Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов


Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных
рядов.
Для решения дифференциального уравнения:

                                                                       (I.1)
где функции аi(t) (i=0,1,2) разлагаются в степенной ряд в окрестности точки
t0 с радиусами сходимости ri :

   i=0,1,2

необходимо найти  два  линейно-независимых  решения  (1(t),  (2(t).  Такими
решениями будут, например, решения уравнения (I.1) с начальными условиями:

Решения (i будем искать в виде степенного ряда:

                                                                       (I.2)


методом неопределенных коэффициентов.
     Для решения воспользуемся теоремами.

Теорема 1:   (об аналитическом решении)

Если p0(x), p1(x), p2(x) являются аналитическими функциями x в окрестности
точки x=x0 и p0(x)?0, то решения уравнения p0(x)y’’ + p1(x)y’  + p2(x)y = 0
также являются аналитическими функциями в некоторой окрестности той же
точки и, значит, решения уравнения можно искать в виде:  y=l0 + l1(x-x0) +
l2(x-x0)2 + … + ln(x-x0)n + …

Теорема 2:   (о разложимости решения в обобщенный степенной ряд)

Если уравнение (I.1) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, но x=x0
является нулем конечного порядка S функции a0(x), нулем порядка S-1 или
выше функции a1(x) (если S>1) и нулем порядка не ниже S-2 коэффициента
a2(x) (если S>2), то существует, по крайней мере, одно нетривиальное
решение уравнения (I.1) в виде суммы обобщенного степенного ряда:
      y= l0(x - x0)k + l1(x – x0)k+1 + … + ln(x-x0)k+n + …
где k- некоторое действительное число, которое может быть как целым, так и
дробным, как положительным, так и отрицательным.

Рассмотрим уравнение:
       (I.3)

a0(t) =  t + 2 ; a1(t) = -1; a2(t) = -4t3; a0(t) ? 0 [pic]t
по теореме 2 хотя бы одно нетривиальное решение уравнения (I.3) может быть
найдено в виде суммы обобщенного степенного ряда [pic](t) = [pic]cn(t-t0)n
возьмем t0 = 0, будем искать решение в виде [pic](t) = [pic] cntn
(I.4)
Опираясь на теорему 1 и, дифференцируя ряд (I.4) почленно два раза, получим
   [pic]    (t) = [pic]ncntn-1, [pic](t) = [pic]n(n-1)cntn-2
   (2+t)( [pic]n(n-1)cntn-2) – ([pic]ncntn-1) – 4t3([pic] cntn)=0
Вычислим коэффициенты при соответствующих степенях:
t0 :  4c2 – c1=0    [pic]   4c2-c1-4c-3=0
t1 :  [pic]   [pic]   [pic]
[pic] [pic]  [pic]
[pic]
рекуррентное соотношение имеет вид
[pic]         [pic] n[pic] N, c-3=0, c-2=0, c-1=0             (I.5)
при  n=0, [pic]
         n=1, [pic]
         n=2,  c4=0
      n=3, [pic]
      n=m-2, [pic] [pic]
[pic]  [pic]
[pic]Итак, [pic]
Найдем радиусы сходимости R полученных решений, общим методом не
представляется возможным, поэтому на основании теоремы о существовании и
единственности решения.
[pic]
[pic]
[pic]
Которые имеют область сходимости (по формуле Даламбера):
а)  [pic]   [pic]  [pic][pic]
б) [pic]   [pic]     [pic][pic]
 Итак, область сходимости [pic]



I. Синтез управления с не более, чем с одним  переключением  в  управляемой
  системе второго порядка.

Необходимо рассмотреть линейную управляемую систему:



Требуется подобрать управление и( ), переводящее фазовую точку  (х1,х2)  из
заданного начального состояния в начало координат (0,0).
На выбор управления и( ) накладывается условие | и( )|=1 и и(  )  имеет  не
более одного переключения.
[pic] положение равновесия
[pic]   [pic]   Д=-7   [pic]фокус, т.к. [pic]<0, то  фазовая кривая
закручивается.



              III.  Малые возмущения системы линейных уравнений

В этой задаче рассматривается система:



с действительными коэффициентами аij.
Необходимо исследовать фазовые кривые этой системы:



               (1)



Сведем систему (1) к системе вида:

    (2)


с помощью замены


[pic]       (3)

Запишем систему (1) в виде
[pic], где   [pic]        (4)
Подставим  [pic] в систему (4), а  [pic] в систему (3), тогда получим:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]        (5)
Найдем собственные значения матрицы А:

[pic],[pic]

Систему (2) можно записать в виде:
[pic],  где   [pic]      (6)
Из системы (5) и (6) следует, что [pic]    [pic]
Подберем матрицу С такую, что [pic] пусть  [pic] и AC = CB [pic]
[pic][pic]=[pic][pic]
[pic]
[pic]
Решив эту систему, получим:  a=-2, b=-1, c=1, d=0,  т.е.   [pic]   и
[pic][pic] [pic]
Поставим матрицу С в замену:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Подставим полученные значения в систему (2):
[pic]
[pic][pic], где  [pic]
                                                 [pic]
При  [pic] получаем систему       [pic]
Это уравнение малых колебаний маятника. По теореме о дифференцируемости по
параметру при малых ( решение (на конечном интервале времени) отличается
поправкой порядка ( от гармонических колебаний:         [pic]

Следовательно, при достаточно малом ( = ((Т) фазовая точка остается вблизи
окружности радиуса А в течении интервала времени Т.
При [pic] фазовая кривая не обязательно замкнутая: она может иметь вид
спирали, у которой расстояние между соседними витками очень мало (порядка
(). Чтобы узнать, приближается ли фазовая кривая к началу координат или
уходит от него, рассмотрим приращение энергии [pic] за один оборот вокруг
начала координат. Нас интересует знак этого приращения: на раскручивающейся
спирали приращение положительное, на сжимающейся – отрицательное, а на
цикле равно 0. Выведем приближенную формулу: [pic]

Подставляя значения [pic] и [pic], получим:
[pic]
Для вычисления энергии за оборот следовало бы проинтегрировать эту функцию
вдоль витка фазовой траектории, которая неизвестна. Но виток близок к
окружности. Поэтому интеграл можно посчитать с точностью до O([pic]) по
окружности радиуса А.
Пусть [pic], тогда
[pic]
[pic]

[pic]
[pic] для [pic] (при малых положительных значениях [pic]), поэтому фазовые
точки удаляются от центра, т.е. фазовая кривая раскручивается.
Вектор скорости кривой направлен по часовой стрелке, так как точка с
координатами (1,0) переходит в точку (0,-1)
[pic]
Так как detC>0, то при замене [pic] на  [pic] ориентация системы координат
не изменилась.



                                 Литература

1.  Лизоркин  Г.И.  Курс  обыкновенных   дифференциальных   и   интегральных
   уравнений. М.: Наука, 1981, Гл.7. §6. С.344-348.
2. Эльсгольц Г.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.  М.:
   Наука, 1969, Гл.2. §7.
3.  Понтрягин  Л.С.,  Болтянский  В.Г.,  Гамкрелидзе  Р.В.,   Мищенко   Е.Ф.
   Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969, Гл.1. §5.
4.  Болтянский  В.Г.  Математические  методы  оптимального  управления.  М.:
   Наука, 1969, Гл.1. §3.
5. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука,  1974,
   Гл.2. §16.
6. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:  Наука,  1975,
   ГЛ.2. §12. С.73-78, 84-85.



-----------------------
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]