Математический анализ


1.Счетные и несчетные множества. Счетность множества рациональных чисел.
Множество - совокупность некоторых объектов
Элементы множества - объекты составляющие множество
Числовые множества - множества элементами которых являются числа.
Задать множество значит указать все его элементы:
1 Способ:  А={а: Р(а)} эти записи    Читать- множество тех а таких что...
                      A={а-Р(а)} равноценны
Р(а) - предикат = высказывание об элементе, бывает ложно или истинно по
отношению  к кокретному элементу. Множество А состоит из тех а для  которых
 предикат истина.
2 Способ:   Конструирование из других множеств:
AЪB = {c: cОA Ъ cОB}, AЩB = {c: cОA Щ cОB}, A\  B = {c: cОA Щ сПB}
U - универсальное множество (фиксированное)
UіA; U \  A = A’ = cA (A’ - дополнение множества A)
Свойства:
1. AЪ(BЪC)=(AЪB) ЪC - ассоциативность; AЪB=BЪA - коммутативность; AЪЖ=A;
AЪU=U
2. AЪ (BЩC)=(AЪB) Щ(AЪC) & AЩ (BЪC)=(AЩB) Ъ(AЩC) - дистрибутивность; АЩЖ=А
A” =A - закон исключающий третьего (AЪB)’=A’ЩB’; (AЩB)’=A’ЪB’; AЩA’= Ж
Иллюстрация свойств: Диаграммы Эйлера-Венна.
"=>" cО(AЪB)’ => cПAЪB => cПA & cПB => cО A’ & cОB’ => cОA’ЩB’
"<=" cОA’ЩB’ => cОA’ & cОB’ => cПA & cПB => cПAЪB => cО(AЪB)’
Отображение  множеств:
f:A®B (на множестве А задано отображение f со значением множества B)
aОA; bОB => b - образ элемента а при отображении f; a - прообраз элемента b
при отображении f
Так как для каждого элемента  из А ставится в соответствие элемент из В,
значит А - область определения (Dom f=А), а область значенийB (Im f ЈB)
Для отображения задают: 1) способ  2) Dom  3) Im
Отображение f  инъективно если f(x)=f(x’) => x=x’(разные переходят в
разные)
Отображение f сурьективно если Im f =B(каждый переходит в каждый)
Если же отображение инъективно+сурьективно, то множества
равномощны(содержат одинаковое кол-во элементов), а отображение биективно -
взаимооднозначно.
Счетные множества - множества равномощные множеству натуральных чисел (N)
Теорема: Множество Q счетно.
Докозательство: Q=[pic]
Лемма 1: " nОN Z/n - счетно.
 Каждому элементу из N надо взаимноднозначно сопоставить элемент Z/n:
10®0/n    5®-2/n
2®+1/n    6®+3/n
3®-1/n     7®-3/n
4®+2/n    ...
Лемма 2: Объединение счетного или конечного(не более чем счетного)  числа
счетных множеств - счетно.
А1={а11, а12, а13,...}
А2={а21, а22, а23,...}
А3={а31, а32, а33,...}
       ...
Применяем диагональную нумерацию (а11 - 1; а21 - 2; а12 - 3; а31 -  4;  а22
- 5...)  и таким образом взаимнооднозначно сопоставляем каждому элементу из
 таблицы его номер, значит объединение счетного или  конечного  числа
счетных  множеств - счетно.
Часть может быть равномощна целому:  (-1,1)  равномощен R (через
полуокружность и лучи)
Из Леммы1 и Леммы 2 получаем: Множество рациональных чисел счетно



2. Определение действительного числа бесконечной десятичной дробью.
Плотность Q в R.
Действительные числа - множество чисел вида [a0],а1 a2 а3... где а0ОZ
а1,а2,а3,... О{0,1,...,9}
Действительное число представляется в виде суммы целой и дробной части:
[ао],а1 а2 а3...ак (0) = ао + а1/10 + а2/100 + ... +ак/10k = [ао],а1 а2
а3...а’к (9), где а’к=ак-1
х=[хо],х1 х2 х3...хк...
у=[уо],у1 у2 у3...ук...
х’к - катое приближение икса с недостатком = [хо],х1 х2 х3...хк
у”к - катое приближение игрека с избытком = [уо],у1 у2 у3...ук + 1/10k
х’к+1 > х’к  (х’к - монотонно растет)
у”к+1 Ј у”k (у”k - не возрастает), т.к. у”к=[уо],у1 у2 у3...ук + 1/10к
у”к+1 = [уо],у1 у2 у3...ук ук+1 + 1/10к+1
у”к - у”к+1 = 1/10к - ук+1 + 1/10к+1 і 0
                         10 - ук+1 - 1 / 10к+1 і 0
               9 і ук+1
Определение: 1) х > у <=> $ к: х’к > у”к
            2) х = у <=> х’к не> у”к & у”к не> х’к
По определению получаем, что [1],(0)=[0],(9)
Свойства: 1)" х, у либо х<у, либо х>у, либо х=у
      2) х>у & у>z => х>z
      3) х не> х
Док-во (2):  х>у                   у>z
                х’к>у”к                                у’m>z”m
                                n=max{k;m}
           х’nіх’к>у”кіу”n                                 у’nі у’m>z”mіz”n
                                      у”n>у’n => х’n>z”n
Определение: Если АМR и " х,уОR $ аОА: х<а<у, то А плотно в R
Теорема: Q плотно в R.
Доказательство: х > у   х’к > у”к   х і х’к    у”к і у
х і х’к / 2 + х’к / 2 > х’к / 2 + у”к / 2 > у”к / 2 + у”к / 2 > у
Видим: х > х’к / 2 + у”к / 2 > у, где (х’к / 2 + у”к / 2)ОQ
3.Несчетность множества действительных чисел.
Теорема: R несчетно.
Доказательство от противного:
1«х1=[х1], х11 х12 х13... |
2«х2=[х2], х21 х22  х23... |  Пусть здесь нет девяток в периоде
3«х3=[х3], х31 х32 х33... |
           ...                       |  (*)
к«хк=[хк ], хк1 хк2  хк3... |
           ...                       |
Найдем число которого нет в таблице:
с=[с], с1 с2 с3...
[с]№[х1]         => с№х1
с1 П {9;х21}   => с№х2
с2 П {9;х32}   => с№х3
               ...
ск П {9;хк+1к} => с№хк
Таким образом С - число которое отсутствует в таблице (*)
5.Теорема Дедекинда о полноте R
Пусть  1) 0№АНR; 2) " aОA, " bОB: а A ограничено сверху => $ SupA=m => "bОB: bіm => B
ограничено снизу =>$ InfB=n, mЈn
Докажем, что m = n:
Пусть m
cПА & cПВ - невозможно по свойству 3 отсюда и из того, что mЈn
следует, что m=n если обозначим m=n через c, то получим аЈсЈb
Докажем, что с единственное(от противного):
Пусть $с’№с,с’>с (с’<с), так как c=n=InfB=m=SupA=>по опр-нию. "с’>с (с’<с)
найдется такое b(a), что bc’)-противоречие с "aОA, "bОB: аЈсЈb



8.Лемма о зажатой последовательности (Лемма о двух милиционерах)
Если $n0: "n>n0 xNЈyNЈzN и $ Lim xN=x, $ Lim zN=z, причем x=z, то $ Lim
yN=y => x=y=z.
Доказательство: "n>n0 xNЈyNЈzN
Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ xNО(х-Е,х+Е) & $ n”: "n>n” zNО(х-
Е,х+Е) => "n>max{n0,n’,n”} yNО(x-E,x+E)
4. Верхние и нижние грани числовых множеств.
Определение: АМR mОR, m - верхняя (нижняя) грань А, если  " аОА аЈm (аіm).
Определение: Множество A ограничено сверху (снизу), если существует такое
m, что " аОА, выполняется аЈm (аіm).
Определение: SupA=m, если 1) m - верхняя грань A
                                              2) " m’: m’ m’ не
верхняя грань A
                       InfA = n,  если 1) n - нижняя грань A
                                              2) " n’: n’>n => n’ не нижняя
грань A
Определение: SupA=m называется число, такое что: 1) " aОA aЈm

    2) "e>0 $ aEОA, такое, что aE>a-e
                       InfA = n называется число, такое что: 1) 1) " aОA
aіn

    2) "e>0 $ aEОA, такое, что aE[m]+1 - верхняя грань A
Отрезок [[m],[m]+1] - разбиваем на 10 частей
m1=max[10*{a-[m]:aОA}]
m2=max[100*{a-[m],m1:aОA}]
    ...
mк=max[10K*{a-[m],m1...mK-1:aОA}]
[[m],m1...mK, [m],m1...mK + 1/10K]ЗA№Ж=>[m],m1...mK +  1/10K  -  верхняя
грань A
Докажем, что m=[m],m1...mK - точная верхняя грань и что она единственная:
"к: [m’K,m”K)ЗA№0; "к "аОА: аm”K => $ к: а’K>m”K => аіа’K>m”K - это противоречит
ограниченности => aЈm
Точная верхняя грань:
Пусть ll”K, но так как "к [m’K,m”K) ЗA№0 => $
аО[m’K,m”K) => а>l =>l - не верхняя грань.
Теорема: Любое, непустое ограниченное снизу множество АМR, имееет точную
нижнюю грань, причем единственную.
Рассмотрим множество B{-а: аОА}, оно ограничено сверху и не пусто => $
-SupB=InfA
6.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства.
Определение: Последовательность аN называется бесконечно малой (бм) если ее
предел равен нулю ("Е>0 $ n0: n>n0 |аN|<Е)
Теорема: Сумма (разность) бм последовательностей является бм
последовательностью.
Доказательство: Пусть Lim aN=Lim bN=0, cN=aN+bN, dN=aN-bN. Так как вне
любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности окрестности Е/2) лежит
конечное число членов последовательности aN, т.е. $ n’: "n>n’: |aN|<Е/2.
Аналогично $ n”: "n>n”: |bN|<Е/2. При n>max{n’,n”} выполнены оба неравен
ства |aN|<Е/2 & |bN|<Е/2 => при любом n> max{n’,n”} имеем:
|cN|=|aN+bN|Ј|aN|+|bN| |dN|=|aN-bN| Ј |aN|+|bN|n0
|aN|<Е/с.Таким образом "n>n0: |zN|=|aN*bN|=|aN|*|bN|<Е/с * с=Е
Следствие: произведение бм посл-тей - тоже бм посл-ть
Теорема: Пусть aN - бм. Если $ n’: "n>n’ последовательностьть |bN|ЈaN => bN
- бм
Доказательство: aN - бм => $ n”: "n>n”:  |aN|<Е. Для  n>=max{n’,n”}
|bN|Ј|aN|<Е
Определение: Последовательность аN называется бесконечно большой (бб) если
"Е>0 $ n0: n>n0 |аN|>Е)
Теорема: Если aN - бм, то 1/aN - бб последовательностьть, обратное тоже
верно.
Доказательство:
"=>" aN-бм=>вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности 1/Е)
находится конечное число членов посл-ти, т.е. $n0: "n>n0 |aN|<1/E
=>1/|aN|>Е.
"<=" 1/|aN| - бб последовательность => "Е>0 $ n0: "n>n0 1/|aN|>1/Е =>
|aN|<Е
Теорема: Пусть aN - бб. Если $ n’: "n>n’ последовательность bNі|aN| => bN -
бб.
Доказательство: aN - бб => $ n”: "n>n” |aN|>Е. Для n>max{n’,n”} bNі|aN|>Е



7.Арифметика пределов
Предложение: Число а является пределом последовательности aN если разность
aN-a является бм (обратное тоже верно)
Докозательство: Т.к. Lim aN=a, то |aN-a|<Е. Пусть aN=aN-a. |aN|=|aN-a|<Е
Обратное: Пусть aN=aN-a, т.к. aN - бм => |aN|ЈЕ. |aN|=|aN-a|<Е
Теорема: Если Lim xN=x, Lim yN=y, то:
1. $ Lim (xN+yN) и Lim (xN+yN)=х+у
2. $ Lim (xN*yN) и Lim (xN*yN)=х*у
3. "n yN№0 & y№0 => $ Lim (xN/yN) и Lim(xN/yN)=х/у
Доказательство:
Пусть xN=х+aN, aN - бм; yN=у+bN, bN - бм
1) (xN+yN)-(х+у)=aN+bN (По теореме о сумме бм: aN+bN - бм => (xN+yn)-(х+у)-
бм, дальше по предложению)
2) xN*yN - х*у = х*aN+у*bN+aN*bN (По теоремам о сумме бм посл-тей и * бм
посл-тей на огр. посл-ти получаем: xN*yN - х*у - бм, дальше по предл-нию)
3) xN/yN - х/у = (у*aN-х*bN) / (у*(у+bN))= (у*aN-х*bN) * 1/у * 1/уN
доказательство сводится к доказательству утверждения: если уn - сходящаяся
не к 0 посл-ть, то 1/уN тоже сходящаяся последовательность: Lim уN=y => по
определению предела получаем $ n0: "n>n0 |уn-у|<у/2 (Е=y/2), что
равносильно неравенству: у-у/2<уN<у/2+у, откуда  получаем:
|уN|іуN>у/2.|уN|>у/2=>1/|уN|<2/у => "n: 1/|уN|Јmax{2/у, 1/у1,
1/у2,...1/уno}
Теорема: Если хN сходится к х, yN сходится к у и $ n0: "n>n0
последовательность хNЈуN, то хЈу
Доказательство(от противного): Пусть х>у. Из опр. предела "E>0 (в частности
Е<(у-х)/2): $n’: "n>n’ |xN-x|n” |yN-y|max{n’,n”} все члены посл-ти xN будут лежать в Е-окрестности точки х, а
все члены посл-ти уN будут лежать в Е-окрестности точки у, причем
(х-Е,х+Е)З(у-Е,у+Е)=Ж. И т.к мы предположили, что х>у, то "n>max{n’,n”}:
хN>уN - противоречие с условием => хЈу.



5. Определение предела последовательности и его единственность.
Определение: Пусть даны два множества Х и У. Если  каждому  элементу  хОХ
сопоставлен по определенному правилу некоторый элемент уОУ, то говорят, что
на множестве Х определена функция f и пишут f:Х®У или х® (f(х)| хОХ).
Определение: Последовательность-это ф-ция определенная на мн-ве N, со
значениями во мн-ве R f:N®R. Значение такой ф-ции в (.) nОN обозначают аN.
Способы задания:
1) Аналитический: Формула общего члена
2) Рекуррентный: (возвратная) формула: Любой член последовательности
начиная с некоторого выражаетс через предидущие. При этом способе задани
обычно указывают первый член (или нсколько начальных членов) и формулу,
позволющкю определить любой член последовательности через предидущие.
Пример: а1=а; аN+1=аN + а
3) Словесный: задание последовательности описанием: Пример: аN = n-ый
десятичный знак числа Пи
Определение: Число а называется пределом последовательности аN, если "e>0 $
n0: "n>n0 выполняется неравенство |аN-a| в ок
рестности точки с содержится конечное число членов последовательности -
противоречие с условием того, что с - предел последовательности.
Теорема: Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство:
Пусть последовательность аN сходится к числу а. Возьмем какое-либо эпсилон,
вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо
вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все
члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь
ность ограничена.
Замечания: 1) Обратное не верно (аn=(-1)N, ограничена но не сходится)
                   2) Если существует предел последовательности аN, то при
отбрасывании или добавлении конечного числа членов предел не меняется.
Порядковые свойства пределов:
Теорема о предельном переходе: Если Lim xN=x, Lim yN=y, $n0: "n>n0 хNЈyN,
тогда xЈy
Доказательство(от противного):
Пусть х>у => по определению предела $ n0’: "n>n0’ |хN-х|n0” |yN-y|max{n0’, n0”}: |хN-х|<|х-у|/2 & |уN-
у|<|х-у|/2, т.е. получаем 2 интервала (у-Е,у+Е) & (х-Е,х+Е)], причем (у-
Е,у+Е)З(х-Е,х+Е)=Ж. "n>max{n0’, n0”} хNО(х-Е,х+Е) & уNО(у-Е,у+Е) учитывая,
что х>у  получаем: "n>max{n0’, n0”} хN>yN - противоречие с условием.
Теорема: Если $n0: "n>n0 aNЈbNЈcN и $ Lim aN=a, $ Lim cN=c, причем a=c, то
$ Lim bN=b => a=b=c.
Доказательство: Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ => cN<(a+E) & $
n”: "n>n” => (a-E)max{n0,n’,n”} (a-E)max{n0,n’,n”}=>bNО(a-E,a+E)

9. Предел монотонной последовательности
Определение: Последовательность называется монотонно возрастающей
(убывающей) если " n1>n2 (n10 $xE:  (х-Е)<хE => $ n0 xNo>(х-E). Из монотон ности
имеем: "n>n0 xNіxNo>(x-E), получили xNЈx=SupX, значит "n>n0 xNО(x-E,х]<(x-
E,x+E)



10.Лемма о вложенных промежутках
Определение: Пусть а,bОR и а $ Lim aN=a
a1ЈaNЈbN bN монтонно убывает & a1ЈbN => $ Lim bN=b
aNЈa bЈbN  aNЈbN => aЈb
Lim (bN-aN)=b-a=0(по условию)=>a=b
Пусть c=a=b, тогда aNЈcЈbN
Пусть с не единственное: aNЈc’ЈbN, с’№с
aNЈcЈbN=>-bNЈ-cЈ-aN => aN-bNЈc’-cЈbN-aN => (По теореме о предельном
переходе) => Lim(aN-bN)ЈLim(c’-c)ЈLim(bN-aN) => (a-b)ЈLim(c`-c)Ј(b-a) =>
0Јlim(c`-c)Ј0 => 0Ј(c`-c)Ј0 => c’=c => c - единственное.
Перефразировка Леммы: Пусть имеется бесконечнаz посл-ть вложенных друг в
друга промежутков (промежуток 1 вложен в промежуток 2 если все точки
промежутка 1 принадлежат промежутку 2: [a1,b1],[a2,b2],...,[an,bn]..., так
что каждый последующий содержится в предыдущем, причем длины  этих
промежутков стремятся к 0 при n®Ґ lim(bN-aN)=0, тогда концы промежутков aN
и bN стремятся к общему пределу с (с разных сторон).

42.Локальный экстремум. Теорема Ферма и ее приложение к нахождению
наибольших и наименьших значений.
Определение: Пусть задан промежуток I=(a;b), точка x0О(a;b). Точка x0,
называется точкой локалниого min(max), если для всех xО(a;b), выполняется
f(x0)f(x)).
Лемма: Пусть функция f(x) имеет конечную производную в точке x0. Если эта
производная f‘(x0)>0(f‘(x0)<0), то для значений х, достаточно близких к x0
справа, будет f(x)>f(x0) (f(x)f(x0)).
Доказательство: По определению производной,[pic].
Если f‘(x0)>0, то найдется такая окрестность (x0-d,x0+d) точки x0, в
которой (при х№x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)>0. Пусть x00 =>
из предыдущего неравенства следует, что f(x)-f(x0)>0, т.е. f(x)>f(x0). Если
же x-d0, и тогда (по лемме) f(x)>f(x0), если x>x0 и достаточно близко к
x0, либо f‘(x0)<0, и тогда f(x)>f(x0), если x получили противоречие => теорема доказана.
Следствие: Если существует наибольшее (наименьшее) значение функции на
[a;b] то оно достигается либо на концах промежутка, либо в точках, где
производной нет, либо она равна нулю.



43.Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши (о среднем значении).
Теорема Ролля
Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b]
          2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в
отткрытом промежутке (a;b)
          3) на концах промежутка функция принимает равные значения:
f(a)=f(b)
Тогда между a и b найдется такая точка c(a f’(x)=0 во всем
промежутке, так что в качестве с можно взять любую точку из (a;b).
2) M>m. По второй теореме Вейерштрасса оба эти значения функцией
достигаются, но, так как f(a)=f(b), то хоть одно из них достигается в
некоторой точ ке с между a и b. В таком случае из теоремы Ферма (Пусть
функция f(x) определена в некотором промежутке I=(a;b) и во внутренней
точке x0 этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если
функция f(x) дифференцируема в точке x0, то необходимо f‘(x0)=0) следует,
что произ водная f’(с) в этой точке обращается в нуль.
Теорема Коши:
Пусть 1) f(x) и g(x) непрерывны в замкнутом промежутке [a;b] & g(b)№g(a)
          2) сущестуют конечные производные f’(x) и g’(x), по крайней мере
в отткрытом промежутке (a;b)
          3) g’(x)№0 в отткрытом промежутке (a;b)
Тогда между a и b найдется такая точка c(a f’(c) -[pic]*g’(c) или f’(c) =[pic]*g’(c).
Разделив обе части равенства на g’(x) (g’(x)№0) получаем требуемое
равенство.
Теорема Лагранжа:
Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b]
          2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в
отткрытом промежутке (a;b)
Тогда между a и b найдется такая точка c(a0, [x0+h;x0] h<0)



11. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
Определение: Пусть аN некоторая числовая посл-ть и kN-строго возрастающая
посл-ть N чисел. В результате  композиции ф-ций n®aN и n®kN получа ем посл-
ть aKn-которая наз. подпосл-тью посл-ти aN=>подпосл-сть - это либо сама
посл-ть либо исходная посл-ть, из которой выбросили часть членов.
Теорема: Если Lim аN=а, то и Lim аKn=а.
Доказательство: Вне любой Е-окрестности точки а лежит конечное число членов
последовательности аn и в частности последовательности.
Доказательство: Пусть для заданного Е нашлось n0: "n>n0  |аN-а|<Е, ввиду
того что kN®Ґ существует и такое n’, что при всех n>n’ kN>n0 тогда при тех
же значениях n будет верно |аKn-а|<Е
Теорема Больцано-Вейерштрасса: Из всякой ограниченной  последовательности
можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство: хN - ограничена => "n: аЈхNЈb. Поделим промежуток [a,b]
пополам, хотя бы в одной его половине содержится бесконечное множество
членов посл-ти хN (в противном случае и во всем промежутке содержится
конечное число членов посл-ти, что невозможно). Пусть  [а1,b1] - та
половиа, которая содержит бесконечное число членов посл-ти. Аналогично
выделим на промежутке [а1,b1] промежуток [а2,b2] также содержащий
бесконечное число членов посл-ти хN. Продолжая процесс до бесконечности на
к-том шаге выделим промежуток [аK,bK]-также содержащий содержащий бесконеч
ное число членов посл-ти хN. Длина к-того промежутка равна bK-аK = (b-
a)/2K, кроме того она стремится к 0 при ꮥ и аKіаK+1  & bKЈbK+1. Отсюда по
лемме о вложенных промежутках  $! с: "n аNЈcЈbN.
Теперь построим подпоследовательность:
хN1 О[а1,b1]
хN2 О[а2,b2] n2>n1
. . .
хNKО[аK,bK] nK>nK-1
аЈхNkЈb. (Lim aK=LimbK=c из леммы о вложенных промежутках)
Отсюда по лемме о зажатой последовательности Lim хNk=c - ч.т.д.

12.Верхний и нижний пределы последовательности.
xN - ограниченная последовательность =>"n аNЈхNЈbN
хNK®х, так как хNK-подпоследовательность => "n аЈхNЈb =>аЈхЈb
х   - частичный предел последовательности хN
Пусть М - множество всех частичных пределов.
Множество М ограничено (аЈМЈb) => $ SupM & $ InfM
Верхним пределом посл-ти xN называют SupM№Sup{xN}: пишут Lim xN
Нижним предел ом посл-ти xn называют InfM№Inf{xN}: пишут lim xN
Cуществование нижнего и верхнего пределов вытекает из определения.
Достижимость:
Теорема: Если хN ограничена сверху (снизу), то $ подпосл-ть хNK: предел
которой равен верхнему (нижнему) пределу хN.
Доказательство: Пусть х=SupM=верхний предел хN
$ х’ОМ: х-1/к<х’ (следует из того что х - SupМ), т.к. х’ОМ => $
подпоследовательность хNS®х’ => "Е>0  (в частности  Е=1/к) $ s0: "s>s0 =>
х’-1/к<хNS<х’+1/к
х -1/к-1/к<х’-1/к<хNS<х’+1/к<х+1/к (т.к.х-1/к<х’ и х’<х=SupМ)
х-2/к<хNS<х+1/к
Берем к=1: х-2<хNS<х+1, т.е $ s0: "s>s0 это неравенство выполняется берем
член посл-ти хNS с номером больше s0 и нумеруем его хN1
k=1: х-2/1<хN1<х+1/1
k=2: х-2/2<хN2<х+1/2  n10 $ n0: "n>n0 и любого рОN выполнено неравенство |аN+р-аN|<Е.
Геометрически это означает что "Е>0 $ n0, такой что расстояние между любыми
двумя членами посл-ти, с большими чем n0 номерами, меньше Е.
Критерий Коши сходимости посл-ти: Для того, чтобы данная посл-ть сходилась
необходимо и достаточно, чтобы она  являлась фундаментальной.
Доказательство:
Необходимость: Пусть Lim xN=x, тогда "Е>0 $ n0: "n>n0 |хN-х|<Е/2. n>n0,
n’>n0 |хN-хN’|=|хN-х+х-хN’|<|хN-х|+|х-хN’|<Е/2+Е/2<Е
Достаточность: Пусть хN - фундаментальная
1) Докажем что хN ограничена: Е1=1998 $ n0: |хN-хN’|<Е, n>n0, n’>n0
"n>n0 |хN-хN0|<Е1  х N0-1998<хN<х N0+1998 => хN - ограничена
2) По теореме Больцано-Вейерштрасса
$ подпосл-ть хNK®х. Можно выбрать к настолько большим, чтобы |хNK-х|<Е/2 и
одновременно nк>n0. Следовательно (из фунд-ти) |хN-хNK|<Е/2 =>
|хNK-х|<Е/2 => х-Е/2<хNK<х+Е/2 => |хN-хNK|<Е/2 => хNK-Е/2<хN<хNK+Е/2 => х-
Е<хN<х+Е => |хN-х|<Е



14.Бином Ньютона для натурального показателя.Треугольник Паскаля.
Формула Ньютона для бинома:
[pic]nОN[pic]
[pic]
[pic]       Разложение Паскаля
[pic]       (Записав коэффициенты в виде пирамиды - получим треугольник
Паскаля)
        ...
[pic]
*: [pic]к=0,1,...,n
Доказательство(по индукции):
1) n=0 - верно (1+х)0=1 =>[pic](1+х)0 =[pic]
2) Пусть верно для n: докажем что это верно и для n+1:
[pic]= [pic] Ч.т.д
[pic]

16.Последовательности [pic] (во всех пределах n®Ґ)
1) Lim[pic]= 0 (p>0)
[pic] - это  означает  что,  мы  нашли  такое n0=[pic]: "n>n0 |[pic]| xN®0  (Лемма о зажатой
последовательности)=>Lim[pic]=Lim (1+xN)=1+0=1

16.Последовательность (1+1/n)n и ее предел.
xN=[pic]; yN=[pic]; zN=yN +[pic]
xN монотонно возрастает: докажем:
[pic]
xN=(1+1/n)n=1+ n/1!*1/n + n*(n-1)/2!*1/n2 +... < 1 + 1/1! + 1/2!+...+1/n! =
yN => yN-1) (доказывается по
индукции):
x=1/n => (1+1/n)nі1+n/n=2
Получили: 2 Ј xN<3 => xN - ограничена, учитывая что xN - монотонно
возрастает => xN - сходится и ее пределом является число е.



17. Последовательности [pic](во всех пределах n®Ґ)
1) Lim[pic]=1, a>0
a) aі1:
xN=[pic]xN+1=[pic][pic]=> $ Lim xN=x
xN+1=xN *[pic]
xN=xN+1 *[pic]
xN=xN+1*xN*(n+1)
Lim xN=Lim (xN+1*xN*(n+1)) => x = x*x => x = 1
б) 0[pic]= 1/[pic]=> Lim[pic]= 1/1 = 1
2) Lim [pic]= 0, a>1
xN=[pic]xN+1=[pic]
[pic]т.к. Lim[pic]= Lim[pic]=Lim[pic]=1
[pic]=> $ n0: "n>n0 xn+1/xn<1 => СТ x=limxn
xN+1=xN*[pic]
Lim xN+1 = Lim xN*[pic] => x = x*1/a => x=0
Докажем, что если xN®1 => (xN)a®1:
a) "n: xNі1 и aі0
(xN) [a]Ј(xN)a<(xN)[a]+1 => по лемме   о зажатой посл-ти, учитывая что Lim
(xN)[a]=Lim (xN)[a]+1=1 (по теореме о Lim произведения) получаем Lim (xN)a
=1
б) "n: 0 yn>1 Lim yN=lim1/xN=1/1=1 => (по (а)) Lim (yN)a =1 => lim
1/(xN)a =1 => Lim (xN)a =1
Объединим (а) и (б):
xN®1 a>0
xN1,xN2,...>1    (1)
xM1,xM2,...<1   (2)
Вне любой окрестности точки 1 лежит конечное число точек (1) и конечное
число точек (2) => конечное число точек xN.
в) a<0
(xN)a =1/(xN)- a  a<0 => -a>0 => по доказанному для a>0 получаем, Lim
1/(xN)- a = 1 => Lim (xN) a = 1

15. Доказательство формулы e=...
yN=[pic]; zN=yN +[pic]
1) yN монотонно растет
2) yN противоречие



23. Определения предела функции по Коши и по Гейне. Их эквивалентность.
Определение по Коши: f(x) сходится к числу А при х®х0 если "Е>0 $d>0: 0<|х-
х0| |f(x)-А|<Е
Определение по Гейне: f(x) сходится к числу А при х®х0 если "
последовательности хN®х0, хN№х0 f(xN)®А
Теорема: Два определения эквивалентны:
Д-во: Для эквивалентности определений достаточно доказать, что из
сходимости по Коши следует сходимость по Гейне и из сходимости по Гейне
следует сходимость по Коши.
1) (К)=>(Г)
"Е>0 $d>0: 0<|х-х0| |f(x)-А|<Е - определение Коши
хN®х0, хN№х0, т.к. хN®х0 => $ n0: "n>n0 0<|xN-x0|<Е (Е=d) => 0<|xN-x0|
по определению Коши |f(xN)-А|<Е
2) (Г)=>(К) Воспользуемся законом логики: Если из отрицания B следует
отрицание А, то из А следует В:
Таким образом нам надо доказать что из отрицания (К) => отрицание (Г)
Отрицание (К): $ Е>0: "d >0  $ x: 0<|x-x0| |f(x)-A|іE
Отрицание (Г): $ хN®х0, хN№х0: |f(xN)-A|іE
$ хN®х0, хN№х0 => $ n0: "n>n0 0<|xN-x0|<Е (Е=d) => по отрицанию определения
Коши |f(xN)-А|іЕ
Для ф-ции х®f(х) определенной на интервале  (а,+Ґ), определяется предел при
хN®Ґ следующим образом: limf(х) при хN®Ґ = Limf(1/t) t®+0
(если последний существует). Таким же образом определяются Lim f(х) при хN®-
Ґ = Lim f(1/t) t®-0 и хN®Ґ = lim f(1/t) t®0

24. Односторонние пределы. Классификация разрывов. Определение
непрерывности.
Lim(х0±|h|) при h®0 - называется односторонним правым (левым пределом) ф-
ции f(x) в точке х0
Теорема: Пусть интервал (x0-d,x0+d)\{x0} принадлежит области определения ф-
ции для некоторго d>0. Тогда Lim f(x) в точке х0 существует <=> когда
cуществуют правый и левый предел f(x) в точке х0 и они равны между собой.
Необходимость: Пусть предел f(х) существует и равен А => "Е>0 $ d >0: -d<х-
х0 |f(х)-А|<Е, т.е. $ такое d, что как только х попадает в d-
окрестность точки x0 сразу f(х) попадает в интервал (f(х)-А,f(х)+А). Если х
попадает в интервал (0, x0+d) => x попадает в интервал (x0-d,x0+d) => f(х)
попадает в интервал (f(х)-А,f(х)+А) => правый предел существует и он равен
А. Если х попадает в интервал (x0-d,0) => x попадает в интервал (x0-d,x0+d)
=> f(х) попадает в интер вал (f(х)-А,f(х)+А) => левый предел существует и
он равен А.
Достаточность: Lim (х0±|h|) при h®0: Lim(х0+|h|) = Lim(х0-|h|)=А
"Е>0 $ d’ >0: 0<х-х0 |f(х)-А|<Е
"Е>0 $ d” >0: -d”<х-х0<0 => |f(х)-А|<Е
Получили "Е>0 $ 0 |f(х)-А|<Е
Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 если при х®х0
Lim f(х)=f(х0). Заменяя в определениях предела фнкции по Коши и по Гейне  А
на f(х0) получаем определения по Коши и по Гейне непрерывности ф-ции f(x) в
точке х0. Поскольку в опр-нии по Коши нер-во |f(х)-f(х0)|<Е выполнено и при
х=х0 => в определении можно снять ограничение х№х0 => получим второе
равносильное определение:
Определение 2: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если "Е>0
$d>0: -d <х-хо |f(х)-f(а)|<Е
Аналогично сняв ограничение х№х0 - получим определение по Гейне:
Определение 3: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если " посл-
ти хN®х0, f(xN)®f(a)
Если при х®х0 limf(х)№f(х0), то говорят что функция f(x) имеет разрыв в
точке х0. Это происходит если:
а) f(х) неопределена в точке х0
б) Предел f(х) в точке х0 не существует
в) f(х) определена в х0 и limf(х) в точке х0 существует но равенство Дшь
f(х)=f(а) не выполняется
Различают:
1) точки разрыва I рода, для которых существуют конечные односторонние
пределы (либо они неравны друг другу либо равны, но неравны f(х0)
2) точки разрыва II рода - не существует хотя бы один односторонний предел.

Если правый и левый предел в х0 совпадают, то х0 называют устранимой точкой
разрыва.
Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности, то х0 -
точка бесконечного разрыва.
Пусть x0 - точка разрыва, x0 называется изолированной, если в некоторой
окрестности этой точки других точек разрыва нет.
Если значение правого (левого) предела в точке х0 совпадает со значением
f(x0), то f(x) называется непрерывной справа (слева).
Если предел f(x) справа (слева) в точке х0 не существует, а предел слева
(справа) существует и равен значению f(х0), то говорят что функция f(x)
имеет в точке х0 разрыв справа (слева). Такие разрывы называют
односторонними разрывами f(x) в точке х0.
Функция х®f(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в
каждой точке х этого множества.



26. Арифметика пределов функций. Порядковые свойства пределов.
Теорема: Все пределы в точке х0: Пусть ф-ции f:Х®R и g:Х®R (ХНR) таковы,
что Lim f(x)=F, Lim g(x)=G, тогда
1) Lim f(x) ± Lim g(x) = F±G
2) Lim f(x)*Lim g(x) = F*G
3) Если G№0 и g(x)№0 Limf (x) / Lim g(x) = F/G
Доказательство:
1) "Е>0(в частности Е/2) $d’>0: -d’<х-х0 |f(х)-F|<Е & $d”>0: -d”<х-
х0 |g(х)-G|<Е
Получили "Е>0 $ 0-Е/2 - Е/2 |(f(х)+g(х))-(F+G)|<Е
2) Пусть посл-ть хN®х0 (хN№х0, xNОX), тогда в силу определения предела по
Гейне имеем: при n®Ґ Lim f(xN)=F & Lim g(xN)=G по теореме об арифметике
пределов посл-тей получаем: при n®Ґ Lim f(xN)*g(xN)=Lim f(xN)*Lim g(xN)=
F*G => по определению предела по Гейне при х®х0 Lim f(x)*Lim g(x)=F*G
3) Пусть посл-ть хN®х0 (хN№х0, xNОX), тогда в силу определения предела по
Гейне имеем: при n®Ґ Lim f(xN)=F & Lim g(xN)=G по теореме об арифметике
пределов посл-тей получаем: при n®Ґ Lim f(xN)/g(xN)=Lim f(xN)/Lim g(xN)=F/G
=> по определению предела по Гейне при х®х0 Lim f(x)/Lim g(x)=F/G, G№0 и
g(x)№0.
Порядковые свойства пределов:
Теорема: Если " хОX: f(x)Јg(x), при х®х0 A=Lim f(x), B=Lim g(x), то AЈB
Доказательство(от противного):
Пусть A>B => из определения предела следует (берем 0<Е<|A-B|/2): $d’>0: |х-
х0| |f(x)-A|0: |х-х0| |g(х)-B|<Е.
Получили, что $ 0 |f(x)-A|<|A-B|/2 & |g(х)-B|<|A-
B|/2, учитывая что А>В и что (А-Е,А+Е)З(В-Е,В+Е)=Ж, получаем что для
хО(х0-d, х0+d) f(x)>g(x) - противоречие с условием.
Теорема: Если " хОX: f(x)Јg(x)Јh(x) и при х®х0 Lim f(x)=А=Lim h(x), то Lim
g(x)=А
Доказательство:
"Е>0 $d’>0: |х-х0| A-E0: |х-х0| h(х) A-E A-E A-E
-|x-x0| -|x-x0|®0 & |x-x0|®0 => (по теореме
о порядковых св-вах предела) (Sin x-Sin x0)®0
2) Cos x:
Lim Cos x = Cos x0 (при х®х0)
Cos x  = Sin (П/2 - x)  = Sin y; Cos x0 = Sin (П/2 - x0) = Sin y0
|Sin y-Sin y0|=2*|Sin((y-y0)/2)|*|Cos((y+y0)/2)| < 2*|(y-y0)/2|=|y-y0| =>
-|y-y0| (Sin y-Sin
y0)®0 => производим обратную замену: [Sin (П/2 - x)-Sin(П/2 - x0)]®0 =>
(Cos x-Cos x0)®0
3) Tg x - непрерывная ф-ция исключая точки х = П/2 +2Пк, кОZ
4) Ctg x - непрерывная ф-ция исключая точки х = Пк, кОZ
Теорема: Lim (Sin x)/x=1 (при х®0), 0 Cos x < (Sin x)/x <
1. Используем теорему о порядковых св-ах предела ф-ции: Lim Cos xЈLim (Sin
x)/xЈ1 при x®0, 0
Lim (Sin x)/x =1, 0 f(х0)=с).
 Пусть в точке деления функция g(x) в ноль не обращается, тогда выбираем из
двух полученных промежутков тот, для которого g(а1)*g(b1)<0, делим его
пополам если в точке деления функция g(x) обращается в ноль => теорема
доказана. Пусть в точке деления функция g(x) в ноль не обращается, тогда
выбираем из двух полученных промежутков тот для которого g(а2)*g(b2)<0...
продолжая процесс до бесконечности мы либо получим на каком-либо шаге что ф-
ция g(x) обращается в ноль, что означает что теорема доказана, либо получим
бесконечное число вложенных друг в друга промежутков. Для n-го промежутка
[aN,bN] будем иметь: g(aN)<0, g(bN)>0, причем длина его равна bN-aN=(b-
a)/2n®0 при n®Ґ. Построенная посл-ть промежутков удов летворяет условию
Леммы о вложенных промежутках => $ точка x0 из промежутка [a,b], для
которой Lim aN=Lim bN= x0. Покажем, что x0-удовлетворяет требованию
теоремы: g(aN)<0, g(bN)>0 => переходим к пределам: Lim g(aN)Ј0, Lim
g(bN)і0, используем условие непрерывности: g(x0)Ј0 g(x0)і0 => g(x0)=0 =>
f(х0)-c=0 => f(х0)=c
Следствие: Если функция f(x) непрерывна на промежутке Х, то множество
У=f(Х)={f(х):хОХ} также является промежутком (Непрерывная ф-ция перево дит
промежуток в промежуток.)
Доказательство: Пусть у1,у2ОУ; у1ЈуЈу2, тогда существуют х1,х2ОХ: у1=f(х1),
у2=f(х2). Применяя теорему к отрезку [х1,х2]НХ  (если х1<х2) и к отрезку
[х2,х1]НХ (если х2<х1) получаем, что у=f(с) при некотором с => У -
удовлетворяет определению промежутка.

29. Предел суперпозиции функций. Непрерывность суперпозиции непрерывных
функций
Определение: Суперпозицией (композицией) двух функций f и g называется
функция f(g(x)) - определенная для всех х принадлежащих области  опреде
ления ф-ции g таких что значения ф-ции g(x) лежат в области определения ф-
ции f.
Теорема: Если Lim g(x)=b (при x®a) и f - непрерывна в точке b, то Lim
f(g(x))=f(b) (при x®a)
Доказательство:
Пусть xN: xN№a - произвольная посл-ть из области определения ф-ции
х®f(g(x)), сходящаяся к а, тогда последовательность yN: yN=g(xN) сходится к
b в силу опр. по Гейне. Но тогда Lim f(yN)=f(b) (n®Ґ) в силу опр.
непрерывности ф-ции f по Гейне. Т.о. Lim f(g(xN))=Lim f(yN)=f(b) (n®Ґ).
Заметим что в посл-ти yN - некоторые (и даже все члены) могут оказаться
равными b. Тем не менее в силу  нашего замечания о снятии ограничения yN№b
в определении непрерывности по Гейне мы получаем f(yN)®f(b)
Следствие: Пусть функция g непрерывна в точке x0, а функция f непрерывна в
точке у0=g(x0), тогда ф-ция f(g(x)) непрерывна в точке х0.



30. Обращение непрерывной монотонной функции.
Определение: Функция f обратима на множестве Х если уравнение f(х)=у
однозначно разрешимо относительно  уОf(Х).
Определение: Если функция f обратима на множестве Х. То функция однозначно
сопоставляющая каждому уо такое х0 что f(х0)=у0 - называется обратной к
функции f.
Теорема: Пусть строго возрастающая (строго убывающая) ф-ция f определена и
непрерывна в промежутке Х. Тогда существует обратная функция f’,
определенная в промежутке Y=f(Х), также строго возрастающая (строго
убывающая) и непрерывная на Y.
Доказательство: Пусть f строго монотонно возрастает. Из непрерывности по
следствию из Теоремы о промежуточном значении следует, что  значения
непрерывной функции заполняют сплошь некоторый промежуток Y, так что для
каждого значения у0 из этого промежутка найдется  хоть  одно  такое
значение  х0ОХ, что f(х0)=у0. Из строгой монотонности следует что такое
заначение может найтись только одно: если х1> или <х0, то соответственно и
f(х1)> или  у’=f(х’) и у”=f(х”) Если
бы
было х’>х”, тогда из возрастания f следует что у’>у” - противоречие с
условием, если х’=х”, то у’=у” - тоже противоречие с условием.
Докажем что f` непрерывна: достаточно доказать, что Lim f`(у)=(у0) при
у®у0. Пусть f`(у0)=х0. Возьмем произвольно Е>0. Имеем "уОУ: |f`(у)-
f`(у0)|<Е  <=> х0-Е f(х0-Е)<у f(х0-Е)-у0<у-
у0 -d’<у-у0у0-f(х0)=0, d”=f(х0+Е)-
у0>f(х0)-у0=0,
полагая d=min{d’,d”} имеем: как только |у-у0| -d’<у-у0 |f`(у)-
f`(у0)|<Е
Непрерывность степенной функции с рациональным показателем:
Определение: Степенной функцией с Q показателем называется функция хM/N -
где mОZ, nОN. Очевидно степенная функция явл-ся cуперпозицией непре рывных
строго монотонно возрастающих ф-ций хM и х1/M => ф-ция хM/N - непрерывна
при х>0. Если х=0, то хM/N = 1, а следовательно непрерывна.
Рассмотрим ф-цию хN, nОN: она непрерывна так как равна произведению
непрерывных функций у=х.
n=0: хN тождественно равно константе => хN - непрерывна х-N=1/хN, учитывая
что:
1) 1/х - непрерывная функция при х№0
2) хN (nОN) - тоже непрерывная функция
3) х-N=1/хN - суперпозиция ф-ий 1/х и хN при х№0
По теореме о непрерывности суперпозиции ф-ций получаем: х-N - непрерывная
при х№0, т.о. получили что хMmОZ - непрерывная ф-ция при х№0. При х>0 ф-ция
хN nОN строго монотонно возрастает и ф-ция хNнепрерывна=>$ функция обратная
данной, которая также строго монотонно возрастает (при m>0),  очевидно этой
функцией будет функция х1/N
Тригонометрические функции на определенных (для каждой) промежутках
обратимы и строго монотонны =>имеют непрерывные обратные функции =>
обратные тригонометрические функции - непрерывны

31. Свойства показательной функции на множестве рациональных чисел.
Определение: Показательная функция на множестве рациональных чисел: Функция
вида аX, а>0, а№1 xОQ.
Свойства: для mОZ nОN
1) (аM)1/N = (а1/N)M
(аM)1/N=(((а1/N)N)M)1/N = ((а1/N)N*M)1/N = (((а1/N)M)N)1/N = (а1/N)M
2) (аM)1/N=b <=> аM=bN
3) (аM*K)1/N*K=(аM)1/N
(аM*K)1/N*K=b <=> аM*K=bN*K <=> аM=bN <=> (аM)1/N=b
Из свойств для целого показателя вытекают св-ва для рационального если
обозначить: aM/N=(аM)1/N=(а1/N)M, a-M/N=1/aM/N, а0=1
Св-ва: x,yОQ
1) aX * aY = aX+Y
aX * aY =b; x=m/n, y=-k/n => aM/N * 1/aK/N = b =>  aM/N = b * aK/N => aM =
bN * aK => aM-K = bN => a(M-K)/N = b => aX+Y = b
2) aX/aY = aX-Y
3) (aX)Y=aX*Y
(aX)Y=b; x=m/n, y=k/s => (aM/N)K/S=b => (aM/N)K=bS => (a1/N)M*K=bS =>
(aM*K)1/N=bS => aM*K=bS*N => a(M*K)/(S*N)=b => aX*Y=b
4) x aX1) - монотонность
z=y-x>0; aY=aZ+X => aY-aX=aZ+X-aX=aX*aZ-aX=aX*(aZ-1) => если aZ>1 при z>0,
то aX aZ=(a1/N)M => a1/N>1 => (a1/N)M>1 => aX*(aZ-1)>1, (a>1 n>0)
5) при x®0 aX®1 (xОR)
Т.к. Lim a1/N=1 (n®Ґ), очевидно, что и Lim a-1/N=Lim1/a1/N=1 (n®Ґ). Поэтому
"Е>0 $n0: "n>n0 1-E1. Если теперь |x|<1/n0, то
a-1/N 1-E Lim aX=1 (при x®0)



32.Определение и свойства показательной функции на множестве действительных
чисел.
Определение: Показательная функция на множестве действительных чисел:
Функция вида аX, а>0, а№1 xОR.
Свойства: x,yОR.
1) aX * aY = aX+Y
xN®x, yN®y => aXn * aYn = aXn+Yn => Lim aXn * aYn = Lim aXn+Yn => Lim aXn *
lim aYn = Lim aXn+Yn => aX * aY = aX+Y
2) aX / aY = aX-Y
3) (aX)Y=aX*Y
xN®x, yK®y => (aXn)Yk = aXn*Yk => (n®Ґ) (aX)Yk=aX*Yk =>(k®Ґ) (aX)Y=aX*Y
4) x aX1) - монотонность.
x xN aXn < aX’n => (n®Ґ) aXЈaX’-
монотонна
x-x`>q>0 => aX-X’ і aQ>1 => aX-X’№1 => aX0 $n0: "n>n0 1-E1. Если теперь |x|<1/n0, то
a-1/N 1-E Lim aX=1 (при x®0)
6) aX - непрерывна
Lim aX=1 (n®0) из (5) - это означает непрерывность aX в точке 0 => aX-aXo=
aXo(aX-Xo - 1) при х®x0 x-x0 n®0 => aX-x0 n®1 => при х®x0 lim(aX - aXo)=
Lim aXo*Lim(aX-Xo - 1) = x0 * 0 = 0 => aX - непрерывна

33.Предел функции (1+x)1/X при x®0 и связанные с ним пределы.
1) Lim (1+x)1/X = e при x®0
У нас есть Lim (1+1/n)n = e при n®Ґ
Лемма: Пусть nK®Ґ nKОN Тогда (1+1/nK)Nk®e
Доказательство:
"E>0 $k0: "n>n0 0 nK®Ґ $ k0: "k>k0 => nK>n0 => 0 0ЈyK<1 => (1+1/zK+1)Zk<(1+xK)1/Xk <
(1+1/zK)Zk+1=(1+1/zK)Zk*(1+1/zK)=>(1+1/zK+1)Zk=(1+1/zK+1)Zk+1)/(1+1/zK+1)
=> (1+1/zK+1)Zk+1/(1+1/zK+1) < (1+xK)1/Xk < (1+1/zK)Zk*(1+1/zK) k®Ґ
учитывая, что: (1+1/zK)®1 (1+1/zK+1)®1 => получаем:
eЈLim (1+xK)1/XkЈe => Lim (1+xK)1/Xk=e => Lim (1+x)1/X=e при x®0+
Lim (1+xK)1/Xk при x®0-:
yK=-xK®0+ => доказываем аналогично предыдущему => получаем Lim (1+x)1/X=e
при x®0-
Видим что правый и левый пределы совпадают => Lim (1+x)1/X=e при x®0
2) n®Ґ lim (1+x/n)N = (lim (1+x/n)N/X)X = eX
3) x®xa aОR - непрерывна
xa=(eLn x) a=ea*Ln x
 непр  непр     непр       непр
x®Ln x®a*Ln®a*Ln x => x®ea*Ln x
4) x®0 Lim (Ln (1+x))/x = Lim Ln (1+x)1/X = Ln e = 1
4’) x®0 Lim LogA(1+x)1/X = 1/Ln a
5) x®0 Lim (eX-1)/x = {eX-1=t} = Lim t/Ln(1+t) => (4) = 1/1 = 1
5’) x®0 Lim (aX-1)/x = Ln a
6) x®0 Lim ((1+x)a-1)/x = Lim ([e a*Ln (1+x) -1]/[a*Ln(1+x)]*[a*Ln (1+x)]/x
= 1*a*1= a

34.Теорема Вейрштрасса об ограниченности непрерывной функции на отрезке.
Функция х®f(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в
каждой точке х этого множества.
Теорема: Функция непрерывная на отрезке [a,b], является ограниченной на
этом отрезке (1 теорема Вейрштрасса) и имеет на нем наибольшее и наимень
шее значение (2 теорема Вейрштрасса).
Доказательство: Пусть m=Sup{f(x):xО[a,b]}. Если f не ограничена сверху на
[a,b], то m=Ґ, иначе mОR. Выберем произвольную возрастающую посл-ть (сN),
такую что Lim cN=m. Т.к. "nОN: cN $ xKn®a. Т.к. aЈxКnЈb => aО[a,b].
Для mОR - по теореме о том, что предел произвольной подпосл-ти равен
пределу посл-ти получаем cKn®m.
Для m=+Ґ - по Лемме о том что всякая подпосл-ть бб посл-ти явл-ся бб посл-
тью получаем cKn®m. Переходя к пределу в нер-вах cKn
f(a)=m - что и означает что функция f ограничена сверху и достигает верхней
граница в точке a. Существование точки b=Inf{f(x):xО[a,b]} доказывается
аналогично.



35. Равномерная непрерывность. Ее характеризация в терминах колебаний.
Определение: "Е>0 $ d>0: "х’,х”: |х’-х”| |f(x’)-f(x”)|<Е => функция
называется равномерно непрерывной
Отличие от непрерывности состоит в том, что там d зависит от Е и от х”, то
здесь d не зависит от х”.
Определение: Ф-ция f - не равномерно непрерывна, если $ Е>0 "d >0: $ х’,х”:
|х’-х”| |f(x’)-f(x”)|іЕ>0
Рассмотрим множество {|f(x’)-f(x”)|:|x’-x”|0 $ d>0: Wf(d)ЈЕ Lim Wf(d)=0 d®0

36.Теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывной функции на
отрезке.
Теорема: Если f непрерывна на [a,b], то она равномерно непрерывна на [a,b].
Доказательство(от противного):
Пусть f не равномерно непрерывна на [a,b]=>$Е>0 "d>0 $х’,х”: |х’-
х”||f(x’)-f(x”)|іЕ. Возьмем d =1/к, кОN $хK, х’KО[a,b]: |хK-х’K|<1/к
|f(xK)-f(x’K)|іE
Т.к хK - ограничена => из нее по теореме Больцано-Вейерштрасса можно
выделить подпосл-ть xKs сходящуюся к х0. Получаем: |хKs-х’Ks|<1/к
хKs-1/k<х’Ks<хKs-1/k по Лемме о зажатой посл-ти х’Ks®х0 kS®Ґ |f(xKs)-
f(x’Ks)|іE кS®Ґ => 0іE - противоречие с условием.

37.Определение производной и дифференциала.
Касательная в точке x0 к функции x®f(x): возьмем еще одну точку х соединим
x0 и х - получим секущую. Касательной назовем предельное  положение
секущей при х®x0, если это предельное положение существует. Т.к.
касательная должна пройти ч/з точку (x0,f(x0) => уравнение этой касательной
(если  она не вертикальна) имеет вид y=k*(x-x0)+f(x0). Необходимо только
опр-ть наклон k касательной. Возьмем произвольное число Dх№0 так, чтобы
x0+DхОХ. Рассмотрим секущую МОМ, МО(x0,f(x0)), М(x0+Dх,f(x0+Dх)). Уравнение
секущей имеет вид: у=к(Dх)(х-x0)+f(x0), где k=f((x0+Dх)-f(x0))/Dх - наклон
секущей. Если существует Lim к(Dх) при Dх®0, то в качестве искомого наклона
k возьмем это предел. Если Lim к(Dх)=Ґ при Dх®0, то перепишем уравнение
секу щей в виде x=(1/k(Dх))*(y-f(x0))+x0 перейдя к пределам при Dх®0,
получим x=x0 (Lim x=Lim x0 Dх®0 => x = Lim x0)
Определение: Производным значением функции f в точке х0 называется число
f’(х0)=Lim (f(x0+Dх)-f(x0))/ Dх x®x0, если этот предел существует.
Геометрически f’(х0) - это наклон невертикальной касательной в точке
(x0,f(x0)). Уравнение касательной y=f’(x0)*(x-x0)+f(x0). Если Lim (f(x0+Dх)-
f(x0))/Dх=Ґ Dх®0, то пишут f`(x0)=Ґ касательная в этом случае вертикальна и
задается уравнением х=x0. f`(x0)=lim(f(x0+Dх)-f(x0))/Dх x®x0=>(f(x0+Dх)-
f(x0))/Dх=f’(x0)+a(x), a(x)®0 при x®x0. f(x0+Dх)-f(x0)=f`(x0)*Dх+a(x)*Dх
учитывая, что x0+Dх=x и обозначая a(x)*Dх через o(x-x0) получим
f(x)=f’(x0)*(x-x0)+f(x0)+o(x-x0). Необхо димо заметить, что o(x-x0)
уменьшается быстрее чем (x-x0) при x®x0 (т.к. o(x-x0)/(x-x0)®0 при x®x0)
Определение: Ф-ция f называется дифференцируемой в точке x0 если $сОR: в
некоторой окрестности точки x0 f(x)=С(x-x0)+f(x0)+o(x-x0)
Теорема: Функция диффференцируема в точке x0 <=> $ f’(x0)
Доказательство:
<=: f(x)=f’(x0)*(x-x0)+f(x0)+o(x-x0) => f`(x0)=C
=>: f(x)=C(x-x0)+f(x0)+o(x-x0) => (f(x)-f(x0))/(x-x0)=C+o(x-x0)/(x-
x0)=C+a(x), a(x)®0 при x®x0.
Переходим к пределу при x®x0 => Lim (f(x)-f(x0))/(x-x0)=C+0=C => Слева
записано производное значение ф-ции f => по определению C=f`(x0)
Определение: Если функция х®f(x) дифференцируема в точке x0, то линейная
функция Dх®f’(x0)*Dх называется дифференциалом функции f в точке x0 и
обозначается df(x0). (диф-ал ф-ции х®х обозначают dx). Т.о.
df(x0):Dх®f`(x0)*Dх и dх:Dх®Dх. Отсюда df(x0)=f’(x0)*dх => df(x0)/dх:
Dх®f`(x0)*Dх/Dх=f’(x0) при Dх№0. В силу этого пишут также f’(x0)=df(x0)/dх
- обозначение Лейбница. График диф-ла получается из графика касательной
переносом начала коор динат в точку касания.
Теорема: Если ф-ция f диф-ма в точке x0, то f непрерывна в точке x0.
Докозательство: f(x)=f(x0)+f’(x0)*(x-x0)+o(x-x0)®f(x0) при x®x0 => f
непрерывна в точке x0.
Определение: Нормаль к ф-ции f в точке x0: это прямая перпендикулярная
касательной к ф-ции f в точке x0. Учитывая что тангенс угла наклона нормали
равен tg(90+угол наклона касательной)= -Ctg(наклона касательной), получаем
уравнение нормали: y=-1/f’(x0)*(x-x0)+f(x0)



38. Арифметика диф-цирования. Производные тригонометрических функций.
Теорема: Пусть ф-ции f и g дифференцируемы в точке x0, тогда ф-ции f+g, f*g
 и f/g (при g(x0)№0) дифференцируемы в точке x0 и:
1) (f+g)’(x0)=f’(x0)+g’(x0)
2) (f*g)’(x0)=f’(x0)*g(x0)+f(x0)*g’(x0)
3) (f/g)’(x0)=(f’(x0)*g(x0)-f(x0)*g’(x0))/g(x0)2
Доказательство:
1) Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)
    Dg(x0)=g(x0+Dx)-g(x0)
    D(f+g)(x0)=Df(x0)+Dg(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)+g(x0+Dx)-g(x0)
    D(f+g)(x0)/Dx=(f(x0+Dx)-f(x0)+g(x0+Dx)-g(x0))/Dx=(f(x0+Dx)-
f(x0))/Dx+(g(x0+Dx)-g(x0))/Dx®f’(x0)+g’(x0) при Dx®0
2) D(f*g)(x0)=f(x0+Dx)*g(x0+Dx)-f(x0)*g(x0)=(f(x0)+Df(x0))*(g(x0)+D(x0))-
f(x0)*g(x0)=g(x0)*Df(x0)+f(x0)*Dg(x0)+Df(x0)*Dg(x0)
D(f*g)(x0)/Dx=g(x0)*(Df(x0)/Dx)+f(x0)*(Dg(x0)/Dx)+(Df(x0)/Dx)*(Dg(x0)/Dx)*Dx
®f’(x0)*g(x0)+f(x0)*g’(x0) при Dx®0
3) Ф-ция g - дифференцируема в точке x0 => Ф-ция g - непрерывна в точке x0
=> "Е>0 (Е=|g(x0)|/2) $d>0: |Dx|< d => |g(x0+Dx)-g(x0)|<|g(x0)|/2.
g(x0)-|g(x0)|/2 (2) =
f’(x0)*1/g(x0)+f(x0)*(1/g)’(x0)=f`(x0)*1/g(x0)+f(x0)*(-
g’(x0)/g(x0)2)=(f’(x0)*g(x0)-f(x0)*g’(x0))/g(x0)2
Теорема: Пусть f=Sin(x), g=Cos(x)
1) Sin’(x0) = Cos (x0)
2) Cos’(x0) = -Sin (x0)
Доказательство:
1) Df/Dx=(Sin(x0+Dx)-Sin(x0))/Dx = Sin(Dx/2)/(Dx/2) * Cos(x0+Dx/2) ® Сos x0
при Dx®0
2) Dg/Dx=(Cos(x0+Dx)-cos(x0))/Dx=Sin(Dx/2)/(Dx/2)*-Sin(x0+Dx/2) ® -Sin x0
при Dx®0
Производные Tg и Ctg  выводятся непосредственно из производных для Sin и
Cos по формулам дифференцирования.

39. Производная суперпозиции.Производные степенной, показательной и
логарифмической функции.
Теорема: Пусть функция g диф-ма в точке x0, а ф-ция f диф-ма в точке
y0=g(x0), тогда ф-ция h(х)=f(g(х)) диф-ма в точке x0 и h’(x0)=f`(y0)*g’(x0)
Доказательство:
Dy=y-y0, Dx=x-x0, Df(y0)=f’(y0)*Dy+o(Dy), Dg(xo)=g’(xo)*Dx+o(Dx),
y=g(x0+Dx)
Dh(x0)=f(g(x0+Dx))-f(g(x0))=f(y)-f(y0)=f’(y0)*Dy+o(Dy)=f’(y0)*(g(x0+Dx)-
g(x0))+o(Dg)==f’(y0)*(g’(x0)*Dx+o(Dx))+o(Dy)=
f’(y0)*g’(x0)*Dx+f’(y0)*o(Dx)+o(Dy)
Dh(x0)/Dx=f’(y0)*g’(x0)+r, r=f`(y0)*o(Dx)/Dx+o(Dy)/Dx
r=f`(y0)*o(Dx)/Dx+o(Dy)/Dx=f`(y0)*(a(x)*Dx)/Dx+(a’(x)*Dy)/Dx=f’(y0)*a(x)+a’(
x)*Dy/Dx®f’(y0)*0 + 0*g’(y0) при Dx®0 (a(x)®0 a’(x)®0)
Производная:
1) xa=a*xa-1
Lim (Dy/Dx)=lim((x+Dx)a-xa)/Dx = Lim xa-1* ((1+Dx/x)a-1)/Dx/x. Используя
замечательный предел x®0 Lim ((1+x)a-1)/x=a, получим Dx®0
Lim xa-1*Lim((1+Dx/x)a-1)/Dx/x = a*xa-1
2) (aX)’=aX*Ln a (x®aX)’=(x®eX*Ln a)’
x®eX*Ln a - композиция функций x®еX и x®x*Ln a обе непрерывны на R =>
(x®aX)’=(x®е X*Ln a)’=(x®еX*Ln a)’*(x®x*Ln a)’=aX*Ln a
Д-во : (eX)’=eX
Lim(Dy/Dx)=Lim(eX+DX-eX)/Dx=LimeX*(eDX-1)/Dx, используя зам-ный предел при
x®0 Lim(eX-1)/x=1, получим при Dx®0 Lim(Dy/Dx)=eX
3) (LogA(x))’=1/x*Ln a
Lim(Dy/Dx) = Lim (LogA(x+Dx) - LogA(x))/Dx = Lim 1/x*LogA(1+Dx/x)/Dx/x,
используя замечательный предел при x®0 Lim LogA(1+x)/x=1/Ln a, получим
Lim (Dy/Dx) = Lim 1/x*Lim LogA(1+Dx/x)/Dx/x=1/x*Ln a
40. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических
функций.
Предложение: Если производная обратной функции g для ф-ции f существует в
точке y0, то g’(y0)=1/f’(x0), где y0=f(x0)
Доказательство: g(f(x))=x g’(f(x))=1
g’(f(x0))=g’(f(x0))*f’(x0)=1, g’(f(x0))=g(y0)=1/f’(x0)
Теорема: Пусть ф-ция f строго монотонно и непрерывно отображает (a,b) в
(а,b) тогда $ обратная ей ф-ция g, которая строго монотонно и непрерывно
отображает (а,b) в (a,b). Если f диф-ма в точке x0О(a,b) и f’(x0)№0, то g
диф-ма в точке y0=f(x0) и g’(y0)=1/f’(x0)
Доказательство:
Возьмем произвольную последовательность сходящуюся к y0: yN®y0, yN№y0 => $
посл-ть xN: xN=g(yN), f(xN)=yN
g(yN)-g(y0)/yN-yO = xN-xO/f(yN)-f(yO) = 1/f(yN)-f(yO)/xN-xO ® 1/f’(xo) при
n®Ґ, получили при xN®xO g(yN)-g(yO)/yN-yO®1/f’(xO) => g’(уO)=1/f’(xO)
Производные:
1) x®Arcsin x по теореме имеем Arcsin’x=1/Sin’y, где Sin y=x при условии,
что Sin’y<0, получаем (используя производную синуса): Arcsin’x=1/Cos y,
т.к. Arcsin: [-1,1]®[-П/2,П/2] и Cos:[-П/2,П/2]®[0,1], то Cos yі0 и, значит
Arcsin’x = 1/Cos y = 1/(1-Sin2y)1/2 = 1/(1-x2)1/2
2) x®Arccos’x = -1/(1-x2)1/2
3) x®Arctg’x = 1/1+x2
4) x®Arcctg’x= -1/1+x2

41.Производные и дифференциалы высших порядков.
Определение: Если ф-ция f диф-ма в некоторой окрестности точки xO, то ф-ция
f’(x):x®f’(x) в свою очередь может оказаться диф-мой в точке xO или даже в
некоторой  ее окрестности. Производная ф-ции f’(x) - называется второй
производной (или производной порядка 2) ф-ции f в точке xO и обознача ется
f”(x). Аналогично определяется третья и четвертая производная и так далее.
Для единообразия обозначаем через fN(xO) - производную порядка n функции f
в точке xO и при n=0 считаем f0(xO)=f(xO).
Замечание: Cуществование производной порядка n требует того чтобы
существовала производная пордка (n-1) уже в некоторой окрестности точки xO
(следует из теоремы о связи диф-ти и непрерывности), в таком случае функция
x®fN-1(x) непрерывна в точке xO, а при nі2 все производные порядка не выше
(n-2) непрерывны в некоторой окрестности точки xO.
Определение: Дифференциалом ф-ции f порядка n в точке xO называют функцию
dх®fN(x)*dх и обозначают dNf(x). Таким образом dNf(x):dх®fN(x)dxN.
Так как fN(x)dхN:dх®fN(x)dxN, то dNf(x)=fN(x)dхN. В силу этого соотношения
производную fN(x) обозначают также dNf(x)/dхN
Инвариантность:
    Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить
сложную функцию у=f(g(t)). Если существуют производные у’(х) и х’(t) то
cуществует производная у’(t)=у’(х)*х’(t). Если х считать независимой
переменной, то диф-ал dy=y’(х)dx. Перейдем к независимой переменной t,
учитывая что у’(t)=у’(х)*х’(t): dy=y’(t)dt=y’(x)*х’(t)dt. x’(t)dt=dх =>
dy=y’(t)dt=у’(х)*х’(t)*dt=у’(x)dх - видим что при переходе к новой
независимой переменной форма дифференциала может быть сохранена - это
свойство называют инвариантностью формы первого дифференциала.
    Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить
сложную функцию у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’(t) то
существует производная у’(t)=у’(х)*х’(t) и по доказанному ее первый диф-ал
по t можно написать в форме dy=y’(х)dх, где dх=x’(t)dt. Вычисляем второй
диф-ал по t: d2y=d(y’(x)dx)=dy’(x)dx+y’(x)d(dx). Снова пользуясь
инвариантностью первого диф-ла dy’(x)=у”(х2)dx => d2y=у”(х2)dx2x+y’(x)*d2x,
в то время как при независимой переменной х второй диф-ал имел вид
д2y=у’(х2)*dx2x => неинвариантность формы второго диф-ла.
Формула Лейбница:
f(x)=u(x)*v(x) [pic]
Доказательство по индукции.
1) n=0 верно
2) Предположим для n - верно => докажем для (n+1)
Если для u и v $(n+1) производные, то можно еще раз продифференцировать по
х - получим:
[pic]
Объединим теперь слагаемые обеих последних сумм, содержащие одинаковые
произведения производных функций u и v (сумма порядков производ ных в таком
произведении, как легко видеть, равна всегда (n+1)). Произведение u0*vN+1
входит только во вторую сумму с коэффициентом С0N=1. Произведение uN+1*v0
входит только в первую сумму с коэффициентом СNN=1. Все остальные
произведения входящие в эти суммы имеют вид uK*vN+1-K. Каждое такое
произведение встречается в первой сумме с номером k = i-1, а во второй i=k.
Сумма соотв. коэффициентов будет [pic]=>
получаем fN+1(x)=u0*vN+1+[pic]+ uN+1*v0=[pic]



44. Нахождение промежутков постоянства монотонности функции и ее
экстремумов.
Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в
открытом промежутке (a;b), если f’(x)=0 в (a;b), то f(x)-const в [a;b].
Докозательство:
Пусть xЈb, тогда в замкнутом промежутке в [a;x] по теореме Лагранжа имеем:
f(x)-f(a)=f’(a+q(x-a))(x-a) 0 т.к. по условию f’(x)=0 в (a;b), то
f’(a+q(x-a))=0 => f(x)=f(a)=Const для все хО(a;b).
Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в
открытом промежутке (a;b), тогда:
1) f монотонно возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b) <=>
f’(x)і0(f’(x)Ј0) в (a;b).
2) Если f’(x)>0(f’(x)<0) в (a;b) и f непрерывна в [a;b], то f строго
возрастает(убывает) в [a;b].
Доказательство:
1) Пусть f непрерывна на [x’,x”] x’, x”О(a;b), тогда по теореме Лагранжа
(f(x”)-f(x’))/(x”-x’)=f’(c), сО(x’,x”). По условию имеем f’(x)і0(f’(x)Ј 0)
в (a;b) => f’(c)і0(f’(c)Ј 0) => f(x”)іf(x’)( f(x”)Јf(x’)) => f(x)
возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b).
2) Используя аналогичные (1) рассуждения, но заменяя неравенства на строгие
получим (2).
Следствие: Если xO-критическая точка непрерывной ф-ции f. f’(x) в
достаточно малой d-окр-ти точки xO имеет разные знаки, то xO-экстремальная
точка.
Достаточное условие экстремума: (+)®xO®(-) => локальный min, (-)®xO®(+) =>
локальный max



46. Выпуклые множества Rn. Условие Иенсена. Выпуклые функции.Неравенство
Йенсена.
Определение: Множество М выпукло <=> если " А,ВОМ [А,В]ММ
[А,В]ММ => [А,В]={А+t(В-А):tО[0,1]} => А(1-t)+tВОМ
[А,В]ММ => А,ВОМ; l1=1-t, l2=t => l1+l2=1 l1,l2і0 => l1А+l2ВОМ
Рассмотрим точки: А1,А2,...АNОМ l1,l2і0 S(i=1,n): lI = 1
Докажем что S(i=1,n): lI*АI ОМ
Д-во: По индукции:
1) n=1, n=2 - верно
2) Пусть для (n-1) - верно => докажем для n:
а) lN=1 => приравниваем l1=...=l N-1=0 => верно
б) lN<1 l1*А1 +...+ lN-1*А N-1 + l N*А N= (1-l N)((l1/1-l N)*А1+...+(lN-1/1-
l N)*А N-1) + l N*А N = (1-l N)*B + l N*А N
BОМ - по индуктивному предположению А NОМ - по условию=>(1-l N)*B + l N*А N
ОМ Ч.т.д
График Гf = {(x,f(x)):хОDf}, Надграфик UPf={(x,y):y>f(x)}
Определение: Функция f выпукла <=> UPf - множество выпукло.
Условие Йенсена: АIОМ lIі0 S(i=1,n): lI =1 => S(i=1,n): lI*АI ОМ, xIі0,
f(xI)ЈyI => S(i=1,n): lI*АI = (SlI*xI;SlI*yI) => f(SlI*xI)ЈSlI*yI
Неравенство Йенсена: АIОМ lIі0 SlI =1f(SlI*xI)ЈSlI*f(xI)

47.Критерий выпуклости дифференцируемой функции.
Теорема: Пусть f определена в интервале (a;b), тогда следующие условия
эквивалентны: 1) f - выпукла в (a;b) ~ 2) "x’,xO,x”О(a;b) x’
(f(xO)-f(x’))/(xO-x’)Ј(f(x”)-f(xO))/(x”-xO). Геометрический смысл: при
сдвиге вправо угловой коэффициент секущей растет.
Доказательство:
“=>” AB: k=(y-f(x’))/(xO-x’)і(f(xO)-f(x’))/(xO-x’) => yіf(xO); AB: k=(f(x”)-
y)/(x”-xO)Ј(f(x”)-f(xO))/(x”-xO) =>yЈf(xO)
        (f(xO)-f(x’))/(xO-x’)Ј(f(x”)-f(xO))/(x”-xO)
“<=”