История тригонометрии в формулах и аксиомах


Тригонометрические функции
      Тригонометрия – слово  греческое  и  в  буквальном  переводе  означает
измерение треугольников ((((((((( - треугольник, а ((((((- измеряю).
      В данном случае измерение треугольников следует понимать  как  решение
треугольников,  т.е.  определение   сторон,   углов   и   других   элементов
треугольника, если даны некоторые из них.  Большое  количество  практических
задач,  а  также  задач  планиметрии,  стереометрии,  астрономии  и   других
приводятся к задаче решения треугольников.
      Возникновение  тригонометрии связано с  землемерением,  астрономией  и
строительным делом.
      Впервые способы решения  треугольников,  основанные  на  изависимостях
между  сторонами  и  углами  треугольника,  были  найдены   древнегреческими
астрономами Гиппархом (2 в. до н .э.) и Клавдием Птолемеем  (2  в.  н.  э.).
Пожднее зависимости между  отношениями  сторон  треугольника  и  его  углами
начали называть тригонометрическими функциями.
      Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые аль-
Батани  (850-929)  и  Абу-ль-Вефа  Мухамед-бен  Мухамед  (940-998),  который
составил таблицы синусов  и  тангенсов  через  10’  с  точностью  до  1/604.
Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара  (р.  1114,  год  смерти
неизвестен) и азербайджанский  астроном и математик Насиреддин Туси  Мухамед
(1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе  «Трактат  о  полном
четырехстороннике»  изложил  плоскую   и   сферическую   тригонометрию   как
самостоятельную дисциплину.
      Теорему тангенсов доказал Региомонтан (латинизированное имя  немецкого
астронома и математика Иоганна Мюллера  (1436-1476)).  Региомонтан  составил
также плдробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам  плоская  и
сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.
      Дальнейшее  развитие  тригонометрия  получила  в   трудах   выдающихся
астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической  системы
мира, Тихо Браге  (1546-1601)  и  Иогана  Кеплера  (1571-1630),  а  также  в
работах  математика  Франсуа  Виета  (1540-1603),  который  полностью  решил
задачу  об   определениях   всех   элементов   плоского   или   сферического
треугольника по трем данным.
      Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер. Такою
она  была  еще  в  средние  века,  хотя  иногда  в  ней   использовались   и
аналитические  методы,  особенно  после  появления  логарифмов.   Постепенно
тригонометрия органически вошла в математический анализ, механику, физику  и
технические дисциплины.
      Начиная с XVII  в.,  тригонометрические  функции  начали  применять  к
решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники,  для
описания колебательных процессов, распространения волн,  движения  различных
механизмов, для изучения переменного электрического тока  и  т.  д.  Поэтому
тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались  и  приобрели
важное значение для всей математики.
      Аналитическая  теория  тригонометрических  функций  в  основном   была
создана  выдающимся  математиком  XVIII  в.  Леонардом  Эйлером  (1707-1783)
членом Петербургской Академии наук.
      Таким  образом,  тригонометрия,  возникшая   как   наука   о   решении
треугольников,  со  временем  развилась  и  в  науку  о   тригонометрических
функциях.
      Позднее    часть    тригонометрии,    которая     изучает     свойства
тригонометрических  функций  и  зависимости  между  ними,  начали   называть
гониометрией (в переводе – наука об измерении углов, от греч. ((((( -  угол,
 ((((((- измеряю). Термин  гониометрия  в  последнее  время  практически  не
употребляется.
      Изучение свойств тригонометрических функций и зависимостей между  ними
отнесено к школьному курсу  алгебры,  а  решение  треугольников  –  к  курсу
геометрии.

                   Тригонометрические функции острого угла

      В прямоугольном треугольнике, имеющем данный угол (, отношения  сторон
не  зависят  от  размеров   треугольника.   Рассмотрим   два   прямоугольных
треугольника АВС и  А1В1С1  (рис.1),  имеющих  равные  углы  (А=(А1  =(.  Из
подобия этих треугольников имеем:

      Если величину  угла  (  измерить,  то  написанные  равенства  остаются
справедливыми, а измениться

      лишь числовое  значение  отношений         и  т.д.  Поэтому  отношения

      можно рассматривать как функции угла (.



                                   Рис.1.
      Синусом  острого  угла  называется  отношение  противоположного  этому
углукатета к гипотенузе. Обозначают это так:

      sin(=

      Значения  тригонометрических  функций  (отношений  отрезков)  являются
отвлеченными числами.
      Приближенные значения тригонометрических функций  острого  угла  можно
найти  непосредственно  согласно  их  определениям.  Построив  прямоугольный
треугольник с острым углом ( и измерив его  стороны,  согласно  определениям
мы можемвычислить значение, например, sin(.
      Пользуясь тем, что значения тригонометрических функций не  зависят  от
размеров треугольника, для вычисления значений sin  углов  (=30(;  45(;  60(
рассмотрим прямоугольный треугольник с углом (=30(; и катетом ВС=a=1,  тогда
гипотенуза этого треугольника с=2, а второй  катет  b=(3;  рассмотрим  также
треугольник с углом (=45( и катетом a=1, тогда для этого  треугольника  c=(2
и b=1.
      Полученные результаты запишем в таблицу.
|     |30( |45( |60( |
|sin( |    |    |    |
|     |    |    |    |


                                   Рис.2.
      Приближенные значения тригонометрических функций для углов  от  0(  до
90( можно получить построив четверть круга, радиус которогопримем  за  1,  и
его дугу разделимна 45 равных частей.  Тогда  градусная  мера  каждой  части
будет равна 2(.

      90( N


        0,79



                  а



      А     b     С 0,62           0( M                  Рис.3.
      Радиусы АМ и АN разделим на 100 равных частей. Построим  прямоугольный
треугольник с вершиной в центре круга и катетом совпадающим с радиусом АМ  и
гипотенузой АВ=1. Если угол  ВАС=(,  то  по  определению  тригонометрических
функций мы имеем:

      sin(=а

      Для угла 52( на шкале радиуса АN  находим,  что  а=0,79,  а  на  шкале
радиуса АМ находим, что b=0,62., то есть sin52(=0,79.
      Построив прямоугольные треугольники для углов (=2(, 4(, 6(, 8(,…, 88(,
согласно рис.3., найдем значения (при аккуратных измерениях  и  вычислениях)
с точностью до 0,01. Для углов  0(  и  90(  прямоугольных  треугольников  не
существует. Однако, если гипотенуза АВ  будет  стремиться   по  положению  к
радиусу АМ, то угол ((0, а катеты а(0 и b(1.  В  таком  случае  для  полноты
значений тригонометрических функций принимают, что
      sin0(=а=0; cos0(=b=1.

      Что касается значений tg( и ctg(, то  при  ((0  отношение    (0,  т.е.
     , а отношение     при  ((0  неограниченно  возрастает.  Этот  результат
записывают как   ((, где символ ( указывает, что величина      неограниченно
возрастает и не может быть выражена  никаким  числом,  так  как  знак  (  не
является каким-либо числом. Таким образом, принимают, что  tg0(=0,  а  ctg0(
не существует, что чаще записывают как ctg0(=(.
      Рассуждая аналогично  при ((90( приходим  к  целесообразности  принять
что
      sin90(=1; cos90(=0, tg90( не существует (tg90((() и ctg90(=0.

      Приведем таблицу значений синусов для углов от 0( до 90( с  шагом  2(,
которую можно получить указанным выше способом.
градусы |0 |2 |4 |6 |8 |10 |12 |14 |16 |18 |20 |22 | |sin |0,00 |0,03  |0,07
|0,10 |0,14 |0,17 |0,21 |0,24 |0,28 |0,31 |0,34 |0,37  |  |градусы  |24  |26
|28 |30 |32 |34 |36 |38 |40 |42 |44 |46  |  |sin  |0,41  |0,44  |0,47  |0,50
|0,53 |0,56 |0,59 |0,62 |0,64 |0,67 |0,69 |0,72 | |градусы |48 |50  |52  |54
|56 |68 |60 |62 |64 |66 |68 |70 | |sin |0,74 |0,77 |0,79 |0,81  |0,83  |0,93
|0,87 |0,88 |0,90 |0,91 |0,93 |0,94 | |градусы |72 |74 |76 |78 |80  |82  |84
|86 |88 |90 | | | |sin |0,95 |0,96  |0,97  |0,98  |0,98  |0,99  |0,99  |1,00
|1,00 |1,00 | | | |Пользуясь значениями  тригонометрической  функции  y=sinx
из таблицы, построим график.
      y

      1



      0         30(    60(   90(   x
                  Рис.4.

    Основные соотношения между тригонометрическими функциями острого угла

      Для прямоугольного треугольника в соответствии с теоремой Пифагора
                                  a2+b2=c2
      или



      По определению                    тогда

                                                         (1)
      Легко также найти следующие зависимости

                                                         (2)

                                                         (3)

                                                         (4)

                                                         (5)

      Из соотношений (1)-(5), которые называют основными,  можно  вывести  и
другие вспомогательные соотношения, например:
                                                         (6)
                                                         (7)
                                                         (8)
      Соотношения (1)-(8) связывают все тригонометрические функции так,  что
по значению одной из них для данного острого угла можно найти значения  всех
остальных функций для этого же угла.

                Тригонометрические функции произвольного угла


      Пусть  в  прямоугольной  системе  координат  x0y  задан  радиус-вектор
образующий с положительным направлением оси 0x угол (.  Будем  считать,  что
ось 0x – начальная сторона, а  вектор         -  конечная  сторона  угла  (.
Проекция вектора  на координатные оси соответственно обозначим ax и ay.

      Можно показать, что отношения            где а –  длина  вектора     ,
зависят только от

величины угла ( и не зависят от длины вектора     .  Поэтому  эти  отношения
можно рассматривать как функции произвольного угла (.
      Синусом угла (,образованного осью 0x и произвольным  радиусом-вектором
     , называется отношение проекции этого вектора на ось 0y к его длине:


                  y

         A



                              x



            Рис. 6.
      Если не указано сколько оборотов совершил вектор вокруг  точки  0,  то
положение вектора определяет угол с точностью до целого оборота, т.е углу  с
начальной стороной 0x и конечной стороной        соответствует  бесчисленное
множество углов, которые выражаются формулой
      360((n+(, где n=0; (1; (2; (3; (4; …
       и sin((+360(( n)=sin(
      Длина радиуса-вектора всегда  число  положительное.  Проекция  его  на
координатные оси величины алгебраические и  в  зависимости  от  координатных
четвертей имеют следующие знаки:
      В I четверти ax>0; ay>0;
      Во II четверти ax<0; ay>0;
      В III четверти ax<0; ay <0;
      В IV четверти ax>0; ay<0/

                            График функции y=sinx

      До сих  пор  аргументами  тригонометрических  функций  рассматривались
именованные величины – углы (дуги),  измеренные  в  градусах  или  радианах.
Значения  тригонометрических  функций,  как  отношения  отрезков,   являются
абстрактными величинами (числами). При изучении  свойств  тригонометрических
функций приходится  сравнивать  изменения  функции  в  связи  с  изменениями
аргумента,  а  сравнивать  можно  только  однородные  или,  что  еще  лучше,
абстрактные величины.
      Кроме  того,  введение  тригонометрических  функций  от   абстрактного
аргумента дает  возможность  применять  эти  функции  в  различных  вопросах
математики, физики, техники и т.д.
      Вместо именованного значения аргумента тригонометрических функций в  x
(радианов) будем рассматривать абстрактное число          где  r  обозначает
радианы, ии по определению принять что

 sinx, где x – абстрактное число, равен sinx, где x измерен в радианах.

      Тригонометрические функции являются периодическими, то есть существует
число  а,  отличное  от  0,  такое,  что  при  любом   целом   nтождественно
выполняется равенство:
      f(x+na)=f(x), n=0; (1; (2 ...
      Число а называется периодом функции. Период функции sinx равен 2(. Для
нее имеет место формула:
      sin(x+2(n)= sinx, где n=0; (1; (2 ...
      График функции y=sinx  называют  синусоидой.  Для  построения  графика
можно взять значения аргумента  x  с  определенным  интервалом  и  составить
таблицу значений y=sinx, соответствующих выбранным значениям x, а  затем  по
точкам, как это часто делается в алгебре, построить график.
      Строим в системе координат x101y1 единичную окружность R=1  с  центром
01  на  оси  абсцисс   x1.   Дугу   этой   окружности   начиная   от   точки
начиная  от  точки  оси  абсцисс  x1  =+1,  делим  на   n   равных   частей:


      Затем строим вторую систему координат x0y, ось которой 0x совпадает  с
осью 01 x1 ,  но  сначало  координат  01(x1  =0)  и  0(x=0)  у  етих  систем
различные. В новой системе координат отрезок оси  абсцисс  от  x=0  до  x=2(
делим  на  n  равных  частей:                Из  точек  деления   окружности
проводим прямые параллельные оси 0x, а из  точек  деления  отрезка  [0,  2(]
проводим   прямые,   перпендикулярные   этой    осм.    Точки    пересечения
соответствующих прямых  будут  точками  графика  y=sinx,  так  как  ординаты
этихточек равны значениям  синуса,  соответствующим  значениям  аргумента  в
точках деления отрезка [0, 2(].



                                                               Рис.8.

                      Некоторые свойства функции y=sinx

      1. Непрерывность.
      Функция y=sinx существует при всех действительных значения x,  причем,
график ее является сплошной кривой линией (без разрывов), т.е. функция  sinx
непрерывна.
      2. Четность, нечетность.
      Функция y=sinx нечетная и ее график симметричный  относительно  начала
координат.
      3. Наибольшие и наименьшие значения.
      Все возможные значения функции sinx ограничены неравенствами
                             -1( sinx (+1,
      причем sinx=+1, если

      и sinx=-1, если

      4.Нулевые значения (точки пересечения графика функции с осью абсцисс).
      sinx=0, если x=(n (n=0; (1; (2;…).
      5. Интервалы возрастания и убывания.
      Функция  возрастает, т.е. большему  значению  аргумента  соответствует
большее значение функции на интервалах

                                   (n=0; (1; (2;…).

      И убывает, т.е.  большему  значению  аргумента  соответствует  меньшее
значение функции на интервалах

                                   (n=0; (1; (2;…).


-----------------------
      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]


А



А1



В



В1



С



С1



а1



а



b1



b



c1



c



90(



90(


      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]


А



В



С



30(



60(


      [pic]

1

2


А



В



С


1


45(


1

      [pic]

B 52(


45(


      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

y=sinx

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

ax      0

ay

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]

      [pic]