Математическая статистика



                           1-я контрольная работа
Задача № 1.33
    Вычислить центральный момент третьего порядка ((3) по данным таблицы:

|Производительно|80.5 –    |81.5 –    |82.5 –    |83.5 –    |84.5 –    |
|сть труда,     |81.5      |82.5      |83.5      |84.5      |85.5      |
|м/час          |          |          |          |          |          |
|Число рабочих  |7         |13        |15        |11        |4         |

|Производительност|XI      |Число   |mixi    |(xi-xср)3 |(xi-xср)3m|
|ь труда, м/час   |        |рабочих,|        |          |i         |
|                 |        |mi      |        |          |          |
|80.5 – 81.5      |81      |7       |567     |-6,2295   |-43,6065  |
|81.5 – 82.5      |82      |13      |1066    |-0,5927   |-7,70515  |
|82.5 – 83.5      |83      |15      |1245    |0,004096  |0,06144   |
|83.5 – 84.5      |84      |11      |924     |1,560896  |17,16986  |
|84.5 – 85.5      |85      |4       |340     |10,0777   |40,31078  |
|Итого:           |        |50      |4142    |          |6,2304    |

      Ответ: (3=0,1246


Задача № 2.45

      Во время контрольного взвешивания пачек чая установлено,  средний  вес
у n=200 пачек чая равен [pic]=26 гр. А S=1гр.  В  предложение  о  нормальном
распределение определить у какого количества пачек чая ве будет находится  в
пределах от ([pic] до [pic].
      Р(25(2табл
      Ответ:  Выдвинутая  гипотеза   о   нормальном   законе   распределения
отвергается с вероятностью ошибки альфа.


                           2-я контрольная работа



Задача 4.29

   По результатам n =4   измерений  в  печи  найдено  [pic][pic]=  254(  C.
Предполагается, что ошибка измерения есть нормальная случайная величина с  (
= 6( C. На уровне значимости ( = 0.05 проверить гипотезу  H0:  (  =  250(  C
против  гипотезы  H1:  (  =  260(  C.  В  ответе  записать  разность   между
абсолютными  величинами  табличного  и  фактического   значений   выборочной
характеристики.
   (1 > (0 ( выберем правостороннюю критическую область.
   [pic]
   Ответ:   Т.к.   используем   правостороннюю   критическую   область,   и
tкр > tнабл, то на данном уровне значимости нулевая гипотеза не  отвергается
(|tкр| - |tнабл |=0,98).



Задача 4.55


    На основание n=5  измерений найдено, что средняя высота сальниковой
камеры равна [pic] мм, а S=1,2 мм. В предположение о нормальном
распределение вычислить на уровне значимости  (=0,01 мощность критерия при
гипотезе H0 :[pic]50 и H1 : [pic]53
[pic]
Ответ:  23

Задача 4.70

   На основании n = 15 измерений найдено, что  средняя  высота  сальниковой
камеры равна [pic]= 70 мм и S = 3. Допустив, что  ошибка  изготовления  есть
нормальная случайная  величина  на  уровне  значимости  (  =  0.1  проверить
гипотезу H0: [pic]  мм2 при конкурирующей гипотезе [pic]. В ответе  записать
разность между абсолютными величинами  табличного  и  фактического  значений
выборочной характеристики.
   [pic]построим левостороннюю критическую область.
   [pic]
   Вывод: [pic]на данном уровне значимости нулевая гипотеза не  отвергается
([pic]).



Задача 4.84

   По результатам n =  16  независимых   измерений  диаметра  поршня  одним
прибором получено [pic]= 82.48 мм и S = 0.08  мм.  Предположив,  что  ошибки
измерения имеют нормальное распределение,  на  уровне  значимости  (  =  0.1
вычислить мощность критерия гипотезы H0: [pic]  при  конкурирующей  гипотезе
H1: [pic].
   [pic]построим левостороннюю критическую область.
[pic]
Ответ: 23;


Задача 4.87

   Из продукции двух  автоматических  линий  взяты  соответственно  выборки
n1 = 16 и n2 = 12 деталей.  По  результатам  выборочных  наблюдений  найдены
[pic] = 180 мм и [pic] = 186 мм. Предварительным анализом  установлено,  что
погрешности изготовления есть нормальные случайные  величины  с  дисперсиями
[pic] мм2 и [pic] мм2.  На уровне значимости  ( = 0.025  проверить  гипотезу
H0: (1 = (2 против H1: (1 < (2.
   Т.к. H1: (1 < (2, будем использовать левостороннюю критическую область.
   [pic]
   Вывод: [pic]гипотеза отвергается при данном уровне значимости.



Задача 4.96

   Из двух партий деталей взяты выборки объемом n1 = 16 и n2 = 18  деталей.
По результатам выборочных наблюдений  найдены  [pic] = 260  мм,  S1 = 6  мм,
[pic] = 266 мм и S2 =7 мм. Предполагая, что  погрешности  изготовления  есть
нормальные  случайные  величины  и  [pic],  на  уровне  значимости  ( = 0.01
проверить гипотезу H0: (1 = (2 против H1: (1 ( (2.
   [pic]
   Вывод: [pic] при данном уровне значимости гипотеза не отвергается.


Задача 4.118

   Из n1 = 200 задач  первого  типа,  предложенных  для  решения,  студенты
решили m1 = 152, а из n2 = 250 задач второго типа студенты  решили  m2 = 170
задач.  Проверить  на  уровне  значимости  ( = 0.05  гипотезу  о  том,   что
вероятность решения задачи не зависит от того, к какому типу она  относится,
т.е. H0: P1 = P2. В ответе записать разность  между  абсолютными  величинами
табличного и фактического значений выборочной характеристики.
   [pic]
Вывод:[pic]нулевая гипотеза при данном уровне значимости принимается
([pic]).

Задача 1.39:
    Вычислить центральный момент третьего порядка ((3*) по данным таблицы:
|Урожайность|34,5-35,5|34,5-36,5|36,5-37,5|37,5-38,5|38,5-39,5|
|(ц/га), Х  |         |         |         |         |         |
|Число      |4        |11       |20       |11       |4        |
|колхозов,  |         |         |         |         |         |
|mi         |         |         |         |         |         |

    Решение:

|Урожайность|Число      |Xi    |mixi  |(xi-xср)3 |(xi-xср)3m|
|(ц/га), Х  |колхозов,  |      |      |          |i         |
|           |mi         |      |      |          |          |
|34,5-35,5  |4          |35    |140   |-8        |-32       |
|34,5-36,5  |11         |36    |396   |-1        |-11       |
|36,5-37,5  |20         |37    |740   |0         |0         |
|37,5-38,5  |11         |38    |418   |1         |11        |
|38,5-39,5  |4          |39    |156   |8         |32        |
|Итого:     |50         |-     |1850  |-         |0         |


    Ответ: (3*=0


Задача 2.34:
    В результате анализа  технологического  процесса  получен  вариационный
ряд:

|Число      |0        |1        |2        |3        |4        |
|дефектных  |         |         |         |         |         |
|изделий    |         |         |         |         |         |
|Число      |79       |55       |22       |11       |3        |
|партий     |         |         |         |         |         |

    Предполагая, что число  дефектных  изделий  в  партии  распределено  по
закону Пуассона, определить вероятность появления 3 дефектных изделий.
    Решение:

|m          |0        |1        |2        |3        |4        |
|p          |0.4647   |0.3235   |0.1294   |0.0647   |0.0176   |


    Ответ: P=7.79*10-7


Зпадача 3.28:
    В  предложении  о  нормальной  генеральной  совокупности  с  (=5  сек.,
определить минимальный объем испытаний,  которые  нужно  провести,  чтобы  с
надежностью (=0.96 точность оценки генеральной средней (  времени  обработки
зубчатого колеса будет равна (=2 сек.

    Решение:
    n=(5.1375)3=26.39(27
    Ответ: n=27


Задача 3.48:
    На основании измерения n=7 деталей вычислена выборочная средняя  и  S=8
мк.  В  предположении,  что  ошибка  изготовления  распределена   нормально,
определить с надежностью (=0.98 точность оценки генеральной средней.
    Решение:

St(t,(=n-1)=(=St(t,6)=0.98

    Ответ: (=0.4278

Задача 3.82:
    На основании n=4 измерений температуры одним  прибором  определена  S=9
(С.  Предположив,  что  погрешность  измерения  есть  нормальная   случайная
величина  определить  с  надежностью  (=0.9  нижнюю  границу  доверительного
интервала для дисперсии.

    Решение:
    Ответ: 41.4587


Задача 3.103:
    Из 400 клубней картофеля, поступившего  на  контроль  вес  100  клубней
превысили  50  г.  Определить   с   надежностью   (=0.98   верхнюю   границу
доверительного интервала для вероятности того, что вес  клубня  превысит  50
г.
    Решение:
    t=2.33
    Ответ: 0.3


Задача 3.142:
    По результатам 100 опытов установлено, что в среднем для сборки вентиля
требуется  Xср=30  сек.,  а  S=7   сек.   В   предположении   о   нормальном
распределении определить с надежностью (=0.98 верхнюю границу для  оценки  (
генеральной совокупности.
    Решение:
    t=2.33

    Ответ: 8.457


Задача 4.18:
    Гипотезу о нормальном законе распределения проверить с помощью критерия
Пирсона на уровне значимости (=0.05 по следующим данным:

|mi         |6        |13       |22       |28     |15    |3   |
|miT        |8        |17       |29       |20     |10    |3   |

    Решение:

|mi           |miT          |(mi-miT)2    |(mi-miT)2/   |
|             |             |             |miT          |
|6            |8            |4            |0.5          |
|13           |17           |16           |0.941        |
|22           |29           |49           |1.6897       |
|28           |20           |64           |3.2          |
|15           |10           |25           |1.9231       |
|3            |3            |             |             |
|Итого:       |-            |-            |8.2537       |

    Ответ: -2.2627



1.36.
Вычислить дисперсию.

|Производител|Число       |Средняя     |
|ьность труда|рабочих     |производител|
|            |            |ьность труда|
|81,5-82,5   |9           |82          |
|82,5-83,5   |15          |83          |
|83,5-84,5   |16          |84          |
|84,5-85,5   |11          |85          |
|85,5-86,5   |4           |86          |
|Итого       |55          |            |


2.19.
  Используя результаты анализа и предполагая, что число дефектных изделий в
   партии распределено по закону Пуассона, определить теоретическое число
                    партий с тремя дефектными изделиями.

|m    |0     |1    |2    |3    |4    |5    |Итого|
|fi   |164   |76   |40   |27   |10   |3    |320  |
|Pm   |      |0,34 |0,116|0,026|0,004|0,001|     |
|Pm*fi|288,75|25,84|4,64 |0,702|0,04 |0,003|320  |
|fi   |288   |26   |5    |1    |0    |0    |320  |
|теор.|      |     |     |     |     |     |     |

m – число дефектных изделий в партии,
fi – число партий,
fi теор. = теоретическое число партий

 Теоретическое значение числа партий получается округлением  Pm*fi.
     Соответственно, теоретическое количество партий с тремя дефектными
                             изделиями равно 1.



3.20.
По выборке объемом  25  вычислена  выборочная  средняя  диаметров  поршневых
колец. В предложении о нормальном распределении найти с надежностью  ?=0,975
точность ?, с которой выборочная средняя оценивает математическое  ожидание,
зная, что  среднее квадратическое отклонение поршневых колец равно 4 мм..
3.40.
По результатам семи измерений средняя высота  сальниковой  камеры  равна  40
мм.,  а S=1,8 мм.. В предположении  о  нормальном  распределении  определить
вероятность  того,  что   генеральная   средняя   будет   внутри   интервала
(0,98х;1,02х).
3.74.
По данным контрольных 8  испытаний  определены х=1600  ч.  и  S=17ч..Считая,
что срок службы ламп распределен  нормально,  определить  вероятность  того,
что  абсолютная  величина  ошибки   определения   среднего   квадратического
отклонения меньше 10% от S.



3.123.
По результатам 70 измерений диаметра валиков было получено х=150 мм.,  S=6,1
мм.. Найти  вероятность  того,  что  генеральная  средняя  будет  находиться
внутри интервала (149;151).

3.126
По  результатам  50  опытов  установлено,   что   в   среднем   для   сборки
трансформатора  требуется  х=100  сек.,  S=12  сек..   В   предположении   о
нормальном распределении определить с надежностью 0,85 верхнюю  границу  для
оценки неизвестного среднего квадратического отклонения.


4.10
С помощью критерия Пирсона на уровне значимости  ?=0,02  проверить  гипотезу
о  законе  распределения  Пуассона  (в  ответе   записать   разность   между
табличными и фактическими значениями ?2).

|mi     |miT     |(mi-miT)2 |(mi-miT)2/mi|
|       |        |          |T           |
|80     |100     |400       |4           |
|125    |52      |5329      |102,5       |
|39     |38      |1         |0,03        |
|12     |100     |4         |0,4         |
|S=256  |200     |5734      |122,63      |

Гипотеза противоречит закону распределения Пуассона.

-----------------------
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]