Дзета-функция Римана

Министерство образования Российской Федерации
                 Ставропольский Государственный университет
                       Кафедра математического анализа



           Курсовая работа на тему     :

                           «Дзета-функция Римана»



                                          Выполнил: студент  2го курса ФМФ
                                          группы «Б» Симонян Сергей
                                          Олегович



                             Ставрополь, 2004 г.
                                  Введение.

      Функция  –  одно  из  основных  понятий  во  всех   естественнонаучных
дисциплинах. Не случайно ещё  в  средней  школе  дети  получают  интуитивное
представление  об  этом  понятии.  Со  школьной  скамьи  наш  багаж   знаний
пополняется  сведениями  о  таких  функциях  как   линейная,   квадратичная,
степенная,  показательная,  тригонометрические  и  других.  В  курсе  высшей
математики круг известных функций значительно расширяется. Сюда  добавляются
интегральные и гиперболические функции, эйлеровы интегралы (гамма-  и  бета-
функции), тета-функции, функции Якоби и многие другие.
      Что же такое функция? Строгого определения для неё не существует.  Это
понятие является в  математике  первичным,  аксиоматизируется.  Однако,  под
функцией понимают закон, правило, по  которому  каждому  элементу  какого-то
множества X ставится в соответствие один или несколько  элементов  множества
Y. Элементы множества X называются аргументами, а множества Y  –  значениями
функции.  Если  каждому  аргументу  соответствует  одно  значение,   функция
называется однозначной, если  более  одного  –  то  многозначной.  Синонимом
функции является термин  «отображение».  В  простейшем  случае  множество  X
может быть подмножеством поля действительных  R  или  комплексных  C  чисел.
Тогда функция  называется  числовой.  Нам  будут  встречаться  только  такие
отображения.
      Функции могут быть заданы  многими  различными  способами:  словесным,
графическим, с помощью формулы. Функция, которую мы  будем  рассматривать  в
этой  работе,  задаётся  через  бесконечный  ряд.  Но,  несмотря  на   такое
нестандартное определение, по своему представлению в  виде  ряда  она  может
быть  хорошо  изучена  методами  теории  рядов  и  плодотворно  применена  к
различным теоретическим и прикладным вопросам математики  и  смежных  с  ней
наук.
      Конечно же, речь  идёт  о  знаменитой  дзета-функции  Римана,  имеющей
широчайшие применения в теории  чисел.  Впервые  ввёл  её  в  науку  великий
швейцарский математик и механик Леонард Эйлер и получил многие её  свойства.
Далее активно занимался изучением дзета-функции немецкий математик  Бернгард
Риман. В честь него она получила  своё  название,  так  как  он  опубликовал
несколько исключительно выдающихся работ, посвящённых этой  функции.  В  них
он распространил  дзета-функцию  на  область  комплексных  чисел,  нашёл  её
аналитическое продолжение,  исследовал  количество  простых  чисел,  меньших
заданного числа, дал точную формулу для нахождения этого  числа  с  участием
функции  [pic]  и  высказал  свою  гипотезу  о  нулях   дзета-функции,   над
доказательством или опровержением которой безрезультатно бьются  лучшие  умы
человечества уже почти 150 лет.
       Научная общественность считала и считает решение этой проблемы  одной
из приоритетных задач. Так  Давид  Гильберт,  выступавший  на  Международной
Парижской  математической  конференции  1900  году  с   подведением   итогов
развития науки и рассмотрением планов на будущее, включил гипотезу Римана  в
список  23  проблем,  подлежащих  решению  в  новом  столетии  и   способных
продвинуть науку далеко вперёд. А на рубеже веков, в 2000 году  американский
The Clay Mathematics Institute назвал  семь  задач,  за  решение  каждой  из
которых будет выплачен 1 миллион долларов. В их число также попала  гипотеза
Римана.
      Таким образом, даже бы поверхностное знакомство с дзета-функцией будет
и интересным, и полезным.



                                  Глава 1.

      Итак, приступим к изучению  этой  важной  и  интересной  дзета-функции
Римана. В данной главе мы получим некоторые свойства функции в  вещественной
области, исходя из её определения с помощью ряда.
      Определение. Дзета-функцией  Римана  ?(s)  называют  функцию,  которая
любому действительному числу s ставит в соответствие сумму ряда
      [pic]
                                    (1)
если она существует.
      Основной характеристикой любой функции является  область  определения.
Найдём её для нашей функции.
      Пусть  сначала  s?0,  тогда  s=-t,   где   t   принадлежит   множеству
неотрицательных действительных чисел R+[pic]{0}. В этом случае [pic]  и  ряд
(1) обращается в ряд [pic], который, очевидно, расходится как при  t>0,  так
и при t=0. То есть значения s?0 не входят в область определения функции.
      Теперь пусть s>0. Для исследования сходимости ряда  (1)  воспользуемся
интегральным признаком Коши. При каждом  s  рассмотрим  функцию  [pic],  где
[pic],  которая  является  на  промежутке   непрерывной,   положительной   и
монотонно убывающей. Возникает три различных возможности:
           1) 01.   В   этом    случае     [pic]
[pic]. Ряд (1) сходится.
      Обобщив результаты, находим,  что  область  определения  дзета-функции
есть промежуток [pic]. На этом промежутке функция оказывается непрерывной  и
дифференцируемой бесконечное число раз.
      Докажем непрерывность функции ?(s)  на  области  определения.  Возьмём
произвольное число s0>1. Перепишем ряд (1)  в  виде  [pic].  Как  было  выше
показано, ряд [pic] сходится, а функции [pic] при s>s0 монотонно  убывают  и
все вместе ограничены единицей. Значит, по признаку Абеля для s>s0  ряд  (1)
сходится   равномерно.   Используя    теорему    о    непрерывности    суммы
функционального  ряда,  получаем,  что  в  любой  точке  s>s0  дзета-функция
непрерывна.  Ввиду  произвольности  s0  ?(s)  непрерывна  на  всей   области
определения.
      Теперь почленным дифференцированием ряда (1), пока  формально,  найдём
производную дзета-функции Римана:
      [pic]
                               (2).
Чтобы оправдать этот результат, достаточно удостовериться  в  том,  что  ряд
(2) равномерно сходится на промежутке [pic]  и  воспользоваться  теоремой  о
дифференцировании рядов. Используем тот же приём. Зафиксируем любое  s0>1  и
представим ряд (2) в виде [pic] для s>s0. Множители [pic],  начиная  с  n=2,
монотонно убывают, оставаясь ограниченными числом ln 2. Поэтому по  признаку
Абеля ряд (2) сходится равномерно при s>s0, а значит и при любом s>1.  Какое
бы значение s>1 ни взять его  можно  заключить  между  [pic]  и  [pic],  где
[pic], а [pic]; к промежутку [pic] применима вышеуказанная теорема.
      Таким же путём  можно  убедиться  в  существовании  для  дзета-функции
производных всех порядков и получить их выражения в виде рядов:
      [pic].
      Попытаемся построить наглядное изображение функции в виде графика. Для
этого изучим сначала её поведение на бесконечности  и  в  окрестности  точки
s=1.
      В первом случае, ввиду равномерной сходимости ряда (1), по  теореме  о
почленном переходе к пределу, имеем [pic]. При  n=1  предел  равен  единице,
остальные пределы равны нулю. Поэтому [pic].
      Чтобы исследовать  случай  [pic],  докажем  некоторые  вспомогательные
оценки.
       Во-первых, известно, что если для ряда [pic] существует  непрерывная,
положительная, монотонно убывающая функция [pic], определённая на  множестве
[pic], такая, что [pic],  и  имеет  первообразную  [pic],  то  остаток  ряда
оценивается   так: [pic], где [pic].   Применяя   вышесказанное    к    ряду
(1),   найдём,  что   необходимая  функция
[pic], а [pic] и [pic]. Отсюда, подставляя в двойное неравенство, имеем
      [pic]                                                             (3).
В левом неравенстве положим n=0, тогда [pic], то есть  [pic].  В  правом  же
возьмём n=1 и получим [pic], далее [pic], [pic] и, наконец, [pic].  Переходя
в неравенствах [pic] к пределу при [pic], находим [pic].
      Отсюда, в частности, следует, что [pic]. Действительно, положим [pic].
Тогда [pic], то есть [pic] [pic]. Поэтому  [pic].  Из  того,  что  [pic],  а
[pic], вытекает доказываемое утверждение.
      Можно,  однако,  получить  ещё  более  точный  результат  для   оценки
поведения  дзета-функции  в  окрестности  единицы,  чем  приведённые   выше,
принадлежащий Дирихле. Будем отталкиваться от очевидного при произвольном  n
равенства [pic]. Прибавим ко  всем  частям  неравенств  (3)  сумму  [pic]  и
вычтем [pic]. Имеем [pic]. Пусть здесь s стремится  к  единице.  По  правилу
Лопиталя легко вычислить [pic] и [pic]. Мы  пока  не  знаем,  существует  ли
предел выражения [pic] при [pic],  поэтому,  воспользовавшись  наибольшим  и
наименьшим пределами, напишем неравенства так: [pic]
[pic]. Ввиду произвольности n возьмём [pic]. Первое  и  последнее  выражения
стремятся  к  эйлеровой  постоянной  C  (C[pic]0,577).  Значит   [pic],   а,
следовательно, существует и обычный предел и [pic].
        Найденные  выше  пределы  позволяют  получить  лишь  приблизительное
представление о виде  графика  дзета-функции.  Сейчас  мы  выведем  формулу,
которая  даст  возможность  нанести  на  координатную  плоскость  конкретные
точки, а именно, определим значения [pic], где k – натуральное число.
      Возьмём известное разложение  [pic],  где  [pic]  -  знаменитые  числа
Бернулли  (по  сути,  через  него  эти  числа  и  определяются).   Перенесём
слагаемое  [pic]   в   левую   часть   равенства.   Слева   получаем   [pic]
[pic]cth[pic], а в правой части - [pic],  то  есть  [pic]cth[pic].  Заменяем
[pic] на [pic], получаем [pic]cth[pic].
      С  другой  стороны,  существует  равенство   cth[pic],   из   которого
[pic]cth[pic]. Подстановкой [pic] вместо [pic] находим [pic]cth[pic]  [pic].
Если [pic], то для любого  [pic]N  [pic]  [pic]  и  по  теореме  о  сложении
бесконечного множества степенных рядов [pic]cth[pic] [pic].
      Приравняем полученные разложения: [pic]
 [pic], следовательно [pic]. Отсюда немедленно следует искомая формула
                                                                       [pic]
                      (4), где [pic] - k-е число Бернулли. Она  удобна  тем,
что эти числа хорошо изучены и для них составлены обширные таблицы.
      Теперь,  исходя  из  полученных  результатов,  можно  построить  эскиз
графика дзета-функции Римана, достаточно хорошо отражающий её  поведение  на
всей области определения.
      [pic]
      Леонард   Эйлер,   впервые   рассмотревший   дзета-функцию,    получил
замечательное разложение её в бесконечное произведение, которое иногда  тоже
принимают за определение:
      [pic],       где       pi       –       i-е       простое        число
       (4).
      Докажем тождественность ряда (1) и произведения (4). Вспомнив  формулу
суммы геометрической прогрессии, получаем равенство [pic]
[pic] Если перемножить конечное число таких рядов, отвечающих  всем  простым
числам, не превосходящим заданного натурального  числа  N,  то  получившееся
частичное  произведение  окажется  равным    [pic],   где      символ      *
означает,     что    суммирование распространяется  не  на  все  натуральные
числа, а лишь на те из них (не считая единицы), которые в  своём  разложении
содержат только простые числа меньшие N. Так как первые N натуральных  чисел
этим свойством обладают, то
      [pic]
     (5).
Сумма [pic] содержит не все числа, большие N+1,  поэтому,  очевидно,  [pic].
Из (5) получаем
      [pic]
(6).
Ввиду сходимости ряда (1),  выражение  справа,  представляющее  его  остаток
после N-го члена, стремится к нулю при  N  стремящимся  к  бесконечности,  а
[pic] есть произведение (4). Значит из неравенства при [pic]  [pic],  что  и
требовалось доказать.
      Формула  (4)  важна  потому,  что  она  связывает   натуральный   ряд,
представленный множеством значений аргумента  дзета-функции,  со  множеством
простых чисел. Ещё один шаг в этом направлении мы сделаем, оценив  [pic],  а
именно показав, что [pic], где [pic] остаётся ограниченным при [pic].
      Из (4) следует, что [pic], где [pic]N,  а  [pic]  при  [pic].  Возьмём
логарифм  от  обеих  частей  равенства,  тогда  [pic]   [pic].   Натуральные
логарифмы под  знаком  суммы  разлагаются  в  ряд:  [pic]  [pic].  Подставив
полученные разложения в  равенство  и  устремив  N  к  бесконечности,  имеем
[pic]. Остаётся доказать ограниченность  последнего  слагаемого.  Ясно,  что
[pic].  Последнее  равенство  справедливо,   так  как  [pic]  [pic].  Далее,
очевидно, [pic], что и завершает доказательство.
      На  этом  закончим  изложение   свойств   дзета-функции   Римана   для
действительного аргумента, так как  наибольший  теоретический  и  прикладной
интерес представляет  случай изложенный во второй главе.



                                  Глава 2.

      Все результаты первой главы,  касающиеся  дзета-функции  Римана,  были
получены в предположении, что её аргумент s – действительное число.  Однако,
самые выдающиеся  исследования  и  многочисленные  важные  приложения  стали
возможны лишь после включения  в  область  определения  функции  комплексных
чисел.  Впервые  рассмотрел  дзета-функцию  как  функцию  мнимого  аргумента
немецкий математик Бернгард Риман, глубоко изучивший её  свойства  и  широко
применявший её в теории чисел. В честь него функция получила своё название.
      Для комплексной дзета-функции остаётся в силе  определение,  данное  в
главе 1, с тем лишь изменением,  что  теперь  там  будет  [pic]C.  Возникает
необходимость  найти  новую  область  определения.  С  этой  целью   докажем
следующее утверждение: в полуплоскости  [pic]  ([pic]  действительная  часть
числа x) ряд
      [pic]
                                              (1) сходится абсолютно.
      Пусть [pic]. Подсчитаем абсолютные величины членов  ряда  (1),  [pic].
Первый множитель содержит только вещественные числа и [pic], так как  [pic].
Ко  второму  же  множителю  применим  знаменитую  формулу  Эйлера,   получим
[pic][pic]. Значит, [pic].  Ввиду  сходимости  ряда  [pic]  при  ?>1,  имеем
абсолютную сходимость ряда (1).
      На своей области определения дзета-функция аналитична.  Действительно,
при всяком q>0 и фиксированном ?>1+q, числовой ряд [pic] мажорирует  ряд  из
абсолютных величин  [pic],  где  [pic],  откуда,  по  теореме  Вейерштрасса,
следует  равномерная  сходимость  ряда   в  полуплоскости  [pic].  Сумма  же
равномерно  сходящегося  ряда  из  аналитических   функций   сама   является
аналитической функцией.
      Нетрудно показать, что все полученные для  дзета-функции  формулы  без
изменений  переносятся  на  случай  комплексного  аргумента.  Доказательства
претерпевают  незначительные  преобразования,  связанные   с   переходом   к
абсолютным величинам.
      В связи с этим замечанием становится возможным использовать разложение
дзета-функции в произведение [pic], где s теперь  любое  комплексное  число,
такое, что [pic]. Применим его к доказательству отсутствия у  функции  [pic]
корней.
      Оценим величину [pic], используя свойство модуля [pic]: [pic], где как
обычно [pic]. Так как  [pic],  то  [pic],  а  [pic],  следовательно,  дзета-
функция в нуль не обращается.
      Вопрос о  нулях  дзета-функции,  а  также  другие  прикладные  вопросы
получают новые широкие возможности для исследования, если распространить  её
на всю комплексную плоскость. Поэтому, сейчас мы одним из  многих  возможных
способов  найдём  аналитическое  продолжение  дзета-функции  и  выведем   её
функциональное уравнение, характеризующее и  однозначно определяющее [pic].
      Для этого нам понадобится формула
      [pic]  (2), которая выводится следующим  образом.  Используя  свойства
интегралов можно записать [pic]. Для  любого  d  при  [pic]  [pic],   значит
[pic] и [pic], а [pic]. [pic]. Следовательно, [pic]  [pic]  [pic][pic][pic].
Интеграл [pic]  можно  найти  интегрированием  по  частям,  принимая  [pic],
[pic]; тогда [pic], а [pic]. В  результате  [pic]  [pic].  Вычтем  из  этого
интеграла предыдущий и получим [pic], отсюда легко следует равенство (2).
      Теперь положим в (2) [pic], [pic], a и b – целые положительные  числа.
Тогда [pic]  [pic].  Пусть  сначала  [pic],  примем  a=1,  а  b  устремим  к
бесконечности. Получим [pic]. Прибавим по единице в обе части равенств:
      [pic]
      (3).
      Выражение [pic] является ограниченным, так как [pic], а функция  [pic]
абсолютно интегрируема на промежутке [pic] при [pic],  то  есть  при  [pic],
[pic].  Значит,  интеграл  [pic]  абсолютно  сходится  при   [pic],   причём
равномерно в любой конечной области, лежащей в комплексной плоскости  справа
от прямой [pic]. Тем самым он определяет  аналитическую  функцию  переменной
s, регулярную при [pic]. Поэтому правая  часть  равенства  (3)  представляет
собой аналитическое  продолжение  дзета-функции  на  полуплоскость  [pic]  и
имеет там лишь один простой полюс в точке [pic] с вычетом, равным единице.
      Для [pic] можно преобразовать выражение (3) дзета-функции.  При  [pic]
имеем [pic], значит, [pic] и[pic]. Теперь при [pic] (3) может быть  записано
в виде [pic].
      Немного   более  сложными  рассуждениями  можно   установить,  что   в
действительности  (3)  даёт  аналитическое  продолжение   дзета-функции   на
полуплоскость [pic]. Положим [pic], а [pic], то  есть  [pic]   первообразная
для [pic]. [pic] ограничена, так как [pic], а интеграл [pic] [pic]  и  [pic]
[pic] ограничен из-за того, что [pic]. Рассмотрим интеграл [pic]  при  x1>x2
и [pic]. Проинтегрируем его по частям, приняв [pic], [pic], тогда  [pic],  а
по указанному выше утверждению [pic]. Получаем [pic] [pic].  Возьмём  [pic],
а [pic]. Имеем [pic], [pic],  потому  что   [pic]   является    ограниченной
функцией.   Значит,
                                                                       [pic]
       (4).
      Пользуясь  абсолютной  сходимостью  интеграла  [pic],  если  [pic],  и
ограниченностью функции [pic], делаем вывод, что  в  левой  части  равенства
(4) интеграл тоже сходится при [pic]. Значит формулой (3)  можно  продолжить
дзета-функцию и на полуплоскость правее прямой [pic].
      Нетрудно установить, что для отрицательных [pic] [pic], поэтому из (3)
имеем
      [pic]
                      (5) при [pic].
      Из теории рядов Фурье известно, что для нецелых значений x справедливо
разложение в ряд
      [pic]
                   (6).

Подставим его в равенство (5) и проинтегрируем ряд почленно:
[pic]. Сделаем в полученном  интеграле  подстановку  [pic],  отсюда  следует
[pic], а [pic], и получим далее [pic]. Известно,  что  [pic]  [pic],  значит
[pic] [pic]. Из известного соотношения для гамма-функции [pic],  по  формуле
дополнения [pic], следовательно [pic] [pic]
      Итак, мы получили функциональное уравнение дзета-функции Римана
      [pic]
   (7),
которое само по себе может служить средством изучения этой функции, так  как
вполне характеризует её, в том  смысле,  что  любая  другая  функция  [pic],
удовлетворяющая равенству (7), а также ещё некоторым естественным  условиям,
тождественна с [pic].
      Пока, правда, как следует из рассуждений, мы доказали формулу (7)  для
[pic]. Однако правая часть этого равенства является  аналитической  функцией
s и при [pic]. Это показывает, что  дзета-функция  может  быть  аналитически
продолжена на всю комплексную плоскость, причём  не  имеет  на  ней  никаких
особенностей, кроме упоминавшегося полюса при [pic].
      Чтобы доказательство было строгим, мы должны ещё обосновать  почленное
интегрирование. Поскольку ряд (6)  сходится  почти  всюду  и  его  частичные
суммы остаются ограниченными, почленное  интегрирование  на  любом  конечном
отрезке допустимо. Ввиду [pic] [pic] для любого  [pic],  остаётся  доказать,
что [pic] [pic] при [pic].  Но  интегрируя  внутренний  интеграл  по  частям
имеем [pic]
[pic]. Отсюда без труда получается наше утверждение.
      Функциональное уравнение дзета-функции (7) может быть записано многими
способами. Например, заменим s на 1-s, получаем равносильное равенство
      [pic]
      (8). Из него можно получить два небольших следствия.
      Подставим в (8) вместо s число 2m, где m –  натуральное  число.  Имеем
[pic]. По формуле (4) первой главы [pic] [pic], а  [pic],  поэтому  [pic]  и
произведя в правой  части  все  сокращения,  учитывая,  что  [pic],  получим
[pic].
      Покажем ещё, что [pic].  Для  этого  прологарифмируем  равенство  (8):
[pic]  [pic] и результат продифференцируем [pic] [pic]. В окрестности  точки
s=1  [pic],  [pic]  [pic],  [pic],  где  С  –  постоянная  Эйлера,  а  k   –
произвольная постоянная.  Следовательно,  устремляя  s  к  единице,  получим
[pic], то есть [pic]. Опять из формулы (4) главы 1 при  k=0  [pic],  значит,
действительно, [pic].



                                  Глава 3.

      Как уже  было  сказано,  дзета-функция  Римана  широко  применяется  в
математическом анализе. Однако  наиболее  полно  важность  её  выявляется  в
теории чисел, где она оказывает неоценимую помощь в  изучении  распределения
простых чисел в  натуральном  ряду.  К  сожалению,  рассказ  о  серьезных  и
нетривиальных  применениях  дзета-функции  Римана  выходит  за  рамки   этой
работы. Но чтобы хотя бы немного представить мощь этой  функции,  докажем  с
её помощью несколько интересных утверждений.
      Например,  известно,  что  простых  чисел  бесконечно   много.   Самое
знаменитое элементарное доказательство принадлежит Евклиду.  Оно  состоит  в
следующем.  Предположим,  что  существует  конечное  число  простых   чисел,
обозначим их p1, p2, … , pn. Рассмотрим число p1p2…pn+1, оно не  делится  ни
на одно из простых и не совпадает ни  с  одним  из  них,  то  есть  является
простым числом, отличным от вышеуказанных, что  противоречит  предположению.
Значит, количество простых чисел не может быть конечным.
      Другое доказательство этого факта,  использующее  дзета-функцию,  было
дано Эйлером. Рассмотрим данное  в  первой  главе  равенство  (5)  при  s=1,
получим [pic], отсюда [pic] и ввиду расходимости гармонического ряда,  имеем
при [pic]
      [pic]
                         (1).  Если  бы  количество   простых   чисел   было
конечным, то и это произведение имело конечное значение. Однако,  полученный
результат свидетельствует об обратном. Доказательство завершено.
      Теперь перепишем (1) в виде [pic]. Опираясь на  теорему  о  сходимости
бесконечного произведения, из расходимости  предыдущего  делаем  вывод,  что
ряд [pic] расходится. Это предложение даёт  некоторую  характеристику  роста
простых  чисел.  Подчеркнём,  что  оно   гораздо   сильнее   утверждения   о
расходимости гармонического ряда, так как здесь речь идёт лишь о  части  его
членов, тем более что  в  натуральном  ряде  имеются  сколь  угодно  длинные
промежутки без простых чисел, например: [pic], [pic], … , [pic].
      Несмотря  на  свою  простоту  приведённые  выше  предложения  важны  в
концептуальном плане, так как они начинают череду исследований всё  более  и
более глубоких свойств ряда  простых  чисел,  которая  продолжается  по  сей
день. Первоначально, основной целью изучения дзета-функции как  раз  и  было
исследование  функции  [pic],  то   есть   количества   простых   чисел   не
превосходящих x. В качестве примера формулы, связывающей [pic] и  [pic],  мы
сейчас получим равенство
      [pic]
                    (2).
      Сначала воспользуемся разложением дзета-функции в произведение: [pic].
Из логарифмического ряда [pic], учитывая, что [pic], приходим к  ряду  [pic]
[pic]. Значит, [pic].
      Теперь вычислим интеграл в правой части (2). Так как при [pic]  [pic],
то [pic]. Во внутреннем  интеграле  положим  [pic],  тогда  [pic]  и  [pic],
отсюда [pic].В промежутке интегрирования  [pic],  поэтому  верно  разложение
[pic] и [pic] [pic]. Получаем [pic] [pic]. Теперь [pic]  [pic]  [pic].  Если
сравнить полученное значение интеграла с рядом для  [pic],  то  увидим,  что
они тождественны и равенство (2) доказано.
      Используем формулу (2) для  доказательства  одной  очень  серьёзной  и
важной  теоремы,  а  именно  получим  асимптотический  закон   распределения
простых чисел, то есть покажем, что [pic].
      В качестве исторической справки отмечу, что великий немецкий математик
Карл  Фридрих  Гаусс  эмпирически  установил  эту   закономерность   ещё   в
пятнадцатилетнем  возрасте,  когда  ему  подарили   сборник   математических
таблиц, содержащий таблицу простых чисел и таблицу натуральных логарифмов.
      Для доказательства возьмём формулу  (2)  и  попытаемся  разрешить  это
уравнение относительно [pic], то  есть  обратить  интеграл.  Сделаем  это  с
помощью формулы обращения Меллина  следующим  образом.  Пусть  [pic]  [pic].
Тогда
      [pic]
                 (3). Этот интеграл имеет нужную форму, а [pic] не  повлияет
на асимптотику [pic]. Действительно,  так  как  [pic],  интеграл  для  [pic]
сходится  равномерно  в  полуплоскости  [pic],  что   легко   обнаруживается
сравнением с интегралом [pic]. Следовательно, [pic] регулярна  и  ограничена
в полуплоскости [pic]. То же самое справедливо  и  относительно  [pic],  так
как [pic] [pic].
      Мы могли бы уже применить формулу Меллина, но  тогда  было  бы  весьма
затруднительно  выполнить   интегрирование.   Поэтому   прежде   преобразуем
равенство  (3)  следующим  образом.  Дифференцируя  по  s,  получаем  [pic].
Обозначим левую часть через [pic] и положим [pic], [pic],  ([pic],  [pic]  и
[pic] полагаем  равными  нулю  при  [pic]).  Тогда,  интегрируя  по  частям,
находим [pic] при [pic], или [pic].
      Но [pic] непрерывна и имеет ограниченную вариацию  на  любом  конечном
интервале,  а  так  как  [pic],  то   [pic]   ([pic])   и   [pic]   ([pic]).
Следовательно, [pic] абсолютно интегрируема  на  [pic]  при  [pic].  Поэтому
[pic] при [pic], или [pic] при [pic].  Интеграл  в  правой  части  абсолютно
сходится, так как [pic] ограниченна при  [pic],  вне  некоторой  окрестности
точки [pic]. В окрестности [pic] [pic] и можно  положить  [pic],  где  [pic]
ограниченна при [pic], [pic] и  имеет  логарифмический  порядок  при  [pic].
Далее, [pic] [pic].  Первый  член  равен  сумме  вычетов  в  особых  точках,
расположенных слева от прямой [pic], то есть [pic]. Во  втором  члене  можно
положить  [pic],  так  как  [pic]  имеет  при  [pic]  лишь   логарифмическую
особенность. Следовательно, [pic]. Последний интеграл стремится к  нулю  при
[pic]. Значит,
      [pic]
                                          (4).
Чтобы перейти обратно к [pic], используем следующую лемму.
      Пусть [pic] положительна и не убывает и пусть при [pic]  [pic].  Тогда
[pic].
      Действительно, если [pic] - данное положительное число, то [pic] [pic]
([pic]). Отсюда получаем для любого [pic] [pic] [pic]. Но так как  [pic]  не
убывает, то [pic]. Следовательно, [pic]. Полагая, например, [pic],  получаем
[pic].
      Аналогично, рассматривая [pic], получаем [pic], значит  [pic],  что  и
требовалось доказать.
      Применяя лемму, из (4)  имеем,  что  [pic],  [pic],  поэтому  [pic]  и
теорема доказана.
      Для ознакомления с более глубокими результатами  теории  дзета-функции
Римана  могу  отослать  заинтересованного  читателя  к  прилагаемому  списку
использованной литературы.



                      Список использованной литературы.



   1. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. Череповец, 2000 г.
   2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления,
      том II. М.,1970 г.
   3. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.
      М.,1999 г.
   4. Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию
      чисел. М.,1987 г.
   5. Шафаревич З.А. Теория чисел. М.,1986г.