Лекции по матану (III семестр) переходящие в шпоры

                                     №1

                             1 Двойной интеграл

Рассмотрим в плоскости Оху  замкнутую  область  D,  ограниченную  линией  Г,
являющейся замкнутой непрерывной кривой. z = l(P) = f(x,y), P= (x,y) (  D  –
произвольные ф-ции определенные и ограниченные на  D.  Диаметром  области  D
наз. наибольшее расстояние между граничными точками. Область  D  разбивается
на n частых областей D1…Dn конечным числом произв. кривых. Если S –  площадь
D, то  (Si  –  площадь  каждой  частной  области.  Наибольший  из  диаметров
областей обозн (. В каждой частной области Di возьмем произв. точку  Pi  ((i
, Di) ( Di, наз. промежуточной. Если диаметр разбиения D (  ( 0 ,  то  число
n областей Di ( (. Вычислим зн-ие ф-ции в промежуточных  точках  и  составим
сумму:I = [pic]f((i, Di)(Si  (1),  наз.  интегральной  суммой  ф-ции.  Ф-ция
f(x,y) наз. интегрируемой  в  области  D  если  существует  конечный  предел
интегральной суммы.
Двойным интегралом ф-ии f(x,y) по области D наз. предел  интегральной  суммы
при ( ( 0. Обозн:
[pic]или[pic]
                             2 Понятие числового
                              ряда и его суммы
Пусть задана бесконечная последовательность чисел u1, u2, u3…
Выражение u1+ u2+ u3…+ un (1) называется числовым рядом, а числа его
составляющие- членами ряда.
Сумма конечно числа n первых членов ряда называется n-ной частичной суммой
ряда: Sn = u1+..+un
Если сущ. конечный предел: [pic], то его называют суммой ряда и говорят,
что ряд сходится, если такого предела не существует, то говорят что ряд
расходится и суммы не имеет.
                                     № 2
                           1 Условие существования
                             двойного интеграла
Необходимое, но недостаточное:
Ф-ция f(x,y) интегрируема на замкнутой области D, ограничена на D.
1  достаточный  признак  существования:  если  ф-ция  f(x,y)  непрерывна  на
замкнутой, огр. области D, то она интегрируема на D.
2  достаточный  признак  существования:  если  ф-ция  f(x,y)  ограничена   в
замкнутой области D с какой-то границей и непрерывна в  ней  за  исключением
отдельных точек и гладки=х прямых в  конечном  числе  где  она  может  иметь
разрыв, то она интегрируема на D.

                             2 Геометрический и


                             арифметический ряды

Ряд состоящий из членов бесконечной геометрической прогрессии наз.
геометрическим: [pic] или
а+ а(q +…+a(qn-1
a ( 0 первый член q – знаменатель. Сумма ряда: [pic]
следовательно конечный предел последовательности частных сумм  ряда  зависит
от величины q
Возможны случаи:
1 |q|<1 [pic]
[pic]т. е. ряд схд-ся и его сумма [pic]2 |q|>1 [pic] и предел суммы так же
равен бесконечности
т. е. ряд расходится.
3 при q = 1 получается ряд: а+а+…+а… Sn = n(a [pic] ряд расходится
4 при q(1 ряд имеет вид: а-а+а … (-1)n-1a Sn=0 при  n  четном,  Sn=a  при  n
нечетном предела частных суммы не существует. ряд расходится.
Рассмотрим ряд из бесконечных членов арифметической прогрессии:[pic] u –
первый член, d – разность. Сумма ряда [pic]
[pic]при любых u1 и d одновременно ( 0 и ряд всегда расходится.
                                     №3
                      1 Основные св-ва 2ного интеграла
1. Двойной интеграл по области D = площади этой области.
2. Если область G содержится в Д, а ф-ция ограничена и интегрируема в Д,  то
она интегрируема и в G.
3. Аддитивное св-во. Если область Д при помощи кривой г разбивают на 2
области Д1 и Д2, не имеющих общих внутренних точек, то: [pic]
4. константы выносятся за знак интеграла, а сумму в ф-ции можно представить
в виде суммы интегралов:
[pic]
5. Если ф-ции f и g интегрируемы в Д, то их произведение также интегрируемо
в Д. Если g(x,y) ( 0 то и f/g   интегрируема в Д.
6. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в Д и всюду в этой области f(x,y) <=
g(x,y), то:
[pic]
В частности: g(x,y) >=0 то и
[pic]
7. Оценка абсолютной величины интеграла: если f(x,y) интегрируема в Д, то  и
|f(x,y)| интегрир. в Д причем
[pic]
обратное утверждение неверно, итз интегрируемости |f| не следует
интегрируемость f.
8. Теорема о среднем значении.
Если ф-ция f(x,y) интегр. в Д., то в этой области найдется такая точка ((,
() ( Д, что:
[pic](2), где S – площадь фигуры Д. Значение f((, ()  опред по ф-ле (2)
наз. средним значением ф-ции f по области Д.
                          2  С-ва сходящихся рядов
Пусть даны два ряда: u1+u2+…un =[pic](1)  и v1+v2+…vn = [pic](2)
Произведением ряда (1) на число ( ( R наз ряд: (u1+(u2+…(un =[pic](3)
Суммой рядов (1) и (2) наз ряд:
(u1+v1)+(u2+v2)+…(un+vn) = [pic] (для разности там только - появица)
Т1 Об общем множителе
Если ряд (1) сходится и его сумма = S, то для любого числа ( ряд [pic]=(
([pic] тоже сходится и его сумма S’ = S((  Если ряд (1) расходится и ( ( 0,
то и ряд [pic] тоже расходится. Т. е. общий множитель не влияет на
расходимости ряда.
Т2 Если ряды (1) и (2) сходятся, а их суммы = соотв S и S’, то и ряд: [pic]
тоже сходится и если ( его сумма, то ( = S+S’. Т. е. сходящиеся ряды можно
почленно складывать и вычитать. Если ряд (1) сходится, а ряд (2)
расходится, то их сумма(или разность) тоже расходится. А вот если оба ряда
расходятся. то ихняя сумма (или разность)может как расходится (если un=vn)
так и сходиться (если un=(vn)
Для ряда (1) ряд [pic]называется n – ным остатком ряда. Если нный остаток
ряда сходится, то его сумму будем обозначать: rn = [pic]
Т3 Если ряд сходится, то и любой его остаток сходится, если какой либо
остаток ряда сходится, то сходится и сам ряд. Причем полная сумма =
частичная сумма ряда Sn + rn
Изменение, а также отбрасывание или добавление конечного числа членов не
влияет на сходимость (расходимость) ряда.


                                     №4

                                 1 Сведение

                        2ного интеграла к повторному
Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке  [a,  b],  у1(х)<=  у2(х)  на  всем
отрезке.
D={x,y}: a<=x<=b; y1(x)<=y<=y2(x)
Отрезок [a,b] – проекция Д на ось  ох.  Для  такой  области  людбая  прямая,
параллельная оу и проходящая через внутреннюю  точку  области  Д  пересекает
границу области не более чем в 2 точках. Такая  область  наз.  правильной  в
направлении оси оу.
Если  фция f(x,y) задана на Д и при каждом х ( [a,b] непрерывна на  у  ,  на
отрезке, [y1(x),y2(x)], то фц-ия F(x) = [pic],  наз.  интегралом,  зависящим
от параметра I, а интеграл  :  [pic],  наз  повторным  интегралом  от  ф-ции
f(x,y)  на  области  Д.   Итак,   повторный   интеграл   вычисляется   путем
последовательного вычисления  обычных  определенных  интегралов  сначала  по
одной., а затем по другой переменной.

                                2 Необходимый

                          признак сходимости рядов
Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю:[pic]
Док-во: [pic]
Sn=u1+u2+…+un
Sn-1\u1+u2+…+un-1
un=Sn-Sn-1, поэтому:
[pic]
Сей признак является только необходимым, но не является достаточным., т.  е.
если предел общегоь члена и равен нулю совершенно  необязательно  чтобы  ряд
при этом сходился. Следовательно,  вот  сие  условие  при  его  невыполнении
является зато достаточным условием расходимости ряда.
                                     №5

                  1 Замена переменных в двойном интеграле.


                    Общий случай криволинейных координат

Пусть существует ф-ция f(x,y)  интегр  на  области  Д,  можно  прямолинейные
координаты x, y с помощью формул преобразования перейти к  криволинейным:  x
=  x(u,v),  y=y(u,v),  где  эти  ф-ции   непрерывные   вместе   с   частными
производными первого порядка, устанавливают  взаимно  однозначное  и  в  обе
стороны непрерывное соответствие между точками плоской области Д  и  области
Д’  и  определитель  преобразования,  наз.   Якобианом   не   обращается   в
0:[pic]если это выполняется можно пользоваться ф-лой:
[pic]
                           2 Интегральный признак
                        сходимости ряда. Ряд Дирихле
Т1 Пущай дан рядт [pic](1), члены которого неотрицательны, и не возрастают:
u1>=u2>=u3…>=un
Если существует ф-ция f(x) неотрицательная, непрерывная  и  не  возрастающая
на [1,+(] такая, что f(n) = Un,  (  n  (  N,  то  для  сходимости  ряда  (1)
необходимо унд достаточно, чтобы сходился  несобственный  интеграл:[pic],  а
для  расходимости  достаточно  и  необходимо  чтобы  сей  интеграл  наоборот
расходился (ВАУ!).
Применим сей признак для исследования ряда Дирихле: Вот он: [pic], ( ( R
Сей ряд называют обобщенным гармоническим рядом, при ( >0 общий член оного
un=1/n( (0 и убывает поэтому можно воспользоваться интегральным признаком,
функцией здеся будет ф-ция f(x)=1/x(  (x>=1)сия ф-ция удовлетворяет
условиям теоремы 1 поэтому сходимость (расходимости) ряда Дирихле
равнозначна сходимости расходимости интеграла: [pic]
Возможны три случая:
1 ( >1, [pic]
Интеграл а потому и ряд сходится.
2 0<(<1,
[pic]
Интеграл и ряд расходится
3 (=1,
[pic]
Интеграл и ряд расходится

                                     № 6

                             1 Двойной интеграл

                           в полярных координатах
Переход к полярным координатам частный случай замены переменных.
Луч, проходящий из произв точки О имеет  на  плоскости  полярные  координаты
A(r, () где r = |ОA| расстояние от О до А полярный радиус. (  =  угол  между
векторами ОА и ОР – полярный  угол  отсчитываемой  от  полярной  оси  против
часовой стрелки. всегда 0<=r<=+(, 0<=( <=2( .
Зависимость между прямоугольными и полярными координатами: x = r(cos( , y =
r(sin( .
Якобиан преобразования будет равен:
[pic]И формула при переходе примет вид:
[pic]
                            2 Признаки сравнения
Т(Признаки сравнения)
Пущай [pic] и [pic] ряды с неотрицательными членами и для любого n
выполняется нер-во:
un<=vn (1)тогда
1 Если ряд vn сходится, то сходится и ряд un
2 если ряд un расходится, то расходится и ряд vn. Т. е. говоря простыми
русскими словами для простых русских людей (ну для дураков вроде тебя): Из
сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими, а из
расходимости ряда с меньшими членами следует расходимости ряда с большими и
не наоборот!!!
Причем можно требовать, чтобы неравенство (1) выполнялось не для всех
номеров n, а начиная с некоторого n0, т. е. для некоторых номеров меньших
n0 неравенство (1) может и не выполняться. При применении сего признака
сравнения удобно в качестве ряда сравнения брать ряд Дирихле или
геометрический ряд, с которыми и так уже все ясно.
Т3 Засекреченная
Если сущ вышеописанные неотр. ряды, то если сущ предел:
[pic] (01 ряд расходится
Т(Признак Коши)
Пусть для того же самого ряда (т. е. положительного) существует
предел:[pic], тогда
1 Если k<1, то ряд сходится
2 Если k>1 ряд расходится
А вот если эти все пределы по  Коши  и  дедушке  Даламберу  равны  1,  то  о
сходимости или расходимости ряда ничего сказать низзя. Вот низзя и все  тут.
Вот.
                                     №8

                             1 Вычисление объема

                          с помощью 2ного интеграла
Рассматривая в пространстве тело Р, огр  снизу плоскостью оху, сверху z =
f(x,y), кот проектируется в Д, сбоку границей области Д, называемое
криволинейным цилиндром. Объем этого тела вычисляют по формуле:[pic]
если f(x,y)<=0 в Д тор тело находится под плоскостью оху.  Его  объем  равен
объему цилиндрического тела. огр сверху ф-цией:
z = |f(x,y)|>=0.
тогда [pic]
если в Д ф-ция меняет знак, то область разбивается на 2. Область Д1,
f(x,y)>=0; Д2, f(x,y)<=0, тогда:
[pic]
2 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Ряд называется знакочередующимся если каждая пара соседних членов имеет
разные знаки (один ?, другой ?), если считать каждый член сего ряда
положительным то его можно записать в виде: [pic]
Т (Признак Лейбница)
Если для знакочередующегося ряды выполняются условия:
1) u1>=u2>=u3…>=un>=un+1…
2) [pic]
то ряд сходится, а его сумма и остаток rn удовлетворяют неравенствам:
0<=S<=un и |rn|<=un+1
Ряд удовлетворяющий условиям теоремы наз. рядом Лейбница.
Если условие чередования знаков выполняется не с первого члена, а с какого-
нибудь исчо, то при существовании равного 0 предела ряд будет также
сходится.
                                     №9

                                1 Вычисление

                             площади поверхности
                        с помощью двойного интеграла.
Пусть дана кривая поверхность Р,  заданная  ур-ями  z  =  f(x,y)  и  имеющая
границу Г, проецирующуюся на плоскость оху в область Д. Если в этой  области
ф-ция f((x,y) непрерывна и имеет   непрерывные  частные  производные:  тогда
площадь поверхности Р вычисляется:
[pic]
для ф-ций вида x = ( (y,z) или y = ((x,z) там будут тока букыв в частных
производных менятца ну и dxdy.
                           2 Знакопеременные ряды.
                            Абсолютная и условная
                              сходимость рядов.
Ряд называют знакопеременным, если его членами являются действительные
числа, а знаки его членов могут меняться как кому в голову взбредет. Пусть
дан ряд:
u1+u2…+un=[pic](1), где un – может быть как положительным, так и
отрицательным. Рассмотрим ряд состоящий из абсолютных значений этого ряда:
|u1|+|u2|…+|un|=[pic](2),
Если сходится ряд (2), то ряд (1) называют абсолютно сходящимся, а вот если
ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится. то ряд (1) наз сходящимся условно.
Т. Признак абсолютной сходимости:
Если знакочередующийся ряд сходится условно. то он и просто так сходится,
при этом:
[pic]<=[pic]
Доквы:
т. к. 0<=|un|+un<=2|un|, то по признаку сравнения сходится ряд |un|+un,
тогда сходится ряд: (|un|+un)-|un|=un. Далее, т. к. по св-ву абсолютной
величины |Sn|=|u1+u2+…+un|<=|un| ( n ( N, то переходя к пределу получим:
[pic]<=[pic][pic]
Т2 Если ряд (1) абсолютно сходится, то и любой ряд составленный из тех же
членов, но в любом другом порядке тоже абсолютно сходится и его сумма равна
сумме ряда un – Sn. А вот с условно сходящимися рядами все гораздо
запущенней.
Т(Римана)
Если знакопеременный ряд с действительными членами сходится условно, то
каким бы ни было дейст. число S можно так переставить члены ряда, что его
сумма станет равна S, т. е. сумма неабсолютно сходящегося ряда зависит от
порядка слагаемых
                                     №10
                             1 Вычисление массы,
                           координат центра масс,
                          моментов инерции плоской
                           материальной пластины с
                          помощью 2ного интеграла.
Масса плоской пластины вычисляется по ф-ле:
[pic], где ((х, у) – поверхностная плотность.
Координаты центра масс выч по ф-ле:
[pic]
[pic]
если пластина однородная, т. е. ((х, у) – const, то ф-лы упрощаются:
[pic][pic]
Статические моменты плоскостей фигуры Д относит осей оу и ох
[pic][pic]
Момент инерции плоской пластины относительно осей ох, оу, начала координат:
[pic][pic][pic]
J0=Jx+Jy
если пластина однородная, то ро вышвыривается на фиг и считается равной 1.
           2 Сходимость функциональных последовательностей и рядов
Функциональной последовательностью заданной на множестве Е, наз.
последовательность ф-ций {fn(x)} (1)определенных на Е и принимающих
числовые действительные значения.
Пусть задана поледовательность числовых ф-ций {un(x)}  Формальнг  написанную
сумму: [pic](2) называют функциональным рядом на множестве Е, а ф-цию  un(x)
–  его  членами.  Аналогично  случаю   числовых   рядов   сумма:   Sn(x)   =
u1(x)+u2(x)+…+un(x) называется частичной  суммой  ряда  n  порядка,  а  ряд:
un+1? un+2… - его n-ным остатком. при  каждом  фиксированном  х  =  х0  (  Е
получим из (1) числовую последовательность {fn(x0)}, а  из  (2)  –  числовой
ряд[pic], которые могут сходится или расходится.  если  кто-нибудь  из  оных
сходится, то сходится и функциональная посл (1) в т х0,  и  сия  точка  наз.
точкой сходимости.
Если посл(1) сход на м-ж Е, то ф-ция f, определенная при ( x  (   E  f(x)  =
[pic] назывется пределом посл (1), если ряд(2) сходится на м-ж Е,  то  ф-ция
S(x) определенная при ( x ( Е равенством
S(x)= [pic]
называется суммой ряда (2).
Остаток ряда сходится только когда на этом же м-ж сходится  сам  ряд.,  если
обозначить сумму остатка ряда через rn(ч), то S(x) = Sn(x)+rn(x)
[pic] Если ряд (2) сходится абсолютно, то он наз абсолютно сходящимся на  м-
ж Е. Множество всех  точек  сходимости  функционального  ряда  наз  областью
сходимости. Для определения области сходимости  можно  использовать  признак
Даламбера и  Коши.  С  ихнею  помашшю  ф-ц  ряд  исследуется  на  абсолютную
сходимость Например, если существует
[pic] и
[pic], то ряд (2) абсолютно сходится при k(x)<1 и расходится при k(x)>1.
                                     №11

                             1 Тройные интегралы

Пусть на некоторой ограниченной замкнутой области V трехмерного
пространства задана ограниченная ф-ция f (x,y,z). Разобьем область V на n
произвольных частичных областей, не имеющих общих внутренних точек, с
объемами (V1… (Vn В каждой частичной области возбмем произв. точку М с
кооорд Mi((i,(i,(i) составим сумму: [pic]f((i,(i,(i)((Vi, кот наз
интегральной суммой для ф-ции f(x,y,z). Обозначим за ( максимальный диаметр
частичной области. Если интегральная сумма при ( ( 0 имеет конечный предел,
то сей предел и называется тройным интегралом от ф-ции f(x,y,z) по области
V И обозначается:
[pic]
                                2 Равномерная
                          сходимость функциональных
                        последовательностей и рядов.
                            Признак Вейерштрасса.
Ф-циональную последовательность {fn)x)} x ( E наз. равномерно сходящейся ф-
цией f на м-ж Е, если для ( ( >0, сущ номер N, такой, что для ( т х ( E и (
n >N выполняется (-во: |fn(x)-f(x)|<(. Если м-ж {fn)x)} равномерно сходится
на м-ж Е, то она и просто сходится в ф-ции f на сем м-ж. тогда пишут: fn (
f.
[pic]наз. равномерно сходящимся рядом, если на м-ж Е равномерно сходится
последовательность его частичной суммы. , т. ен. равномерная сходимость
ряда означает:Sn(x) ( f(x) Не всякий сходящийся ряд является равномерно
сходящимся, но всякий равномерно сходящийся – есть сходящийся (не, вот это
наверное лет 500 выдумывали.)
Т. (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда)
Если числовой ряд: [pic](7),
где ( >=0 сходится и для ( x ( E и ( n = 1,2… если выполняется нер-во
|un(x)|<=(n(8), ряд [pic](9) наз абсолютно и равномерно сходящимся на м-ж
Е.
Док-вы:
Абсолютная сходимость в каждой т. х следует из неравенства (8) и сходимости
ряда (7). Пусть S(x) – сумма ряда (9), а Sn(x) – его частичная сумма.
Зафиксируем произвольное ( >0 В силу сходимости ряда (7) сущ. номера N, ( n
>N и вып. нерво [pic]
Следовательно: |S(x)-Sn(x)| = [pic]
Это означает, что Sn(x) ( S(x) что означает равномерную сходимость ряда..
                                     №12

                             1 Замена переменных

                            в тройном интеграле.
Если ограниченная замкнутая область пространства V = f(x,y,z)  взаимно
однозначно отображается на область V’ пространства = (u,v,w) Если
непрерывно дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и
существует якобиан
[pic]
то справедлива формула:
[pic]
При переходе к цилиндрическим координатам, с вязанными с x,y,z формулами:
x=rcos(,  y=rsin(, z=z (0<=r<=+(, 0<=( <= 2(, -(<=z<=+()
Якобиан преобразования:
[pic]
И поэтому в цилиндрических координатах переход осуществляется так:
[pic]
При переходе к сферическим координатам: r? ( (, связанными с z,y,z
формулами x=rsin((cos(,
y=r sin(sin(, z=rcos(.
(0<=r<=+(, 0<=( <= 2(,
0<=( <=2()
Якобиан преобразования:
[pic]
Т. е. |J|=r2(sin(.
Итак, в сферических координатах сие будет:
[pic]
                            2 Свойства равномерно
                              сходящихся рядов
Т1 Если ф-ция un(x), где х ( Е непрерывна в т. х0 ( E и ряд [pic](1)
равномерно сходится на Е, то его сумма S(x) = [pic]также непрерывна в т.
х0.
Т2 (Об поюленном интегрировании ряда)
Пусть сущ. ф-ция un(x) ( R и непрерывная на отр. [a,b] и ряд [pic](3)
равномерно сходится на этом отрезке, тогда какова бы ни была т. х0 ( [a, b]
[pic](4) тоже равномерно сходится на [a,b]. В частности: при x0 = a, х = b:
[pic]т. е. ряд (3) можно почленно интегрировать.
Т3 (о почленном дифференцировании ряда)
Пусть сущ. ф-ция un(x) ( R и непрерывная на отр. [a,b] и ряд её производных
[pic](6) равномерно сходящийся на отр [a,b] тогда, если ряд [pic]  сходится
хотя бы в одной точке x0 ( [a,b] то он сходится равномерно на всем отрезке
[a,b], его сумма S(x) = [pic] является непрерывно дифференцируемой ф-цией и

S’(x)= [pic](9)
В силу ф-л ы (8) последнее равенство можно записать:
([pic])’ = [pic]
So ряд (7) можно почленно дифференцировать
                                     №13
                                1 Приложения
                             тройных интегралов
Объем тела[pic]
Масса тела: [pic], где ((М) = ((x,y,z) - плотность.
Моменты инерции тела относительно осей координат:
[pic]
Момент инерции относительно начала координат:
[pic]
Координаты центра масс:
[pic]

[pic]
[pic] m – масса.
Интегралы, стоящие в числителях выражают статические моменты тела: Myz,
Mxz, Mxy относит коорд плоскостей oyz, oxz, oxy. Если тело однородное: ((М)
= const, то из формул она убирается и оне упрощаются как в 2ных интегралах.

                       2 Степенные ряды. Теорема Абеля

Степенным рядом наз функциональный ряд вида: a0+a1x+a2x2+… + anxn =
[pic](1) x ( R членами которого являются степенные ф-ции. Числа an ( R, наз
коэффициентами ряда(1). Степенным рядом наз также ряд:
a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2… + an(x-x0)n = [pic](2)
 Степенной ряд (1) сходится абсолютно по крайней мере в т. х = 0, а ряд (2)
в т х = х0, т .е в этих случаях все лены кроме 1 равны 0. Ряд (2) сводится
к ряду (1) по ф-ле у = х-х0.
Т Абеля
1Если степенной ряд (1) сходится в т. х0 ( 0, то он сходится абсолютно при
любом х, для которого |x|<|x0|.
2Если степеннгой ряд (1) расходится в т. х0, то он расходится в любой т. х,
для которой |x|>|x0|
                                     №14

                         1 Определение криволинейных

                            интегралов 1 и 2 рода
Криволинейный интеграл по длине дуги (1 рода)
Пусть ф-ция f(x,y) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой
К. Произвольно разобъем дугу на n элементарных дуг точками t0..tn пусть (lk
длина k частной дуги. Возьмем на каждой элементарной дуге произвольную
точку N((k,(k) и умножив сию точку на соотв. длину дуги составим три
интегральную суммы:
(1 =[pic] f((k,(k)((lk
(2 =[pic] Р((k,(k)((хk
(3 =[pic] Q((k,(k)((yk,
где (хk = xk-xk-1, (yk = yk-yk-1
Криволинейным интегралом 1 рода по длине дуги  будет называться предел
интегральной суммы (1  при условии, что max((lk) ( 0
[pic]
Если предел интегральной суммы (2 или (3 при ( ( 0, то этот предел наз.
криволинейным интегралом 2 рода, функции P(x,y) или Q(x,y) по кривой l = AB
и обозначается:
[pic] или [pic]
  сумму: [pic]+[pic] принято называть общим криволинейным интегралом 2 рода
и обозначать символом:
[pic] в этом случае ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) – называются
интегрируемыми вдоль кривой l = AB. Сама кривая l наз контуром или путем
интегрирования А – начальной, В – конечной точками интегрирования, dl –
дифференциал длины дуги, поэтому криволинейный интеграл 1 рода наз.
криволинейным интегралом по дуге кривой, а второго рода – по функции..
Из определения криволинейных интегралов следует, что интегралы 1 рода не
зависят от того в каком направлении от А и В или от В и А пробегается
кривая l. Криволинейный интеграл 1 рода по АВ:
[pic], для криволинейных интегралов 2 рода изменение направления пробегания
кривой ведет к изменению знака:
[pic]
В случае, когда l – замкнутая кривая т. е. т. В совпадает  с  т.  А,  то  из
двух  возможных   направлений   обхода   замкнутого   контура   l   называют
положительным то направление, при котором  область  лежащая  внутри  контура
остается слева по отношению к  ???  совершающей  обход,  т.  е.  направление
движения против часовой стрелки. Противоположное направление  обхода  наз  –
отрицательным.  Криволинейный  интеграл   АВ   по   замкнутому   контуру   l
пробегаемому в положит направлении будем обозначать символом:
[pic]
Для пространственной кривой аналогично вводятся 1 интеграл 1 рода:
[pic] и три интеграла 2 рода:
[pic]
сумму трех последних интегралов наз. общим криволинейным интегралом 2 рода.
         2 Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.
Рассмотрим степенной ряд:
[pic](1) Число (конечное или бесконечное) R>=0 наз радиусом сходимости ряда
(1) если для любого х такого, что |x|R ряд расходится Интервал на числовой оси состоящий из т. х для
которых |x|0,  то  на  любом
отрезке действительной оси вида  |x|<=r,  00,
то для всех x ( (x0-h, x0+h) имеет место ф-ла Тейлора:
[pic]где остаток rn(x) можно записать:
[pic](8)
[pic](9) Формула (8) наз остаточным членом ф-лы Тейлора в интегральной
форме. Ф-ла (9) – формулой Лагранжа.
Преобразуя ф-лу Тейлора при х0 = 0 получаем ф-лу Маклорена.
Т3 Если ф-ция f(x) имеет в окрестности т х0  производные любого порядка и
все они ограниченны одним и тем же числом С, т е ( x ( U(x0) |f(n)(x)|<=C,
то ряд Тейлора этой ф-ции сходится в ф-ции f(x) для всех х из этой
окрестности.
                                     №17

                               1 Формула Грина

Сия очень полезная в сельском хозяйстве формула  устанавливает  связь  между
криволинейными и двойными интегралами.
Пусть  имеется  некоторая  правильная  замкнутая  область  Д,   ограниченная
контуром L и пущая ф-ции  P(x,y)  и  Q(x,y)  непрерывны  вместе  со   своими
частными производными: [pic]в данной области. тогда имеет место ф-ла:
[pic]
И вот вся эта фигулина и есть формула Грина.
Контур L определяющий область д может быть задан показательными уравнениями
х = х1(у), х=х2(у) с<=y<=d x1(y)<=x2(y) или
y = y1(x), y=y2(x) a<=x<=b y1(x)<=y2(x).
Рассмотрим область Д ограниченную неравенствами: a<=x<=b и y1(x)<=y2(x). и
преобразуем двойной интеграл [pic] к криволинейным для чего сведем его к
повторному и ф-ле Невтона-Лыебница выполним интегрирование по у и получим:
[pic]каждый из 2 определенных интегралов в правой части последнего
равенства = криволинейному интегралу 2 рода взятому по соответствующей
кривой а именно:
[pic]
[pic]
Итак двойной интеграл: [pic]
Формула Грина остается справедливой для всякой замкнутой области Д,  которую
можно разбить проведением дополнительных линий на конечной число  правильных
замкнутых областей.
          2 Разложение элементарных ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена)
1Разложение ф-ции ех
[pic] ряд Маклорена.
радиус сходимости:
R=( следовательно ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой.
2Разложение sinx и cosx В степенной ряд Маклорена
[pic]
сходится на всей числовой оси
[pic] сходится на всей числовой оси
3. f(x) = (1+x)(
[pic]
Наз. биномиальный ряд с показателем (  Различают 2 случая:
   1- ( ( N, тогда при любом х все члены ф-лы исчезают, начиная с (( +2)
поэтому ряд Маклорена содержит конечное число членов и сходится при всех х.
Получается формула Бинома Невтона: [pic], где [pic] биномиальный
коэффициент.
  2- ( ( R>N (( ( 0 х ( 0) и ряд сходится абсолютно при |x|>1
4 Разложение ф-ции ln(1+x)
[pic]
сходится при –1=0 во всех точках
материальной дуги лежащей в плоскости оху тогда:
[pic], где S – площадь цилиндрической поверхности, кот состоит из
перпендикуляров плоскости оху, восст в точках М(x,y) кривой АВ.
2 Геометрические и арифметические ряды.

                                     №19
           1 Некоторые приложения криволинейных интегралов 2 рода.
Вычисление площади плоской области Д с границей L
[pic]
2.Работа силы. Пусть материальная т очка под действием силы перемещается
вдоль непрерывной плоской кривой ВС, направясь от В к С, работа этой силы:
[pic]
при пространственной кривой там исчо третья функция появитца для буквы зю.
2 Свойства сходящихся рядов

                                     №20
       1 Условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути
                               интегрирования.
Плоская область ( наз односвязной если не имеет дыр. т. е. однородная.
Пусть ф-ция P(x,y) и Q(x,y)вместе со своими частными производными
непрерывны в некоторой замкнутой, односвязной области ( тогда следующие 4
условия эквиваленты, т. е. выполнение какого либо из них влечет остальные
3.
1. Для ( замкнутой кусочногладкой кривой L в ( значение криволинейного
интеграла:
[pic]
2. Для все т. А и т. В области ( значение интеграла [pic]
не зависит от выбора пути интегрирования, целиком лежащего в (.
3. Выражение Pdx+Qdy представляет собой полный дифференциал некоторых
функций определенных в ( существует ф-ция E=((х,у) опред в ( такая, что dE
= Pdx+Pdy
4. В области ( [pic]
Отседова следовает, что условие 3 является необходимым и достаточным
условием при котором интегралы 2 рода не зависят от выбора пути
интегрирования.
2 Интегральный признак сходимости ряда. Ряд Дирихле.

                                     №21
1 Интегрирование в полных дифференциалах
Пущай ф-ция P(x,y) и Q(x,y) [pic] - непрерывны в замкнутой области ( и
выражение P(x,y) + Q(x,y) есть полный дифееренциал некоторой ф-ции F(x,y) в
( , что равносильно условию: [pic], тогда dF=Pdx+Qdy.
Для интегралов независящих от пути интегрирования часто применяют
обозначение:
[pic]
или
[pic]
А(x0,y0) ( ( , В = (х,у) ( (
поэтому
F(x,y)=[pic]
 где (х0,у0) – фиксированная точка ( (,  (x,y) – произвольная точка ( ( , с
– const. и дает возможность определить все ф-ции, имеющие в подинтегральном
выражении свои полные дифференциалы. Тк. интеграл не зависит от пути
интегрирования, за путь инт. удобно взять ломаную звень которой параллельны
осям координат. тогда формула преобразуется к виду.
[pic]2 Признаки сравнения

                                     №22
1 Сведение 2-ного интеграла к повторному
Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке  [a,  b],  у1(х)<=  у2(х)  на  всем
отрезке.
D={x,y}: a<=x<=b; y1(x)<=y<=y2(x)
Отрезок [a,b] – проекция Д на ось  ох.  Для  такой  области  людбая  прямая,
параллельная оу и проходящая через внутреннюю  точку  области  Д  пересекает
границу области не более чем в 2 точках. Такая  область  наз.  правильной  в
направлении оси оу.
Если  фция f(x,y) задана на Д и при каждом х ( [a,b] непрерывна на  у  ,  на
отрезке, [y1(x),y2(x)], то фц-ия F(x) = [pic],  наз.  интегралом,  зависящим
от параметра I, а интеграл  :  [pic],  наз  повторным  интегралом  от  ф-ции
f(x,y)  на  области  Д.   Итак,   повторный   интеграл   вычисляется   путем
последовательного вычисления  обычных  определенных  интегралов  сначала  по
одной., а затем по другой переменной.

2 Признаки Даламбера и Коши

                                     №23
                              1 2 ной интеграл
                           в полярных координатах
Переход к полярным координатам частный случай замены переменных.
Луч, проходящий из произв точки О имеет на плоскости полярные координаты
A(r, () где r = |ОA| расстояние от О до А полярный радиус. ( = угол между
векторами ОА и ОР – полярный угол отсчитываемой от полярной оси против
часовой стрелки. всегда 0<=r<=+(, 0<=( <=2( .
Зависимость между прямоугольными и полярными координатами: x = r(cos( , y =
r(sin( .
Якобиан преобразования будет равен:
[pic]
И формула при переходе примет вид:
[pic]
2 Знакочередующиеся ряды признак Лейбница

                                     №24

                             1 Замена переменных

                             в тройном интеграле
Если ограниченная замкнутая область пространства V = f(x,y,z)  взаимно
однозначно отображается на область V’ пространства = (u,v,w) Если
непрерывно дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и
существует якобиан
[pic]
то справедлива формула:
[pic]
При переходе к цилиндрическим координатам, с вязанными с x,y,z формулами:
x=rcos(,  y=rsin(, z=z (0<=r<=+(, 0<=( <= 2(, -(<=z<=+()
Якобиан преобразования:
[pic]И поэтому в цилитндрических координатах переход осуществляется так:
[pic]
При переходе к сферическим координатам: r? ( (, связанными с z,y,z
формулами x=rsin((cos(,
y=r sin(sin(, z=rcos(.
(0<=r<=+(, 0<=( <= 2(,
0<=( <=2()
Якобиан преобразования:
[pic]
Т. е. |J|=r2(sin(.
Итак, в сферических координатах сие будет:
[pic]
2 Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда

                                     №25

                                  1 Условия


             существования и вычисления криволинейных интегралов

Кривая L наз. гладкой, если ф-ции ((t), ((t) из определяющих её
параметрических уравнений:
[pic](1)
имет на отрезке [a,b] непрерывные производные: (’(t), (’(t).Точки кривой L
наз особыми  точками, если они соответствуют значению параметра t ( [a,b]
для которых ((’(t))2+((’(t))2 = 0 т. е. обе производные обращаются в 0. Те
точки для которых сие условие не выполняется наз. обычными (ВАУ!).
Если кривая L=AB задана ф-лами (1), является гладкой и нет имеет обычных
точек, а ф-ции f(x,y),  P(x,y), Q(x,y) непрерывны вдоль этой кривой, то
криволинейные интегралы всех видов существуют (можно даже ихние формулы
нарисовать для наглядности) и могут быть вычислены по следующим формулам
сводящим эти интегралы к обычным:
[pic]
[pic]
[pic]
Отседова жа вытекаает штаа:
[pic]
В частности, если кривая АВ задана уравнением y = y(x), a<=x<=b , где у(х)
непрерывно дифференцируемая ф-ция, то принимая х за параметр t получим:
[pic]

[pic]
[pic]
[pic]ну и сумма там тожжа упростица.
ну и наоборот тожжа так будит, если х = х(у)
Если АВ задана в криволинейных координатах ( <= ( <= ( где ф-ция r(()
непрерывно дифференцируема на отрезке [(, (] то имеет место частный случай,
где в качестве параметра выступает полярный угол (. x = r(()(cos((),
y= r(()(sin(().
[pic]
и у второго рода так же.
Прямая L наз кусочно гладкой, если она непрерывна и распадается на  конечное
число  не  имеющих  общих  внутренних  точек  кусков,  каждый   из   которых
представляет собой гладкую кривую. В этом  случает  криволинейные  интегралы
по этой кривое определяются как сумма криволинейных  интегралов  по  гладким
кривым составляющим сию кусочно-гладкую кривую.
все выше сказанное справедливо и для пространственной кривой (с буквой зю).
2 Разложение элементарных ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена).