Элементарная математика. Сканави М.И.

2-е изд., перераб. и доп., М.: 1974г. - 592с.

Книга представляет собой повторительный курс элементарной математики и рассчитана на тех, кто хочет пополнить, укрепить и систематизировать свои знания. Как и в первом издании, содержание ориентировано на программы вступительных экзаменов в технические вузы и, в особенности, на программы подготовительных отделений при высших учебных заведениях, для учащихся которых, как мы надеемся, книга окажется полезной.

( Книга включает в себя Ч1 - Арифметика, алгебра и элементарные функции и Ч2 - Геометрия. Каждый раздел включает в себя теоретическую часть и большое количество задач с решениями.)

Первое издание книги вышло в 1967году, в начале работы над вторым изданием ушел из жизни сам Марк Иванович Сканави (1972г.) и работа была продолжена его соавторами. В списке авторов данного издания: Зайцев В.В., Рыжков В.В., Сканави М.И.

Формат: djvu / zip

Размер: 5,65 Мб

Скачать / Download файл


Математика в решениях задач из сборника М.И. Сканави. Черняк А.А., Черняк Ж.А. (2001, 400с.)

Полный сборник решений задач по математике для поступающих в вузы. Под ред. Сканави М.И. (2012; 912с., 1232с.)

Сборник задач по математике для поступающих во втузы. Под ред. Сканави М.И. (2013, 608с.)

Сборник задач по математике с решениями. 8-11 классы. Под ред. Сканави М.И. (2012, 624с.)

Элементарная математика. Сканави М.И.(1974, 592с.)


ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ко второму изданию......................................................................... 9

О пользовании книгой ........................................................................................ 11

Введение................................................................................................................... 13

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

Глава I. Действительные и комплексные числа .................................. 18

§ 1. Действительные числа. Координаты . . . . ,........................... , . , . . 18

1. Натуральные числа (18). 2. Простые и составные числа. Признаки дели­
мости (20). 3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
(22). 4. Целые числа. Рациональные числа (24). 5. Десятичные дроби.
Представление рациональных чисел десятичными дробями (28). 6. Иррацио­
нальные числа. Действительные числа (31). 7. Действия с приближенными
числами (35). 8. Числовая ось. Координаты точки на плоскости (40).
Упражнения.................................................................................................... 45

§ 2. Степени и корни ,........................................................... ,................................ 46

9. Степени с натуральными показателями (46). 10. Степени с целыми пока­
зателями (47). 11. Корни (48). 12. Степени с рациональными показате­
лями. Степени о действительными показателями (51). 13. Алгоритм извлече­
ния квадратного кория (52).
Упражнения..................................................................................................... 56

§ 3. Комплексные числа .................................................................................... 57

14. Основные понятия и определения (57). 15. Рациональные действия с
комплексными числами (59). 16. Геометрическое изображение комплексных
чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа (62). 17. Действия с
комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Формула
Муавра (65). 18. Извлечение корня из комплексного числа (66).
Упражнения..................................................................................................... 69

Глава II. Тождественные преобразования................................................ 70

§ 1. Рациональные алгебраические выражения................................................... 70

19. Алгебраические выражения. Одночлены и многочлены (70). 20. Форму­
лы сокращенного умножения (74). 21. Бииом Ньютона (75). 22. Разло­
жение многочлена иа множители (7 8). 23. Дробные алгебраические выраже­
ния (79).
Упражнения.................................................................................................... 80

§ 2. Иррациональные алгебраические выражения........................ ...................... 80

24. Радикалы нз алгебраических выражений (80). 25. Освобождение от ир«

рациональности в знаменателе дроби (84).

Упражнения................................................................................................. , 85

Глава III. Логарифмы......................................................................................... 87

§ 1. Логарифмы по произвольному основанию.................................................. 87

26. Определение и свойства логарифмов (87). 27. Логарифмы по различным

основаниям. Модуль перехода (92).

Упражнения................................................................... ,............................... 94

§ 2. Десятичные логарифмы................................................................................... 94

28. Характеристика и мантисса десятичного логарифма (94). 29. Применение десятичных логарифмов к вычислениям (9 8).

Упражнения..................................................................................................... 100

Глава IV. Функции и графики........................................................................ 101

§ 1. Общие сведения о функциях........................................................................... 101

30. Величина. Числовые множества (101). 31. Определение функции (102). 32. График функции.

Способы задания функций (104). 33. Элементарное ис­следование поведения функции (106). 34.

Сложная функция (109). 35. Об­ратная функция (109). 36. Функции нескольких переменных (112).

Упражнения.................................................................................................... 113

§ 2. Элементарные функции.................................................................................. 113

37. Обзор элементарных функций (113). 38. Линейная функция (115). 39. Квадратичная функция у=ахг (118).

4 0. Степенная функция у—хп (120). 41. Обратная пропорциональная зависимость. Степенная функция

с рациональ­ным показателем степени (121). 42. Показательная функция (125). 43. Ло­гарифмическая функция (127).

Упражнения.................................................................................................... 127

§ 3. Преобразование графиков............................................................................. 128

44. Параллельный сдвиг графика (128). 45. График квадратного трехчлена (130). 46. График дробио-лииейной

функции (133). 47. Преобразование сим­метрии. Сжатие н растяжение графика (134). 48. Построение графиков функ­ций

у=\ / (х) |. у-1 (| х |), у=\ / (| х\) | (136). 49. Сложение графиков (140).

Упражнения.................................................................................................... 142

§ 4. Некоторые сведения о рациональных функциях.......................................... 142

50. Целые и дробные рациональные функции. Деление многочленов (142).

51. Схема Горнера. Теорема Безу (145). 52. Нули многочлена. Разложение многочлена на множители (147).

Упражнения..................................................................................................... 150

Глава V. Уравнения ........................................................................................ 151

§ 1. Общие сведения об уравнениях..................................................................... 151

53. Уравнение. Корни уравнения (151). 54. Равносильные уравнения (152). 55. Системы уравнений (155).

56. Графическое решение уравнений (157).

Упражнения..................................................................................................... 158

§ 2. Алгебраические уравнения с одной неизвестной ........................................ 158

57. Число и кратность корней (158). 58. Уравнения первой степени (линей­ные уравнения) (159).

59. Уравнения второй степени (квадратные уравнения (160). 60. Формулы Виета. Разложение квадратного

трехчлена на множители (164). 61. Исследование квадратного уравнения (165). 62. Уравнения выс­ших степеней.

Целые корни (167). 63. Двучленные уравнения (169). 64. Уравнения, сводящиеся к квадратным (170). 65. Возвратные уравнения (172).

Упражнения..................................................................................................... 172

§ 3. Системы алгебраических уравнений............................................................. 173

66. Линейные системы (173). 67. Определители второго порядка. Исследова­ние линейных систем двух

уравнений с двумя неизвестными (176). 68. Систе­мы, состоящие из уравнения второй степени и линейного уравнения (183).

69. Примеры систем двух уравнений второй степени. Системы уравнений
высших степеней (186).

Упражнения..................................................................................................... 190

§ 4. Иррациональные, показательные и логарифмические уравнения ... 191

70. Иррациональные уравнения (191). 71. Показательные уравнения (195).
72. Логарифмические уравнения (197). 73. Разные уравнения. Системы урав­
нений (199),

Упражнения . . , . ,..................................................................................... 201

Глава VI. Неравенства..................................................................................... 203

§ 1. Числовые и алгебраические неравенства....................................................... 203

74. Свойства неравенств. Действия над неравенствами (203). 75. Алгебраиче­
ские неравенства (208).
Упражнения..................................................................................................... 210

§ 2. Решение неравенств......................................................................................... 211

76. Множество решений неравенства. Равносильные неравенства (211).

77. Графическое решение неравенств (212). 78. Линейные неравенства. Си­
стемы линейных неравенств (213). 79. Квадратные неравенства (217).
80. Неравенства высших степеней. Неравенства, содержащие дробные рацио-

нальиые функции от х (219). 81. Иррациональные, показательные и логариф­
мические неравенства (222). 82. Неравенства с двумя неизвестными (225).
Упражнения..................................................................................................... 227

Глава VII. Последовательности...................................................................... 228

§ 1. Предел последовательности ......................................................................... 228

83. Числовая последовательность (228). 84. Предел числовой последователь­
ности (230). 85. Бесконечно малые. Правила предельного перехода (235).
§ 2. Арифметическая прогрессия.......................................................................... 238

86. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена (238). 87. Свойства арифметической прогрессии (239).

88. Формула для вуммы п членов арифме­тической прогрессии (240).

Упражнения..................................................................................................... 241

§ 3. Геометрическая прогрессия........................................................................... 242

89. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена (242). 90. Свойства
геометрической прогрессии (244). 91. Формулы для суммы п членов геомет­
рической прогрессии (245). 92. Бесконечно убывающая геометрическая про­
грессия (246).
Упражнения..................................................................................................... 248

Глава VIII. Тригонометрические функции угла (дуги)........................... 249

§ 1. Векторы. Обобщение понятий угла и дуги................................................... 249

93. Вектор, проекция вектора (249). 94. Положительные углы и дуги, мень­
шие 360° (251). 95. Углы и дуги, большие-360° (251). 96 Отрицательные
углы. Сложение и вычитание углов (252).
Упражнения..................................................................................................... 254

§ 2. Тригонометрические функции произвольного угла................................... 254

97. Определение основных тригонометрических функций (254). 98. Изменение
основных тригонометрических функций при изменении угла от 0 до 2л (259).
Упражнения.................................................................................................... 264

§ 3. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того

же угла............................................................................................................. 264

99. Основные тригонометрические тождества (264). 100. Вычисление значений
тригонометрических функций по значению одной из них (266). 101. Значения
тригонометрических функций некоторых углов (267).
Упражнения..................................................................................................... 269

§ 4. Четность, нечетность и периодичность тригонометрических функций 270

102. Четность и нечетность (270). !03. Понятие периодической функции (271). 104. Периодичность

тригонометрических функций (273).

Упражнения..................................................................................................... 276

§ 5. Формулы приведения...................................................................................... 276

105. Зависимость между тригонометрическими функциями дополнительных

углов (276). 106. Формулы приведения (278).

Упражнения..................................................................................................... 283

Глава IX. Тригонометрические функции числового аргумента и их гра­
фики
.............................................................................................................. 284

§ 1. Тригонометрические функции числового аргумента.................................. 284

107. Определение (284). 108. Области определения и области изменения
значений тригонометрических функций (285). 109. Некоторые неравенства и
их следствия (285).
Упражнения..................................................................................................... 287

§ 2. Графики тригонометрических функций........................................................ 287

ПО. Первоначальные сведения о таблицах тригонометрических функций (287).
111. Основные графики (288). 112. Примеры построения графиков некоторых
других тригонометрических функций (293). 113. Дальнейшие примеры по­
строения графиков функций (29 5).
Упражнения..................................................................................................... 298

Глава X. Преобразование тригонометрических выражений ............ 299

§ 1. Формулы сложения и вычитания ................................................................ 299

114. Расстояние между двумя точками на плоскости (299). 115. Косинус суммы
и разности двух аргументов (300). 116. Сннус суммы и разности двух аргу­
ментов (301). 117. Тангенс суммы и разности двух аргументов (302).
118. О формулах сложения для нескольких аргументов (303).
Упражнения.................................................................................................... 303

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

ГЕОМЕТРИЯ

Глава XIII. Основные понятия...................................................................... 379

§ 1. Точка, прямая, плоскость. Фигуры и тела.................................................... 379

156. Точка. Прямая. Луч. Отрезок (379). 157. Плоскость. Фигуры и тела (380). 158.

Угол (381). 159. Ломаная линия. Многоугольник (382). 160. Равенство фигур. Движение (384).

161. Равенство тел (386).

§ 2. Измерение геометрических величин.............................................................. 386

162. Сложение отрезков. Длина отрезка (386). 163,. Общая мера двух отрез- .
ков (389), 164. Сравнительная длина отрезков и ломаных (390). 165. Изме­
рение углов (391). 166. Радиаииая мера угла (393). 167. Измерение площа­
дей (395). 168. Площадь прямоугольника. Объем прямоугольного параллеле­
пипеда (397).
Упражнения..................................................................................................... 399

Глава XIV. Перпендикулярные и параллельные прямые. Задачи на по­
строение
....................................................................................................... 400

§ 1. Перпендикулярные и параллельные прямые............................................... 400

169. Перпендикуляр и наклонные (400). 170. Свойство перпендикуляра, про­веденного

к отрезку в его середине (402). 171. Параллельные прямые (402).

172. Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей (404).

173. Углы с параллельными или перпендикулярными сторонами (405).

§ 2. Геометрические места точек. Окружность.................................................... 407

174. Геометрическое место точек (407). 175. Свойство биссектрисы угла
(407). 176. Окружность (408). 177. Взаимное расположение прямой и ок­
ружности. Касательная и секущая (409). 178. Хорда н диаметр. Сектор и
сегмент; (411). 179. Взаимное расположение двух окружностей (412).

§ 3. Основные задачи на построение..................................................................... 414

180. Линейка и циркуль (414). 181. Деление отрезка пополам. Построение
перпендикуляров (415). 182. Построение углов (416). 183. Другие задачи
на построение (418).
Упражнения..................................................................................................... 419

Глава XV. Треугольники, четырехугольники............................................ 420

§ 1. Треугольники.................................................................................................. 420

184. Стороны и углы треугольника (421). 185. Биссектрисы треугольника.
Вписанная окружность (422). 186. Оси симметрии сторон треугольника. Опи­
санная окружность (423). 187. Медианы н высоты треугольника (425).
188. Равенство треугольников (425). 189. Построение треугольников (427).
190. Равнобедренные треугольники (430)." 191. Прямоугольные треугольники
(430).
Упражнения..................................................................................................... 432

§ 2. Параллелограммы ....................................................................................... 432

192. Четырехугольники (432). 193. Параллелограмм и его свойства (433).

194. Прямоугольник (434). 195. Ромб. Квадрат (435).

Упражнения...................................................................................................... 436

§ 3. Трапеция ...................................................................................................... 436

196. Трапеция (436). 197. Средняя линия треугольника (439). 198. Сред­
няя линия трапеции (440). 199. Деление отрезка на равные части (441).
Упражнения..................................................................................................... 442

§ 4. Площади треугольников и четырехугольников........................................... 442

200. Площадь параллелограмма (442). 201. Площадь треугольника (443).

202. Площадь трапеции (445).

Глава XVI. Подобие геометрических фигур............................................... 446

§ 1. Пропорциональные отрезки........................................................................... 446

203. Пропорциональные отрезки (446). 204. Свойства биссектрис внутреннего
и внешнего углов треугольника (4 49).

Упражнения.................................................................................................... 451

§ 2. Подобное преобразование фигур (гомотетия)............................................ 451

205. Определение гомотетичных фигур (451). 206. Свойства преобразования подобия (453).

§ 3. Общее подобное соответствие фигур............................................................ 456

207. Подобные фигуры (456). 208. Периметры и площади подобных треуголь­
ников (459). 209. Применение подобия к решению задач на построение (460).
Упражнения..................................................................................................... 461

Глава XVII. Метрические соотношения в треугольнике и круге .... 462

§ 1. Углы и пропорциональные отрезки в круге................................................ 462

210. Углы с вершиной на окружности (462). 211. Углы с вершиной внутри
и вне круга (463). 212. Угол, под которым виден данный отрезок (464).
213. Четырехугольники, вписанные в окружность (466). 21 4. Пропорциональ­
ные отрезки в круге (467). 215. Задачи на построение (468).
Упражнения.................................................................................................... 470

§ 2. Метрические соотношения в треугольнике.................................................. 470

216. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Теорема Пи­
фагора (470). 217. Квадрат стороны, лежащей против острого или тупого
угла в треугольнике. Теорема косинусов (47 3). 218. Теорема синусов. Фор­
мула Герона (476). 219. Радиусы вписанной и описанной окружностей (478).
Упражнения..................................................................................................... 480

§ 3. Решение треугольников.................................................................................. 481

220. Таблицы функций (481). 221. Решение треугольников. Сводка основных - формул (487).

222. Решение прямоугольных треугольников (489). 223. Ре­шение косоугольных треугольников (490).

Упражнения.................................................................................................... 498

Глава XVIII. Правильные многоугольники. Длина окружности и пло­
щадь круга
..................................................................................................... 499

§ 1. Правильные многоугольники........................................................................ 499

224. Выпуклые многоугольники (499). 225. Правильные многоугольники (501). 226. Соотношения

между стороной, радиусом и апофемой (502). 227. Периметр и площадь правильного л-угольника (503).

228. Удвоение чи­сла сторон правильного многоугольника (504).

Упражнения.................................................................................................... 507

§ 2. Длина окружности. Площадь круга и его частей ..................................... 507

229 Длина окружности (507). 230. Площадь круга и его частей (510)

Упражнения...................... ,............................................................................. 513

Глава XIX. Прямые и плоскости в пространстве....................................... 514

§ 1. Взаимное расположение прямых и плоскостей............................................. 514

231. Взаимное расположение двух прямых в пространстве (514). 232. Взаим­ное расположение прямой

линии и плоскости (515). 233. Взаимное располо­жение двух плоскостей (518). 234. Свойства

параллельных прямых и плоско­стей (518). 235. Построения в стереометрии (520).

§ 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей................................................... 521

236. Перпендикуляр к плоскости (521). 237. Перпендикуляр и наклонные (523). 238. Угол между

прямой и плоскостью (524). 239. Связь между пер­пендикулярностью и параллельностью прямых

и плоскостей (525). 240. Об­щий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых (526).

Упражнения.................................................................................................... 528

§ 3. Двугранные и многогранные углы.................................................................. 528

241. Двугранный угол (528). 242. Взаимно перпендикулярные плоскости (529). 243. Трехгранные

углы (530). 244. Многогранные углы (534).

§ 4. Многогранники............................................................................................... . 535

245. Многогранники (535). 246. Правильные многогранники (536).

Упражнения..................................................................................................... 538

Глава XX. Многогранники и круглые тела................................................ 539

§ 1. Призма. Параллелепипед. Цилиндр.............................................................. 539

247. Цилиндры и призмы (539). 248. Параллелепипеды (542). 249. Объемы призм и цилиндров (543).

250. Площадь боковой поверхности призмы (544).

251. Площадь поверхности цилиндра (545).

Упражнения.................................................................................................... 547

§ 2. Пирамида. Конус.............................................................................................. 547

252. Свойства пирамиды и конуса (547). 253. Объем пирамиды и конуса
(551). 254. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды н конуса
(554). 255. Усеченный конус и усеченная пирамида (556).

Упражнения . . ........................................................................................... 559

§ 3. Шаровая поверхность] Шар........................................................................... 559

256. Шар и шаровая поверхность (559). 257. Объем шара и его частей (562).

258. Площадь поверхности шара и ее частей (566). 259. Понятие телесного

угла (568).

Упражнения.................................................................................................... 569

Ответы к упражнениям........................................................................................... . 570

Приложения ........................................................................................................ . 581

Предметный указатель............................................................................................ . 583