Геометрия Лобачевского




                                   Реферат
                                 З геометрії
                                  На тему:
                           "Геомтрія Лобачевського"



                                                                     Виконав
                                                            Учень 10-А класу
                                                        Середньої школи № 96
                                                              Коркуна Дмитро



                                 Львів 2000
    Нехай тепер АОВ – деякий гострий кут. (рис1) В геометрії  Лобачевського
можна вибрати таку точку М на стороні ОВ, що перпендикуляр MQ до сторони  ОВ
не перетинається з другою стороною кута. Цей факт як раз підтверджує, що  не
виконується п'яте правило: сума кутів ( і (  є менше розгорнутого кута,  але
прямі ОА і MQ не перетинаються. Якщо почати зближувати  точку  М  до  О,  то
найдеться така "критична" точка М0, що перпендикуляр  M0Q0  до   сторони  OB
поки що не перетинається зі стороною ОА,    але  для  любої  точки  М`,  яка
лежить між  О  і  М0,  відповідаючий  перпендикуляр  М`Q`  перетинається  зі
стороною ОА. Прямі ОА і  M0Q0  все більше приближаються одна до  одної,  але
спільних точок не мають. На рис.2 ці прямі зображено  окремо;  а  саме  такі
необмежено наближаються одна до одної прямі Лобачевський в  своїй  геометрії
називає паралельними. А два перпендикуляра до одної прямої,  які  необмежено
віддаляються один від одного, як на рисунку  Лобачевський  називає  прямими,
які  розходяться.  Виявляється,  що  цим  і   обмежуються   всі   можливості
розміщення двох прямих на площині Лобачевського:  дві  неспівпадаючі  прямі,
які або перетинаються в одній  точці,  або  паралельні  ,  або  можуть  бути
такими,  що  розходяться  (в  цьому  випадку  вони  мають  єдиний   спільний
перпендикуляр)
    На рис. 3 перпендикуляр МQ до сторони ОВ кута АОВ не  перетинається  зі
стороною ОА, а прямі ОВ` , М`Q`   симетричні прямим ОВ  і  MQ  відносно  ОА.
Дальше |ОА| = |MB|, так як MQ  –  перпендикуляр  до  відрізка  ОВ`   в  його
середині і аналогічно M`Q` – перпендикуляр до відрізка ОВ` в його  середині.
Ці  перпендикуляри  не  перетинаються,  тому  не  існує   точки,   одинаково
віддаленої від точок О,В,В`, отже трикутник ОВВ` не має описаного кола.
    На рис. 4  зображено  цікавий  варіант  розташування  трьох  прямих  на
площині  Лобачевського:  кожні  дві  із  них  паралельні,  тільки  в  різних
напрямках. А на рис. 5 всі прямі паралельні одна  одній  в  одному  напрямку
(пучок  паралельних  прямих).    Лінія  позначена   пунктиром     на   рис.5
"перпендикулярна" всім проведеним прямим (тобто  дотична  до  цієї  лінії  в
любій її точці М перпендикулярна прямій, яка проходить через М.). Ця   лінія
називається граничною кола, або орициклом.  Прямі  розглянутого  пучка  ніби
являються її "радіусами", а центр граничної кола  лежить  в  нескінченності,
оскільки "радіуси" паралельні. В той  же  час  гранична  кола  не  являється
прямою лінією, вона "викривлена".  І  інші  властивості,  які  в  евклідовій
геометрії  має  пряма,  в  геометрії  Лобачевського  виявляються  властивими
другим лініям.  Наприклад,  з  множини  точок,  які  знаходяться  на   одній
стороні  від  даної  прямої  на  даній  відстані  від   неї,   в   геометрії
Лобачевського являють собою криву лінію, яка називається єквидистантою.
    Ми коротко  торкнулися  деяких  факторів  геометрії  Лобачевського,  не
згадуючи багатьох інших цікавих  і  змістовних  теорем  (наприклад,  довжина
кола і площа круга тут зростає в залежності  від  радіуса  по  показниковому
закону).  Виникає  переконання,  що  ця  теорія  багата  дуже   цікавими   і
змістовними фактам, насправді не суперечлива. Але це переконання  (яке  було
у  всіх  трьох  творців  неєвклідової  геометрії)   не   замінює   доведення
несуперечливості.
    Щоб дістати таке доведення , треба побудувати модель. І Лобачевський це
добре розумів і намагався її знайти.
    Але сам Лобачевський вже не зміг цього зробити. Побудова  такої  моделі
(доведення  несупечливості   геометрії   Лобачевського)   випало   на   долю
математиків наступного покоління.
    В  1868  р.  італійській  математик  Є.  Бельтрамі   дослідив   зігнуту
поверхність, яка називалась псевдосферою, і довів, що  на  цій  поверховості
діє геометрія Лобачевського! Якщо на цій лінії намалювати  найкоротші  лінії
("геодезичні") і вимірювати по цим  лініям  відстані,  складати  з  дуг  цих
ліній трикутники тощо, то  вияявляється,  що  в  точності  реалізуються  всі
формули геометрії Лобачевського (зокрема сума  кутів  будь-якого  трикутника
дорівнює менше 1800). Правда, на псевдосфері  реалізується  не  вся  площина
Лобачевського.
    Клейн бере деякий круг  К  и  розглядає  такі  проективні  перетворення
площини,  які  відображають  круг  К  на  себе.  "Площину"   Клейн   називає
внутрішність круга К, а вказані проективні перетворення вважає "рухом"  цієї
"площини". Дальше кожну хорду круга К (без кінців оскільки  беруться  тільки
внутрішні точки круга) Клейн вважає "прямою". Оскільки,  "рух"  являє  собою
проективні перетворення, "прямі" при цих рухах переходять в  "прямі".  Тепер
в цій "площині" можна роздивлятися відрізки,  трикутники  тощо.  Дві  фігури
називаються рівними, якщо кожна з них може бути перетворена  в  іншу  деяким
"рухом". Так само введені всі поняття,  які  згадуються  в  аксіомах  в  цій
моделі. Наприклад, очевидно, що через будь-які  дві  точки  А,  В  проходить
єдина пряма. Також , можна прослідкувати, що через точку А,  яка  не  лежить
на прямій (, проходить нескінченно багато прямих , які   не  перетинають  (.
Пізніша перевірка показує, що  в  моделі  Клейна   виконуються  и  всі  інші
аксіоми геометрії Лобачевського. Частково  для  будь-якої  прямої  l   існує
"рух"., перетворюючи її в другу пряму l` з віміченою точкою А`. Це  дозволяє
перевірити виконання всіх аксіом геометрії Лобачевського.


                           -----------------------



[pic]

[pic]