Математические модели электромеханических систем в пространстве состояний



     2. Математические модели электромеханических систем в пространстве
                                  состояний

      Способы получения уравнений  состояния  реальных  физических  объектов
ничем  не  отличаются  от  способов  описания  этих   объектов   с   помощью
дифференциальных  уравнений.  Уравнения  состояния  записываются  на  основе
физических законов, положенных в основу работы объекта.
      Рассмотрим  электромеханическую  систему,   состоящую   из   двигателя
постоянного тока с  независимым  возбуждением,  работающего  на  инерционную
нагрузку с вязким трением. Управляющим воздействием  для  двигателя  считаем
напряжение  на  якоре  U(t),  выходной  координатой,  угол   поворота   вала
двигателя y(t)=((t). Уравнение электрической цепи имеет вид
                                   [pic],
где [pic] - противо ЭДС, [pic] - угловая скорость вала  двигателя,  [pic]  -
единый электромагнитный коэффициент.
      Уравнение моментов будет иметь следующий вид

                                   [pic],

где [pic], J - момент инерции нагрузки, приведенный к валу  двигателя,  f  -
коэффициент вязкого трения.
      Выберем следующие переменные состояния: х1=i, x2=(, x3=(.
      Получим
                                   [pic],
                                   [pic].
      Запишем эти уравнения относительно переменных [pic], [pic], [pic]
                                   [pic],
                                   [pic],
                                   [pic],
                                   [pic].
      Запишем матричные уравнения
                                   [pic],
                                   [pic],
где
                  [pic],           [pic],           [pic].
      Рассмотрим структурную схему электромеханической системы с  двигателем
постоянного тока, работающего на инерционную нагрузку с вязким трением.

                                    [pic]

    Рис. 2.1. Структурная схема электромеханической системы с двигателем
                              постоянного тока

      Запишем уравнение состояния для механической  системы,  представляющей
собой груз массой m, подвешенный на пружине и соединенный  с  гидравлическим
демпфером. К грузу приложена  сила  P(t),  выходная  переменная  перемещения
x(t), управляющие воздействия U(t)=P(t). Уравнение движения  груза  получаем
из уравнения равновесия сил

                                   [pic],

где [pic] - инерционная сила, f - коэффициент вязкого трения, [pic]  -  сила
сопротивления демпфера, [pic] - сила сопротивления пружины.
      Выбираем в качестве переменных состояния x(t) и [pic] - перемещение  и
скорость перемещения соответственно.
                                    [pic]
     Рис. 2.2. Механическая система, включающая в своем составе пружину,
                           массу и вязкий демпфер
      Так как дифференциальное уравнение имеет второй порядок, то и
количество переменных состояния будет равно двум. Исходное уравнение
движения груза можно записать в виде двух уравнений

                                    [pic]

      где U(t)=P(t) - управляющее воздействие.
      Добавим к этим уравнениям следующее уравнение выхода

                                   [pic].

      Эти уравнения представляют собой уравнения состояния приведенной
механической системы. Запишем эти уравнения состояния в матричном виде

                                   [pic],
                                   [pic].

      Запишем это уравнение в другом виде
                                   [pic],
                                   [pic],
где [pic], [pic], [pic], [pic], [pic].
      С данным уравнением состояния можно сопоставлять следующую структурную
схему, где двойными линиями показаны векторные переменные.

      [pic]

                         Рис. 2.3. Структурная схема

      Пример: Рассмотрим электрическую цепь и  получим  уравнение  состояния
RLC цепи

      [pic]

                             Рис. 2.4. RLC цепь

      Динамическое   поведение   этой   электрической   системы    полностью
определяется при t(t0, если известны начальные  значения:  i(t0),  ec(t0)  и
входное напряжение e(t)  при  t(t0,  следовательно,  эта  система  полностью
определяется переменными состояния i(t) и ec(t).  При  указанных  переменных
состояния i(t) и ec(t) имеем следующие уравнения

                                    [pic]
где [pic], [pic].

      Введем следующие обозначения

                                    [pic]

      В соответствии с этими обозначениями получаем

                                    [pic]
причем [pic].
      Следовательно, для электрической цепи запишем эту систему в  векторно-
матричном виде
                                   [pic],
                                   [pic].
      Запишем матричные уравнения
                                   [pic],
                                   [pic],
где [pic], [pic], [pic], [pic].