Математика. Интегралы


1.
      *1. Говорят, что функция f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b),
если для любых точек x1f(x2)). В этом
случае функцию называют монотонной на (a,b).
      Т1. Дифференцируемая на (a,b) функция f(x) тогда и только тогда не
убывает (не возрастает) на (a,b), когда f((x)(0 ((0) при любом x((a,b).
            Док-во: 1) Достаточность. Пусть f((x)(0 ((0) всюду на (a,b).
Рассмотрим любые x10, f((a)(0 ((0), f(x2)-f(x1)(0 ((0), значит, f(x) не
убывает (не возрастает) на (a,b). 2) Необходимость. Пусть, например, f(x)
не убывает на (a,b), x((a,b), x+(x((a,b), (x>0. Тогда (f(x+(x)-f(x))/(x(0.
Переходя к приделу при (x(0, получим f((x)(0. Теорема доказана.
      Т2. Для возрастания (убывания) f(x) на (a,b) достаточно, чтобы f((x)>0
(<0) при любом x((a,b). Док-во: Тоже что и в Т2.
      Замечание1. Обратное к теореме 2 не имеет места, т.е. если f(x)
возрастает (убывает) на (a,b), то не всегда f((x)>0 (<0) при любом x((a,b).
      *3. Прямая х=а называется вертикальной асимптотой графика функций
y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений [pic] или [pic] равно +(
или –(.
      Замечание 2. Непрерывные функции вертикальных асимптот не имеют.
      *4. Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции
y=f(x) при x(+((–(), если f(x)=kx+b+((x), где[pic]
      Т3. Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции
y=f(x) при x(+((–(), тогда и только тогда, когда существуют [pic], [pic],
причем при x(+((–() наклонная асимптота называется правой (левой). Док-во:
Предположим, что кривая y=f(x) имеет наклонную асимптоту y=kx+b при x(+(,
т.е. имеет место равенство f(x)=kx+b+((x). Тогда [pic]. Переходя к пределу
при x(+(, получаем [pic]. Далее из f(x)=kx+b+((x)( b=f(x)-kx-((x). Переходя
к пределу при x(+(, получаем [pic]. Докажем обратное утверждение. Пусть
пределы, указанные в теореме, существуют и конечны. Следовательно,
f(x)–kx=b+((x), где ((x)(0, при x(+((–(). Отсюда и получаем представление
f(x)=kx+b+((x). Теорема доказана.
      Замечание3. При k=0 прямая y=b называется горизонтальной асимптотой,
причем при x(+((–() – правой (левой).

2.
      *1. Точку х0 назовем стандартной для функции f(x), если f(x)
дифференцируема в точке x0 и f((x0)=0.
      *2. Необходимое условие экстремума. Если функция y=f(x) имеет в точке
x0 локальный экстремум, то либо x0 – стационарная точка, либо f не является
дифференцируемой в точке x0.
      Замечание 1. Необходимое условие экстремума не является достаточным.
      Т1. (Первое достаточное условие экстремума). Пусть y=f(x)
дифференцируема в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой
точки x0, в которой она является непрерывной. Если при переходе x через x0
слева направо f((x) меняет знак с + на –, то точка x0 является точкой
максимума, при перемене знака с – на + точка x0 является точкой минимума.
Док-во: Пусть x((a,b), x(x0, (a,b) – достаточно малая окрестность точки x0.
И пусть, например, производная меняет знак с + на –. Покажем что
f(x0)>f(x). По теореме Лагранжа (применительно к отрезку [x,x0] или [x0,x])
f(x)–f(x0)=(x- x0)f(((), где ( лежит между x0 или x: а) x< x0(x- x0<0,
f((()>0(f(x)–f(x0)<0(f(x0)>f(x); б) x>x0(x–x0>0,
f((()<0(f(x)–f(x0)<0(f(x0)>f(x).
      Замечание 2. Если f((x) не меняет знака при переходе через точку х0,
то х0 не является точкой экстремума.
      Т2. (Второе достаточное условие экстремума). Пусть x0 – стационарная
точка функции y=f(x), которая имеет в точке x0 вторую производную. Тогда:
1) f((( x0)>0(f имеет в точке x0 локальный минимум. 2) f((( x0)<0(f имеет в
точке x0 локальный максимум.


3.
      *1. График функции y=f(x) называется выпуклым вниз (или вогнутым
вверх) в промежутке (a,b), если соответствующая дуга кривой расположена
выше касательной в любой точке этой дуги.
      *2. График функции y=f(x) называется выпуклым вверх (или вогнутым
вниз) в промежутке (a,b), если соответствующая дуга кривой расположена ниже
касательной в любой точке этой дуги.
      Т1. Пусть y=f(x) имеет на (a,b) конечную 2-ю производную. Тогда: 1)
f(((x)>0, (x((a,b)(график f(x) имеет на (a,b) выпуклость, направленную
вниз; 2) ) f(((x)<0, (x((a,b)(график f(x) имеет на (a,b) выпуклость,
направленную вверх
      *3. Точка (c,f(с)) графика функций f(x) называется точкой перегиба,
если на (a,c) и (c,b) кривая y=f(x) имеет разные направления выпуклости
((a,b) – достаточно малая окрестность точки c).
      Т2. (Необходимое условие перегиба). Если кривая y=f(x) имеет перегиб
в точке (c, f(c)) и функция y=f(x) имеет в точке c непрерывную вторую
производную, то f(((c)=0.
      Замечание1. Необходимое условие перегиба не является достаточным.
      Замечание2. В точке перегиба вторая производная может не
существовать.
      Т3. (Первое достаточное условие перегиба). Пусть y=f(x) имеет вторую
производную на c((a,b), f(((c)=0. Если f(((x) имеет на (a,c), (c,b) разные
знаки, то (c, f(c)) – точка перегиба графика f(x).
      Т4. (Второе условие перегиба). Если y=f(x) имеет в точке конечную
третью производную и f(((c)=0, а f((((c)(0, тогда (c, f(c)) – точка
перегиба графика f(x).

4.
      *1. Первообразная от функции f(x) в данном интервале называется
функция F(x), производная которой равна данной функции: F((x)=f(x).
      T1. Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество
первообразных, причем любые две из них отличаются друг от друга только
постоянным слагаемым. Док-во: F(x) и Ф(х) – две первообразные от f(x),
тождественно не равные между собой. Имеем F((x)=f(x), Ф((х)=f(x). Вычитая
одно равенство из другого, получим [F(x)–Ф(х)](=0. Но если производная от
некоторой функции (в нашем случае от F(x)–Ф(х)) тождественно равна нулю, то
сама функция есть постоянная; ( F(x)–Ф(х)=С.
      *2. Неопределенным интегралом от данной функции f(x) называется
множество всех его первообразных [pic],где F((x)=f(x).

5.
      Свойства неопределенного интеграла:
   1. Производная НИ =подынтегральной функции; дифференциал от НИ равен
      подынтегральному выражению: [pic]; [pic]. Док-во: [pic]; [pic]
   2. НИ от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью
      до постоянного слагаемого: [pic]. Док-во: Обозначим [pic]. На
      основании первого св-ва: [pic], откуда [pic], т.е. [pic].
   3. НИ от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от
      слагаемых функций: [pic], где u, v, …,w-функции независимой переменной
      х. Док-во: [pic]
   4. Постоянный множитель можно выносить за знак НИ:[pic], где с –
      константа. Док-во [pic].
   Т2. (об инвариантности формул интегрирования): Пусть (f(x)dx=F(x)+C –
   какая-либо известная формула интегрирования и u=ф(х) – любая функция,
   имеющая непрерывную производную. Тогда (f(u)du=F(u)+C. Док-во: Из того,
   что (f(x)dx=F(x)+C, следует F((x)=f(x). Возьмем функцию F(u)=F[ф(x)]; для
   её дифференциала, в силу теоремы об инвариантности вида первого
   дифференциала функции, имеем: dF(u)=F((u)du=f(u)du. Отсюда
   (f(u)du=(dF(u)=f(u)+C.

6.
      Метод замены переменных.
1) Подведение под знак дифференциала. Т1. Пусть функция y=f(x) определена и
дифференцируема, пусть также существует f(x)=f(((t)) тогда если функция
f(x) имеет первообразную то справедлива формула: [pic]–формула замены
переменных. Док-во: пусть F(x) для функции f(x), т.е. F((x)=f(x). Найдем
первообразную для f(((t)), [F(((t))](t=F((x)(((t)) (((t)=F((x) (((t)=f(x)
(((t). (f(x) (((t)dt=f(((t))+C. F(((t))+C=[F(x)+C]|x=((t)=(f(x)dx|x=((t).
      Замечание1. При интегрировании иногда целесообразно подбирать
подстановку не в виде x=((t), а в виде t=((x).
2) Подведение под знак дифференциала. F(x)dx=g(((x)) (((x)dx=g(u)du.
(f(x)dx=(g(((x)) (((x)dx=(g(u)du.
   1. dx=d(x+b), где b=const;
   2. dx=1/ad(ax), a(0;
   3. dx=1/ad(ax+b), a(0;
   4. ф((х)dx=dф(x);
   5. xdx=1/2 d(x2+b);
   6. sinxdx=d(-cosx);
   7. cosxdx=d(sinx);

      Интегрирование по частям: (udv=uv-(vdu. До-во: Пусть u(x) и v(x) –
функции от х с непрерывными производными. D(uv)=udv+vdu,(udv=d(uv)-
vdu((интегрируем) (udv=(d(uv)-(vdu или (udv=uv-(vdu.

7.
      Интегрирование по частям: (udv=uv-(vdu. До-во: Пусть u(x) и v(x) –
функции от х с непрерывными производными. D(uv)=udv+vdu,(udv=d(uv)-
vdu((интегрируем) (udv=(d(uv)-(vdu или (udv=uv-(vdu.
      Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен:
[pic]
[pic]
Первый интеграл табличного вида: (du/uk:[pic]
Второй интеграл сводится к нахождению интеграла: где u=x+p/2, a=[pic], q-
p2/4>0 [pic]
[pic]
[pic] – рекуррентная формула.
Интегрирование рациональных функций: R(x)=P(x)/Q(x), R(x)-рациональная
функция, P(x) и Q(x)-многочлены. Дробь P(x)/Q(x) можно разложить в сумму
простейших дробей, где Ai, Bi, Ci – постоянные, а именно: каждому множителю
(x-a)k в представлении знаменателя Q(x) соответствует в разложении дроби
P(x)/Q(x) на слагаемые сумма k простейших дробей типа [pic] а каждому
множителю (x2+px+q)t соответствует сумма t простейших дробей типа [pic].
Таким образом при разложении знаменателя Q(x) на множители имеет место
разложение дроби P(x)/Q(x) на слагаемые.
[pic]
Правила интегрирования рациональных дробей:
   1. Если рац. дробь неправильная, то её представляют в виде суммы
      многочлена и неправильной дроби.
   2. Разлагают знаменатель правильной дроби на множетели.
Правую рац. дробь разлагают на сумму простейших дробей. Этим самым
интегрирование правильной рац. дроби сводят к интегрированию простейших
дробей.

8.
Интегрирование тригонометрических функций:
I. 1  Интеграл вида: [pic]
   2. R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно sinx, то cosx=t.
   3. R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно cosx, то sinx=t.
   4. R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно sinx и cosx, то tgx=t.
      [pic]
II. 1 [pic]
   2. Оба показателя степени m и n – четные положительные числа:
      sinxcosx=1/2 sin2x; sin2x=1/2(1-cos2x);   cos2x=1/2(1+cos2x).
III. (tgmxdx и (ctgmxdx, где m-целое положительное число. tg2x=sec2x-1 или
   ctg2x=cosec2x –1.
IV. (tgmxsecnxdx и (ctgmxcosecnxdx, где n – четное положительное число.
   sec2x=1+tg2x или cosec2x=1+ctg2x.
V. (sinmx*cosnxdx, (cosmx*cosnxdx,  (sinmx*sinnxdx;
   sinacosb=1/2(sin(a+b)+sin(a-b));  cosacosb=1/2(cos(a+b)+cos(a-b));
   sinasinb=1/2(cos(a-b)-cos(a+b));


9.
      Интегрирование иррациональных функций:
I. 1  (R(x, [pic], [pic],…)dx, k-общий знаменатель дробей m/n, r/s…. x=tk,
   dx=ktk–1dt
   2. (R(x,[pic], [pic]…)dx, [pic], x=[pic], dx=[pic]
II. 1 [pic] Вынести 1/(a или 1/(-a. И выделим полные квадраты.
   2. [pic]
   3. [pic] Разбить на два интеграла.
   4. [pic]    [pic]
III. 1      [pic]
   2. [pic]
   3. [pic]
[pic]  1)p-целое число x=tS, где s- наименьшее общее кратное знаменателей у
дробей m и n. 2) (m+1)/n –целое число: a+bxn=tS; 3) p+(m+1)/n-целое число:
a-n+b=tS и где s- знаменатель дроби p.

10.
Определенный интеграл:
   1) интервал [a,b], в котором задана функция f(x), разбивается на n
      частичных интервалов при помощи точек a=x0