Математический анализ в вопросах и задачах. Бутузов В.Ф. и др.

4-е изд., исправ. — М.: Физматлит, 2001. — 480 с.

Пособие охватывает все разделы курса математического анализа функций одной и нескольких переменных. По каждой теме кратко излагаются основные теоретические сведения и предлагаются контрольные вопросы; приводятся решения стандартных и нестандартных задач; даются задачи и упражнения для самостоятельной работы с ответами и указаниями.

Третье издание вышло в 2000 г.

Для студентов высших учебных заведений.

Формат: djvu/ zip

Размер: 3,2 Мб

Скачать / Download файл

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ

Учебное пособие написано на основе многолетнего опыта чтения лекций и ведения семинаров по математическому анализу на физическом факультете МГУ. Оно предназначено как для студентов, так и для преподавателей, особенно молодых, начинающих вести семинары.

Пособие охватывает основные разделы дифференциального и интегрального исчисления функций одной и нескольких переменных. Оно не является сборником задач в обычном смысле слова. Как следует из его структуры, назначение пособия — помочь активному и неформальному усвоению студентами изучаемого предмета. Материал каждого параграфа разбит, как правило, на четыре пункта.

В пункте "Основные понятия и теоремы" приводятся без доказательства основные теоретические сведения (определения, теоремы, формулы), необходимые для решения задач. Формулировки определений и теорем соответствуют в большинстве случаев учебнику В.А. Ильина и Э.Г. Позняка "Основы математического анализа". Иногда после формулировки определения или теоремы даются поясняющие примеры или комментарии, чтобы облегчить студентам восприятие новых понятий. Там, где это возможно, авторы старались указать на физическую интерпретацию и физические приложения математических понятий. В наибольшей мере это относится к главе XV.

В пункте "Контрольные вопросы и задания" содержатся вопросы по теории и простые задачи, решение которых не связано с большими вычислениями, но которые хорошо иллюстрируют то или иное теоретическое положение. Назначение пункта — помочь студентам в самостоятельной работе над теоретическим материалом, дать возможность самостоятельно проконтролировать усвоение основных понятий. Предполагается, конечно, что основная работа над теоретическим материалом с проработкой доказательств теорем ведется по учебнику или конспектам лекций. Однако для решения задач часто достаточно понимания сути теоремы (или формулы). Многие контрольные вопросы направлены на раскрытие этой сути. Из этого пункта преподаватель может черпать вопросы для проверки готовности студентов к семинару по той или иной теме.

В пункте "Примеры решения задач" разобраны типичные примеры, демонстрирующие применение на практике результатов теории.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ......................................................................................................... 3

ГЛАВА I ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА

§ 1. Сравнение вещественных чисел.................................................................... ........ 5

§ 2. Точные грани числового множества. Применение символов математической логики 7

§ 3. Арифметические операции над вещественными числами........................... 11

§ 4. Метод математической индукции .............................................................. ....... 14

ГЛАВА II ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

§ 1. Ограниченные и неограниченные последовательности.............................. ...... 16

§ 2. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности . . 21

§ 3. Свойства сходящихся последовательностей................................................. ...... 24

§ 4. Замечательные пределы................................................................................. ...... 29

§ 5. Монотонные последовательности................................................................ ...... 32

§ 6. Предельные точки......................................................................................... ...... 34

§ 7. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности 37

ГЛАВА III ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

§ 1. Предел функции. Теоремы о пределах. Бесконечно большие функции .... 40

§ 2. Непрерывность функции в точке................................................................. 48

§ 3. Сравнение бесконечно малых функций. Символ "о малое" и его свойства.... 52

§ 4. Вычисление пределов функций с помощью асимптотических фор­мул. Вычисление пределов показательно-степенных функций ... 58

ГЛАВА IV ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

§ 1. Производная функции. Правила дифференцирования.............................. 65

§ 2. Дифференциал функции................................................................................ 77

§ 3. Производные и дифференциалы высших порядков................................... 80

ГЛАВА V НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 1 Первообразная и неопределенный интеграл 87

§ 2 Простейшие неопределенные интегралы 89

§ 3 Метод замены переменной 91

§ 4 Метод интегрирования по частям 94

§ 5 Интегрирование рациональных функций 96

§ 6 Интегрирование иррациональных функций 100

§ 7 Интегрирование тригонометрических функций 106

ГЛАВА VI ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ

§ 1 Теоремы об ограниченности непрерывных функций 108

§ 2 Равномерная непрерывность функции 112

§ 3 Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях 116

§ 4 Правило Лопиталя 122

§ 5 Формула Тейлора 125

ГЛАВА VII ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

§ 1 Построение графиков явных функций 130

§ 2 Исследование плоских кривых, заданных параметрически 137

ГЛАВА VIII ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 1 Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл 143
§ 2
Свойства определенного интеграла 149
§ 3
Формула Ньютона-Лейбница 153
§ 4
Вычисление длин плоских кривых 164
§ 5
Вычисление площадей плоских фигур 167
§ 6
Вычисление объемов тел 171
§ 7
Физические приложения определенного интеграла 173

ГЛАВА IX МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

§ 1 Мера множества 177

§ 2 Измеримые функции 184

§ 3 Интеграл Лебега 186

ГЛАВА X ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 1 Последовательности точек в ш-мерном евклидовом пространстве 191

§ 2 Предел функции 198

§ 3 Непрерывность функции 204

§ 4 Частные производные и дифференцируемость функции 213

§ 5 Частные производные и дифференциалы высших порядков 225

§ 6 Локальный экстремум функции 236

ГЛАВА XI НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

§ 1 Неявные функции 243

§ 2 Зависимость функций 257

§ 3 Условный экстремум 261

§ 4 Замена переменных 269

ГЛАВА XII КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1 Двойные интегралы 279

§ 2 Тройные интегралы 295

§ 3 m-кратные интегралы 312

ГЛАВА XIII КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1 Криволинейные интегралы первого рода 317
§ 2 Криволинейные интегралы второго рода 324
§ 3 Формула Грина Условия независимости криволинейного интеграле второго рода от пути интегрирования 333

ГЛАВА XIV ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1 Площадь поверхности 345

§ 2 Поверхностные интегралы первого рода 353

§ 3 Поверхностные интегралы второго рода 360

§ 4 Формула Стокса 367

§ 5 Формула Остроградского-Гаусса 377

ГЛАВА XV СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

§ 1 Дифференциальные операции в скалярных и векторных полях 383
§ 2 Повторные дифференциальные операции в скалярных и векторных полях 402
§ 3 Интегральные характеристики векторных полей 407
§ 4 Основные дифференциальные операции векторного анализа в криволинейных ортогональных координатах432

Ответы и указания 437

Предметный указатель 471