Контрольная работа


№385. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

По определению несобственного интеграла имеем:


Интеграл сходится.

№301. Найти неопределенный интеграл.

Представим подинтегральную функцию в виде слагаемых



№522. Даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие
понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным
начальным условиям.

Понизим порядок дифференциального уравнения, т.е. введем новую функцию    ,
тогда
       и получаем уравнение

Это линейное уравнение первого порядка.
Введем новые функции u=u(x) и v=v(x).
Пусть          , тогда       , т.е.

                             (1)

Предположим, что функция            такова, что она обращает в
тождественный нуль выражение, стоящее в круглых скобках уравнения (1) т.е.,
что она является решением дифференциального уравнения.


это уравнение с разделяющимися переменными



Здесь
Подставляем значение v в уравнение (1), получаем



Следовательно,
а т.к.           , то



решим отдельно интеграл
                                             , тогда

общее решение данного дифференциального уравнения.
Найдем частное решение при заданных условиях



Т.к.            , то



Т.к.          , то



                             - частное решение при заданных условиях.

№543. Даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго  порядка
с  постоянными  коэффициентами.  Найти  частное   решение,   удовлетворяющее
указанным начальным условиям.



Составим характеристическое уравнение



Т.к.        , то общее решение запишется в виде
Найдем частное решение т.к. в правой части стоит   , то



Найдем      и



Подставим значение          и        в данное уравнение, получим:



Общее решение данного дифференциального уравнения.
Найдем частное решение при заданных начальных условиях
            , т.к.           , то

                 , т.к.           , то

решаем систему

                 и



                 - частное решение при заданных начальных условиях.
-----------------------
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]