Курс математического анализа. Никольский С.М.

6-е изд., стереотип. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 592 с.

Учебник для студентов физических и механико-математических специальностей вузов написан на основе курса лекций, читаемого автором в Московском физико-техническом институте. Фактически принят как учебное пособие в некоторых втузах с повышенной программой по математике.

Книга содержит дифференциальное и интегральное исчисления функций одной и многих переменных, теорию поля, ряды и интегралы Фурье, начала теории банаховых пространств и обобщенные функции.

Учебник исчерпывает соответствующую часть программы по математике на получение звания бакалавра.
Пятое издание — 2000 г.

Из предисловия:
Данная книга представляет собой улучшенное сокращение четвертого издания книги "Курс математического анализа", вышедшей в 1990г. в издательстве "Наука" в двух томах. Изменению подверглись главы 2 и б, а также § 7.22 о локальном относительном экстремуме. Добавлено рассмотрение вопросов линеаризации решений нелинейных уравнений и нелинейных систем уравнений. Этот учебник соответствует, если не считать некоторых добавлений, программе курса математического анализа, читанного мною на протяжении 50 лет в Московском физико-техническом институте (МФТИ).

Формат: djvu/ zip

Размер: 4,2 Мб

Скачать / Download файл

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие........................................................................................................ 9

Глава 1. Введение..................................................................................... ..... 11

§ 1.1. Вступление....................................................................................... ...... 11

§ 1.2. Множество. Интервал, отрезок...................................................... 11

§ 1.3. Функция............................................................................................ ...... 14

§ 1.4. Понятие непрерывности функции.................................................. ...... 24

§ 1.5. Производная..................................................................................... 27

§ 1.6. Первообразная. Неопределенный интеграл.................................. 33

§ 1.7. Понятие определенного интеграла. Площадь криволинейной

фигуры.............................................................................................. ..... 36

Глава 2. Действительное число............................................................. ...... 41

§ 2.1. Рациональные и иррациональные числа........................................ ...... 41

§ 2.2. Определение неравенства................................................................ 46

§ 2.3. Основная лемма. Определение арифметических действий............ ...... 46

§ 2.4. Основные свойства действительных чисел.................................... 49

§2.5. Изоморфизм различных представлений действительных чисел.

Физические величины ..................................................................... ...... 52

§ 2.6. Неравенства для абсолютных величин........................................... ...... 54

§ 2.7. Точные верхняя и нижняя грани множества................................. ...... 55

§ 2.8. Символика математической логики................................................ ...... 56

Глава 3. Предел последовательности.................................................... ...... 58

§ 3.1. Понятие предела последовательности .......................................... 58

§ 3.2. Арифметические действия с пределами......................................... 62

§ 3.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины..................... 64

§3.4. Существование предела у монотонной ограниченной последо­
вательности ......................................................................................
...... 66

§ 3.5. Число е.............................................................................................. ...... 68

§3.6. Леммы о вложенных отрезках, существовании точных граней

множества и сечения во множестве действительных чисел .... 69

§3.7. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы 71

§ 3.8. Критерий Коши существования предела....................................... 76

§ 3.9. Счетное множество. Счетность множества рациональных чи­
сел. Несчетность множества действительных чисел......................
...... 77

Глава 4. Предел функции......................................................................... ...... 80

§4.1. Понятие предела функции .............................................................. 80

§ 4.2. Непрерывность функции в точке ................................................. 88

§ 4.3. Пределы функции справа и слева. Монотонная функция........... ...... 94

§ 4.4. Функции, непрерывные на отрезке................................................ 98

§ 4.5. Обратная функция.......................................................................... 101

§ 4.6. Показательная и логарифмическая функции................................ 104

§ 4.7. Степенная функция х ................................................................... 109

§ 4.8. Еще о числе е.................................................................................... ПО

§ 4.9. lim ^.................................................................................................. 111

§ 4.10. Порядок переменной, эквивалентность (асимптотика)................. 112

Глава 5. Дифференциальное исчисление для функций одной

переменной.................................................................................................... 117

§ 5.1. Производная.................................................................................... 117

§ 5.2. Дифференциал функции.................................................................. .... 121

§ 5.3. Производная функции от функции............................................... .... 124

§ 5.4. Производная обратной функции.................................................... 125

§ 5.5. Таблица производных простейших элементарных функций .... 128

§ 5.6. Производные и дифференциалы высшего порядка..................... .... 129

§ 5.7...... Возрастание и убывание функции на интервале и в точке. Ло­
кальный экстремум .........................................................................
133

§ 5.8. Теоремы о среднем значении. Критерии возрастания и убыва­
ния функции на интервале. Достаточные критерии локальных

экстремумов..................................................................................... .... 135

§ 5.9. Формула Тейлора............................................................................ .... 139

§ 5.10. Формула Тейлора для важнейших элементарных функций .... 146

§ 5.11. Ряд Тейлора...................................................................................... 151

§ 5.12. Выпуклость кривой в точке. Точка перегиба............................... .... 155

§ 5.13. Выпуклость кривой на отрезке...................................................... 157

§ 5.14. Раскрытие неопределенностей....................................................... .... 159

§ 5.15. Асимптота.......................................................................................... 163

§ 5.16. Схема построения графика функции.............................................. 166

§ 5.17. Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции ................... 170

Глава 6. n-мерное пространство. Геометрия кривой.............................. 172

§ 6.1. гг-мерное пространство. Линейное множество............................. .... 172

§ 6.2...... Евклидово гг-мерное пространство. Пространство со скаляр­
ным произведением.......................................................................... 173

§ 6.3. Линейное нормированное пространство ...................................... .... 176

§ 6.4. Вектор-функция в гг-мерном евклидовом пространстве ........... .... 177

§ 6.5. Непрерывная кривая. Гладкая кривая.......................................... .... 179

§ 6.6. Геометрический смысл производной вектор-функции................ 183

§ 6.7. Длина дуги кривой........................................................................... 184

§ 6.8. Касательная...................................................................................... .... 187

§ 6.9. Основной триэдр кривой .............................................................. 188

§ 6.10. Соприкасающаяся плоскость ........................................................ .... 191

§ 6.11. Кривизна и радиус кривизны кривой........................................... 192

§ 6.12. Эволюта.............................................................................................. ... 194

§ 6.13. Формулы Френе. Свойства эволюты............................................... 196

Глава 7. Дифференциальное исчисление функций многих пе­
ременных
....................................................................................................... 200

§ 7.1. Открытое множество........................................................................ .... 200

§ 7.2. Предел функции................................................................................ ... 202

§ 7.3. Непрерывная функция..................................................................... .... 206

§ 7.4. Частные производные и производная по направлению ................ 210

§ 7.5. Дифференцируемая функция. Касательная плоскость ................ .... 211

§ 7.6. Производная сложной функции. Производная по направлению.

Градиент............................................................................................ 215

§ 7.7. Независимость от порядка дифференцирования........................... 220

§ 7.8. Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка .... 222

§ 7.9. Теорема Больцано-Вейерштрасса .................................................. 226

§ 7.10. Замкнутые и открытые множества.................................................. 227

§ 7.11. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций

на замкнутом ограниченном множестве......................................... .... 229

§ 7.12. Лемма о вложенных прямоугольниках и лемма Бореля................ .... 233

§7.13. Формула Тейлора............................................................................. 234

§ 7.14. Локальный (абсолютный) экстремум функции.............................. ... 237

§ 7.15. Теоремы существования неявной функции................................... .... 241

§ 7.16. Теорема существования решения системы уравнений.................. ... 247

§ 7.17. Отображения..................................................................................... .... 251

§7.18. Гладкая поверхность ........................................................................ 255

§ 7.19. Дифференциалы неявных функций. Линеаризация ...................... 257

§ 7.20. Локальный относительный экстремум............................................ 259

§ 7.21. Замена переменных в частных производных................................... ... 267

§ 7.22. Система зависимых функций............................................................ 270

Глава 8. Неопределенные интегралы. Алгебра многочленов 272

§ 8.1. Введение. Методы замены переменной и интегрирования по

частям................................................................................................ ... 272

§ 8.2. Комплексные числа........................................................................... .... 278

§ 8.3. Комплексные функции...................................................................... 283

§ 8.4. Многочлены...................................................................................... .... 285

§ 8.5. Разложение рациональной функции на простейшие дроби .... 288

§ 8.6. Интегрирование рациональных дробей.......................................... .... 293

§ 8.7. Интегрирование алгебраических иррациональностей................... .... 294

§ 8.8. Подстановки Эйлера......................................................................... .... 295

§ 8.9. Биномиальные дифференциалы. Теорема Чебышева.................... 297

§ 8.10. Интегрирование тригонометрических выражений......................... 298

§ 8.11. Тригонометрические подстановки................................................... ... 301

§ 8.12. Несколько важных интералов, не выражаемых в элементарных

функциях........................................................................................... 302

Глава 9. Определенный интеграл Римана.................................................. 303

§ 9.1. Вступление....................................................................................... 303

§ 9.2. Ограниченность интегрируемой функции.................................... .. 304

§ 9.3. Суммы Дарбу.................................................................................... . 305

§ 9.4. Основная теорема............................................................................ .. 306

§ 9.5. Теоремы о существовании интеграла от непрерывной и моно­
тонной функции на [а, Ь] ...............................................................
309

§ 9.6. Аддитивные и однородные свойства интеграла............................. .. 310

§ 9.7. Неравенства и теорема о среднем................................................... . 312

§ 9.8. Интеграл как функция верхнего предела. Теорема Ньютона-
Лейбница ..........................................................................................
314

§ 9.9. Вторая теорема о среднем............................................................... 318

§ 9.10. Видоизменение функции................................................................. .. 318

§ 9.11. Несобственные интегралы.............................................................. 319

§ 9.12. Несобственные интегралы от неотрицательных функций............ 323

§ 9.13. Интегрирование по частям ............................................................ 325

§ 9.14. Несобственный интеграл и ряд....................................................... 327

§9.15. Несобственные интегралы с особенностями в нескольких точках 330

§ 9.16. Формула Тейлора с отстатком в интегральной форме................ .. 331

§ 9.17. Формулы Валлиса и Стирлинга..................................................... 332

Глава 10. Некоторые приложения интегралов. Приближен­
ные методы
.....................................................................................................
333

§ 10.1. Площадь в полярных координатах................................................. 333

§ 10.2. Объем тела вращения...................................................................... .. 334

§ 10.3. Длина дуги гладкой кривой............................................................. 335

§ 10.4. Площадь поверхности тела вращения............................................ 337

§ 10.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа...................................... . 339

§ 10.6. Квадратурные формулы прямоугольников................................. .. 340

§ 10.7. Формула Симпсона.......................................................................... 341

Глава 11. Ряды.............................................................................................. 343

§ 11.1. Понятие ряда................................................................................... 343

§ 11.2. Действия с рядами............................................................................ 345

§ 11.3. Ряды с неотрицательными членами................................................ . 346

§ 11.4. Ряд Лейбница.................................................................................... . 350

§ 11.5. Абсолютно сходящиеся ряды.......................................................... . 350

§ 11.6. Условно и безусловно сходящиеся ряды с действительными

членами............................................................................................. .. 354

§ 11.7. Последовательности и ряды функций. Равномерная сходимость 356
§ 11.8. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся

рядов на отрезке ............................................................................. .. 362

§ 11.9. Кратные ряды. Перемножение абсолютно сходящихся рядов .. 368
§ 11.10. Суммирование рядов и последовательностей методом средних

арифметических ............................................................................... 371

§ 11.11. Степенные ряды............................................................................... 372

§ 11.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов............ 377

§ 11.13. Степенные ряды функций ez, cosz, smz комплексной пере­
менной ..............................................................................................
380

Глава 12. Кратные интегралы................................................................... 383

§ 12.1. Введение ........................................................................................... 383

§ 12.2. Мера Жордана................................................................................. ..... 385

§ 12.3. Важные примеры квадрируемых по Жордану множеств............ ..... 390

§ 12.4. Еще один критерий измеримости множеств. Полярные коорди­
наты ...................................................................................................
.... 392

§ 12.5. Другие случаи измеримости............................................................ ..... 393

§ 12.6. Понятие кратного интеграла........................................................... 394

§ 12.7. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Основная теорема ..... 397
§ 12.8. Интегрируемость непрерывной функции на замкнутом измери­
мом множестве. Другие критерии ..............................................................
403

§ 12.9. Свойства кратных интегралов ....................................................... .... 404

§ 12.10. Сведение кратного интеграла к интегрированию по отдельным

переменным....................................................................................... 406

§ 12.11. Непрерывность интеграла по параметру...................................... 412

§ 12.12. Геометрическая интерпретация знака определителя.................... 414

§12.13. Замена переменных в кратном интеграле. Простейший случай 415

§ 12.14. Замена переменных в кратном интеграле ..................................... 417

§ 12.15. Доказательство леммы 1 § 12.14...................................................... ... 420

§ 12.16. Полярные координаты в плоскости.............................................. .... 424

§ 12.17. Полярные и цилиндрические координаты в пространстве.......... 426

§ 12.18. Гладкая поверхность ...................................................................... 428

§ 12.19. Площадь поверхности..................................................................... ..... 431

Глава 13. Теория поля. Дифференцирование и интегрирова­
ние по параметру. Несобственные интегралы
........................................
438

§ 13.1. Криволинейный интеграл первого рода........................................ 438

§ 13.2. Криволинейный интеграл второго рода........................................ 439

§ 13.3. Поле потенциала.............................................................................. .... 442

§ 13.4. Ориентация плоской области ........................................................ 450

§ 13.5. Формула Грина. Выражение площади через криволинейный

интеграл............................................................................................. .... 451

§ 13.6. Интеграл по поверхности первого рода........................................ .... 454

§ 13.7. Ориентация поверхностей ............................................................. 457

§ 13.8. Интеграл по ориентированной плоской области.......................... ..... 461

§ 13.9. Поток вектора через ориентированную поверхность.................. 463

§ 13.10. Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского............................ 466

§ 13.11. Ротор вектора. Формула Стокса................................................... .... 472

§ 13.12. Дифференцирование интеграла по параметру............................... .... 476

§ 13.13. Несобственный интеграл ............................................................... 478

§ 13.14. Равномерная сходимость несобственного интеграла.................... 485

§ 13.15. Равномерно сходящийся интеграл для неограниченной области........ 491
Глава
14. Линейные нормированные пространства. Ортого­
нальные системы
.................................................................................................
498

§ 14.1. Пространство С непрерывных функций....................................... 498

§ 14.2. Пространства l! (L) ......................................................................... 500

§ 14.3. Пространство L2 (L2)....................................................................... .... 504

§ 14.4. Пространство Ь'р(П) (ЬР(П))........................................................... .... 507

§ 14.5. Полнота системы элементов в банаховом пространстве............... 507

§ 14.6. Ортогональная система в пространстве со скалярным произве­
дением ...............................................................................................
... 507

§ 14.7. Ортогонализация системы.............................................................. ..... 515

§ 14.8. Полнота системы функций в С, L2 (L2) и L (L) ........................... .... 517

Глава 15. Ряды Фурье. Приближение функций полиномами 519

§ 15.1. Предварительные сведения ........................................................... 519

§ 15.2. Сумма Дирихле................................................................................ 525

§ 15.3. Формулы для остатка ряда Фурье................................................ 527

§ 15.4. Теоремы об осцилляции................................................................. ..... 530

§ 15.5. Критерий сходимости рядов Фурье. Полнота тригонометричес­
кой системы функций.......................................................................
534

§ 15.6. Комплексная форма записи ряда Фурье........................................ 541

§ 15.7. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье.................. .... 544

§ 15.8. Оценка остатка ряда Фурье............................................................ 546

§ 15.9. Алгебраические многочлены. Многочлены Чебышева................. ..... 548

§ 15.10. Теорема Вейерштрасса..................................................................... 549

§ 15.11. Многочлены Лежандра.................................................................... 550

Глава 16. Интеграл Фурье. Обобщенные функции............................... .... 553

§ 16.1. Понятие интеграла Фурье ............................................................. 553

§ 16.2. Сходимость простого интеграла Фурье к порождающей его

функции............................................................................................ 556

§ 16.3. Преобразование Фурье. Повторный интеграл Фурье. Косинус-

и синус-преобразования Фурье...................................................... 558

§ 16.4. Производная преобразования Фурье............................................ .... 562

§ 16.5. Обобщенные функции в смысле D................................................. 563

§ 16.6. Пространство S................................................................................ 570

§ 16.7. Пространство Sf обобщенных функций......................................... 574

Предметный указатель........................................................................................... ..... 583