Интеграл Пуассона

                             Интеграл Пуассона.


    Пусть ((x( , g(x) , x(R1 –суммируемые на (-(, (( ,  2(-  периодические,
комплекснозначные функции. Через   f(g(x)  будем обозначать свертку
    [pic]                  f(g(x)  =[pic][pic]dt[pic][pic]   [pic][pic]
    Из теоремы  Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также
суммируема на (-(,(( и
                         cn  (  f(g  )  =  cn  (  f  )(  cn   (   g   )   ,
n = 0, (1 , (2 , ...             ( 1 )

где ( cn ( f )( -- коэффициенты Фурье функции  f ( x ) :
                                 cn     =     [pic]-i      n      tdt      ,
n = 0, ((((((((
    Пусть  ( ((L1 (-((((() . Рассмотрим при  ( ( r (((  функцию
                       (r ( x )  =  [pic]n  (  f  )  r((n  (  ei  n  x    ,
x (((((((((((  ,                  ( 2 )
где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно  по  х  для  любого
фиксированного  r ,  ( ((r ((( . Коэффициенты Фурье функции (r (х( равны
cn ( fr ) = cn ( r( n (( ,    n  =  0  ,  ((((((((((,  а  это  согласно  (1)
значит, что (r ( x ( можно представить в виде свертки :[pic]
                              (r     (     x      )      =      [pic]      ,
                       ( 3 )
где
                           [pic]  ,                                    t   (
(((((((((((                  ( 4 )
          Функция двух переменных  Рr (t) ,   0 (((r((( ,  t (((((((((  (  ,
называется ядром Пуассона ,  а  интеграл (3)  --  интегралом Пуассона .
[pic][pic][pic][pic][pic]
Следовательно,
                     Pr ( t ) = [pic]     ,    0(((r ( ( ,   t ((((((((((  .
                    ( 5 )
Если  (( L( ( -(( ( )  ( действительная функция , то , учитывая , что
c-n  ( f ) =  (cn( f ) , n = 0((((((((((( из соотношения (2) мы получим :

fr ( x ) = [pic]

=[pic]                                                                     ,
   ( 6 )
где
                          F ( z ) = c0 ( f ) +  2  [pic]             (  z  =
reix  )                     ( 7 )
 - аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6)  показывает,  что
   для любой действительной функции (( L1( -(, ( ) интегралом  Пуассона  (3)
   определяется гармоническая в единичном круге функция
                  u ( z ) = (r (eix )  , z = reix    ,  0 (( r (1  ,    x  (
[ -(, ( ] .
При этом гармонически сопряженная  с  u (z)  функция  v (z)  c  v  (0)  =  0
задается формулой
                     v    (z)    =    Im    F    (z)     =     [pic]       .
       ( 8 )
Утверждение1.
Пусть  u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге   (  z  (((((((((
( ((( ( функция  и ( (x) = u (eix) , x(((((, ( ( . Тогда
                  u (z) = [pic]                ( z = reix  ,    ( z ( ( (  )
             ( 10 ).

Так как  ядро Пуассона  Pr (t) - действительная функция, то  равенство  (10)
достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:
                                             [pic] =[pic],          ( z (  (
(+ ( .
Но тогда
                                       [pic]
и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).

Прежде чем перейти к изучению  поведения функции (r (x) при  r((  ,  отметим
некоторые свойства ядра Пуассона:
      а) [pic] ;
      б) [pic] ;
      в) для любого (>0
          [pic]
Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а  для  доказательства  б)
достаточно положить в (2) и (3)  ( (х( ( (.[pic]
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции [pic]( -(, ( ) , 1 ( p  <  (  ,
имеет место равенство[pic]
                                          [pic]  ;
если же ( (x) непрерывна на  [ -(, ( ]  и  ( (-() = ( (() , то
                                          [pic].


                               Доказательство.
В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона
                     [pic]                                    ( 12 )
Для   любой   функции   [pic]   ,   пользуясь   неравенством   Гельдера    и
положительностью ядра Пуассона , находим
[pic]
[pic][pic]
[pic].
Следовательно,
                            [pic][pic].
Для данного ( ( (  найдем  ( = ( (() такое, что   [pic].  Тогда  для   r   ,
достаточно близких к единице, мы получим  оценку
[pic][pic][pic].
Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства
                            [pic][pic].
                                                         Теорема 1 доказана.

Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого  типа",
которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.
Определение1.
Пусть функция [pic] суммируема  на  любом  интервале  (-А,  А),   А  >  0  .
Максимальной функцией для функции [pic]  называется функция
                          [pic]
где  супремум берется по всем интервалам   I  , содержащим точку х.
Определение 2.
Оператор [pic] называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого  y
> 0
[pic]  .



Теорема 2 (Фату).
Пусть [pic]- комплекснозначная функция из [pic] . Тогда
                               [pic]             для  п.в.  [pic].
                               Доказательство.
Покажем, что  для  [pic] и  [pic]
                                                       [pic]               ,
                                 ( 13 )
где  С - абсолютная константа , а  M ( f, x ) - максимальная функция для   f
(x) [1]. Для этой цели  используем легко выводимую из (5) оценку
              [pic]
(К - абсолютная константа).
Пусть  [pic]-  такое число, что
                                   [pic].
Тогда  для  [pic]
[pic]
[pic][pic][pic]
[pic][pic]
[pic].

Неравенство (13)  доказано.  Используя  затем  слабый  тип  (1,1)  оператора
[pic], найдем такую последовательность функций [pic] ,что
      [pic],
      [pic]                                                  ( 14 )
      [pic]   для п.в. [pic].

Согласно (13) при   x( (-2(((()
[pic]
[pic]
Учитывая , что по теореме 1  [pic] для каждого x( [-(( (]  и (14)
Из последней оценки  получим

[pic]  при  n((.
                                                         Теорема 2 доказана.
Замечание.
Используя вместо (13)  более сильное неравенство (59),  которое  мы  докажем
позже, можно показать, что для п.в. x( [-(( (]   [pic],   когда  точка  reit
стремится к  eix  по некасательному к окружности  [pic]  пути.


-----------------------
[1] Мы считаем , что f (x) продолжена с сохранением периодичности на
отрезок ((2((2((  (т.е.  [pic]

f (x) = f (y) ,  если x,y ( [-2(,2(]  и  x-y=2()   и   f (x) = 0  ,    если
  (x( ( (( .