Математический анализ


                            § 1. Числовые функции

      Понятие функции является одним из основных в математике.  С  его
помощью выражают зависимости между различными переменными  величинами.
Изучение свойств функций, основанное на  методе  пределов,  составляет
содержание математического анализа.

     1. Определение

      Пусть [pic]-  некоторое  числовое  множество,  и  пусть  каждому
элементу [pic] поставлено в соответствие число [pic].  Тогда  говорят,
что на множестве [pic] определена числовая функция. Функцию обозначают
некоторым символом, например [pic], и пишут
              [pic].                                                     (1)
Множество [pic] называется областью определения функции [pic],   [pic]
-  ее  аргументом,  а  [pic]  -  значением  функции  в  точке   [pic].
Используются также обозначения: [pic] для области определения и  [pic]
для множества значений функции.
       Графиком  функции  [pic]  называется   множество   всех   точек
координатной плоскости вида [pic], где [pic].  График  дает  наглядное
представление  о   поведении   функции,   однако   более   удобным   в
теоретических  исследованиях  является  аналитический  способ  задания
функций с помощью  формул.  На  практике  используют  также  табличный
способ, когда значения  функции  указываются  для  отдельных  значений
аргумента.
      В качестве области определения функции могут выступать различные
числовые множества, например:
      а) отрезок [pic];
      б) интервал [pic];
      в) полуинтервалы [pic] или [pic];
      г) бесконечные полуинтервалы [pic] или [pic];
      д) множество всех действительных чисел R =[pic].
      Под областью определения функции,  заданной  формулой,  понимают
обычно множество всех значений  аргумента,  для  которых  эта  формула
имеет смысл.

      Примеры. 1) Для функции [pic] область  определения  и  множество
значений

имеют вид: [pic], [pic]; график  функции представлен на рис. 1.

                                   Рис. 1.
       2)  Для  функции  [pic]имеем  [pic],  [pic];  график    функции
изображен на рис. 2.



                                   Рис. 2.

      3) Для функции [pic] имеем: [pic],
       [pic]; ее график приведен на рис. 3.


                                   Рис. 3.


     2. Основные элементарные функций

      Напомним определения и свойства некоторых элементарных  функций,
известные из  школьного  курса  математики.  В  каждом  случае  укажем
аналитическое выражение и область  определения  функции,  приведем  ее
график.

      а) Линейная функция:
                                   [pic]R,
где [pic] и [pic] – некоторые постоянные (числа); график – прямая с
угловым коэффициен-
том [pic] ([pic], где [pic] – угол наклона прямой к оси [pic]):



                             Рис.4.


      б) Квадратичная функция:
                                   [pic]R,


                            Рис. 5.

где [pic], [pic], [pic] - постоянные коэффициенты; график –  парабола,
ее расположение существенно зависит от величины
                                   [pic],
называемой дискриминантом функции, и от знака первого коэффициента
[pic]:

      в) Обратно пропорциональная зависимость:

                                   [pic],
где [pic] - постоянная. График – гипербола:

                                   Рис. 6.

      г) Степенная функция:
                                   [pic],
где [pic]  и  [pic]  -  постоянные;  область  определения  существенно
зависит от [pic]. В п. в) рассмотрен  случай [pic], а в  примере  1  -
случай [pic]. Приведем еще графики функций для [pic] и [pic]:



                                  Рис.  7.


      е) Показательная функция:
                                   [pic]R,
где [pic] - постоянная; график в зависимости от значения [pic] имеет
вид:



                             Рис. 8.

       Все  перечисленные  здесь  функции,  а  также  логарифмическая,
тригонометрические и обратные  тригонометрические  функции   основными
элементарными функциями.
     3. Сложная функция

      Пусть заданы функции [pic] и [pic],  причем  множество  значений
функции [pic] принадлежит области определения  функции  [pic]:  [pic].
Тогда можно определить сложную функцию
                                   [pic],
называемую также композицией функций [pic] и [pic].

      Пример. Из функций [pic] и [pic] с  помощью  указанной  операции
можно составить две сложные функции: [pic]и [pic].

      Используя операцию композиции, можно  из  основных  элементарных
функций,  получать  новые  функции,  также  называемые  элементарными.
Вообще, элементарной функцией называют функцию, которую можно получить
из  основных  элементарных   функций   с   помощью   конечного   числа
арифметических операций и композиций.

      Пример.  Функция  [pic]   (читается:  “модуль  [pic]”)  является
элементарной, так как для всех [pic]R справедливо представление [pic].
График этой функции приведен на рис. 9.


                                   Рис. 9.


      4. Обратная функция

      Рассмотрим  функцию  [pic]  с  областью  определения   [pic]   и
множеством значений [pic]. Предположим, что для любого [pic] уравнение
[pic] имеет единственное решение[pic]. Тогда на множестве [pic]  можно
определить функцию, сопоставляющую каждому [pic] такое значение [pic],
что  [pic].  Эту  функцию  называют  обратной  для  функции  [pic]   и
обозначают [pic]:
                                   [pic].
      Функцию, у которой существует обратная функция, назовем
обратимой.
      Обозначая, как обычно, аргумент функции через [pic], а  значение
функции через [pic], можно записать
                                   [pic].
Поскольку взаимная перестановка переменных [pic] и  [pic]  равносильна
переобозначению координатных осей, можно показать, что график  функции
[pic]  симметричен  графику  функции  [pic]  относительно  биссектрисы
первого и третьего координатных углов  (то  есть  относительно  прямой
[pic]).

      Примеры. 1) Для линейной функции [pic]  обратная  функция  также
линейна и имеет вид [pic].  Меняя  местами  [pic]  и  [pic],  получаем
[pic]. Графики исходной и обратной функций приведены на рис. 10.



                             Рис. 10.

      2) Для функции [pic], [pic], множество значений имеет вид [pic].
Для каждого [pic] уравнение [pic] имеет  единственное  решение  [pic].
Поменяв местами [pic] и [pic], получим [pic], [pic].  Графики  функций
приведены на рис. 11 .



                                  Рис. 11.


                                  Рис. 11.

      3)   Обратной   к   показательной   функции    [pic]    является
логарифмическая  функция  [pic].  На  рис.  12   представлены  графики
функций [pic] и [pic] .


                                  Рис. 12.



Упражнения

      1. Найти области определения следующих функций:
1) [pic];
2) [pic];
3) [pic];
4) [pic];
5) [pic];
6) [pic];
7) [pic];
8) [pic];
9) [pic];
10) [pic];
11) [pic];
12) [pic];
13) [pic];
14) [pic];
15) [pic];
16) [pic];
17) [pic];
18) [pic];
19) [pic];
20) [pic];
21) [pic];
22) [pic].

      2. Построить графики функций:
1) [pic],
2) [pic];
3) [pic];
4) [pic];
5) [pic],
6) [pic];
7) [pic];
8) [pic];
9) [pic];
10) [pic];
11) [pic];
12) [pic];
13) [pic];
14) [pic];
15) [pic].

      3. Найти функции обратные к функции [pic], указать их области
определения и построить графики:
1) [pic];
2) [pic];
3) [pic], [pic];
4) [pic], [pic];
5) [pic], [pic];
6) [pic];
7) [pic];
8) [pic];
9) [pic];
10) [pic].

      Ответы
1.
1) [pic];
2) [pic];
3) [pic];
4) [pic];
5) [pic] R;
6) [pic] R;
7) [pic];
8); [pic]
9) [pic];
10) [pic];
11) [pic];
12) [pic];
13) [pic];
14) [pic] R;
15) [pic];
16) [pic];
17) [pic];
18)  [pic];
19) [pic];
20) [pic];
21) [pic];
22)[pic].
.
      3.
1) [pic], [pic]R;
2) [pic], [pic] R;
3)[pic], [pic];
4) [pic], [pic];
5) [pic], [pic];
6) [pic], [pic];
7) [pic],  [pic];
8) [pic];
9) [pic], [pic];
10) [pic], [pic] R.



-----------------------



[pic]