интеграла:
1.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному
выражению, а производная неопред. интегр. равна подынтегр. функции.
Благодаря этому св-ву правильность интегрирования проверяется
дифференцированием.
[pic], [pic]
2. Неопред. интегр. от дифференциала нек-рой функции равен сумме этой
функции и производной постоянной:
[pic]
3. Постоянный множитель м. выносить за знак интеграла:
[pic], где a[pic]0-постоянная.
4. Неопред. интегр. от алгебраич. суммы конечного числа непрерывных функций
равен алгебраич. сумме интегралов от слагаемых функций:
[pic]
5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если[pic], то и [pic], где
u=[pic]- произвольн. функция, имеющая непрерывную производную.



Табличные интегралы



|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |



Определённый интеграл.
Интегрируемость
Определение 28.1: Множество точек отрезка [pic]таких, что: [pic]называют
разбиением отрезка [pic]. Длины частичных отрезков разбиения обозначим:
[pic]. Мелкостью разбиения [pic](читается – “дельта большое”) назовем
максимальнуя из длин отрезков разбиения, т.е. [pic].
Определение 28.2: Пусть в определении 28.1 для всех [pic]точки [pic].
Интегральной суммой функции [pic]на отрезке [pic]с разбиением [pic]будем
называть сумму (зависящую от разбиения [pic]и выбора точек [pic]) вида:
[pic].
Определение 28.3: Пределом интегральных сумм функции [pic]на отрезке
[pic]назовём такое число [pic], что [pic]. Обозначается: [pic].
Определение 28.4: Функция [pic]называется интегрируемой на отрезке [pic],
если существует конечный предел её интегнральных сумм на [pic].
Обозначается: [pic].
Теорема 28.1: Если [pic]интегрируема на отрезке [pic], то она ограничена на
нём.
Замечание 1: Эта теорема является необходимым, но недостаточным условием
интегрируемости функции. Пример – функция Дирихле (ограничена, но
неинтегрируема).
Критерий интегрируемости функций
Теорема 28.2: Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция,
была интегрируема на нём, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
условие: [pic].
Следствие 1: Условие Т.2 эквивалентно условию: [pic].
Следствие 2: Если функция интегрируема на , то: [pic].
Определение 28.8: Определённым интегралом функции [pic]на [pic]называется
число [pic], равное пределу интегральных сумм [pic]на [pic]. Условие
интегрируемости эквивалентно существованию определённого интеграла.
 
Свойства определённого интеграла
1. Если с – постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a;b], то
[pic], т.е. пост. множитель с можно выносить за знак определенного интег-
ла.
2. Если функции f(x), g(x) интегрируемы на [a;b], тогда интегрируема на
[a;b] их сумма и разность
[pic], [pic]
3. Если [pic], то: [pic]
4. Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a