Диспут и формула Кардано




                                   Диспут


                               Формула Кардано



                                                                   Мостового
                                                                     Кирилла



                                  г. Одесса
                                    1999г


                                   Диспут

      Диспуты в средние века всегда представляли собой  интересное  зрелище,
привлекавшие праздных горожан  от  мала  до  велика.  Темы  диспутов  носили
разнообразный  характер,  но  обязательно  научный.  При  этом  под   наукой
понимали то, что входило в перечень так называемых семи  свободных  искусств
было, конечно, и богословие. Богословские  диспуты  были  наиболее  частыми.
Спорили обо всем. Например, о том , приобщать ли мышь к духу  святому,  если
съест причастие,  могла  ли  Кумская  сивилла  предсказать  рождение  Иисуса
Христа, почему братья и сестры спасителя не причислены к лику  святых  и  т.
д.
      О споре, который должен был произойти между прославленным  математиком
и не менее прославленным врачом, высказывались  лишь  самые  общие  догадки,
так как толком никто ничего не знал.  Говорили,  что  один  из  них  обманул
другого (кто именно и кого именно, неизвестно). Почти все те, кто  собрались
на площади имели о математике  самые  смутные  представления,  но  каждый  с
нетерпением ожидал начала диспута. Это всегда  было  интересно,  можно  было
посмеяться над неудачником, независимо от того, прав он или нет.
      Когда часы на ратуше пробили пять, врата широко распахнулись, и  толпа
бросилась внутрь собора. По обе стороны от осевой линии, соединяющей вход  с
алтарем, у  двух  боковых  колонн  были  воздвигнуты  две  высокие  кафедры,
предназначенные для спорщиков.  Присутствующие  громко  шумели,  не  обращая
никакого внимания на то, что находились в церкви.  Наконец,  перед  железной
решеткой,  отделявшей  иконостас  от  остальной  части  центрального   нефа,
появился  городской  глашатай  в  черно-фиолетовом  плаще  и   провозгласил:
«Достославные граждане города Милана! Сейчас перед вами выступит  знаменитый
математик Никколо Тарталья  из  Брении.  Его  противником  должен  был  быть
математик и врач Джеронимо Кардано.  Никколо  Тарталья  обвиняет  Кардано  в
том, что последней в своей книге  «Ars  magna»  опубликовал  способ  решения
уравнения 3-Й степени, принадлежащий ему, Тарталье. Однако  сам  Кардано  на
диспут прийти не смог и  поэтому  прислал  своего  ученика  Луидже  Феррари.
Итак, диспут объявляется открытым, участники его приглашаются  на  кафедры».
На левую от входа кафедру поднялся  неловкий  человек  с  горбатым  носом  и
курчавой  бородой,  а  на  противополжную  кафедру  взошел  молодой  человек
двадцати с небольшим лет,  с  красивым  самоуверенным  лицом.  Во  всей  его
манере держаться сказывалась полная уверенность в том, что каждый  его  жест
и каждое его слово будут приняты с восторгом.
Начал Тарталья.
 -  Уважаемые господа! Вам известно, что 13 лет  назад  мне  удалось  найти
   способ решения уравнения 3-й степени и тогда я, пользуясь этим способом,
   одержал победу в диспуте с Фиори. Мой  способ  привлек  внимание  вашего
   согражданина Кардано, и он приложил всё своё хитроумное искусство, чтобы
   выведать у меня секрет. Он не остановился ни  перед  обманом,  ни  перед
   прямым подлогом. Вы знаете также, что 3 года  назад  в  Нюрнберге  вышла
   книга Кардано о  правилах  алгебры,  где  мой  способ,  так  бессовестно
   выкраденный, был сделан достоянием  каждого.  Я  вызвал  Кардано  и  его
   ученика на состязание. Я предложил решить 31  задачу,  столько  же  было
   предложено и мне моими противниками.  Был  определен  срок  для  решения
   задач – 15 дней. Мне удалось за 7 дней решить большую часть  тех  задач,
   которые были составлены Кардано и Феррари. Я напечатал  их  и  послал  с
   курьером в Милан. Однако мне пришлось ждать целых пять месяцев,  пока  я
   получил ответы к своим задачам. Они были решены не правильно. Это и дало
   мне основание вызвать обоих на публичный диспут.
Тарталья замолчал.  Молодой  человек,  посмотрев  на  несчастного  Тарталью,
произнес:
 - Уважаемые господа! Мой достойный противник  позволил  себе  в  первых  же
   словах своего выступления высказать столько клеветы в мой адрес и в адрес
   моего учителя, его аргументация была столь голословной, что мне  едва  ли
   доставит   какой-либо   труд   опровергнуть   первое   и   показать   вам
   несостоятельность второго.  Прежде всего, о каком обмане может идти речь,
   если Никколо Тарталья совершенно добровольно поделился своим способом   с
   нами обоими? И вот как пишет Джеронимо Кардано о роли моего противника  в
   открытии алгебраического правила. Он говорит, что  не  ему,  Кардано,  «а
   моему другу Тарталье принадлежит  честь  открытия  такого  прекрасного  и
   удивительного,  превосходящего  человеческое  остроумие  и  все   таланты
   человеческого духа. Это открытие  есть  по  истине  небесный  дар,  такое
   прекрасное доказательство силы ума, его постигнувшего, что уже  ничто  не
   может считаться для него недостижимым.»
 - Мой противник обвинил меня и моего учителя в том, что мы будто бы дали не
   верное решение его задач. Но как может быть  неверным  корень  уравнения,
   если подставляя его в  уравнение  и  выполняя  все  предписанные  в  этом
   уравнении действия, мы приходим к тождеству? И уже если  сеньор  Тарталья
   хочет быть последовательным, то он  должен  был  ответить  на  замечание,
   почему мы, укравшие, но его словами, его изобретение и использовавши  его
   для решения предложенных задач,  получили  неверное  решение.  Мы  –  мой
   учитель и я – не считаем, однако изобретение синьора Тартальи маловажным.
   Это изобретение замечательно. Более того, я, опираясь в значительной мере
   на него, нашел способ решения уравнения 4-й степени, и в «Ars magna»  мой
   учитель говорит об этом. Что же хочет от нас  сеньор  Тарталья?  Чего  он
   добивается диспутом?
 - Господа, господа, - закричал Тарталья, - я прошу вас выслушать меня! Я не
   отрицаю  того,  что  мой  молодой  противник  очень  силен  в  логике   и
   красноречии.   Но   этим   нельзя   заменить   истинное    математическое
   доказательство. Задачи, которые  я  дал  Кардано  и  Феррари,  решены  не
   правильно, но и я докажу это. Действительно, возьмем, например, уравнение
   из числа решавшихся. Оно, как известно …
      В церкви поднялся невообразимый шум, поглотивший  полностью  окончание
фразы, начатой незадачливым математиком.  Ему  не  дали  продолжать.  Толпа,
требовала от него, чтобы он замолчал, и  чтобы  очередь  была  предоставлена
Феррари.  Тарталья,  видя,  что  продолжение  спора  совершенно  бесполезно,
поспешно опустился с кафедры и вышел  через  северный  притвор  на  площадь.
Толпа бурно приветствовала «победителя» диспута Луиджи Феррари.
…Так закончился этот спор, который и сейчас продолжает вызывать все новые  и
новые споры. Кому в действительности принадлежит способ решения уравнения 3-
й степени? Мы говорим сейчас – Никколо  Тарталье.  Он  открыл  ,  а  Кардано
выманил  у  него  это  открытие.  И  если  сейчас   мы   называем   формулу,
представляющую корни уравнения 3-й степени через его коэффициенты,  формулой
Кардано, то это - историческая  несправедливость.  Однако,  несправедливость
ли? Как подсчитать меру участия в открытии  каждого  из  математиков?  Может
быть, со временем кто-то и сможет ответить на этот вопрос совершенно  точно,
а может быть это останется тайной …



                               Формула Кардано


      Если воспользоваться современным математическим языком  и  современной
символикой, то вывод формулы Кардано может быть найден с  помощью  следующих
в высшей степени элементарных соображений:
      Пусть нам дано общее уравнение 3-й степени:

           ax3+3bx2+3cx+d=0                     (1)


Если положить

            [pic]      , то мы приведем уравнение (1) к виду
[pic]                                           (2)

где   [pic] ,
                 [pic] .

Введем новое неизвестное U с помощью равенства
      [pic].
Внося это выражение в (2), получим
      [pic]                           (3)
Отсюда
      [pic]  ,
следовательно
      [pic]
Если числитель  и  знаменатель  второго  слагаемого  умножить  на  выражение
[pic] и учесть,  получающееся  в  результате  выражение  для  u  оказывается
симметричным относительно знаков «+» и «-», то окончательно получим

      [pic].
(Произведение кубических радикалов в последнем равенстве должно равняться  p
).
Это и есть знаменитая формула Кардано. Если перейти  от  y  вновь  к  x,  то
получим формулу, определяющую корень общего уравнения   3-й степени.
      Молодой человек, так безжалостно обошедшийся с Тарталья, разбирался  в
математике столь же легко, как  и  в  правах  неприхотливой  тайны.  Феррари
находит способ решения уравнения 4-й степени. Кардано поместил  этот  способ
в свою книгу. Что же представляет собой этот способ?
      Пусть      [pic]            (1)
– общее уравнение 4-й степени.
Если положить     [pic],
то  уравнение (1) можно привести к виду
                 [pic],                            (2)
где p,q,r – некоторые коэффициенты, зависящие от  a,b,c,d,e.  Легко  видеть,
что это уравнение можно записать в таком виде:
                 [pic] (3)
      В самом деле, достаточно раскрыть скобки, тогда все члены,  содержащие
t, взаимно уничтожается, и мы возвратимся к уравнению (2).
      Выберем параметр t так ,чтобы правая часть уравнения (3)  была  полным
квадратом относительно y. Как известно, необходимым и  достаточным  условием
этого является обращение в нуль  дискриминанта  из  коэффициентов  трехчлена
(относительно y), стоящего справа:
                 [pic]                       (4)
Получили полное кубическое уравнение, которое мы уже  можем  решить.  Найдем
какой либо его корень и внесем его в уравнение (3), теперь примет вид
                 [pic].

Отсюда
                 [pic].
Это квадратное уравнение. Решая его,  можно  найти  корень  уравнения(2),  а
следовательно и (1).
      За 4 месяца до смерти Кардано закончил свою автобиографию, которою  он
напряженно писал весь последний год и которая должна была подвести итог  его
сложной жизни. Он чувствовал приближение смерти. По некоторым сведениям  его
собственный гороскоп связывал его кончину с 75- летием. Он  умер  21сентября
1576г. за 2 дня до годовщины. Имеется версия, что  он  покончил  с  собой  в
ожидании неминуемой смерти или даже  чтобы  подтвердить  гороскоп.  В  любом
случае Кардано – астролог относился к гороскопу серьезно.



                         Замечание о формуле Кардано


Проанализируем формулу для решения уравнения[pic]  в  вещественной  области.
Итак,
 [pic]
При вычислении x нам приходится извлекать  в  начале  квадратный  корень,  а
затем  кубический.  Мы  сможем  извлечь  квадратный  корень,   оставаясь   в
вещественной  области,  если  [pic].   Два   значения   квадратного   корня,
отличающихся  знаком,  фигурируют  в  разных  слагаемых  для   x.   Значения
кубического  корня  в  вещественной   области   единственно   и   получается
единственный вещественный корень x при [pic].  Исследуя  график  кубического
трехчлена [pic],нетрудно убедиться, что он в самом деле  имеет  единственный
вещественный корень при [pic]. При [pic]  имеется  три  вещественных  корня.
При [pic] имеется двукратный вещественный корень и однократный, а при  [pic]
-трехкратный корень x=0.
      Продолжим исследование формулы при [pic]. Оказывается.  Что  если  при
этом уравнение с  целыми  коэффициентами  имеет  целочисленный  корень,  при
вычислении его по формуле могут возникнуть  промежуточные  иррациональности.
Например, уравнение [pic] имеет единственный корень  (вещественный)  –  x=1.
Формула Кардано дает  для этого единственного вещественного корня выражение
            [pic].
Значит,
             [pic].  Но   фактически   любое   доказательство   предполагает
использование того, что это выражение является корнем уравнения [pic].  Если
же  не  угадать  того,  при  преобразовании  будут  возникать   неистребимые
кубические радикалы.
      О проблеме Кардано –  Тартальи  вскоре  забыли.  Формулу  для  решения
кубического уравнения связали с  «Великим  искусством»  и  постепенно  стали
называть формулой Кардано.
      У многих возникало желание восстановить  истинную  картину  событий  в
ситуации, когда их участники несомненно не говорили всей правды. Для  многих
было  важно  установить  степень  вины  Кардано.  К  концу  XIX  века  часть
дискуссий   стала   носить   характер   серьезных    историко-математических
исследований. Математики  поняли,  какую  большую  роль  в  конце  XVI  века
сыграли работы Кардано. Стало ясно  то,  что  еще  раньше  отмечал  Лейбниц:
«Кардано был великим человеком при всех его недостатках; без них он  был  бы
совершенством».