Конспект по дискретной математики

                            Дискретная математика

                                  Введение

Общество 21в. – общество  информационное.  Центр  тяжести  в  решении  задач
переместился от задач вычислительной  математики  к  задачам  на  дискретных
структурах. Математика нужна не как метод  расчета,  а  как  метод  мышлению
средство формирования и организации…
Такое владение  математикой  богатой  культуры,  понимание  важности  точных
формулировок.
В дисциплине мало  методов,  но  много  определений  и  терминов.  В  основе
дискретной математике 4 раздела:
1. Язык дискретной математики;
2. Логические функции и автоматы;
3. Теория алгоритмов;
4. Графы и дискретные экстремальные задачи.

Теория алгоритмов и формальных систем является центральной в  дисциплине.  В
настоящие  время  от  нее   возникли   ответвления,   например,   разработка
алгоритмических языков программирования.

Одной  из  важнейших  проблем  в  дискретной  математики  является  проблема
сложности вычислений.

Теория сложности вычислений помогает оценить расход  времени  и  памяти  при
решении  задач  на  ЭВМ.  Теория  сложности  позволяет  выделить  объективно
сложные задачи (задачи перебора) и неразрешимые задачи.

Мы  будем  заниматься  решением  задач   реальной   размерности   с   учетом
ограниченности временных и емкостных ресурсов ЭВМ.


                        Множества и операции над ними

Одно из основных понятий математики – множество.

Определение:
Множеством  называется   совокупность,   набор   предметов,   объектов   или
элементов.

Множество обозначают: M,N …..
m1, m2, mn – элементы множества.

                                  Символика
A ( M – принадлежность элемента к множеству;
А ( М – непринадлежность элемента к множеству.

Примеры числовых множеств:
      1,2,3,… множество натуральных чисел N;
      …,-2,-1,0,1,2,… - множество целых чисел Z.
          [pic] множество рациональных чисел а.
      I – множество иррациональных чисел.
      R – множество действительных чисел.
      K – множество комплексных чисел.

Множество А называется подмножеством  В,  если  всякий  элемент  А  является
элементом В.
А ( В – А подмножество В (нестрогое включение)

Множества А и В равны, если их элементы совпадают.

A = B

Если А ( В и А ( В то А ( В (строгое включение).

Множества бывают конечные и бесконечные.

|М| - мощность множества (число его элементов).

Конечное множество имеет конечное количество элементов.

Пустое множество не содержит элементов: M = (.

Пример: пустое множество:

1) множество действительных корней уравнения x2+1=0 пустое: M = (.
2) множество (, сумма углов которого ( 1800 пустое: M = (.

Если дано множество Е и множество и мы рассматриваем все  его  подмножества,
то множество Е называется униварсельным.

Пример: Если за Е взять множество книг то его  подмножества:  художественные
книги, книги по математике, физики, физики …

Если универсальное множество  состоит из n элементов, то  число  подмножеств
= 2n.

Если [pic],  состоящее  из  элементов  E,  не  принадлежащих  А,  называется
дополненным.

Множество можно задать:
     1) Списком элементов {a,b,c,d,e};
     2) Интервалом 1 очн. рефлексивное и матрица содержит на главной диагонали
      единицу
      если ни для какого а не … ==> отношение антирефлексивное
      главная диагональ содержит нули
      Пр. отношнний
                       ( рефлексивное
                       < антирефлексивное
   2.   Если из aRb следует bRa, ==> отношение  R  симметричное.  В  матрице
   отношения элементы
         сумм Cij=Cji. Если из aRb и bRa  следует  a=b  ==>  отношение  R  –
   антисимметричное.
         Пр. Если а ( b и b ( a ==> a=b
   3. Если дано ( a,b,c из aRb и aRc следует aRC  ==>  отношение  называемое
      транзитивным.
   4. Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно,
      симметрично и транзитивно.
      Пр. отношение равенства E

   5.    Отношение  называется  отношением  нестрогого  порядка,  если   оно
   рефлексивно,
         антисимметрично  и  транзитивно.  Отношение  называется  отношением
   строгого порядка,
         если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.
         Пр.      а) отношение ( u ( для чисел отношение нестрогого
            б) отношение < u > для чисел отношение строгого

           Лекция: Элементы общей алгебры
           Р. Операции на множествах

Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций ( = {(1,…,  (m},
т.е. система     А = {М1;(1,…, (m} называется алгеброй. ( - сигнатура.

Если M1(M и если  значения  ((  M1),  т.е.  замкнуто  ==>  A1={М1;(1,…,  (m}
подалгебра A.
Пр. 1. Алгебра (R;+;*) – называется полем действительных чисел обе  операции
бинарные и
      поэтому тип этой алгебры (2;2)
   2. B=(Б;(;() – булева алгебра. тип операций (2;2;1)
Р. Свойства бинарных алгебраических операций
     запись a(b.
1.  (a(b)(c=a((b(c) – ассоциативная операция
     Пр. +,x – сложение и умножения чисел ассоциативно
2.  a(b = b(a – коммутативная операция
     Пр. +,x – коммутат.
            –; : – некоммут.
      умножение мат A(B ( B(A – некоммутативно.
3.   a((b(c) = (a(b) ((a(c) –дистрибутивность слева
      (a(b)(c) = (a(с) ((b(c) –дистрибутивность справа.
      Пр.  (ab)e=aebe  –  возведение  в  степень  дистрибутивного  отношения
произведения справа
      но не abc ( abac


                         Р. Гомоморфизм и изоморфизм



Алгебры с разными членами имеют различные строения.  Алгебры  с  одинаковыми
членами имеют сходство. Пусть даны две алгебры  A=(K;  (I)  и  B=(M;  (I)  –
одинакового типа.
Пусть отображение Г:K(M при условии Г((I)=  (I(Г),  (1)  т.е.  результат  не
зависит от последовательности возможных операций: Или сначала вып.  операции
(I b А и затем  отображении  Г,  или  сначала  отображение  Г,  или  сначала
отображение Г и затем отображение (I в В.
Тогда условие (1) называется Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В.
Когда существует  взаимооднозначный гомоморфизм его  называют  изоморфизмом.
В этом случае существует обратное отображение Г-1.
Мощности изоморфных алгебр равны.
      Пр. Алгебры (QN; +) и (Q2; +) – отображение типа и условие (1)
   запишется как 2(а+b)=2а+2b.
Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве
алгебр, т.е вычисление рефлексивное, симметричности и транзитивности.
Изоморфизм важнейшее понятие в математике. Полученные соотношения в алгебре
А автоматически  …. на изоморфные алгебры.



-----------------------
А


В


A


C


B

A

B

Объединение трех множеств:

AUB         AUB



А



В


А

В


С


В

А

А

В


A


B

                                    A \ B


а) взаимнооднозначное соответствеие (отображение)

а) не взаимнооднозначное соответствеие (отображение)

Мх

My

x=2 ( y=2

y=2 ( x=2..4



не взаимнооднозначное соответствие.

2

     2        3         4

y

X

-(/2

(/2

1-ый элемент          1-го множества

1-ый элемент
2-го множества

}

1

1



С=


101
010
001