Граничные условия общего вида


                                    План.

1. Сопряженный оператор.
2. Сопряженная однородная задача.
3. Условия разрешимости.



                            Сопряженный оператор.

Обозначим через [pic] дифференциальный оператор второго порядка, т.е.
[pic]       (1)
где [pic] представляют собой непрерывные функции в  промежутке  [pic].  Если
[pic] и  [pic]-  дважды  непрерывно  дифференцируемые  на  [pic]функции,  то
имеем:
[pic]       (2)
Как и в предыдущем  параграфе,  интегрирование  соотношения  (2)  по  частям
дает:
[pic] (3)
Обозначим дифференциальный оператор, входящий в подынтегральное выражение  в
правой части (3) через [pic], т.е. [pic]     (4)
При этом соотношение (3) перепишется так:
[pic] (5)
Оператор [pic]  называется  сопряженным  по  отношению  к  оператору  [pic].
Умножая соотношение (4)  на  [pic]  и  интегрируя  полученный  результат  по
частям, по отношению к оператору [pic]. Таким  образом,  операторы  [pic]  и
[pic] взаимно сопряжены.
Как и в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение:
[pic](6)
будем называть сопряженным дифференциальному уравнению:
[pic](7)
Если же [pic], то оператор [pic]  и  дифференциальное  уравнение  [pic]будем
называть сопряженными. Сравнивая выражения (1) и  (5),  приходим  к  выводу,
что [pic] тогда и только, когда:
[pic]
Таким образом, оператор  [pic] будем  самосопряженным тогда и только  тогда,
когда [pic].
При этом:
[pic]
Так как любое дифференциальное уравнение  вида  (7)  можно  преобразовать  в
самосопряженную форму, умножив на функцию [pic].
Дифференцируя соотношение (5) по  [pic],  получаем  так  называемую  формулу
Лагранжа:
[pic] (8)
Правая часть этой формулы может быть записана как:
[pic]       (9)
где
[pic] [pic] [pic] (10)
Отметим, что:
[pic] и следовательно, матрица  [pic]-невырожденная.  Подстановка  выражения
(9) в соотношение (8) дает:
[pic](11)

                       Сопряженная однородная задача.

Введем  следующее  невырожденное  линейное  преобразование  [pic]  в  вектор
[pic]:
[pic][pic](12),
где
[pic]       [pic]
Заметим, что указанное  преобразование  может  быть  выполнено  бесчисленным
множеством способов,  в  зависимости  от  выбора  матрицы  А.  При  заданном
ненулевом векторе [pic]две последние строки матрицы  А  можно  выбрать  так,
чтобы придать  любые  требуемые  значения  компонентам[pic].  Это  замечание
используется  в  дальнейшем  при  нахождении  вида   сопряженных   граничных
условий. Поскольку [pic], мы можем обратить преобразование (12) и  получить:

[pic].
При этом (11) можно переписать как:
[pic]
или
[pic] (13),
где [pic]   (14)
Билинейная  форма  [pic]  в   соотношении   (13)   называется   каноническим
представлением билинейной формы в правой части тождества (11).
Для того  чтобы  найти  граничные  условия  сопряженной  задачи,  положим  в
соотношении (13)
[pic]и [pic]и получим:
[pic] (15)
Из формулы (21) следует,  что  однородные  граничные  условия,  эквивалентны
равенствам:
[pic] (16)

[pic] (17)
С учетом равенств (16) и (17) соотношение (15) принимает вид:
[pic] (18)

При ненулевом векторе [pic]  последние  две  строки  матрицы  А  могут  быть
выбраны так, чтобы  компоненты  [pic]  и  [pic]  принимали  любые  требуемые
значения, лишь  бы  [pic]  и  [pic]не  обращались  в  нуль  одновременно.  В
частности, нижние строки матрицы А можно выбрать из условия [pic]. При  этом
из соотношения (11) следует, что [pic]. Аналогичным образом,  нижние  строки
матрицы А можно выбрать так, чтобы выполнялись равенства [pic]. При этом  из
соотношения (11) вытекает, что [pic].  Таким  образом,  задача,  сопряженная
задаче [pic](19)

имеет вид:

[pic] (20)

где [pic] и [pic] связаны с компонентами [pic]  вектора  [pic]  соотношением
(14). Краевая задача (19) называется самосопряженной тогда и  только  тогда,
когда [pic]и каждая из  двух  компонент  [pic]  и  [pic]  является  линейной
комбинацией [pic] и [pic], т.е. [pic]пропорциональна [pic].

Один из определителей:

[pic]

матриц-блоков

[pic]

должен  быть  отличным  от  нуля.  Чтобы  иметь  возможность  сравнить   эти
результаты  с  теми.  которые  были   получены   в   предыдущем   параграфе,
предположим. что [pic]. Далее, выберем  такие  [pic]и  [pic],  чтобы  строки
матрицы А были линейно независимы.

Например, положим [pic]и [pic].

При этом матрица А примет вид:

   [pic]         (21).

Из формулы (19) следует, что [pic].

Тогда

[pic] (22)

Подставляя матрицы (20) и (9) в соотношение (14) имеем (14а):

[pic]Следовательно, граничные условия сопряженной задачи имеют вид:

[pic] (22)
[pic]   (23)
Для того, чтобы  краевые  задачи  были  самосопряженными  необходимо,  чтобы
[pic]  и  чтобы  каждая  из  компонент  [pic]  и  [pic]  являлась   линейной
комбинацией [pic] и [pic].  Как  указывалось  выше,  [pic]  тогда  и  только
тогда, когда [pic]. При этом условия (21) и (20)  принимают вид:
[pic] (24)
Разрешая равенства относительно [pic] и [pic] при [pic] и заменяя  [pic]  на
[pic], получаем:
[pic]       (25)
Сравнивая граничные условия (24) и (25), заключаем, что они совпадают  тогда
и только тогда, когда:

[pic]            (26)

Краевая  задача  при  [pic]  самосопряжена  тогда  и  только  тогда,   когда
выполнены соотношения (24) и равенство [pic].

                            Условие разрешимости.

Определив  сопряженную  краевую  задачу,  вернемся  к  решению  неоднородной
задачи. Используя определение (25), перепишем формулу Грина в виде:

[pic] (27)

[pic],

тогда из соотношения (27) вытекает, что условие разрешимости имеет вид:



[pic]       (27)

Для того, чтобы сравнить условие (27) с  условием  разрешимости,  используем
связь [pic] и [pic] с вектором [pic], описываемую формулой (14а) т.е.:

[pic] (28)

При этом соотношение (27) принимает вид:

[pic]

Если иметь дело с граничными условиями общего  вида  можно  выразить  какие-
либо два из граничных значений через два других.