Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных. Кравцев С.В., Макаров, Максимов М.И., Нараленков М.И., Чирский В.Г.

М.: Экзамен, 2001г., 544с.

Книга написана коллективом сотрудников механико-математического факультета МГУ. Она является полным и систематическим курсом, предназначенным для интенсивной математической подготовки к поступлению в любой Вуз.

Пособие написано на основе многолетнего опыта работы авторов с самыми различными по уровню подготовки аудиториями школьников и абитуриентов. Все авторы неоднократно были руководителями или членами экзаменационных комиссий по математике на различных факультетах МГУ и в других ВУЗах, что позволило им предостеречь читателя от многочисленных типичных ошибок, которые допускаются абитуриентами на экзаменах. Чтобы поступающий мог избежать таких ошибок, в пособии использованы наиболее простые методики обучения решению задач, которые помогли многим поколениям абитуриентов успешно сдать вступительные экзамены по математике в самые различные ВУЗы.

Пособие содержит как очень большое количество задач с решениями, так и задачи для самостоятельного решения (с ответами).

Формат: djvu / zip

Размер: 5,54 Мб

Скачать / Download файл

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие................................................................................ . 6

Введение...................................................................................... 9

§ I .Множества и операции над ними.......................................... 9

§2. Основные алгебраические формулы..................................... 12

§3. Функции и отображения....................................................... 12

§4. Уравнения, неравенства, системы, совокупности................ 13

§5. Понятие равносильности уравнений, неравенств, систем.... 17

§6. Некоторые свойства функций.............................................. 19

§7. Метод интервалов для решения неравенств........................ 22

§8. Рациональные неравенства................................................... 23

Глава I. Линейные и квадратичные зависимости, фунщия |х| и

связанные с ними уравнения и неравенства.............................. 24

§1.1. Линейная функция............................................................... 24

§1.2. Линейные уравнения и неравенства.................................. 25

§ 1.3. Решение линейных неравенств......................................... 26

§ 1.4. Квадратный трехчлен......................................................... 26

§1.5. Корни квадратного трехчлена........................................... 27

§1.6. Зависимость расположения графика функций квадратного

трехчлена от a, D........... '............................................................ 30

§1.7. Решение квадратных неравенств...................................... 33

§1.8. Разложение квадратного трехчлена на линейные

множители................................................................................... 34

§ 1.9. Задачи.................................................................................... 36

§1.10. Выделение полного квадрата, как метод решения

некоторых нестандартных задач................................................ 41

§1.11. Равносильность и следствия в задачах с квадратным

трехчленом.................................................................................. 46

§1.12. Уравнения и неравенства, содержащие модули.............. 62

Глава П. Решение уравнений и неравенств, содержащих

иррациональности.......... ,.......................................................... 89

2.1. Определение и свойства Аункций v = Jx'. п е SN . п > 2 ... qq

Глава III. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства......................................... ........................................ 1

§3.1. Определение и свойства показательной функции.................. ......................................................................................... 1

§3.2. Определение и свойства логарифмической функции............ ......................................................................................... 1

§3.3. Простейшие показательные и логарифмические

уравнения и неравенства................................................................ .......................................................................................... 1

§3.4. Основные типы показательных уравнений и неравенств... 1
§3.5. Основные типы логарифмических уравнений и

неравенств..................................................................................... ......................................................................................... 1

Глава IV. Тригонометрические уравнения, системы и неравенства....... .......................................................................................... 2

§4.1. Градусная и радианная меры угла. Тригонометрический

круг............................................................................................... ......................................................................................... 2

§4.2. Основные тригонометрические функции.. '.......................... ......................................................................................... 2

§4.3. Простейшие тригонометрические уравнения....................... ......................................................................................... 2

§4.4. Тригонометрические формулы............................................. ......................................................................................... 2

§4.5. Тригонометрические уравнения, сводящиеся заменой

переменной к квадратному уравнению................. .................................................................... °

§4.6. Решение уравнений с помощью вспомогательного

аргумента.................................................................. '.................. ......................................................................... 2

§4.7. Уравнения вида: /(sinjc-f cos Jt; sin 2.v)=G; или

/(sin*- cos x\ sin 2x) = 0.............................................................. ........................................................................................ 2

§4.8. Проверка и отбор корней тригонометрических уравнений. 2

Глава V. Системы уравнений и неравенств................................... .......................................................................................... 2

§5.1. Некоторые приемы решения систем уравнений.................... ......................................................................................... 2

§5.2. Системы линейных уравнений............................................. ......................................................................................... 2

§5.3. Системы уравнений второго порядка.................................... ......................................................................................... 2

§5.4. Симметрические системы..................................................... .......................................................................................... 21

§5.5. Системы тригонометрических уравнений............................. ......................................................................................... 21

§5.6. Системы логарифмических и показательных уравнений ... З1

§5.7. Нестандартные системы уравнений...................................... ......................................................................................... 3

Глава VI. Текстовые задачи........................................................... .......................................................................................... 3

§6.1. Задачи «на движение»............................................ ,............ ............................................................................ 3

Глава VIII Нестандартные задачи........................................... ......................................................................................... 36

§8.1. Метод мини-максов............................................................. ........................................................................................ 36

§8.2. D- метод. (Дискриминантный метод)................................... ......................................................................................... 38

§8.3. Метод отделяющих констант.............................................. ........................................................................................ 40

§8.4. Метод тригонометрической подстановки........................ ,....................................................................................... 40

§8.5. Метод «геометрической» подстановки................................. ......................................................................................... 41

§8.6. Симметрия алгебраических выражений......................... ...,,................................................................................... 42

§8.7. Координатная плоскость «переменная-параметр» и

решение относительно параметра.............................................. ,....................................................................................... 44

§8.8. Решение нестандартных задач с использованием общих свойств функций.......................................................................... 45

§8.9. Задачи со свободным параметром........................................ ......................................................................................... 46

§8.10. Использование теоремы Виета.......................................... ........................................................................................ 47

§8.11. Задачи с заменой условия.................................................. ,........................................................................................ 49

Глава IX. Решение задач с целыми числами.................................. 49

§9.1. Простые и составные числа.................................................. 49

§9.2. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких целых чисел... 49

§9.3. Решение в целых числах (хУу) уравнений вида: а • х + Ъ • у = с........... 50i

§9.4. Китайская задача об остатках.............. ,............................... 50

§9.5. Решение в целых числах уравнений вида: ах + Ьх- у + су ~d......... 50

§9.6. Задачи вступительных экзаменов с целыми числами........... 510

Глава X. Решение задач с помощью производной функции......... ..530

§10.1. Производная функции......................................................530

§10.2. Решение задач с использованием производной................... 533

Список литературы...................................................................... 54;3