Математика 1 часть


                   ТЕМА 1. Скалярные и векторные величины

|ОСНОВНЫЕ        |Величины называют скалярными (скалярами), если они после   |
|ОПРЕДЕЛЕНИЯ     |выбора единиц измерения полностью характеризуются одним    |
|СКАЛЯРНЫХ И     |числом.                                                    |
|ВЕКТОРНЫХ       |Если некоторая скалярная величина полностью определяется   |
|ВЕЛИЧИН.        |одним числом, не зависящим от выбора осей отсчета, то тогда|
|                |говорят о чистой скалярной величине или об истинном        |
|                |скаляре.                                                   |
|                |Если некоторая скалярная величина определяется одним       |
|                |числом, абсолютная величина которого не зависит от выбора  |
|                |осей отсчета, а ее знак зависит от выбора положительного   |
|ВЕКТОР          |направления на осях координат, то тогда говорят о          |
|                |псевдоскалярной величине                                   |
|                |                                                           |
|                |Величина называется вектором (векторной), если она         |
|                |определяется двумя элементами различной природы:           |
|                |алгебраическим элементом - числом, показывающим длину      |
|                |вектора и являющимся скаляром, и геометрическим  элементом,|
|                |указывающим направление вектора.                           |
|                |Геометрически принято изображать вектор направленным       |
|СЛОЖЕНИЕ И      |отрезком. Зная координаты начала и конца вектора [pic] и   |
|ВЫЧИТАНИЕ       |[pic], можно найти координаты вектора, определяемого этими |
|ВЕКТОРОВ        |точками [pic], т.е. от координат конца вычитают координаты |
|                |начала вектора.                                            |
|                |Сложение и вычитание                                       |
|                |[pic] Сложение и вычитание векторов производят             |
|                |геометрически (рис. 7). Этот способ называют правилом      |
|                |треугольника.                                              |
|                |Математически сложение записывают [pic] или [pic], если    |
|                |речь идет о вычитании векторов (рис. 7).                   |
|                |Если в пространстве задано несколько векторов, число       |
|                |которых больше двух, то операцию сложения (вычитания)      |
|                |записывают как [pic]Геометрически этот способ называют     |
|                |правилом многоугольника.                                   |
|                |Умножение вектора на скалярную величину. При умножении     |
|                |вектора [pic] на скаляр ( получают новый вектор [pic],     |
|                |совпадающий по своему типу с исходным, длина (модуль)      |
|                |которого изменяется в ( раз, а направление совпадает с     |
|                |направлением исходного вектора [pic], если ( ( 0, или      |
|                |противоположно исходному вектору, если ( < 0. В            |
|                |координатной форме, если [pic], то [pic].                  |
|                |[pic]Два одинаково направленных и параллельных вектора     |
|                |называют коллинеарными. Коллинеарные векторы могут быть    |
|                |разной длины                                               |
|                |Два вектора [pic]и [pic]называют коллинеарными, если       |
|                |существуют такие два числа (  и (, не равные нулю          |
|                |одновременно, что выполняется равенство                    |
|                |Три вектора [pic],[pic]и [pic]назовем компланарными, если  |
|КОЛЛИНЕАРНЫЕ И  |существуют такие три числа (, (  и (, не равные            |
|КОМПЛАНАРНЫЕ    |одновременно нулю, что выполняется равенство [pic]         |
|ВЕКТОРЫ         |                                                           |
|                |                                                           |


                       ТЕМА 2. Действия над векторами

|СКАЛЯРНОЕ      |Скалярным произведением двух векторов [pic]и[pic]называется    |
|ПРОИЗВЕДЕНИЕ   |число S =|[pic]| |[pic]| сos ([pic]). Эта операция обозначается|
|ВЕКТОРОВ       |[pic].В частности, скалярный квадрат вектора равен квадрату его|
|               |длины, т.е. [pic]. Если один из перемножаемых векторов         |
|               |единичный, то:                                                 |
|               |[pic] .                                                        |
|               |В этом случае результат представляет собой проекцию вектора    |
|               |[pic] на направление единичного вектора [pic]. Следовательно,  |
|               |любой вектор можно представить как [pic], где [pic] - проекции |
|               |вектора  [pic] соответственно на оси 0х, 0у и 0z.              |
|               |Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти   |
|               |векторы ортогональны. Действительно, если ни один из векторов  |
|               |не нулевой, то, по определению скалярного произведения,        |
|               |последнее может быть равно нулю только тогда, когда [pic], т.е.|
|               |[pic].                                                         |
|               |[pic]Если вектор представлен через проекции на базисные        |
|               |векторы, то говорят о разложении вектора [pic] по              |
|               |ортогональному базису. Из рисунка видно, что в этом случае     |
|               |вектор [pic] является главной диагональю прямоугольного        |
|РАЗЛОЖЕНИЕ     |параллелепипеда, ребра которого параллельны осям координат и   |
|ВЕКТОРА ПО     |равны длинам проекций вектора [pic] на эти оси. Из этого же    |
|КООРДИНАТНЫМ   |рисунка следует, что модуль вектора [pic] численно будет равен |
|ОРТАМ.         |[pic].                                                         |
|               |Из определения скалярного произведения следует, что любой      |
|               |вектор, независимо от типа, можно представить в виде:          |
|               |[pic],                                                         |
|               |где [pic], [pic] и [pic]есть скалярное произведение вектора    |
|               |[pic] с ортами осей координат. Тогда из последнего равенства   |
|               |имеем                                                          |
|               |[pic]                                                          |
|               |где (, ( и ( - углы, которые составляет вектор                 |
|               |[pic]соответственно с осями 0х, 0у и 0z.                       |
|               |                                                               |
|               |Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти   |
|               |векторы ортогональны. Действительно, если ни один из векторов  |
|               |не нулевой, то, по определению скалярного произведения,        |
|               |последнее может быть равно нулю только тогда, когда [pic], т.е.|
|               |[pic].                                                         |
|               |Скалярное произведение векторов в координатной форме           |
|               |[pic]                                                          |
|               |[pic].                                                         |
|               |                                                               |
|               |                                                               |
|               |                                                               |
|               |                                                               |
|               |                                                               |
|               |                                                               |
|СВОЙСТВА       |                                                               |
|СКАЛЯРНОГО     |                                                               |
|ПРОИЗВЕДЕНИЯ.  |                                                               |
|СКАЛЯРНОЕ      |                                                               |
|ПРОИЗВЕДЕНИЕ В |                                                               |
|КООРДИНАТНОЙ   |                                                               |
|ФОРМЕ          |                                                               |
    ТЕМА 3. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение трех
                                  векторов.
|ПРАВАЯ И ЛЕВАЯ  |Линейно независимые векторы [pic], [pic] и [pic]образуют   |
|ТРОЙКИ ВЕКТОРОВ |правую тройку векторов, если они имеют такую же ориентацию,|
|                |как соответственно большой, указательный и средний палец   |
|                |правой руки, в противном случае говорят о левой тройке     |
|                |векторов                                                   |
|                |Три единичных вектора i,  j,  k, попарно ортогональные друг|
|                |другу и образующие правую тройку векторов, называют        |
|                |прямоугольной декартовой системой координат.               |
|                |Углом между векторами [pic]и [pic]называют такой угол (, не|
|                |превосходящий (, на который нужно повернуть вектор [pic],  |
|                |чтобы совместить его с направлением вектора [pic], начало  |
|                |которого должно совпадать с началом [pic].Угол между       |
|                |векторами обозначается ([pic],[pic]) или ([pic]([pic]).    |
|ВЕКТОРНОЕ       |                                                           |
|ПРОИЗВЕДЕНИЕ    |                                                           |
|ВЕКТОРОВ.       |[pic]Под векторным произведением векторов [pic]и           |
|                |[pic]понимают вектор [pic], имеющий длину и направленный   |
|                |перпендикулярно к плоскости [pic],определяемой векторами   |
|                |[pic]и [pic], причем так, что векторы [pic],[pic]и[pic]    |
|                |образуют правую тройку векторов (длина вектора [pic]       |
|                |численно равна площади параллелограмма, построенного на    |
|                |векторах [pic] и [pic]как на сторонах (это геометрический  |
|                |смысл векторного произведения).                            |
|                |Векторное произведение обозначают: [pic]или [pic].         |
|                |Очевидно, что [pic] (из определения векторного             |
|                |произведения). [pic]. Векторное произведение подчиняется   |
|                |только распределительному закону:                          |
|                |[pic].                                                     |
|                |                                                           |
|                |. Смешанным произведением векторов [pic], [pic]и           |
|                |[pic]назовем число К, равное объему параллелепипеда,       |
|                |построенного на этих векторах (рис. 10) и вычисляемое как: |
|                |[pic]                                                      |
|СМЕШАННОЕ       |Очевидно, что если [pic], [pic]и [pic] компланарны, то К = |
|ПРОИЗВЕДЕНИЕ    |[pic]=0.                                                   |
|ТРЕХ ВЕКТОРОВ   |Из определения смешанного произведения следует интересный  |
|                |факт, что произведение не зависит от порядка следования    |
|                |векторов в смешанном произведении, так как объем           |
|                |параллелепипеда (положительный или отрицательный) зависит  |
|                |только от расположения этих векторов в пространстве (левая |
|                |или правая тройка) потому, что является псевдоскаляром.    |
|                |Следовательно, можно записать                              |
|                |[pic] или [pic].                                           |
|                |Это свойство смешанного произведения служит обоснованием   |
|                |упрощения записи смешанного произведения:                  |
|                |[pic].                                                     |



                     ТЕМА 4. Прямая линия на плоскости.

|УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ|На плоскости, заметим, могут быть заданы только двухмерные,|
|НА ПЛОСКОСТИ    |или плоские преобразования.                                |
|                |Уравнение [pic], связывающее две переменные x и y          |
|                |называется уравнением линии L в выбранной плоской системе  |
|                |координат, если координаты любой точки этой линии L        |
|                |удовлетворяют уравнению, а любые другие координаты точек,  |
|                |не принадлежащих лини L, не удовлетворяют указанному       |
|                |уравнению.                                                 |
|                |По определению линия — это есть соотношение, связывающее   |
|                |координаты точек некоторой области пространства, и, причем |
|                |только эти координаты. Уравнение представляет собой        |
|                |аналитическую запись уравнения любой плоской линии.        |
|                |                                                           |
|                |[pic].                                                     |
|УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ|Если вместо [pic]подставить его численное значение, от     |
|С ЗАДАННОЙ      |получим известное  уравнение прямой                        |
|ТОЧКОЙ И        |[pic].                                                     |
|НАПРАВЛЯЮЩИМ    |Известно, что уравнение прямой имеет вид:                  |
|ВЕКТОРОМ        |[pic].                                                     |
|                |По условию задачи k  задан. Точка M (x0 ,y0) должна также  |
|                |принадлежать искомой прямой и, по определению линии,       |
|                |обращать уравнение прямой в тождество. Воспользуемся этим и|
|                |подставим значения  x0 и y0 в уравнение, получим :         |
|                |[pic].                                                     |
|                |В последнем уравнении неизвестно b. Элементарным           |
|                |преобразованием из последнего уравнения получим            |
|                |[pic].                                                     |
|                |Найденное b подставим в уравнение и окончательно           |
|УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ|[pic].                                                     |
|ПО ДВУМ ТОЧКАМ  |Уравнение является уравнением прямой, проходящей через     |
|                |данную точку в заданном направлении.                       |
|                |                                                           |
|                |Неизвестен k - угловой коэффициент наклона линии по        |
|                |отношению к положительному направлению 0X. Однако, зная    |
|                |общий вид  уравнения прямой ([pic] ) и учитывая, что обе   |
|                |точки расположены на искомой линии, можно составить        |
|                |следующую систему:                                         |
|                |[pic] ,                                                    |
|                |где  [pic] – координаты точек M1 и M2  соответственно,     |
|                |(известны), а k и b – искомые неизвестные. Вычитая из      |
|                |первого уравнения  второе, выразим k,                      |
|                |[pic].                                                     |
|                |Подставим найденное k в любое из уравнений и определим b   |
|                |[pic] .                                                    |
|                |Подставим найденные k и b в уравнение прямой               |
|                |[pic].                                                     |
|                |Преобразуем последнее уравнение                            |
|                |[pic]                                                      |
|                |и окончательно                                             |
|                |[pic].                                                     |
|                |Данное уравнение называется  уравнением прямой, проходящей |
|                |через две точки.                                           |


                 ТЕМА 5. Прямая и плоскость в пространстве.
|УРАВНЕНИЕ       |                                             Любая         |
|ПЛОСКОСТИ.      |поверхность есть геометрическое место точек, ее            |
|                |составляющих, определенное уравнением                      |
|                |[pic]                                                      |
|                |Иными словами, все точки, которые                          |
|                |удовлетворяют этому уравнению, будут                       |
|                |принадлежать поверхности.                                  |
|                |Пусть в пространстве XYZ задана                            |
|                |плоскость ( и к ней в точке K проведем                     |
|                |вектор нормали [pic]. Так как плоскость (                  |
|                |ориентирована произвольно в  пространстве,                 |
|                |то вектор [pic]  будет составлять с осями  x, y, z углы (, |
|                |( и ( соответственно.                                      |
|                |Выберем на плоскости (  точку M, не совпадающую с K  и     |
|                |свяжем с этой точкой вектор [pic]. Очевидно, что [pic], где|
|                |( – модуль вектора [pic], из уравнения получаем     [pic]. |
|                |Получаем нормальное уравнение плоскости: [pic].            |
|                |Однако, если представим вектор [pic] как [pic], а вектор   |
|                |[pic] [pic], тогда подставив полученные выражения, получаем|
|                |[pic]                                                      |
|                |Зная, что для любой точки, принадлежащей плоскости, с      |
|                |координатами (A,B.C) можно вычислить направляющие косинусы |
|                |[pic]                                                      |
|                |с учетом которых можно уравнение преобразовать             |
|                |[pic],                                                     |
|                |                                                           |
|                |которое известно, как уравнение плоскости.                 |
|                |                                                           |
|                |Прямой линией назовем пересечение двух плоскостей в        |
|                |пространстве. Определение можно записать математически как |
|                |[pic].                                                     |
|                |Пусть плоскости ( и ( (рис. 6) заданы уравнениями:         |
|                |[pic]                                                      |
|                |и                                                          |
|                |[pic],                                                     |
|                |где  [pic];    [pic],   [pic]                              |
|                |система из этих уравнений:                                 |
|                |[pic]      Уравнения  называются общими уравнениями прямой |
|                |в                                                          |
|                |пространстве, записанными в векторной форме.               |
|                |                                                           |
|ПРЯМАЯ КАК      |                                                           |
|ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ|                                                           |
|ПЛОСКОСТЕЙ      |                                                           |
|                |                                                           |
|                |                                                           |
|                |                                                           |
|                |                                                           |
|                |                                                           |
|                |                                                           |
|                |                                                           |
|                |                                                           |
|ВЕКТОРНОЕ       |                                                           |
|УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ|                                                           |
|                |                                                           |
                        ТЕМА 6Матрицы и определители.
|МАТРИЦЫ И       |Матрицей A называется любая прямоугольная таблица,         |
|ОПЕРАЦИИ НАД    |составленная из чисел [pic],  которые называют элементами  |
|НИМИ            |матрицы и обозначается                                     |
|                |[pic]      Если в выражении (1) [pic], то говорят о        |
|                |квадратной матрице, а если [pic], то о прямоугольной.      |
|                |Суммой двух матриц [pic] и [pic] называется матрица C, у   |
|                |которой  [pic], и записывают  [pic].                       |
|                |Произведением матрицы [pic]на число [pic] называется такая |
|                |                                                           |
|                |матрица C = (cij), у которой   (cij) = (kaij).             |
|                |Если матрица A не нулевая, т.е. существует хотя бы один    |
|                |[pic] элемент матрицы A, отличный от нуля, тогда всегда    |
|                |можно указать натуральное число  [pic] такое, что 1) у     |
|                |матрицы A имеется минор [pic]го порядка [pic]; 2) всякий   |
|                |минор матрицы A порядка [pic] и выше равен нулю, тогда     |
|                |число [pic], обладающее указанными свойствами называется   |
|                |рангом матрицы A и обозначается [pic]. Из определения      |
|                |вытекает, что 1) ранг любой прямоугольной матрицы не должен|
|                |быть больше, чем минимальный размер матрицы. Если матрица  |
|                |квадратная, то ранг не может быть больше, чем размер       |
|                |матрицы. Математически это можно выразить так [pic] 2) если|
|                |все элементы матрицы A равны нулю, т. е. [pic] ,то ранг    |
|                |этой матрицы тоже будет равен нулю [pic].                  |
|                |                                                           |
|                |Определителем n-го порядка называется число  [pic] равное  |
|                |алгебраической сумме [pic], где [pic] есть алгебраические  |
|                |дополнения элемента [pic], а [pic]- есть соответствующие   |
|ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИХ |миноры, т.е. определители (n-1)-го порядка, получающиеся из|
|СВОЙСТВА        |исходного определителя вычеркиванием первой строки и n-го  |
|                |столбца, на пересечение которых находится элемент  [pic].  |
|                |Количество строк (или столбцов)  в определителе называется |
|                |порядком определителя                                      |
|                |Решением системы называется совокупность из n чисел (с1,   |
|                |с2, ..., сn), которые, будучи подставленными в систему на  |
|                |место неизвестных x1, x2, ..., xn, обращают все уравнения  |
|                |системы в истинные равенства                               |
|                |Систему уравнений, имеющую хотя бы одно решение, называют  |
|СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ|совместной, систему, не имеющую решений, - несовместной.   |
|УРАВНЕНИЙ.      |Решения [pic] и [pic] считают различными, если хотя бы одно|
|                |из чисел [pic] не совпадает с соответствующим числом [pic] |
|                |Если совместная система имеет единственное решение, то она |
|                |называется определнной; если совместная система имеет по   |
|                |крайней мере два различных решения, то она называется      |
|                |неопределенной.                                            |
|                |Формулы Крамера [pic].                                     |
|                |Метод Гаусса.                                              |
|                |Пусть А - невырожденная матрица, то есть det A? 0, и,      |
|                |следовательно, она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе |
|                |части на А-1  слева, получаем:                             |
|                |А-1 (А Х) = А-1 В  ?  (А-1 А)Х = А-1 В  ? Е Х = А-1 В, то  |
|                |есть Х = А-1 В и есть искомое решение системы (14).        |
|                |Действительно, подставив (16) в (14), получим А (А-1  В) = |
|                |(А-1 А)В = Е В = В.                                        |

                           ТЕМА 7. Предел функции.
|ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ.|Если некоторому множеству значений [pic] поставлено по     |
|                |определенному правилу F во взаимнооднозначное соответствие |
|                |некоторое множество [pic], то тогда говорят, что на        |
|                |множестве [pic]определена  функция [pic]. Множество        |
|                |[pic]называется областью изменения функции, множество      |
|                |[pic]– областью определения функции. Такая функция         |
|                |называется однозначной.                                    |
|                |Если некоторому множеству значений [pic] поставлено по     |
|                |определенному правилу F несколько значений из множества    |
|                |[pic], то тогда говорят, что на  множестве [pic]задана     |
|                |многозначная функция.                                      |
|                |Для того чтобы  обозначить, что [pic]есть функция от[pic], |
|                |используют следующие виды записи: [pic]; [pic]; [pic]   и  |
|                |т.д.                                                       |
|                |Если невозможно выразить [pic], тогда говорят, что задана  |
|                |неявная функция и записывают: [pic]; [pic]; [pic]   и      |
|                |т.д.                                                       |
|                |Если надо выделить некоторое частное значение функции,     |
|ЧИСЛОВАЯ        |соответствующее какому-либо конкретному значению [pic],    |
|ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОС|тогда записывают: [pic].                                   |
|ТЬ. ПРЕДЕЛ      |Если каждому натуральному n по какому-либо известному      |
|ЧИСЛОВОЙ        |правилу поставлено в соответствие некоторое число [pic],   |
|ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОС|тогда говорят, что задана последовательность [pic], которая|
|ТИ.             |обозначается как [pic] Правило, по которому формируется    |
|                |последовательность [pic], обозначается как [pic] и         |
|                |называется общим числом последовательности. Число [pic]    |
|                |назовем пределом последовательности[pic] при               |
|                |[pic]стремящимся к [pic], если для любого положительного,  |
|                |наперед заданного числа (, определяющего окрестность точки |
|                |A, можно указать такую (, что для любого [pic], отличного  |
|                |от[pic] из отрезка [pic] значений функции [pic] принадлежит|
|                |[pic] и это записывают как  [pic].                         |
|                |Последовательность[pic]называется бесконечно большой, если |
|                |для любого числа [pic] найдется номер N, такой что для всех|
|                |[pic] выполняется неравенство [pic]. Геометрически это     |
|                |обозначает, что какой бы большой номер числа               |
|                |последовательности мы ни взяли, то всегда найдется число,  |
|                |принадлежащее этой последовательности, и лежащее правее    |
|                |выбранного, если последовательность составлена из          |
|                |положительных чисел, или левее, если последовательность    |
|                |составлена из отрицательных. Это записывают [pic], или     |
|                |[pic].                                                     |
|                |Последовательность [pic]называется бесконечно малой, если  |
|                |[pic]                                                      |
|                |ТЕОРЕМА: Для того чтобы последовательность[pic]сходилась к |
|                |числу A необходимо и достаточно, чтобы выполнилось         |
|                |равенство [pic],   где [pic].                              |
|ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ  |Эта теорема дает связь между пределом сходящейся           |
|                |последовательности и бесконечно малыми.                    |
|                |Функции [pic]называется непрерывной при [pic]или в точке   |
|                |[pic], если выполняется [pic].А так как функция при этом   |
|                |должна быть непрерывной в точке [pic], то  должно быть     |
|                |справедливо [pic].                                         |
|                |Функция [pic] называется непрерывной в точке [pic], если   |
|                |для всех положительных, сколь угодно малых ( можно указать |
|                |такое положительное число [pic], для которого выполняется  |
|                |неравенство [pic] для всех [pic] из отрезка [pic].         |


                            ТЕМА 8. Производная.
|ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЁ |                                                           |
|СВОЙСТВА И      |Если отношение [pic] имеет предел при                      |
|ГЕОМЕТРИЧЕС-КИЙ |[pic] этот предел называют                                 |
|СМЫСЛ.          |производной функции [pic] при заданном                     |
|                |значении [pic]и записывают                                 |
|                |[pic].                                                     |
|                |Производная функции [pic] в точке [pic] численно равна     |
|                |тангенсу угла, который составляет касательная к графику    |
|                |этой функции построенной в точке  [pic] с положительным    |
|                |направлением с осью [pic]                                  |
|                |Из определения ясно -  в случае убывающей функции          |
|                |производная отрицательна. Это объясняется тем, что [pic],  |
|                |если[pic]будет отрицательным. На этом свойстве производной |
|                |основано исследование поведения функции на возрастание     |
|                |(убывание) на заданном отрезке.                            |
|                |                                                           |
|                |Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме|
|                |производных. [pic].                                        |
|                |Производная произведения равна [pic].                      |
|                |Если функция [pic] имеет в точке [pic] производную [pic] и |
|ДИФФЕРЕНЦИАЛ.   |функция [pic] имеет в точке [pic] производную [pic], тогда |
|                |сложная функция [pic] имеет в точке [pic] производную,     |
|                |равную [pic]                                               |
|                |Если [pic] имеет в точке [pic] производную, отличную от    |
|                |нуля, тогда в этой точке обратная функция [pic] также имеет|
|                |производную и имеет место соотношение [pic].               |
|                |Дифференцируя производную первого порядка, можно получить  |
|                |производную второго порядка, а, дифференцируя полученную   |
|                |функцию, получаем производную третьего порядка и т.д.      |
|                |Пример 1. [pic];  [pic];  [pic]; ...;  [pic];   [pic].     |
|                |Пример 2. [pic];  [pic]; [pic];  [pic];  [pic]. Так как    |
|                |[pic], то можно предположить, что в данном случае функцию  |
|                |можно дифференцировать бесконечное количество раз.         |
|                |Пример 3. [pic]. [pic]. Как и во втором примере, эта       |
|                |функция дифференцируема бесконечное количество раз.        |
|ПРОИЗВОДНАЯ     |Пример 4. [pic]. [pic]; [pic]; [pic]; …                    |
|ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ |[pic]; ...Как следует из приведенных примеров, разные      |
|                |функции ведут себя по-разному при многократном             |
|                |дифференцировании. Одни имеют конечное количество          |
|                |производных высших порядков, другие – переходят сами в     |
|                |себя, а третьи, хотя и дифференцируемы бесконечное         |
|                |количество раз, но порождают новые функции, отличные от    |
|                |исходной. Однако все сформулированные теоремы о производных|
|                |первых порядков выполняются для производных высших         |
|                |порядков.                                                  |

                         ТЕМА 9. Экстремум функции.
|ВОЗРАСТАНИЕ     |Функция называется возрастающей на некотором промежутке    |
|(УБЫВАНИЕ)      |[pic], если на этом промежутке большему значению           |
|ФУНКЦИЙ         |независимой переменной соответствует большее значение      |
|                |функции, т.е. если [pic] и [pic] [pic], то выполняется     |
|                |[pic].                                                     |
|                |Функция называется убывающей на некотором промежутке [pic],|
|                |если на этом промежутке большему значению независимой      |
|                |переменной соответствует меньшее значение функции, т.е.    |
|                |если [pic] и [pic], [pic], то [pic].                       |
|                |Если функция определима и непрерывна на некотором отрезке  |
|                |[pic] и на концах отрезка имеет знак, то на указанном      |
|                |отрезке эта функция имеет по крайне мере хотя бы одну      |
|                |точку, в которой [pic].                                    |
|                |                                                           |
|                |Функция [pic] достигает своего максимума в точке [pic],    |
|                |если ее значение в окрестности этой точки меньше, чем      |
|ЭКСТРЕМУМ       |значение функции в этой же точке [pic].                    |
|ФУНКЦИИ         |Функция [pic] достигает своего минимума в точке [pic], если|
|                |ее значение в окрестности этой точки больше, чем значение  |
|                |функции в этой же точке [pic].                             |
|                |Правило поиска экстремальных точек                         |
|                |1. Находим область определения функции [pic].              |
|                |2. Находим производную функции [pic].                      |
|                |3. Определяем критические точки [pic] по ее первой         |
|                |производной.                                               |
|                |4. Исследуем  [pic] на знак слева и справа от найденных    |
|                |точек.                                                     |
|                |5. Если слева от точки [pic], а справа [pic], то тогда     |
|                |говорят, что точка [pic] является точкой максимума.        |
|                |6. Если слева от точки [pic], а справа [pic], то тогда     |
|                |говорят, что точка [pic] является точкой минимума.         |
|                |7. Если [pic] слева и справа от критической точки не меняет|
|                |знак, то говорят, что [pic] является точкой перегиба       |
|                |функции.                                                   |
|                |Если функции [pic] и [pic] непрерывны при [pic], где [pic]–|
|                |некоторое положительное число, отличное от нуля и          |
|                |достаточно маленькое, и имеют непрерывные производные в    |
|                |указанной точке, а также [pic] не обращается в нуль при    |
|                |вычитании указанных условий, тогда можно сформулировать    |
|                |следующую теорему.                                         |
|ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ|Теорема Коши. Если при соблюдении предположений            |
|                |относительно функций [pic] и [pic] отношение [pic]         |
|                |стремится к некоторому числу при [pic], то тогда к такому  |
|                |же числу будет стремиться отношение функций [pic].         |
|                |Эта теорема позволяет формулировать правило Лопиталя. При  |
|                |раскрытии неопределенности вида  [pic] можно функцию       |
|                |числителя [pic] и знаменателя [pic] заменить их            |
|                |производными [pic] и  [pic], соответственно, и             |
|                |рассматривать предел [pic] вместо [pic] в указанной точке. |


                                   ТЕМА 10
|                |                                                           |


                                   ТЕМА 11
|                |                                                           |


                                   ТЕМА 12
|                |                                                           |


                                   ТЕМА 13
|                |                                                           |


                                   ТЕМА 14
|                |                                                           |


                                   ТЕМА 15
|                |                                                           |


-----------------------


                                    [pic]
                                    [pic]

                                    [pic]
                                    [pic]

                                      M

                                      (

                                      K

                                      n

                                      (

                                      (

                                      (

                                      0

                                      z

                                      y

                                      x



                                    x+(x

                                      x

????????????????????????????????????????????x

                                      y

                                      C

                                      (

                                      B

                                      A

                                     (f

                                     (x

[pic]

[pic]