История открытия комплексных чисел


[pic][pic]
                                               “Помимо и  даже  против  воли
                                               того или другого  математика,
                                               мнимые числа  снова  и  снова
                                               появляются  на  выкладках,  и
                                               лишь постепенно по мере  того
                                               как обнаруживается польза  от
                                               их употребления, они получают
                                               более   и    более    широкое
                                               распространение”  Ф. Клейн.
Автор:  Соловьев Алексей 12а.
[pic]

ревнегреческие математики считали  “настоящими”  только  натуральные  числа.
Постепенно складывалось представление о бесконечности множества  натуральных
чисел.
 В  III  веке  Архимед  разработал  систему  обозначения  вплоть  до  такого
громадного как [pic].  Наряду  с  натуральными  числами  применяли  дроби  -
числа, составленные из целого числа долей единицы. В  практических  расчетах
дроби применялись за две тысячи лет до н. э.  в  древнем  Египте  и  древнем
Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения  всегда  выражается
или в виде натурального числа, или в виде отношения  таких  чисел,  то  есть
дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор  учил,  что  “…  элементы
чисел являются элементами всех вещей и весь мир в челом  является  гармонией
и числом. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием,  сделанным
одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ  квадрата  несоизмерима  со
стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей  недостаточно,  для
того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1.  Есть  основание
утверждать,  что  именно  с  этого  открытия  начинается  эра  теоретической
математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта,  не
прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.
  Следующим  важным  этапом  в  развитии  понятия  о  числе  было   введение
отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за  два  века
до н. э. Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий  математик
Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти  числа  уже
подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с  долгом.
С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать  изменения
величин. Уже  в  VIII  веке  было  установлено,  что  квадратный  корень  из
положительного числа имеет два значения - положительное и  отрицательное,  а
из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого  числа
[pic], чтобы [pic].
 В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений  оказалось  необходимым
извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.  В  формуле  для  решения
кубических уравнений вида [pic] кубические и квадратные корни: [pic].[pic]
 Эта формула безотказно действует  в  случае,  когда  уравнение  имеет  один
действительный корень ([pic]), а если оно имеет   три  действительных  корня
([pic]), то под знаком квадратного корня  оказывалось  отрицательное  число.
Получалось,  что  путь  к  этим  корням  ведет  через  невозможную  операцию
извлечения квадратного корня из отрицательного  числа.  Вслед  за  тем,  как
были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно  искали  формулу  для
решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на  рубеже  XVIII  и  XIX
веков доказал, что буквенное уравнение пятой  степени  [pic]  нельзя  решить
алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через  буквенные  величины
a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение,  вычитание,
умножение, деление, возведение в степень,  извлечение корня).
 В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее  уравнение,  степень
которого больше чем  4,  нельзя  решить  алгебраически.       Тем  не  менее
всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные  числа)
n корней (среди которых  могут  быть  и  равные).  В  этом  математики  были
убеждены еще в XVII веке  (основываясь  на  разборе  многочисленных  частных
случаев), но лишь на рубеже  XVIII  и  XIX  веков  упомянутая  теорема  была
доказана Гауссом.
Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил  ввести  числа  новой
природы. Он показал, что система уравнений  [pic],  не  имеющая  решений  во
множестве действительных чисел,  имеет  решения  вида  [pic],  [pic],  нужно
только условиться действовать над такими  выражениями  по  правилам  обычной
алгебры  и  считать  что  [pic].  Кардано  называл  такие  величины   “чисто
отрицательными”   и   даже   “софистически   отрицательными”,   считал    их
бесполезными и старался их не употреблять. В самом  деле,  с  помощью  таких
чисел нельзя выразить  ни  результат  измерения  какой-нибудь  величины,  ни
изменение  какой-нибудь  величины.  Но  уже  в   1572   году   вышла   книга
итальянского алгебраиста Р. Бомбелли,  в  которой  были  установлены  первые
правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения  из
них кубических корней. Название “мнимые числа” ввел в 1637 году  французский
математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших  математиков
XVIII века - Л.  Эйлер  предложил  использовать  первую  букву  французского
слова imaginaire (мнимый) для  обозначения  числа  [pic]  (мнимой  единицы).
Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря  К.  Гауссу  .   Термин
“комплексные числа”  так же был введен Гауссом в 1831 году.  Слово  комплекс
(от латинского complexus) означает связь, сочетание,  совокупность  понятий,
предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.
 В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической  природы  мнимых
чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.
 Постепенно развивалась техника операций  над  мнимыми  числами.  На  рубеже
XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней  сначала
из отрицательных, а  за  тем  из  любых  комплексных  чисел,  основанная  на
следующей формуле английского математика А.  Муавра  (1707):  [pic][pic].  С
помощью этой формулы можно было так  же  вывести  формулы  для  косинусов  и
синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в  1748  году  замечательную  формулу  :
[pic],     которая    связывала    воедино    показательную    функцию     с
тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было  возводить  число
e в  любую  комплексную  степень.  Любопытно,  например,  что  [pic].  Можно
находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять  логарифмы  таких  чисел,
то есть строить теорию функций комплексного переменного.
 В конце XVIII века французский  математик  Ж.  Лагранж  смог  сказать,  что
математический анализ уже не затрудняют мнимые величины.  С  помощью  мнимых
чисел научились  выражать  решения  линейных  дифференциальных  уравнений  с
постоянными  коэффициентами.  Такие  уравнения  встречаются,  например,    в
теории колебаний материальной точки в  сопротивляющейся  среде.  Еще  раньше
швейцарский математик Я. Бернулли применял  комплексные  числа  для  решения
интегралов.
 Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел  были  решены  многие
вопросы,  в  том  числе  и  прикладные  задачи,  связанные  с  картографией,
гидродинамикой и т. д., однако еще не было  строго  логического  обоснования
теории этих чисел.  По  этому  французский  ученый  П.  Лаплас  считал,  что
результаты,  полученные  с  помощью  мнимых  чисел,  -   только   наведение,
приобретающее характер настоящих  истин  лишь  после  подтверждения  прямыми
доказательствами.
  “Никто  ведь  не  сомневается  в  точности  результатов,  получаемых   при
вычислениях с мнимыми  количествами,  хотя  они  представляют  собой  только
алгебраические формы иероглифы нелепых количеств” Л. Карно.
 В конце  XVIII  века,  в  начале  XIX  века  было  получено  геометрическое
истолкование комплексных чисел. Датчанин К.  Вессель,  француз  Ж.  Арган  и
немец К. Гаусс независимо друг от друга  предложили  изобразить  комплексное
число [pic] точкой [pic] на координатной плоскости. Позднее  оказалось,  что
еще удобнее изображать число не самой точкой M, а вектором [pic],  идущим  в
эту точку из начала координат. При таком истолковании сложение  и  вычитание
комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Вектор  [pic]
можно задавать не только его координатами a и b,  но  так  же   длиной  r  и
углом j,  который он образует с положительным направлением оси абсцисс.  При
этом [pic],  [pic]  и  число  z  принимает  вид  [pic],  который  называется
тригонометрической формой  комплексного  числа.  Число  r  называют  модулем
комплексного числа z и обозначают [pic]. Число [pic] называют  аргументом  z
и обозначают ArgZ. Заметим, что если [pic], значение ArgZ не  определено,  а
при [pic] оно определено с точностью до  кратного  [pic].  Упомянутая  ранее
формула Эйлера позволяет записать число z в виде [pic] (показательная  форма
комплексного числа).
 Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило  определить  многие
понятия, связанные с функцией комплексного  переменного,  расширило  область
их применения.
 Стало ясно, что комплексные числа полезны во  многих  вопросах,  где  имеют
дело с величинами, которые изображаются  векторами  [pic]на  плоскости:  при
изучении течения жидкости, задач теории упругости.
 После создания теории  комплексных  чисел  возник  вопрос  о  существовании
“гиперкомплексных” чисел - чисел с несколькими  “мнимыми”  единицами.  Такую
систему вида [pic], где [pic], построил в 1843 году ирландский математик  У.
Гамильтон,  который  назвал  их  “кватернионами”.   Правила   действия   над
кватернионами напоминает правила обычной алгебры,  однако  их  умножение  не
обладает свойством коммутативности  (переместительности):  например,  [pic],
а [pic]. Гиперкомплексные числа не являются темой моего реферата, поэтому  я
лишь упоминаю об их существовании.
 Большой вклад в развитие теории  функций  комплексного  переменного  внесли
русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвили занимался  ее  применениями  к
упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэро- и гидродинамике, Н.  Н.
Богомолов и В. С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.
Список используемой литературы:
“Энциклопедический словарь юного математика”
“Школьный словарь иностранных слов”
“Справочник по элементарной математике” М. Я Выгодский