Математические примеры

         Фирсов Дмитрий 441
                                    №368В
         Отобразить верхнюю половину плоскосто сразрезами по отрезкам [pic]
    на верхнюю полуплоскость.
         Решение:[pic]
         Отображение [pic] отображает верхнюю полуплоскость с разрезами на
    верхнюю полуплоскость без разрезов (под операцией взятия в квадратные
    скобки надо пономать взятие целой части от числа). Докажем это:
         Рассмотрим отображение [pic] из полосы [pic] полуплоскости
    сразрезами в полуплоскость без разрезов. [pic](*) совершенно очевидно
    ,что в нашем случае [pic]. То есть, мы получаем верхнюю полуплоскость
    без действительной оси. Рассмотрим образ луча [pic]. Подставляя в
    формулу (*) значения z на луче мы получим в образе луч, лежащий на
    действительной оси [pic]. В результате мы получили, что образом полосы
    [pic](1) является [pic]. Если на полосу [pic] плоскости без разреза
    подействовать отображением sin(Z) то в образе получим такое множество
    [pic](2). Применив отображение [pic] к полосе(1) с разрезом в образе
    получим множество (2). Поэтому функция [pic] отображает полосу [pic] с
    разрезом в полосу [pic] без разреза. Продолжим эту функцию на всю
    полуплоскость с разрезами. Рассмотрим функцию [pic] заданную в полосе
    [pic] с разрезом. Функция [pic] отображает эту полосу на полосу [pic]
    без разреза. И тогда отображение [pic] отображает полосу [pic] без
    разреза. Проверим является ли функция [pic] аналитическим продолжением
    функции [pic]. Для этого применим теорему:
         Теорема.
         Пусть функция [pic] аналитична в области [pic] и функция [pic]
    аналитична в области [pic]. И области [pic] и [pic] имеют общий
    фрагмент граници [pic]. Если функции на [pic] совпадают то функция
    [pic] является аналитическим продолжением функции [pic] в область
    [pic].
         Естественно функции  [pic] и [pic] совпадают на луче [pic]. Поэтому
    функция [pic] является аналитическом продолжением функции  [pic] на
    полосу  [pic]. Совершенно аналогично мы можем продолжмть функцию на всю
    верхнюю полуплоскость с вырезами. И в результате получим функцию: [pic]
    отображающую верхнюю полуплоскость с вырезами на верхнюю полуплоскость
    без вырезов.