Конспект лекций по дискретной математике


          Приложение Булевой алгебры к синтезу комбинационных схем

      Двоичная система логики:

1. Элементы Булевой алгебры:
      а) числа
      b) переменные
      с) операции
      d) выражения
      e) функции
      f) законы

А) Числа:

      Два числа: логический ноль и  логическая  единица  в  Булевой  алгебре
отождествляются с понятиями “истина” и ”ложь”.

В) Переменные:

       Булевы  (логические,  двоичные)  переменные  называются  переменными,
принимающими значение из множества - ноль и единица.

С) Операции:

      1. Отрицание (инверсия).
      2. Конъюнкция (логическое умножение).
      3. Дизъюнкция (логическое сложение).

Унарной является операция отрицания.
Обозначения:
1. Отрицание [pic], ( x
2. Конъюнкция a&b, a(b, ab, a(b
3. Дизъюнкция a(b

D) Выражения:

      Переменные, знакооперации, соединенные вместе  при  возможном  наличии
скобок для задания порядка выполнения операций.
      Приоритет задается порядком операции.

Е) Функции:

      Булевой (логической) функцией называется  такая  функция,  аргументами
которой являются булевы переменные, и сама  функция  принимает  значение  из
множества ноль и единица.
       Областью  определения  Булевой  функции  является   совокупность   2n
двоичных наборов ее аргументов. Набор аргументов можно рассматривать как  n-
компонентный двоичный вектор.

Формы задания Булевой функции:

1. Аналитическая (в виде логического выражения)
2. Табличная (в виде таблицы истинности)
3. Графическая
4. Таблично-графическая (в виде карты Карно)
5. Числовая
6. Символическая форма

1) Аналитическая:
             _          _
      y=(x1 ( x2) x3
           _  _   _     _     _             _
      y=x1 x2 x3 ( x1 x2 x3 ( x1 x2 x3

2) Табличная:
|      |      |      |_      |     |
|x1    |x2    |x3    |x1 ( x2|y    |
|0     |0     |0     |1      |1    |
|0     |0     |1     |1      |0    |
|0     |1     |0     |1      |1    |
|0     |1     |1     |1      |0    |
|1     |0     |0     |0      |0    |
|1     |0     |1     |0      |0    |
|1     |1     |0     |1      |1    |
|1     |1     |1     |1      |0    |

      Переход от аналитической к табличной однозначен! Обратный  переход  не
является однозначным.

                         Основные законы (тождества)

      1) ab=ba
         a(b=b(a
      2) Ассоциативный:
         a(bc)=(ab)c
         a((b(c)= (a(b) (c
      3) Дистрибутивный:
         a(b(c)=ab(ac
         a((bc)=(a(b)(a(c)
      4) Закон двойного отрицания:
          =
          a=a
      5) Тавтологии:
           aa=a
           a(a=a
      6) Законы нулевого элемента:
           a0=0
           a(0=a
      7) Законы единичного элемента:
           а1=а
           а(1=1
      8) Законы дополнительного элемента:

    _
           В Булевой алгебре дополнительным элементом к а является а.
               _         _
           а(а=1;  аа=0
      9) Двойственности (деМоргана):
              __  _  _
          ab=a(b
          ___   _ _
          a(b=a b
          Cледствия:  ab=a(b;   a(b=a  b
      10) Поглощения:
           a(ab=a
           a(a(b)=a
      11) Сокращения:
               _
           а(аb=a(b
              _
           a(a(b)=ab    _        _           _           _
          Cледствия: a(ab=a(b;     a(a(b)=ab
      12) Склеивания:
                      _                            _
           ab(ab=a;         (a(b)(a(b)=a

Комментарии:

1) Для доказательства законов можно использовать:
      а) Метод совершенной индукции.
      б) Использование одних законов для доказательства других законов.
Метод совершенной индукции состоит в доказательстве эквивалентности левой  и
правой части на всем множестве наборов аргументов.  Для  этого  составляется
таблица истинности.
2)  Большинство  законов  задается  парой   соотношений,   при   этом   одно
соотношение  можно  получить  из  другого  заменив  операции  конъюнкции  на
дизъюнкцию или дизъюнкцию на конъюнкцию (метод  не  применим  в  законах,  в
которых участвуют константы).  С  константами  же  константы  заменяются  на
противоположные значения. (Дуальность законов Булевой алгебры)
3) Некоторые законы можно распространять на произвольное число элементов.
4) В любом законе можно заменить  любую  букву  на  произвольное  логическое
выражение.
5) Законы применяются для упрощения Булевых функций.

                        Разнообразие Булевых функций.

1. Булева функция от одной переменной.
|Обозначение       |Значения аргумента и функции         |Наименование      |
|аргумента и       |                                     |функции           |
|функции           |                                     |                  |
|x                 |0                 |1                 |                  |
|[pic]             |0                 |0                 |Логический ноль   |
|[pic]             |0                 |1                 |Повторение x      |
|[pic]             |1                 |0                 |Инверсия x        |
|[pic]             |1                 |1                 |Логическая единица|

2. Возможные функции от двух переменных.

|Обозначение  |Значение аргументов и|Обозначение  |Наименование                      |Вырожденность|Представление|
|аргументов и |функций              |функций      |                                  |             |функции в    |
|функций      |                     |             |                                  |             |булевом      |
|             |                     |             |                                  |             |базисе       |
|[pic]        |0         |0 |0 |0 |“0”          |Логический ноль                   |+            |-            |
|[pic]        |0         |0 |0 |1 |x1&x2        |Конъюнкция                        |-            |x1 x2        |
|[pic]        |0         |0 |1 |0 |x1(x2        |Запрет x1 по x2                   |-            |x1 [pic]2    |
|[pic]        |0         |0 |1 |1 |x1           |Повторение x1                     |+            |-            |
|[pic]        |0         |1 |0 |0 |x2(x1        |Запрет x2 по x1                   |-            |x2[pic]1     |
|[pic]        |0         |1 |0 |1 |x2           |Повторение x2                     |+            |-            |
|[pic]        |0         |1 |1 |0 |x1(x2        |Сумма по модулю 2 неравнозначная  |-            |[pic]1 x2 (  |
|             |          |  |  |  |             |(исключительное или) XOR          |             |x1[pic]2     |
|[pic]        |0         |1 |1 |1 |x1(x2        |Дизъюнкция                        |-            |x1 ( x2      |
|[pic]        |1         |0 |0 |0 |x1(x2        |Функция Вебба                     |-            |x1(x2        |
|[pic]        |1         |0 |0 |1 |x1(x2        |Равнозначность                    |-            |[pic]1[pic]2 |
|             |          |  |  |  |             |                                  |             |( x1 x2      |
|[pic]        |1         |0 |1 |0 |[pic]2       |Отрицание x2                      |+            |-            |
|[pic]        |1         |0 |1 |1 |x2(x1        |Импликация от x2 к x1             |-            |[pic]2 ( x1  |
|[pic]        |1         |1 |0 |0 |[pic]1       |Отрицание x1                      |+            |-            |
|[pic]        |1         |1 |0 |1 |x1(x2        |Импликация x1 к x2                |-            |[pic]1 ( x2  |
|[pic]        |1         |1 |1 |0 |x1 | x2      |Штрих Шеффера                     |-            |[pic]        |
|[pic]        |1         |1 |1 |1 |“1”          |Логическая единица                |+            |-            |
Определение: Булева функция от n аргументов fn(x) называется вырожденной  по
аргументу xi, если ее значение не зависит от этого аргумента,  то  есть  для
всех наборов аргументов имеет место равенство:

      f(x1, x2, ... , xi-1, 0, xi+1, ... , xn) = f(x1, x2,  xi-1,  1,  xi+1,
... , xn).

Функция  запрета  x1(x2  принимает  значение,  равное  нулю  при   равенстве
запрещающей переменной (x2) единице и повторяет значение  аргумента  x1  при
равенстве запрещающей переменной нулю.

Понятие  импликации  в  Булевой   алгебре   отождествляется   с   выражением
следования (если ... то ... ).
Пример: Имеют место два простых высказывания.
            А. На небе тучи.
            В. Идет дождь.             В(А

|А            |В             |В(А           |
|f            |f             |t             |
|f            |t             |f             |
|t            |f             |t             |
|t            |t             |t             |

Из истины не может следовать ложь!

                    Некоторые функции от трех переменных.

|Значение аргументов|Значение функций                                     |
|                   |Сумма по модулю |Исключающее   |Функция             |
|                   |2               |ИЛИ           |мажоритарности      |
|x1    |x2   |x3   |x1(x2(x3        |XOR (x1,x2,x3)|x1#x2#x3            |
|0     |0    |0    |0               |0             |0                   |
|0     |0    |1    |1               |1             |0                   |
|0     |1    |0    |1               |1             |0                   |
|0     |1    |1    |0               |0             |1                   |
|1     |0    |0    |1               |1             |0                   |
|1     |0    |1    |0               |0             |1                   |
|1     |1    |0    |0               |0             |1                   |
|1     |1    |1    |1               |0             |1                   |

Функция - сумма по  модулю  2  и  исключающее  ИЛИ  являются  эквивалентными
только для двух аргументов.

                                                          n
Общее разнообразие функций от n аргументов равно 22
      В  самом  компактном  виде  любую  Булеву  функцию  можно  представить
символически: [pic], где n-количество аргументов, а N-десятичный  эквивалент
двоичного набора значений функции на упорядоченном множестве аргументов.
Пример:
                 f3(x)=x1(x2(x3=[pic]

       Невырожденные  функции  от  двух  переменных  с  добавлением  функции
отрицания принято называть функциями Булевой алгебры. С учетом  обращаемости
некоторых базовых функций к некоторым аргументам, их общее количество  равно
девяти.

                      Нормальные формы Булевых функций

       Нормальные  формы  -  это  особый  класс   аналитических   выражений,
используемых при решении задачи минимизации Булевых функций и  для  перехода
от табличной формы задания к аналитической.  Нормальные  формы  строятся  на
основании операций конъюнкции,  дизъюнкции  и  отрицания,  причем  отрицание
только единственной переменной.

       Определение:  Элементарной   конъюнкцией   (дизъюнкцией)   называется
конъюнкция (дизъюнкция) конечного числа попарно  различимых  переменных  или
их отрицаний.
      Элементарную конъюнкцию (дизъюнкцию)  принято  называть  конъюнктивным
(дизъюнктивным) термом.
      В частном случае терм, как конъюнктивный  так  и  дизъюнктивный  может
состоять  из  единственной  буквы  (литерала).  Под  буквой  будем  понимать
аргумент Булевой функции и его отрицания.

Примеры конъюнктивных термов:
     _              _
x1, x2, x1x3, x2x4x5       (терм)
___  _
x1x2, x1x2x3   (не терм)

      Рангом терма называется количество букв входящих в него.
Дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной формой Булевой  функции  называется
дизъюнкция (конъюнкция) конечного  числа  попарно  различимых  конъюнктивных
(дизъюнктивных) термов.

Каноническая нормальная форма.

      Конституентой единицы (нуля) называется конъюнктивный  (дизъюнктивный)
терм  максимального  ранга.  Т.е.  для  Булевой  функции  от  n   переменных
конституента включает в себя n букв.

Свойство  конституенты:  Конституента  единицы  (нуля)  принимает   значение
единицы (нуля) на одном и только одном наборе аргументов.
Пример:                                   _    _
                 n=4          x1x2x3x4 (1010)=1
                              _   _          _
                              x1(x2(x3(x4=0

        Определение:   Дизъюнктивная   (конъюнктивная)   нормальная    форма
называется канонической, если все  ее  дизъюнктивные  (конъюнктивные)  термы
представляют собой конституенты единицы (нуля).  Иногда  канонические  формы
называют совершенными.

      Пример получения канонических форм:

y=x1(x2
|x1      |x2      |y       |Конституен|Конституен|
|        |        |        |та единицы|ты нуля   |
|0       |0       |0       |-         |x1(x2     |
|0       |1       |1       |[pic]1x2  |-         |
|1       |0       |1       |x1[pic]2  |-         |
|1       |1       |0       |-         |[pic]1([pi|
|        |        |        |          |c]2       |

КДНФ - каноническая дизъюнктивная нормальная форма:
           _         _
       y=x1x2(x1x2

ККНФ - каноническая конъюнктивная нормальная форма:
                       _   _
       y=(x1(x2)(x1(x2)

1) С помощью канонических форм наиболее  просто  осуществляется  переход  от
табличной формы задания Булевой функции к аналитической.
2) С  помощью  канонических  форм  можно  осуществить  преобразование  любой
функции в Булев базис.
3) Любая  Булева  функция  за  исключением  логического  нуля  и  логической
единицы  имеет  единственные  КДНФ  и   ККНФ.   Логическую   единицу   можно
представить в виде КДНФ и логический ноль в виде ККНФ.
4)  Правило  перехода  от  табличной  формы  задания   Булевой   функции   к
аналитической:
      а) в таблице истинности выделяются все наборы аргументов, при  которых
функция равна единице (нулю).
      б)  для  каждого  из  этих  наборов  составляют  конституенты  единицы
(нуля).
       в)  объединением  конституенты  единицы  (нуля)  знаками   дизъюнкции
(конъюнкции) получается аналитическая форма в виде КДНФ (ККНФ).

Пояснение: при составлении конституент единицы (нуля)  используют  следующее
правило:
Если некоторый аргумент принимает на  наборе  значение  равное  нулю,  то  в
конституенту единицы он входит с  отрицанием,  а  в  конституенту  нуля  без
него.
5)  КДНФ  и  ККНФ  представляют  собой  две  различные,   но   эквивалентные
аналитические формы булевой функции. Это означает, что из одной формы  можно
получить другую, используя законы Булевой алгебры.
                         _   _       _      _       _      _      _        _
     _    _
      y=(x1(x2)(x1(x2)=x1x1(x1x2(x2x1(x2x2=x1x2(x2x1=x1x2(x1x2 (КДНФ)

6) Принципиально существует другой способ получения ККНФ:
      а) составляется КДНФ, но не для самой, а для ее отрицания.
       б)  берется  отрицание  над  полученной  КДНФ,  которое  снимается  с
применением закона двойственности.
          _   _ _              =  ------------   ----- ----                _
  _
      y=x1x2(x1x2,  y=y=x1x2(x1x2=x1x2 x1x2=( x1(x2)(x1(x2)

                        Разнообразие двоичных алгебр

      В связи с тем, что любую сколь угодно  сложную  Булеву  функцию  можно
представить в канонических формах, то есть записать ее  с  помощью  операций
отрицания, конъюнкции и дизъюнкции эта  система  Булевых  операций  обладает
свойством  функциональной  полноты,  т.е.  образует  так  называемый  базис.
Естественно  предположить,  что  система  Булевых   операций   является   не
единственной, с помощью которой можно образовать некоторый базис.
        В   принципе   любую   из   базовых   функций   можно   отождествить
соответствующей операцией и на основе совокупности этих  операций  построить
двоичные алгебры, отличные от Булевой. К наиболее распространенным  двоичным
алгебрам относятся: алгебра Жигалкина ((, &);  алгебра  Вебба  (Пирса)  (();
алгебра Шеффера ( |  ).  В  каждой  из  этих  алгебр  действуют  собственные
законы. Естественно существуют  взаимно  однозначные  переходы  от  операций
одного базиса к операциям другого.

                   Числовое представление Булевых функций

      Для  любой  Булевой  функции  можно  предложить  две  числовые  формы,
основанные на перечислении десятичных  эквивалентов  наборов  аргументов  на
которых функция принимает значение единицы (нуля).
f3(x)=[pic](0,2,6,7) - от этой числовой формы легко  перейти  к  КДНФ  путем
замены каждого из наборов в перечислении конституенты единицы.
         _ _ _   _               _               _  _   _                  _
       _ _
     y=x1x2x3(x1x2x3(x1x2x3(x1x2x3=x1x3(x2(x2)(x1x2(x3(x3)=x1x3(x1x2 (ДНФ)

f3(x)=[pic]&(1,3,4,5)
                   _          _   _     _               _        _
    y=(x1(x2(x3) (x1(x2(x3) (x1(x2(x3) (x1(x2(x3)       (*)

      Преобразование произвольной аналитической формы Булевой функции в
                                 нормальную

      В Булевой алгебре в виде теоремы доказывается  следующее  утверждение:
существует   единый   конструктивный   подход,   позволяющий   преобразовать
аналитическое выражение Булевой алгебры в произвольной  форме  к  нормальной
форме.
Пример:
                           _           _                        _          _
         _              _
y=f4(x)=(x1x2(x2x3)(x1|x4)=(x1x2(x2x3)(x1x4)=(x1x2(x2x3)(x1(x4)=
                 _        _        _      _               _         _      _
_       _    _
=x1x2(x1x2x4(x1x2x3(x2x3x4=x1x2(x1x2x3(x2x3x4=x1(x2(x2x3)(x2x3x4=
                  _    _                   _    _
=x1(x2(x3)                                          (x2x3x4=x1x2(x1x3(x2x3x4
(КДНФ)

Замечания:
      1) В общем случае любая Булева функция  может  иметь  несколько  КДНФ,
отличающихся либо количеством термов, либо количеством букв в этих термах.
      2) При построении комбинационной схемы, реализующей данную функцию  по
ее нормальной форме предпочтительней та, которая обладает наименьшим  числом
термов и наименьшим количеством букв в этих термах.
      3) По сравнению со схемой, построенной по ДНФ, схема,  построенная  по
скобочной форме (*), является более предпочтительной т.к. при  одном  и  том
же числе логических элементов (И, ИЛИ)  содержат  меньшее  число  входов  (9
вместо 10).
              Задача  преобразования  нормальной  формы  Булевой  функции  в
скобочной форме называют задачей фактеризации.
      4) Сущность  конструктивного  подхода  при  получении  ДНФ  состоит  в
следуюшем:
             а)  преобразование  операций  не-Булевого  базиса  к  операциям
Булевого базиса (см. последние строки таблицы)
            б)  снятие  отрицаний  над  выражениями  с  применением  законов
двойственности
            в) раскрытие скобок с применением дистрибутивного закона
            г) упрощения выражения с применением закона поглощения
   Приведение произвольных нормальных форм Булевой функции к каноническим

      Для приведения произвольной ДНФ к КНФ необходимо использовать  правило
дизъюнктивного   развертывания   применительно   к   каждому   из   неполных
конъюнктивных термов.
                      _      _
P=P(xi(xi)=Pxi(Pxi, где P-неполный конъюнктивный терм (ранг этого терма
                                  меньше n), а  xi  -  недостающий  в  терме
аргумент.
Пример:
            _    _                        _          _            _        _
         _      _            _      _
        y=x1(x2x3(ДНФ)=x1(x2(x2)(x3(x3) (x2x3(x1(x1)=x1x2x3( x1x2x3(
                           _ _      _ _ _       _ _    _ _
                     (x1x2x3(x1x2x3( x1x2x3( x1x2x3 (КДНФ)

Замечание:

      После раскрытия скобок могут получиться одинаковые термы,  из  которых
нужно оставить только один.

      y=[pic] (0,1,2,3,5)=f3
Преобразование   КНФ   к   ККНФ   реализуется   путем   применения   правила
конъюнктивного развертывания к каждому неполному дизъюнктивному терму.
         _                    _
      P=P(xixi=(P(xi)(P(xi)
    _   _                 _    _    _                    _    _       _    _
         _
y=x1(x2x3(ДНФ)=(x1(x2)(x1(x3)(КНФ)=(x1(x2(x3x3)(x1(x3(x2x2)=
   _    _        _   _    _   _              _   _
=(x1(x2(x3)(x1(x2(x3)(x1(x2(x3)(x1(x2(x3)(ККНФ)

y=[pic](4,6,7)
         Минимизация булевых функций на картах Карно(см. Практику).

       Метод  Квайна-МакКласски  базируется  на   кубическом   представлении
булевых функций.

                  Кубическое представление булевых функций.

      В  кубическом  представлении  булевой  функции  от  n  переменных  все
множество  из  2n  наборов  ее  аргументов  рассматривается  как   множество
координат вершин n-мерного куба с длинной ребра равной 1. В  соответствии  с
этим наборы аргументов, на которых булева функция принимает значение  равное
1 принято называть существенными вершинами.
      Существенные  вершины  образуют  так  называемые  ноль-кубы  (0-кубы).
Между  0-кубами  существует  отношение  соседства  и   определена   операция
склеивания. Два 0-куба называются соседними если они  отличаются  только  по
одной координате.
      Пример : n=4      0101
                       0001       - два соседних 0-куба
результат склеивания : 0x01 (*)
      Склеивание 2-х соседних 0-кубов дает в результате  1-куб.  Координата,
отмечаемая символом х, называется свободной  (независимой,  несвязанной),  а
остальные  (числовые)  координаты    называются   зависимыми   (связанными).
Аналогичное отношение соседства  существует  между  1-кубами,  в  результате
склеивания которых получается 2-куб.
      0х01
      0х11 - 0хх1 (**)
В продолжении аналогии два r-куба называются соседними если  они  отличаются
только  по  одной  (естественно  зависимой)  координате.  r-куб  содержит  r
независимых и n-r зависимых координат. В результате склеивания 2-х  соседних
r-кубов образуется (r+1)-куб содержащий r+1 независимую координату.
       Операция  склеивания  над  кубами  соответствует  применению   закона
склеивания к конъюнктивным термам, отождествляемым с этими кубами.
Пример : для склеивания (*)
_    _        _ _ _       _ _
х1х2х3х4( х1х2х3х4= х1х3х4
(0101)      (0001)     (0х01)
                  _ _      _           _
 для (**)    х1х3х4( х1х3х4= х1х4
                          (0х01) (0х11)   (0хх1)

                                Определения.

      Кубическим комплексом K0(f) булевой функции f называется множество  0-
 кубов этой функции. В общем  случае  кубическим  комплексом  Kr(f)  булевой
 функции f называется объеденение  множеств  кубов  всех  размерностей  этой
 функции
              m
      k(f)=UKr(f) m-максимальная размерность кубов функции f.
                 r=0
 Пример получения кубических комплексов
 f3(x)=V(1,2,3,6,7)      |001   (1)              |0x1  (1-3)  (1)
          (f=1)                 |010    (2)             |01x  (2-3)  (2)
                          K0(f)=|011      (3)      K1(f)=|x10    (2-4)   (3)
 K2(f)=|x1x (2-5)
                                              |110     (4)              |x11
 (3-5)  (4)
                                   |111    (5)             |11x   (4-5)  (5)
      K3(f)=пустому множеству
      K(f)=K0(f)UK1(f)UK2(f)

       Для  получения  кубического  комплекса   K(f)   необходимо   провести
 всевозможные операции склеивания  над 0-кубами, 1-кубами и т.д. до тех  пор
 пока  на  очередном  шаге  не  получится  Kr+1(f)=пустому  множеству.   При
 склеивании 1-кубов 2-кубы представлены в  2-х  экземплярах  как  результаты
 склеивания 2-х различных пар 1-кубов.
 Распространяя этот принцип  можно  утверждать,  что  r-кубы  как  результат
 склеивания (r-1)-кубов получаются в r-кратном количестве экземпляров.
       Куб,  входящий  в  состав  кубического  комплекса   K(f)   называется
 максимальным, если он не вступает ни в одну операцию склеивания.
 В приведенном примере максимальными кубами являются х1х и 0х17.

     Геометрическая интерпретация кубов  малой размерности. Графическое
                       представление булевых функций.

      Подобный подход носит ограниченный характер  и  как  правило  является
 наглядным для булевых функций от 2-х и 3-х переменных.
 F3(x)=V(1,2,3,6,7)
           (f=1)


 [pic]

       Геометрическим   местом   0-куба   является   точка,   представляющая
 существенную вершину.
      Два соседних 0-куба являются концами какого-либо ребра.
      Геометрическим местом 1-куба является ребро, замыкаемое склеивающимися
 0-кубами, образующими данный 1-куб.
       Два  параллельных  ребра,   образующих   грань,   являются   образами
 склеивающихся 1-кубов. В соответствии с этим геометрической  интерпретацией
 2-куба является грань, образуемая парой параллельных ребер. Так  как  любую
 грань можно определить одной из пар параллельных ребер,  2-куб  может  быть
 получен как результат  склеивания  двух  различных  пар  1-кубов,  то  есть
 представляется в двух экземплярах.
      Геометрическим образом 3-куба можно считать 3-х мерный куб. Так как он
 может быть образован 3-мя способами как пара параллельных  граней,  то  при
 склеивании он получается в трех экземплярах.

                          Покрытия булевых функций.

      Между кубами различной размерности,  входящих  в  кубический  комплекс
 K(f), существует отношение включения или покрытия.  Принято  говорить,  что
 куб А меньшей размерности покрывается кубом Б большей размерности, если куб
 А включается в куб Б. Это означает, что при образовании куба Б хотя   бы  в
 одном склеивании учавствует куб А.
      Отношение включения (покрытия) между кубами принято обозначать А(Б.  В
 теории  множеств  отношение  включения  связывает  между  собой   некоторое
 множество и его подмножества.
      Для рассмотренного  примера  отношения  включения  имеют  место  между
 001(0х1; 011(x11(x1x... любой 1-куб покрывает 2 0-куба, 2-куб - 4 0-куба  и
 2 1-куба, 3-куб покрывает 8 0-кубов, 12 1-кубов и 6 2-кубов.
      Покрытием булевой функции f называется  такое  подмножество  кубов  из
 кубического комплекса K(f),  которое  покрывает  все  существенные  вершины
 функции.
      В связи с тем, что  любому  кубу  комплекса  K(f)  можно  поставить  в
 соответствие конъюнктивный терм,  для  любого  покрытия  можно  представить
 некоторую ДНФ булевой функции.
       Частным случаем покрытия булевой функции является кубический комплекс
 K0(f), покрытие c0(f)=K0(f). Этому покрытию соответствует КДНФ.
      Для примера покрытием является также
                          |0x1
                          |01x
      c1(f)=K1(f)=|x10
                          |x11
                          |11x
      этому покрытию соответствует ДНФ вида
         _ _   _ _   _ _   _ _   _ _
      f=x1x3vx1x2vx2x3vx2x3vx1x2  приведенная ДНФ не является минимальной.
      В  качестве  минимальной  еще  одного  покрытия   можно   использовать
 множество максимальных кубов
               |0x1
      c2(f)=|x1x
Действительно, куб 0х1 покрывает существенные вершины 0х1((001, 011), а  куб
x1x((010, 011, 110, 111).
      Множество  максимальных  кубов  булевой  функции  всегда  является  ее
покрытием.
      Покрытие c2(f)  соответствует  ДНФ  вида  х1х3vx2.  Эта  ДНФ  является
минимальной. Покрытие булевой  функции,  которое  соответствует  минимальной
ДНФ называется минимальным покрытием.
      Минимальное покрытие должно состоять только из максимальных кубов.
       В  частном  случае  все   множество   максимальных   кубов   является
минимальным покрытием. Это справедливо для нашего примера.  В  общем  случае
множество  максимальных  кубов   является   избыточным   и   для   получения
минимального покрытия достаточно взять некоторое его подмножество.
Пример : f3(x)=V(0,1,4,6,7)
                  (f=1)
         |000 (1)            |00x (1-2)
         |001 (2)            |x00 (1-3)
K0(f)=|100 (3)   K1(f)=|1x0 (3-4)
         |110 (4)            |11x (4-5)
         |111 (5)
Для данного примера множество  максимальных  кубов  совпадает  с  комплексом
K1(f). Z(f)=K1(f)
      Минимальными покрытиями являются
         |00x            |00x
с1(f)=|11x   c2(f)=|11x
         |x00            |1x0
      Из  анализа  покрытия  существенных  вершин  максимальными  кубами  из
комплекса K1(f) следует :
     1) Куб 00х должен обязательно включаться в покрытие,  так как только он
        покрывает существенную вершину 001, аналогично 11х покрывает 111.
Множество максимальных кубов без которых не может быть  образовано  покрытие
булевой функции называется ядром покрытия T(f)=|00x
                 |11x
     2) Так  как  ядром  покрытия  кроме  существенных  вершин   001  и  111
        покрываются также существенные вершины 000 и  110,  то  не  покрытой
        ядром остается только существенная  вершина  100.  Для  ее  покрытия
        достаточно взять 1 из оставшихся максимальных кубов (х00 или 1х0).
Выводы :
       Задача  получения  минимальной  ДНФ  сводится  к   задаче   получения
минимального покрытия.
      Получение минимального покрытия  реализуется  в  таком  порядке  :  а)
Находится множество максимальных кубов б) Выделяется  ядро  покрытия  в)  Из
максимальных  кубов,  не  вошедших  в  ядро,  выбирается  такое  минимальное
подмножество, которое покрывает существенные вершины, не покрытые ядром.

                               Цена покрытия.
      Цена  r-куба  представляет  собой  количество  несвязанных  координат.
Sr=n*r
      Для оценки качества покрытия используют два вида цены покрытия :
                 m
     1) Sa=(SrNr, где Nr - количество r-кубов, входящих в по-
                   r=0
крытие, m - максимальная  размерность  куба.  Цена  Sa   представляет  собой
сумму цен кубов, входящих в покрытие.
     2) Sb=Sa+k, где k - количество кубов, входящих в покрытие
       m                   m
Sa =((n-r) Nr  ; Sb=((n-r)(Nr+1)
      r=0                  r=0
      Под минимальным покрытием понимают  покрытие,  обладающее  минимальной
ценой Sa по сравнению с любым другим покрытием этой функции.
      Можно  показать,  что  покрытие,  обладающее  минимальной   ценой   Sa
обладает также и минимальной ценой Sb.
      Пример : f3(x)=V(0,1,4,6,7)
                       (f=1)
C0(f)=K0(f) ; Sa=5*3=15 ; Sb=Sa+5=20
C1(f)=K1(f) ; Sa=4*2=8 ; Sb=Sa+4=12
Cmin(f) : Sa=3*2=6 ; Sb=9

      Цена покрытия Sa представляет собой количество букв, входящих  в  ДНФ,
которая соответствует данному покрытию.
      Цена Sb представляет  для  ДНФ  сумму  количества  букв  и  количества
термов.

[pic]
      Цена покрытия хорошо согласуется с  ценой  схемы  по  Квайну,  которая
строится по нормальной форме, соответствующей этому покрытию.
      Для приведенной схемы цена по Квайну SQ=9=Sb (9-число входов).
      В принципе, между SQ и ценами Sa и Sb существует соотношение Sa  (  SQ
( Sb Это неравенство имеет место при следующих допущениях по  комбинационной
схеме :
1) Схема строится по нормальной форме (ДНФ или КНФ).
2) Схема строится на элементах булевого базиса (И, ИЛИ).
3) На входы схемы можно  подавать  как  прямые,  так  и  инверсные  значения
  входных переменных,  представляющие  собой  значения  аргументов  булевой
  функции (схема с парафазными входами). Элементы  НЕ  (инвертора  в  схеме
  отсутствуют.
        Нулевое покрытие булевой функции и получение минимальной КНФ.

      Выше было рассмотрено покрытие булевой функции на  наборах  аргументов
для которых функция равна единице.
       Такие  покрытия  можно  назвать  единичными.  Наряду   с   единичными
покрытиями существуют и нулевые, для которых покрываются наборы  аргументов,
на  которых  функция  равна  нулю,  то   есть   покрытие   реализуется   для
существенных вершин, но не самой функции, а ее отрицания (инверсии).
      Нулевое покрытие  строится  также  как  и  единичное,  но  только  для
отрицания исходной функции.
f3(x)=V(0,1,4,6,7)  f3(x)=&(2,3,5)
       (f=1)                     (f=0)                  _    |010
                                  K0( f )=|011
       _         _                                |101
C0( f )= K0( f )  Sa=9  Sb=12
       _                   _            _
K1( f )=|01x     Z( f )=Cmin( f )=|01x      Sa=5  Sb=7
                                               |101
       Цена   минимального   нулевого   покрытия   оказалась   меньше   цены
минимального единичного покрытия.
      Так как заранее предсказать невозможно, какое из минимальных  покрытий
данной функции, единичное или нулевое, будет  иметь  меньшую  цену,  то  для
построения схемы, обладающей  минимальной  ценой  по  Квайну,  целесообразно
решать задачу минимзации в отношении обоих покрытий.

                         Импликанты булевой функции.
                             Системы импликант.

       Решение  задачи  минимизации  булевой  функции   методом   Квайна   и
усовершенствованным  методом  Квайна-МакКласски   базируется   на   понятиях
импликант и их систем.
Определение : Булева функция g(x)  называется  импликантой  булевой  функции
f(x), если для любого набора  аргументов,  на  которых  g(x)=1,  f(x)  также
равна единице.
    ~                ~              ~
g( x )=1 => f( x )=1, где х - некоторый набор аргументов.
Свойства импликант :
1)  Между  импликантой  и  самой  функцией  существует  отношение  включения
  g(x)(f(x).
2) Можно утверждать, что для любого набора аргументов,  на  котором  функция
  равна нулю, ее импликанта также равна нулю.
3) Если g(x) и ((x) являются импликантами функции  f(x),  то  их  дизъюнкция
  также является импликантой этой функции.
      Простейшими примерами импликант  могут  служить  конъюнктивные  термы,
входящие в ДНФ данной функции.
Пример :  для f3(x)=V(0,1,4,6,7)     (#)
                                (f=1)  _ _            _
импликантами являются х1х2х3; х1х2х3; х1х2;...
       Произвольная  дизъюнкция  этих  термов  также  является   импликантой
функции.
Определение : Простой (первичной)  импликантой  булевой  функции  называется
конъюнктивный терм,  который  сам  является  импликантой  этой  функции,  но
никакая его собственная часть уже не является импликантой этой функции.
      Под собственной частью терма  понимается  новый  терм,  полученный  из
исходного, путем вычеркивания произвольного числа букв.
      Для данного примера  функции  (#)  простыми  импликантами  являются  :
                      _ _            _
                            х1х2х3; х1х2х3; х1х2;...
      Множеству простых импликант можно поставить в  соответствие  множество
максимальных кубов.
Определение  :   Дизъюнкция   всех   простых   импликант   булевой   функции
представляет собой ДНФ этой функции, которая называется сокращенной - СДНФ.
 Для функции (#) из приведенного примера
                     _ _   _ _       _
СДНФ :  y= х1х2v х1х2vх2х3v х1х3
      Понятие «сокращенное»  присвоено  ДНФ  в  том  смысле,  что  она,  как
правило, содержит меньшее количество букв и термов по сравнению с КДНФ.  Для
нашего примера КДНФ содержит 15 букв и 5 термов, а СДНФ - 8 букв и 4 терма.

  Аналогия  между импликантами и кубическим представлением Булевой функции

      Любому кубу из К(f) можно поставить в соответствие конъюнктивный  терм
который можно рассматривать как импликанту булевой  функции  .Любой  простой
импликанте булевой функции соответствует максимальный куб ,и в свою  очередь
множество  всех  простых  импликант  соответствует   множеству   Z(f)   всех
максимальных кубов К(f).
      Таким образом можно  провести  некоторую  аналогию  между  сокращенной
СДНФ и Z(f).
      В отношении импликант булевой функции также как и  в  отношении  кубов
соответствующих им существует отношение покрытия.
      Принято  считать  ,что  импликанта  покрывает  некоторую  существенную
вершину или в общем случае некоторый куб из К(f) ,если  значение  импликанты
на наборе аргументов представляющем данную существенную вершину равно 1  или
в общем случае значение импликанты равно  1  для  всех  существенных  вершин
покрываемых кубом из К(f).
ПРИМЕР : импликанта х1х2 покрывает существенные вершины (110,111) и  в  свою
очередь покрывает куб 11х.
      Определение  :множество  импликант  булевой  функции  образует  полную
систему  импликант  ,если  любая  существенная   вершина   булевой   функции
покрывается хотя бы одной импликантой этого множества.
      Если считать ,что в полную  систему  импликант  включаются  импликанты
только в  виде  конъюнктивных   термов  и  не  включает  импликанты  в  виде
дизъюнктивных  термов  ,то  полной  системе  импликант  можно  поставить   в
соответствие некоторое множество кубов из К(f) образующих  покрытие  булевой
функции f .
      Так например  ,кубам  из  кубического  комплекса  К((f)  соответствует
полная система  импликант  ,представляющая  собой  множество  конституент  1
данной  функции  f.  В  свою  очередь  множеству  максимальных  кубов   Z(f)
,естественно  образующих  покрытие  булевой  функции  ,соответствует  полная
система простых импликант.
      Определение :система простых импликант  называется  приведенной  ,если
она является полной ,а никакая ее собственная часть уже не  образует  полную
систему импликант.
Для функции y= x 1 x 2 ([pic]1 [pic]2([pic]2[pic]3 ( x 1 [pic]3  (*)
система простых импликант
  ( x 1 x 2, [pic]1[pic]2 , [pic]2 [pic]3 , x 1 [pic]3  (
является полной ,но не является приведенной ,т.к.  из  нее  можно  исключить
одну из импликант не нарушая полноты системы .([pic]2 [pic]3 или x1 [pic]2(
      Определение: Дизъюнкция всех простых импликант  ,образующих  некоторую
приведенную систему называется тупиковой ДНФ булевой функции или ТДНФ
Для функции (*) существуют две ТДНФ
                  [pic]
            1) у= x 1 x 2([pic]1[pic]2([pic]2 [pic]3
               2) у= x 1  x 2([pic]1[pic]2( x 1 [pic]3

      В данном случае они совпадaют с минимальной ДНФ.  Но  в  общем  случае
это утверждение не справедливо. Т.е. минимальная  ДНФ  обязательно  является
ТДНФ но не любая ТДНФ является МДНФ. Таким образом множество  МДНФ  является
подмножеством ТДНФ.
        Определение:   простая   импликанта   булевой   функции   называется
существенной если она и только она покрывает некоторую существенную  вершину
этой функции.
Множество   существенных   импликант   соответствует   максимальным    кубам
образующим ядро покрытия.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ действий  для  решения  канонической  задачи  минимизации
методом Квайна-Мак-Класки.
1)Нахождение множества максимальных кубов или простых импликант функции.
2)Выделение ядра покрытия.
3)Дополнение множества кубов ,принадлежащих ядру покрытия таким  минимальным
подмножеством из максимальных  кубов  ,не  входящих  в  ядро  покрытия  ,для
получения покрытия с минимальной ценой.
      С точки зрения последовательного преобразования ДНФ булевой функции  с
целью их упрощения каноническая задача минимизации может  быть  представлена
в виде КДНФ.
         КДНФ(СДНФ((ТДНФ(((МДНФ(
        Распространение   терминологии   в   отношении   нулевого   покрытия
определяется на понятии импликанта как соответствие импликанте и на  системе
импликант.
ПРИМЕР: (минимизация булевой функции методом Квайна-Мак-Класки)
1)   f4(x)=V(0,1,5,7,8,10,12,14,15)
                      (f=1)
      f4(x)=&(2,3,4,6,9,11,13)
              (f=0)
       На  этапе  получения  множества  максимальных   кубов   целесообразно
разделить множество  ноль - кубов (К((f)) на ряд  подмножеств  ,отличающихся
количеством единиц .
      В операцию  склеивания  в  этом  случае  могут  вступать  только  кубы
,относящиеся к соседним подмножествам ,то есть отличающиеся на единицу
            ( 000X   (
            ( X000   (              K((f)=C((f)
            ( 0X01   (
   Z(f)= ( 01X1    (               S(=36
             ( X111  (               S(=45
             ( 111X  (
            ( 1XX0   (

K1(f)=C1(f)           S(=10(3=30
                                S(=40
   Z(f)=C3(f)          S(=20
                             S(=27

      При минимизации не полностью определенной  булевой  функции  множество
максимальных  кубов  определяется  на  объединении  множества   существенных
вершин  и  безразличных  наборов  в   целях   получения   кубов   наибольшей
размерности .
2) Определение ядра покрытия .
      Выполнение этого этапа реализуется с помощью таблицы покрытий .
      Kаждая строка таблицы - максимальный куб(простая импликанта).
      Каждый столбец - существенная вершина  булевой  функции  (безразличные
наборы не включаются).
       Элементы  этой  таблицы  отражают  отношение  покрытия  ,то  есть  на
пересечении i-ой строки и j-ого столбца ставится  некоторая  отметка  в  том
случае если i-ый максимальный куб покрывает j-ую вершину .
      Таблицу покрытий иногда называют импликантной таблицей с  учетом  того
,что  каждый   максимальный   куб   соответствует   простой   импликанте   а
существенные вершины конституантам
единицы(нуля).

                                      Существенные вершины
| |макс. |0000 |0001 |0101 |0111 |1000 |1010 |1100 |1110 |1111 |
| |Кубы  |     |     |     |     |     |     |     |     |     |
|A|000X  |   * |   * |     |     ||    ||    ||    ||    |     |
|B|X000  |   * |     |     |     ||   *||    ||    ||    |     |
|C|0X01  |     |   * |   * |     ||    ||    ||    ||    |     |
|D|01X1  |     |     |   * |   * ||    ||    ||    ||    |     |
|E|X111  |     |     |     |   * ||    ||    ||    ||    |   * |
|F|111X  |     |     |     |     ||    ||    ||    ||    |   * |
| |1XX0  |     |     |     |     ||  * ||   *||  * ||  * |     |
| |      |  a  |   b |   c |   d ||    ||    ||    ||    |    e|



      Для полностью определенной булевой функции количество меток  в  каждой
строке равно числу ноль - кубов покрываемых  кубом  данной  строки  .Для  не
полностью  определенной  функции  количество  меток  в  строке  зависит   от
количества безразличных наборов покрываемых  данным  кубом  .Для  нахождения
кубов ,принадлежащих ядру покрытия в таблице ищутся столбцы  с  единственной
меткой .Строка ,которой принадлежит эта метка определяет куб ядра .
                          Т(f)=(1XX0(
3) Определение множества минимальных покрытий .
      На этом этапе из множества максимальных кубов  не  принадлежащих  ядру
покрытия ,выделяются такие минимальные подмножества ,с  помощью  каждого  из
которых покрываются оставшиеся вершины (не покрытые ядром) .
Реализацию  этого   этапа   целесообразно   производить   с   использованием
упрощенной таблицы.
      В упрощенной таблице вычеркнуты все кубы принадлежащие ядру и  вершины
покрываемые ядром.
      Для решения задачи 3-го этапа можно использовать один из  3-х  методов
или их комбинацию:
 1) Метод простого перебора
 2) Метод Петрика
 3) Дальнейшее упрощение.

      1)На данном этапе целесообразно ввести обозначение максимальных  кубов
  и существенных вершин.
      Максимальные кубы обозначены в таблице А...F
      1-ый метод целесообразно применять для упрощенной  таблицы  небольшого
  объема .Этот метод не дает гарантии получения всех максимальных покрытий.
      Для нашего примера все кубы входящие  в  упрощенную  таблицу  покрытий
  обладают  одной  размерностью(то  есть  необходимо   выбрать   минимальное
  количество этих кубов для покрытия всех оставшихся существенных вершин).
      Из таблицы видно ,что минимальное число кубов равно  трем.К  возможным
  вариантам покрытий относятся:
                 ( T(                   ( T(
  C min1(f)=   (A(      C min 1(f)= (B(   ,...
                            (C(                     (C(
                 (E (                  (E (
  2)Достоинство этого метода-получение всех минимальных покрытий.
        Метод   базируется   на   составлении   логического   выражения    ,
  представляющего собой условие покрытия всех вершин из  упрощенной  таблицы
  покрытий и преобразования этого выражения .
  Y=(AvB)(AvC)(CvD)(DvE)(EvF)=(AvBC)(DvCE)(EvF)=
  =(AvBC)(DEvCEvDFvCEF)=
  =(ADEvACEvADFvBCDEvBCEvBCDF)
      Каждый из пяти конъюнктивных  термов  соответствует  покрытию  булевой
  функции(с учетом дополнения ядром),каждому из которых  можно  поставить  в
  соответствие тупиковую ДНФ.
      Последний терм не соответствует минимальному покрытию ,то есть  данная
  функция имеет четыре минимальных покрытия.
 3) Дальнейшее упрощение состоит в применение двух операций :
    а)Вычеркивание лишних строк.
                          б)Вычеркивание лишних столбцов.
      Если множество меток  i-й  строки  является  подмножеством  меток  j-й
  строки и куб i имеет небольшую размерность, чем куб j, то из таблицы можно
  вычеркнуть i-ю строку так как существенные вершины покрываемые  i-м  кубом
  будут с гарантией покрыты j-м кубом.
      В дальнейшем рекомендуется построить новую упрошенную таблицу.
      В отношении новой таблицы можно использовать один из трех методов:
  1) Метод простого перебора.
                              2)Метод Петрика.
                              3)Дальнейшее упрощение.

               Функциональная полнота системы булевых функций.
       Система  булевых  функций  S=(y1,y2,...,ym(называется   функционально
полной ,если с помощью функций  этой  системы  можно  выразить  любую  сколь
угодно  сложную  булеву  функцию  с  использованием   метода   суперпозиции,
возможно многократно.
      Под  суперпозицией в отношении булевых функций понимается  подстановка
одних функций в другие вместо их аргумента.
      Примерами полных систем являются :
      1)S1 =((,&,(((булев базис)
      Обоснованность  утверждения  о  функциональной  полноте  этой  системы
базируется на возможности представления любой булевой функции  в  нормальной
форме  ,которая  является  комбинацией  операций  отрицания  ,конъюнкции   и
дизъюнкции, применительно к аргументу этой функции.
      Система S1 =((,&,(( является избыточной так как из нее  можно  удалить
одну из функций (& или () без нарушения функциональной полноты.
      Получаемые при  этом  системы  S2  ={(,&}(и  S3((,&,((обычно  называют
сокращенным булевым базисом .
      Недостающие операции( ( в системе S2 и & в системе  S3  )  могут  быть
выражены с помощью следствий из законов
                                   ____
Де Моргана : x1V x2= [pic]1[pic]2
                                      _____
                            x1 x2= [pic]1 v[pic]2
      Функциональная полнота системы булевых функций называется  минимальной
,если удаление из нее  какой-либо  функции  приводит  к  нарушению  свойства
функциональной полноты.
Системы из одной функции S4=((стрелка Пирса)
                                               S5=|(штрих Шеффера)
которые принято называть универсальным базисом.
2)Базис Жегалкина S6= {&, (, 1}
      Понятие функциональной  полноты  системы  булевых  функций  связано  с
аналогичным понятием для системы логических элементов.
      Эта связь заключается в следующем :
       Если  каждой  функции  из  некоторой  функционально  полной   системы
сопоставить  логический  элемент,  реализующий  эту  функцию   ,то   система
логических элементов соответствующая некоторой функционально полной  системе
булевых функций естественным образом оказывается тоже  функционально  полной
.
      Задача синтеза  комбинационных  схем  с  использованием  функционально
полной системы логических элементов  можно  построить  комбинационную  схему
реализующую любую наперед заданную ,сколь угодно сложную булеву функцию.
Доказательство функциональной полноты некоторой системы
булевых функций можно осуществлять одним из двух способов:
1) С использованием теоремы о функциональной полноте .
2) С использованием конструктивного подхода .
      Теорема о функциональной полноте (Пост - Яблонского).
Для  того,  чтобы  система  булевых  функций   была   функционально   полной
необходимо и достаточно чтобы она содержала хотя бы одну функцию не:
          1) cохраняющую константу ноль
          2) cохраняющую константу единица
          3) линейную функцию
          4) монотонную функцию
          5) самодвойственную функцию.
      Замечательные классы булевых функций.
1. Булева функция называется сохраняющей константу ноль ,  если  на  нулевом
  наборе  аргументов  она  принимает  значение   равное   нулю,   то   есть
  f(0,0,0,...,0) = 0;
       В  противном  случае  функция  относится  к  классу  не   cохраняющих
константу ноль.
      К функциям ,сохраняющим константу ноль относятся
              f(x1,x2)= x1 v x2
                      f(x1,x2)= x1 * x2
      К функциям не cохраняющим константу ноль относятся
              f(x)=[pic]  и  f(x1,x2)=x1(x2

      2.Булева функция называется сохраняющей константу единица  ,  если  на
единичном  наборе аргументов она принимает значение равное единице, то  есть
f(1,1,1,...,1)= 1;
       В  противном  случае  функция  относится  к  классу  не   cохраняющих
константу единица.
      К функциям ,сохраняющим константу единица относятся
                           f(x1,x2)= x1 v x2
                                          f(x1,x2)= x1 * x2
      К функциям не cохраняющим константу единица относятся
              f(x)=[pic]  и  f(x1,x2)=x1(x2
      3. Булева функция называется линейной если она  представима  полиномом
Жегалкина первой степени.
      В булевой алгебре доказывается  теорема  о  возможности  представления
любой булевой функции от n переменных  с  помощью  полинома  Жегалкина  n-ой
степени.
В общем случае полином имеет вид :
  fn (x) = K0 (K1x1 (...(Kn xn  (...
            ...(Kn+1x1x2 (Kn+2x1x3 (...(Kn+lxn-1xn (...
            ...
            ...(Kn+mx1x2...xn
K0 ,K1  ,Kn+m  -являются  коэффициентами  и  представляют  собой  логические
константы нуля или единицы.
      В алгебре Жегалкина одноименной  полином  можно  считать  канонической
нормальной формой для булевой алгебры.
       Полином  Жегалкина  является  линейным  (1-ой   степени)   если   все
коэффициенты общего полинома ,начиная с Kn+1=Kn+2 =...=Kn+m =0
      В отношении функции от 2-х  переменных  полином  Жегалкина  имеет  вид
(линейный): f2(x)=K0(K1x1(K2x2
Примерами линейных функций являются:
                    y= x1(x2 (K0=0,K1=K2=1)
                                  _____
                    y= x1(x2=x1(x2=1(x1(x2 (K0=K1=K2)

                    y= [pic]=1(x1 (K0=K1=1 ,K2=0)
Примеры нелинейных функций:
                     y= x1(x2
                                   ____
                     y= x1(x2 =x1(x2=1(x1(x2
      4.Булева функция называется монотонной если  при  возрастании  наборов
аргументов она принимает неубывающие значения.
      A=(a1,a2,...,an)>B=(b1,b2,...,bn)
                       f(A)(f(B)
      Между наборами аргументов А и В имеет место  отношение  возрастания  в
том и только том случае , если имеет место отношение не  убывания  для  всех
компонент этого набора:
                ___
    ai(bi (i=1, n )

и по крайней мере для одной компоненты имеет место отношение возрастания.
      Примеры  наборов  ,для  которых  имеет  место  отношение  возрастания:
(1011)>(0011)
                        (1011)>(0001)
                        (0001)>(0000)
Пример несопоставимых наборов  (1011) и (0111)
      В отношении функции от 2-х переменных несопоставимыми являются  наборы
(01) и (10)
Пример немонотонных функций: y=[pic]
                                                       y= x1(x2
      5.Две булевы функции fn(x) и gn(x) называются двойственными  если  для
любых наборов аргументов выполняется равенство
         ____
fn(x) =gn(x) то есть функции f и g на противоположных наборах  аргументов  х
и [pic] принимает противоположные значения .
      Два набора аргументов называются противоположными  если  любая  из  их
компонент принимает противоположные значения.
x=(0101)  [pic]=(1010)
       Булева  функция  называется  самодвойственной   если   она   является
двойственной по отношению к самой себе  то  есть  принимает  противоположные
значения на противоположных наборах аргументов.
Примером самодвойственной функции является : у= [pic]
Примеры не самодвойственных функций: у=х1(х2

у=х1vх2
                                                         у=х1(х2
       Принадлежность  базовых  булевых  функций  и  логических  констант  к
замечательным классам представлена таблицей.
К0 + сохраняет константу ноль ,- не сохраняет константу ноль
К1 + сохраняет константу единица ,- не сохраняет константу
Кл + линейная ,- нелинейная
Км + монотонная , - не монотонная
Кс + самодвойственная ,- не самодвойственная
|Функция   |К0 |К1 |Кл |Км |Кс |
|0         | + | - | + | + | - |
|1         | - | + | + | + | - |
|[pic]     | - |   |   |   |   |
|х1(х2     | + | + | - | + | - |
|х1vх2     | + | + |   | + | - |
|х1(х2     | + | - | + | - | - |
|х1(х2     | - |   | + |   | - |
|х1(х2     | + |   |   | - |   |
|х1(х2     | - |   |   |   |   |
|х1(х2     | - |   | - |   |   |
|х1(х2     | - |   |   |   |   |



Конструктивный подход к доказательству функциональной полноты некоторой
системы булевых функций.
      Подход основан на доказательстве реализуемости функций булева базиса
с помощью функций этой системы.
      При этом естественно предполагать ,и это действительно так, что булев
базис образует функционально полную систему.
Пример :S5=(((
_  ____
x =x ( x= x(x
            ((((
x1(x2 = x1(x2 =( x1(x2)(( x1(x2)
          ______
x1vx2=[pic]1 ([pic]2 =( x1(x1)(( x2(x2)

                         Синтез комбинационных схем.

                        Понятие логического элемента.
   Типовые логические элементы и их обозначения на функциональных схемах.

      Определение:  как  правило  ,под   логическим   элементом   понимается
комбинационная схема ,реализующая некоторую элементарную булеву функцию.
      Любой логический элемент характеризуется :
1) Наличием одного  или  нескольких  входов  на  которые  подаются  входные
   сигналы( входные переменные).
2) Наличием выхода ,на котором формируется выходной сигнал
 (выходная переменная).
3) Определенной функцией ,которая отображает зависимость выходного  сигнала
   от входных.

 К основным типам логических элементов относятся:
1) Инвертор( НЕ)
 [pic]
2) Дизъюнктор (ИЛИ)
 [pic]
3) Конъюнктор (И)
 [pic]
4) Дизъюнктор с отрицанием (ИЛИ - НЕ)
 [pic]



5) Конъюнктор с отрицанием (И - НЕ)
 [pic]
6) Исключительное ИЛИ
 (единичный сигнал на выходе имеет место в том и только том случае если на

  одном и только одном входе присутствует единичный сигнал)
 [pic]
7) Сумматор по модулю 2
 [pic]
1)Элементы 1,2,3 образуют булев базис.
2)Элементы 1 и 2 или 1 и 3 образует сокращенный(неполный)
   булев базис.
3)Элементы 4 или 5 образуют универсальный базис.
4)Элементы 3 и 7 образуют базис Жегалкина.
Функции элементов 6 и 7 совпадают при наличии только двух входов.

                         Понятие двоичного сигнала.
                          Способы его кодирования.

      В связи с использованием двух значений логики в логических схемах как
входные ,так и выходные сигналы в этих схемах представляются с помощью так
называемого двоичного сигнала - особенностью которого является наличие двух
четко различимых уровней ,отождествляемых с нулем и единицей.
      В зависимости от того ,какой уровень сигнала сопоставляется с
логическим нулем а какой с логической единицей различают два способа
кодирования двоичных сигналов:
1)Позитивное кодирование (положительное)
    высший уровень сигнала - 1 ,низший - 0
2)Негативное кодирование (отрицательное)
    высший уровень сигнала - 0 ,низший - 1
      При изменении способа кодирования двоичного сигнала функция одной и
той же электронной схемы ,реализующей некоторый логический элемент меняется
на противоположную.

                         Понятие логической системы.
                           Типы логических систем.

      Логическая схема представляет собой совокупность логических  элементов
и связей между ними.
      Соединения логических элементов в  рамках  единой  логической  системы
должны удовлетворять следующим правилам:
1)К любому входу логического элемента могут быть подключены:
a) выход любого другого логического элемента( в частном     случае ,того  же
самого)
б) входной сигнал (входная переменная)
в) логическая константа(0 или 1)
В реальных электронных схемах подача логической константы на  вход  элемента
реализуется либо  заземлением  либо  подключением  этого  входа  обязательно
через резистор к шине питания.
2)Выход любого логического элемента  схемы  может  быть  подключен  к  входу
другого логического элемента или представлять собой  выходной  сигнал  схемы
.В частном случае возможна комбинация того и другого.

Логические схемы разделяются на два типа :
1)Комбинационные
2)Последовательносные
      В комбинационных схемах значение  выходного  сигнала  в  любой  момент
времени зависит только от комбинации входных  сигналов  (в  этот  же  момент
времени с учетом задержки распространения сигнала по элементам схемы)
      С  учетом  этой  задержки  значение  выходного  сигнала   по   времени
запаздывает на время задержки по  сравнению  с  моментом  изменения  входных
сигналов.
      Функционирование  комбинационной  схемы  может  быть  описано  булевой
функцией, отражающей зависимость выходного сигнала  схемы,  как  функции  от
входных сигналов , как аргумент этой функции.
      Для  комбинационных  схем  с  несколькими  выходами  эта   зависимость
отражается системой булевых функций.
Пример комбинационной схемы на элементах булева базиса :
[pic]
      В последовательносных схемах выходные сигналы в любой  момент  времени
зависят не только от комбинации входных сигналов  в  данный  момент  времени
,но и от предыстории их изменения ,то  есть  от  последовательности  входных
сигналов во времени. Как правило последовательносные  схемы  характеризуются
некоторым внутренним  строением  ,от  которого  зависит  значение  выходного
сигнала(ов).
      Внутреннее состояние такой схемы сохраняется на запоминающих элементах
(триггерах) ,в связи с чем ,схемы этого типа называются схемами с памятью.
      В общем случае поседовательносная схема представляет  собой  некоторый
цифровой автомат.
      Пример последовательносной схемы: (универсальный базис И-НЕ)
[pic]
      Последовательносные  схемы  характеризуются  наличием  так  называемых
петель ,по которым выход некоторого элемента соединяется со входом этого  же
самого элемента (через другие элементы схемы).
                  Основные параметры комбинационной схемы.
      Основными параметрами комбинационных схем (КС)  является  стоимость  и
быстродействие ,как правило при построении абстрактных КС не  привязанных  к
конкретной системе  элементов  цена  схемы  определяется  в  смысле  Квайна.
Быстродействие схемы  ,как  правило  оценивается  задержкой  распространения
сигналов от входов схемы к  ее  выходу.  Для  абстрактных  КС  эту  задержку
принято считать в виде : Т=к(  ,(-задержка на одном  логическом  элементе,к-
максимальное количество логических элементов ,через которые проходит  сигнал
от входов к выходу.
[pic]
      Как правило задержка схемы сопоставляется с числом уровней этой схемы.
Для  этой  цели  все  элементы  схемы  распределяются  по  уровням.  Уровень
элемента ,на выходе которого формируется выходной сигнал схемы  совпадает  с
количеством уровней схема и следовательно с ее задержкой.
      Для приведенной схемы элементы 1,2,3 относятся к первому уровню.
Элементы 4,5 ко второму уровню.
Элемент 6 к третьему уровню.
Элемент 7 к четвертому уровню.

                Задачи анализа и синтеза комбинационных схем.

      В  общем  виде  задача  анализа  ,комбинационных   схем   сводится   к
определению функции ,реализуемой заданной схемой ,в  частном  случае  задача
анализа  состоит  в  определении  реакции  заданной  схемы  на  определенную
комбинацию входных сигналов.
      Для  определения  функции  схемы  целесообразно   использовать   метод
подстановки ,его идея  состоит  в  следующем:  Выходы  логических  элементов
обозначаются  последовательно  продвигаясь  от  выхода   схемы   к   входам,
осуществляют подстановку в выходную функцию  промежуточных  переменных,  как
аргумент, до тех пор ,пока в выражении функции все промежуточные  переменные
не будут заменены на входные переменные:
                              __
y=y1v y2=[pic]4v y3y6=x1x2v(y4v y5)x4x5=
  ___
=x1x2v(x1x2v[pic]3)x4x5
Определим реакцию схемы на входной набор.
Например (00000)   у=1
Задача синтеза  состоит  в  построении  комбинационной  схемы  по  заданному
закону функционирования.
      При решении этой задачи необходимо учитывать следующие моменты:
1)   Синтезируемая   схема   должна   по   возможности   содержать   минимум
  оборудования. В связи с  этим  актуальной  задачей  является  минимизация
  заданной булевой функции. При решении этой задачи целесообразно  получить
  как МДНФ так и МКНФ.
2)  Как  правило  ,синтезируемая  схема  строится  на  логических  элементах
  ,принадлежащих некоторому базису. Естественно ,что  используемая  система
  элементов должна обладать свойством функциональной полноты ,то есть  быть
  достаточной для построения на ее основе комбинационной схемы ,реализующую
  любую наперед  заданную  булеву  функцию.  Такими  функционально  полными
  системами логических элементов являются:        1.(И,ИЛИ,НЕ(     2.(И,НЕ(
                                       3.(ИЛИ,НЕ(                  4.(И-НЕ(
  5.(ИЛИ-НЕ(     6.(И,М2(
3) Как правило при решении задачи синтеза стараются добиться  экстремального
  значения  одного  из  параметров  схемы  :минимум   цены   или   максимум
  быстродействия  (минимум  задержки).В  тех   случаях   ,когда   критерием
  эффективности схемы является минимум  цены  по  Квайну  над  минимальными
  формами  проводят  дополнительные  преобразования  ,путем  решения  задач
  факторизации  и  возможно  декомпозиции  булевой  функции.  Как   правило
  минимальная форма не дает  абсолютного  минимума  стоимости  ,чего  можно
  добиться решением задач  факторизации  и  декомпозиции.   Если  критерием
  эффективности схемы является минимальная задержка  ,то  следует  иметь  в
  виду ,что факторное преобразование и декомпозиция булевой функции в общем
  случае уменьшает цену схемы и увеличивает ее задержку.  В  более  сложном
  случае  схема  оптимизируется  по  одному  из  показателей  при   наличии
  ограничения на второй.    Примером  подобной  постановки  задачи  синтеза
  является: Синтезировать схему с минимальной ценой  по  Квайну  ,чтобы  ее
  задержка не превышала 4(.
4) Необходимо учитывать ,в каком виде представлены  входные  сигналы  схемы:
  только в прямом или и в прямом и в обратном.                     В первом
  случае строится комбинационная схема с  однофазными  входами.  Во  втором
  случае  с  парафазными.      В  реальных  комбинационных  схемах  входные
  сигналы    представляют     собой     значение     выходов     регистров.
  Например  при  построении  комбинационного  сумматора   входные   сигналы
  снимаются  с  регистров  слагаемого.      При   интегральной   реализации
  регистров в виде СИС в целях минимизации числа выходов  выходные  сигналы
  регистров как правило представляются только в  прямом  виде  ,что  делает
  актуальными схемы с однофазными входами.
5) При построении схем в реальной  системе  элементов  необходимо  учитывать
  ряд  конструктивных   ограничений   ,основными   из   которых   являются:

а) Коэффициент объединения по входу, который представляет собой  ограничение
на число входов в элемент. Может принимать значения 2,3,4,8,16.
б) Коэффициент  разветвления  по  выходам  который  определяет  максимальное
число логических элементов, которые можно подключить  к  выходу  элемента  в
условиях  его  нормального  функционирования.  Этот  коэффициент  определяет
нагрузочную способность. Варьируется от 10 до 30.
6) В реальных системах элементов однотипные элементы объединяются  в  модули
  ,реализуемые одной интегральной схемой с малым уровнем интеграции(МИС). В
  связи с этим при построении схем в реальной системе элементов  необходимо
  минимизировать не столько число элементов и входов в  них  сколько  число
  модулей ,из которых компонуется схема.
7) Как правило в большинстве реальных систем  элементов  наряду  с  простыми
  логическими элементами используются также сдвоенные элементы  реализующие
  составную булеву функцию. Типичным примером может служить элемент  И-ИЛИ-
  НЕ.
8) В реальных  системах  элементов  как  правило  используется  значительное
  разнообразие логических элементов, относящихся к разным базисам.  Тем  не
  менее построение схемы в рамках определенного базиса является  достаточно
  актуальной задачей, так как позволяет уменьшить номенклатуру используемых
  элементов.

   Построение комбинационных схем (КС) по минимальным нормальным формам в
                             различных базисах.

     1) Булев Базис (И, ИЛИ, НЕ)
    _ _     _ _ _  _      _
y=x1x2x3vx1x2x4vx1x5vx6 (МДНФ)
   --------  -------  -----
    и  (3)    и (3)  и (2)
Схема  с парафазными входами
[pic]

SQ=3+3+2=12      Sa=     0 цифра частного  равна  единице  ,для
остатка < 0        цифра равна нулю.

                    Особенности реализации деления в ЭВМ.
                        (по отношению к целым числам)

1) Делимое по  сравнению  с  делителем  представляется  в         удвоенном
формате.
2) В качестве результата деления формируется как     частное так и  остаток
.При этом как  правило  остаток     замещает  старшие  разряды  ,а  частное
младшие.
3) В целях экономии оборудования на каждом  шаге  осуществляется  не  сдвиг
делителя вправо относительно остатка ,а сдвиг  остатка  влево  относительно
неподвижного делителя. При этом делитель совмещается со старшими  разрядами
делимого ,а далее остатка.
4) При получении отрицательного остатка на каком либо     шаге для перехода
к следующему шагу требуется     восстановление  остатка  путем  сложения  с
делителем.     Подобный метод  называется  делением  с      восстановлением
остатка .В целях экономии времени     деление как правило реализуется в ЭВМ
с  применением    метода  без  восстановления  .В   соответствии   с   этим
методом при получении отрицательного  остатка  он  не      восстанавливаясь
сдвигается влево  так  же  как  и      положительный  однако  при  этом  на
следующем  шаге      производится  не  вычитание  делителя  ,а  сложение  с
делителем.
   Доказательство:Допустим на i-м  шаге  получен     отрицательный  остаток
тогда по методу с    восстановлением :Ri+1=2(Ri+B)-B
   Ri+1 =2Ri +2B-B=2Ri+B
5) При некоторых соотношениях между делимым и делителем может оказаться что
частное не помещается в отводимый формат. Подобная ситуация возникает также
при делении на 0. Этот особый случай распознается на начальном шаге деления
и приводит к прерыванию выполняемой программы по причине ошибки деления.
Деление беззнаковых.
А/В<2^n      А-В*2^n<0  из  этого  неравенства  следует  что  для  проверки
корректности  деления  необходимо  вычесть  делитель  из  старших  разрядов
делимого. Если результат вычитания положителен  или  равен  0  то  операция
прекращается  выходом  на  прерывание.  В  остальном  беззнаковое   деление
реализуется  по  описанным  выше   принципам   так   как   цифра   частного
вырабатываемая на каждом шаге деления определяется знаком текущего  остатка
,точнее представляет собой инверсию его  знакового  разряда,  целесообразно
расширить  n-разрядный  сумматор   дополнительным   разрядом   для   явного
представления знака остатка.
Если по завершению всех шагов деления  остаток  является  отрицательным  то
требуется его восстановление путем сложения с делителем.

                              Деление знаковых.
                                    IDIV

      По  аналогии  с  операцией  умножения  знаковое  деление  может   быть
реализовано одним из двух методов:
1) Метод деления в прямых кодах .
2) Метод деления в дополнительных кодах.
      При использовании первого метода отрицательные операнды предварительно
преобразуются в прямой код и далее над ними выполняют деление по аналогии с
беззнаковым .Знак частного формируется отдельным  действием  как  сумма  по
модулю два знаков операндов. Знак остатка  совпадает  со  знаком  делимого.
Исключением из этого правила является нулевой остаток содержащий в знаковом
разряде 0.
      Отрицательные результаты в конце операции  преобразуют  из  прямого  в
дополнительный код.
      Существенным отличием деления модулей  операндов  в  прямых  кодах  от
беззнакового деления является проверка корректности деления.  Действительно
модуль n-разрядного знакового числа размещается в (n-1)-разряде в  связи  с
этим условие корректности для деления в прямых кодах имеет вид |A|/|B|<2^(n-
1) ; |A|-|B|^(n-1)<0
      В соответствии с последним неравенством пробное  вычитание  модулей  с
целью проверки корректности должно выполнятся путем совмещения делителя  не
со старшими разрядами делимого ,а со сдвинутыми на один разряд вправо.
      В целях однообразия выполнения пробного вычитания  с  основным  циклом
деления в котором делитель совмещен со старшими разрядами  остатка  делимое
предварительно сдвигают  на  один  разряд  влево  после  чего  производится
пробное вычитание из старших разрядов сдвинутого делимого.

Деление в дополнительных кодах.

      Основное отличие этого метода от предыдущих состоит в том, что
операнды вступают в операцию в коде своего представления вместе со знаком.
Однако при этом возникает ряд нюансов :
Цифры частного, в том числе и знак, формируемые на каждом шаге,
определяются не только остатком, но и знаком делителя. При их совпадении
цифра частного равна единице, иначе - нулю.
Действие выполняемое над текущим остатком на каждом шаге определяется не
только этим остатком, но и знаком делителя. При их совпадении выполняется
вычитание делителя из старших разрядов делителя, при не совпадении
выполняется сложение делителя со старшими разрядами делителя.
Коррекция остатка производится в конце операции в том случае, если его знак
не совпадает со знаком делимого. Эта коррекция осуществляется действием над
остатком, аналогичным основному циклу деления.
Коррекция частного выполняется только при отрицательном делимом и нулевом
остатке деления и состоит в инкременте (увеличение на единицу)
положительного частного и декременте отрицательного.
Проверка корректности деления выполняется также как при делении прямых
кодов только в случае положительных операндов.

A>0, B>0 => A/B<2n-1   A-B*2n-1<0
A<0, B<0 => A/B<2n-1   A-B*2n-1>0
A<0, B>0 => A/B(-2n-1  A/B>-2n-1  A+B*2n-1+B>0
A>0, B>0 => A/B>-2n-1-1     A+B*2n-1+B<0

      При одинаковых знаках операндов для проверки корректности деления
необходимо сдвинуть делимое на 1 разряд влево а затем вычесть делитель из
его старших разрядов.
      Проверка корректности осуществляется  сравнением знака первого
остатка со знаком делимого. Если они НЕ совпадают деление корректно, в
противном случае - не корректно.
      При разных знаках пробное вычитание фактически заменяется сложением.
      В этом нет ничего необычного, так как для первого шага в качестве
остатка для первого шага фигурирует само делимое и его знак не совпадает со
знаком делителя в соответствии с действиями для основного цикла над текущим
остатком в этом случае необходимо выполнять сложение с остатком.
      В связи с тем, что при разных знаках операндов получается
отрицательное, имеющее диапазон, больший на единицу, чем положительное,
начальные шаги, связанные с проверкой корректности деления содержат такую
последовательность действий :
Сложение делимого с делителем, совмещенным с его младшими разрядами. При
этом выполняется знаковое расширение делимого на старшие разряды делителя.
Сдвиг полученного  остатка на один разряд влево.
Сложение с делителем, совмещенным со старшими разрядами остатка.
Сравнение знака остатка со знаком делимого выполняется также как и для
операндов с одинаковыми знаками.
      В связи с тем, что при проверке корректности деления используется
знак делимого необходимо при схемной реализации предусмотреть его
сохранение до конца операции. По результату пробного вычитания формируется
старшая цифра частного, интерпретируемая как знак.
      Действительно, при корректном делении получается верный знак
частного.
Пример : A=-168 B=-14 n=5
A=1101011000 ; B=10010
                       Выполняемые  действия
|N шага   |обозначени|A/R (старшие) |A/C         |
|         |я         |              |(младшие)   |
|0        |A         |       11010  |11000       |
|         |(         |              |            |
|         |A         |-10101        |10000       |
|         |B         |10010         |            |
|         |R0        |(((           |            |
|         |          |00011         |1000|0      |
|         |          |(             |(           |
|         |          |sign R0(sign  |((          |
|         |          |B(            |            |
|1        |(         |              |            |
|         |R0        |+00111        |000|00      |
|         |B         |10010         |            |
|         |          |(((           |            |
|         |R1        |11001         |000|01      |
|         |          |sign R1=sign B|            |
|2        |(         |              |            |
|         |R1        |+10010        |00|010      |
|         |B         |10010         |            |
|         |          |(((           |            |
|         |R2        |00000         |00|010      |
|         |          |(             |(           |
|         |          |sign R2(sign  |((          |
|         |          |B(            |            |
|3        |(         |              |            |
|         |R2        |+00000        |0|0100      |
|         |B         |10010         |            |
|         |          |(((           |            |
|         |R3        |10010         |0|0101      |
|         |          |sign R3=sign B|            |
|4        |(         |              |            |
|         |R3        |-00100        |01010       |
|         |B         |10010         |            |
|         |          |(((           |            |
|         |R4        |10010         |01011       |
|         |          |sign R3=sign B|            |
|псевдо-  |R4        |    -10010    |            |
|коррекция|B         |10010         |            |
|         |R         |(((           |            |
|         |          |00000         |            |
|коррекция|          |              |+01011      |
|частного |          |              |1           |
|         |          |              |(((         |
|         |          |              |01100       |

Приведенный пример иллюстрирует ряд дополнительных нюансов деления в
дополнительных кодах :
На четвертом шаге при сдвиге остатка произошло искажение его знака.
Выполняемое действие над остатком должно определяться его знаком для
предыдущего шага (до сдвига). В схемной реализации этот факт необходимо
учитывать путем применения модифицированного кода с удвоенным знаковым
разрядом. В связи с этим разрядность регистра для хранения остатка и
частного должна быть 2n+1, а разрядность сумматора (сумматора вычитателя)
n+1. При получении нулевого остатка на коком либо шаге деления для
следующего шага остаток будет равен делителю. При его сдвиге влево он
станет равен удвоенному делителю. И после вычитания делителя на следующем
шаге он снова станет равен делителю. Таким образом в конце операции после
выработки всех цифр частного остаток будет не нулевым, а равным делителю.
Если при этом его знак совпадает со знаком делимого, то в соответствии с
основным алгоритмом деления он не подлежит коррекции.
      Для устранения этого недостатка алгоритма во всех случаях совпадения
знака остатка и делимого выполняется попытка так называемой
псевдокоррекции. Если после этой коррекции  остаток равен нулю, то он
является истинным, если же остаток не равен нулю, то требуется его
восстановление обратным по сравнению с псевдокоррекцией действием с
делителем.