Лекции по аналитической геометрии. Оболенский А.Ю., Оболенский И.А.

Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. - 216 с.

Данное учебно-методическое пособие содержит краткий курс лекций по аналитической геометрии и задачи, которые предлагаются студентам на экзаменах.

Для студентов математических специальностей вузов и преподавателей аналитической геометрии.

Из Предисловия

Эти лекции были прочитаны студентам первого курса физико-математического факультета НТУУ «КПИ», которые учатся на специальности «математика», то есть студентам, которые избрали математику как будущую профессию.

Цель курса аналитической геометрии, как и любого базового курса но математике, подготовить студентов к изучению специальных курсов, которые определят их будущую математическую специальность. Курс аналитической геометрии занимает особое место. Прямо не готовя студентов к изучению специальных курсов, в этом курсе закладываются основы математического образования и база для других основных курсов. Из этого и следует подход к выбору материала.

Формат: djvu/ zip

Размер: 2,4 Мб

Скачать / Download файл

Содержание
Предисловие
§ 1. Основные аксиомы и определения
1.1. Аксиомы, определяющие действительные числа
1.2. Векторное пространство над полем действительных чисел
1.3. Аффинное пространство
1.4. Введение аффинных координат
1.5. Деление отрезка в данном отношении
1.6. Барицентрические координаты
1.7. Проекции и их свойства
§ 2. Скалярное произведение векторов
2.1. Метрическое пространство
2.2. Нормированное пространство
2.3. Эквивалентность определений скалярного произведения
2.4. Способ задания скалярного произведения
2.5. Критерий Грама линейной независимости векторов
2.6. Ортогональное проектирование
2.7. Метод ортогонализации Грама-Шмидта
2.8. Теорема Рисса
2.9. Градиент линейной формы
2.10. Координаты градиента линейного функционала
§ 3. Смешанное произведение векторов
3.1. Определение. Ориентация
3.2. Геометрический смысл формул Крамера
§ 4. Векторное произведение
4.1. Определения. Основные свойства
4.2. Вычисление координат векторного произведения
4.3. Двойное векторное произведение и его следствия
Формула «бац» минус «цаб»
Скалярное произведение векторных произведений
Тождество Якоби
4.4. Решение систем уравнений .
Уравнение [х,а\= b
Уравнение [x,[x,ajj = fc
§ 5. Понятие про алгебры Ли
§ 6. Плоскости и прямые
6.1. Основные определения и свойства
6.2. Параметрические уравнения аффинных многообразий
6.3. Уравнение прямой
6.4. Аффинные функционалы
6.5. Уравнения гиперплоскостей
6.6. Понятие пучка, связки, s-пучка гиперплоскостей
6.7. Уравнение аффинных многообразий
§7. Метрические задачи
7.1. Угол между прямой и плоскостью
7.2. Угол между гиперплоскостями
7.3. Расстояние от точки до плоскости
7.4. Наименьшее расстояние между точками на плоскостях
§ 8. Выпуклые множества и гиперплоскости
§ 9. Полярная система координат на плоскости
§ 10. Аффинные и изометрические преобразования
10.1. Аффинные преобразования
10.2. Теорема Дарбу
10.3. Изометрические преобразования
10.4. Классификация линейных преобразований двумерного пространства
Задачи
§1 1. Билинейные формы. Основные свойства
11.1. Алгебраические функции
11.2. Билинейные формы. Эквивалентность форм
11.3. Симметрические и кососимметрические формы. Квадратичные формы
11.4. Алгоритм Лагранжа
11.5. Закон инерции квадратичных форм. Знакопостоянные формы
11.6. Аффинная классификация поверхностей уровня квадратичных функций
11.7. Взаимное расположение прямой и поверхности второго порядка
Сопряженные направления
11.8. Теорема Рисса. Сопряженный оператор
§ 12. Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве
12.1. Автоморфизмы билинейных форм
12.2. Спектр и собственные векторы самосопряженного оператора
12.3. Принцип минимакса
12.4. Инварианты квадратичных форм
12.5. Изометрическая классификация поверхностей второго порядка
§ 13. Кривые и поверхности второго порядка
13.1. Конические сечения
13.2. Уравнения конических сечений
13.3. Определения кривых второго порядка
13.4. Касательные и фокусы
13.5. Конические поверхности
13.6. Прямые на поверхностях второго порядка
Гиперболоиды
Параболоиды
§ 14. Алгебра Грассмана
14.1. Определение внешнего произведения форм
14.2. Свойства внешнего произведения форм
14.3. Поливекторы
§ 15. Элементы симплектической геометрии
§ 16. Элементы проективной геометрии
16.1. Проективное пространство
16.2. Проективные преобразования
16.3. Ангармоническое отношение
16.4. Геометрическое определение проективных преобразований
16.5. Проективная классификация поверхностей второго порядка
§ 17. Элементы геометрии Лобачевского
17.1. Эллиптическое пространство
17.2. Гильбертова метрика
17.3. Пространство Лобачевского
17.4. Элементы геометрии треугольника на пространстве Лобачевского.

Задачи