Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Э. Камке

Пер. с нем. - 4-е изд., испр. — М.: Наука: Гл. ред. физ-мат. лит., 1971. — 576с.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ

«Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям» известного немецкого математика Эриха Камке (1890— 1961) представляет собой уникальное по охвату материала издание и занимает достойное место в мировой справочной математической литературе.

Первое издание русского перевода этой книги появилось в 1951 году. Прошедшие с тех пор два десятилетия были периодом бурного развития вычислительной математики и вычислительной техники. Современные вычислительные средства позволяют быстро и с большой точностью решать разнообразные задачи, ранее казавшиеся слишком громоздкими. В частности, численные методы широко применяются в задачах, связанных с обыкновенными дифференциальными уравнениями. Тем не менее возможность записать общее решение того или иного дифференциального уравнения или системы в замкнутом виде имеет во многих случаях значительные преимущества. Поэтому обширный справочный материал, который собран в третьей части книги Э. Камке, — около 1650 уравнений с решениями — сохраняет большое значение и сейчас.

Помимо указанного справочного материала, книга Э. Камке содержит изложение (правда, без доказательств) основных понятий и важнейших результатов, относящихся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Здесь освещается и ряд таких вопросов, которые обычно не включаются в учебники по дифференциальным уравнениям (например, теория краевых задач и задач о собственных значениях).

Книга Э. Камке содержит множество фактов и результатов, полезных в повседневной работе, она оказалась ценной и нужной для широкого круга научных работников и специалистов в прикладных областях, для инженеров и студентов. Три предыдущих издания перевода этого справочника на русский язык были одобрительно встречены читателями и давно разошлись.

Формат: djvu / zip

Размер: 5,6 Мб

Скачать / Download файл

Оглавление

Предисловие к четвертому изданию 11

Некоторые обозначения 13

Принятые сокращения в библиографических указаниях 13

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка

§ 1. Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно 19
производной: у'
=f(x,y); основные понятия

1.1. Обозначения и геометрический смысл дифференциального 19
уравнения

1.2. Существование и единственность решения 20
§ 2. Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно
21

производной: у' =f(x,y); методы решения

2.1. Метод ломаных 21

2.2. Метод последовательных приближений Пикара—Линделёфа 23

2.3. Применение степенных рядов 24

2.4. Более общий случай разложения в ряд 25

2.5. Разложение в ряд по параметру 27

2.6. Связь с уравнениями в частных производных 27

2.7. Теоремы об оценках 28

2.8. Поведение решений при больших значениях х 30

§ 3. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно 32

производной: F(y', у,х)=0

3.1. О решениях и методах решения 32

3.2. Регулярные и особые линейные элементы 33

§ 4. Решение частных видов дифференциальных уравнений первого 34

порядка

4.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 35

4.2. y'=f(ax+by+c) 35

4.3. Линейные дифференциальные уравнения 35.

4.4. Асимптотическое поведение решений линейныхдифференциальных уравнений

4.5. Уравнение Бернулли y'+f(x)y+g(x)ya=0 38

4.6. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним 38

4.7. Обобщенно-однородные уравнения 40

4.8. Специальное уравнение Риккати: у'+ау2=Ьха 40

4.9. Общее уравнение Риккати: y'=f(x)y2+g(x)y+h(x) 41

4.10. Уравнение Абеля первого рода 44

4.11. Уравнение Абеля второго рода 47

4.12. Уравнение в полных дифференциалах 49

4.13. Интегрирующий множитель 49

4.14. F(y',y,x)=0, "интегрирование посредством дифференцирования" 50

4.15. (a) y=G(x, у'); (б) x=G(y, у') 50

4.16. (a) G(y ',х)=0; (б) G(y \y)=Q 51

4Л7. (a) y'=g(y); (6) x=g(y') 51

4.18. Уравнения Клеро 52

4.19. Уравнение Лагранжа —Даламбера 52

4.20. F(x, ху'-у, у')=0. Преобразование Лежандра 53

Глава II. Произвольные системы дифференциальных уравнений,

разрешенных относительно производных

§ 5. Основные понятия 54

5.1. Обозначения и геометрический смысл системы дифференциальныхуравнений

5.2. Существование и единственность решения 54

5.3. Теорема существования Каратеодори 5 5

5.4. Зависимость решения от начальных условий и от параметров 56

5.5. Вопросы устойчивости 57
§ 6. Методы решения
59

6.1. Метод ломаных 59

6.2. Метод последовательных приближений Пикара—Линделёфа 59

6.3. Применение степенных рядов 60

6.4. Связь с уравнениями в частных производных 61

6.5. Редукция системы с помощью известного соотношения междурешениями

6.6. Редукция системы с помощью дифференцирования и исключения 62

6.7. Теоремы об оценках 62
§ 7. Автономные системы
63

7.1. Определение и геометрический смысл автономной системы 64

7.2. О поведении интегральных кривых в окрестности особой точки вслучае п = 2

7.3. Критерии для определения типа особой точки 66
Глава III. Системы линейных дифференциальных уравнений

§ 8. Произвольные линейные системы
70

8.1. Общие замечания 70

8.2. Теоремы существования и единственности. Методы решения 70

8.3. Сведение неоднородной системы к однородной 71

8.4. Теоремы об оценках 71

§ 9. Однородные линейные системы 72

9.1. Свойства решений. Фундаментальные системы решений 72

9.2. Теоремы существования и методы решения 74

9.3. Редукция системы к системе С меньшим числом уравнений 75

9.4. Сопряженная система дифференциальных уравнений 76

9.5. Самосопряженные системы дифференциальных уравнений , 76

9.6. Сопряженные системы дифференциальных форм; тождествоЛагранжа, формула Грина

9.7. Фундаментальные решения 78
§10. Однородные линейные системы с особыми точками
79

10.1. Классификация особых точек 79

10.2. Слабо особые точки 80

10.3. Сильно особые точки 82

§11. Поведение решений при больших значениях х 83

§12. Линейные системы, зависящие от параметра 84

§13. Линейные системы с постоянными коэффициентами 86

13.1. Однородные системы 83

13.2. Системы более общего вида 87

Глава IV. Произвольные дифференциальные уравнения n-го порядка

§ 14. Уравнения, разрешенные относительно старшей производной: 89

yin)=f(x,y,y\...,y{n-\)}

§15. Уравнения, не разрешенные относительно старшей производной: 90
F(x,y,y\...,y(n))=0

15.1. Уравнения в полных дифференциалах 90

15.2. Обобщенно-однородные уравнения 90

15.3. Уравнения, не содержащие явно х или у 91

Глава V. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка,

§16. Произвольные линейные дифференциальные уравнения п-то порядка 92

16.1. Общие замечания 92

16.2. Теоремы существования и единственности. Методы решения 92

16.3. Исключение производной (п—1)-го порядка 94

16.4. Сведение неоднородного дифференциального уравнения коднородному

16.5. Поведение решений при больших значениях х 94
§17. Однородные линейные дифференциальные уравнения п-то порядка
95

17.1. Свойства решений и теоремы существования 95

17.2. Понижение порядка дифференциального уравнения 96

17.3. 0 нулях решений 97

17.4. Фундаментальные решения 97

17.5. Сопряженные, самосопряженные и антисамосопряженныедифференциальные формы

17.6. Тождество Лагранжа; формулы Дирихле и Грина 99

17.7. О решениях сопряженных уравнений и уравнений в полныхдифференциалах

§18. Однородные линейные дифференциальные уравнения с особыми 101
точками

18.1. Классификация особых точек 101

18.2. Случай, когда точка х=Е, регулярная или слабо особая 104

18.3. Случай, когда точка x=inf регулярная или слабо особая 108

18.4. Случай, когда точка х=% сильно особая 107

18.5. Случай, когда точка x=inf сильно особая 108

18.6. Дифференциальные уравнения с полиномиальнымикоэффициентами

18.7. Дифференциальные уравнения с периодическимикоэффициентами

18.8. Дифференциальные уравнения с двоякопериодическимикоэффициентами

18.9. Случай действительного переменного 112
§19. Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью
113

определенных интегралов

19.1. Общий принцип 113

19.2. Преобразование Лапласа 116

19.3.Специальноепреобразование Лапласа 119

19.4. Преобразование Меллина 120

19.5. Преобразование Эйлера 121

19.6. Решение с помощью двойных интегралов 123

§ 20. Поведение решений при больших значениях х 124

20.1. Полиномиальные коэффициенты 124

20.2. Коэффициенты более общего вида 125

20.3. Непрерывные коэффициенты 125

20.4. Осцилляционные теоремы 126

§21. Линейные дифференциальные уравнения п-то порядка, зависящие от 127

параметра

§ 22. Некоторые специальные типы линейных дифференциальных 129
уравнений п-то порядка

22.1. Однородные дифференциальные уравнения с постояннымикоэффициентами

22.2. Неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными 130

22.3. Уравнения Эйлера 132

22.4. Уравнение Лапласа 132

22.5. Уравнения с полиномиальными коэффициентами 133

22.6. Уравнение Похгаммера 134
Глава
VI. Дифференциальные уравнения второго порядка
§ 23. Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка
139

23.1. Методы решения частных типов нелинейных уравнений 139

23.2. Некоторые дополнительные замечания 140

23.3. Теоремы о предельных значениях 141

23.4. Осцилляционная теорема 142

§ 24. Произвольные линейные дифференциальные уравнения второго142

порядка

24.1. Общие замечания 142

24.2. Некоторые методы решения 143

24.3. Теоремы об оценках 144

§ 25. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка 145

25.1. Редукция линейных дифференциальных уравнений второгопорядка

25.2. Дальнейшие замечания о редукции линейных уравнений второгопорядка

25.3. Разложение решения в непрерывную дробь 149

25.4. Общие замечания о нулях решений 150

25.5. Нули решений на конечном интервале 151

25.6. Поведение решений при х>inf 153

25.7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка сособыми точками

25.8. Приближенные решения. Асимптотические решения действительное переменное

25.9. Асимптотические решения; комплексное переменное 161

25.10. Метод ВБК 162

Глава VII. Линейные дифференциальные уравнения третьего и четвертого

порядков

§ 26. Линейные дифференциальные уравнения третьего порядка 163

§ 27. Линейные дифференциальные уравнения четвертого порядка 164

Глава VIII. Приближенные методы интегрирования дифференциальных

уравнений

§ 28. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 165

первого порядка

28.1. Метод ломаных 165.

28.2. Метод добавочного полушага 166

28.3. Метод Рунге — Хейна — Кутта 167

28.4. Комбинирование интерполяции и последовательных приближений 168

28.5. Метод Адамса 170

28.6. Дополнения к методу Адамса 172

§ 29. Приближеннее интегрирование дифференциальных уравнений174

высших порядков

29.1. Методы приближенного интегрирования систем дифференциальныхуравнений первого порядка

29.2. Метод ломаных для дифференциальных уравнений второго порядка 176

29.3. Метод Рунге-Кутта для дифференциальных уравнений второго порядка

29.4. Метод Адамса — Штермера для уравнения y"=f(x,y,y) 177

29.5. Метод Адамса — Штермера для уравнения y"=f(x,y) 178

29.6. Метод Блесса для уравнения y"=f(x,y,y) 179

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ

Глава I. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для линейных

дифференциальных уравнений п-то порядка

§ 1. Общая теория краевых задач 182

1.1. Обозначения и предварительные замечания 182

1.2. Условия разрешимости краевой задачи 184

1.3. Сопряженная краевая задача 185

1.4. Самосопряженные краевые задачи 187

1.5. Функция Грина 188

1.6. Решение неоднородной краевой задачи с помощью функции Грина 190

1.7. Обобщенная функция Грина 190

§ 2. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для уравнения 193

£шу(у)+Ых)у = 1(х)

2.1. Собственные значения и собственные функции; характеристический детерминант А(Х)

2.2. Сопряженная задача о собственных значениях и резольвента Грина; полная биортогональная система

2.3. Нормированные краевые условия; регулярные задачи о собственныхзначениях

2.4. Собственные значения для регулярных и нерегулярных задач о собственных значениях

2.5. Разложение заданной функции по собственным функциям регулярных и нерегулярных задач о собственных значениях

2.6. Самосопряженные нормальные задачи о собственных значениях 200

2.7. Об интегральных уравнениях типа Фредгольма 204

2.8. Связь между краевыми задачами и интегральными уравнениями типа Фредгольма

2.9. Связь между задачами о собственных значениях и интегральными уравнениями типа Фредгольма

2.10. Об интегральных уравнениях типа Вольтерра 211

2.11. Связь между краевыми задачами и интегральными уравнениями типа Вольтерра

2.12. Связь между задачами о собственных значениях и интегральнымиуравнениями типа Вольтерра

2.13. Связь между задачами о собственных значениях и вариационным исчислением

2.14. Применение к разложению по собственным функциям 218

2.15. Дополнительные замечания 219
§ 3. Приближенные методы решения задач о собственных значениях и
222-

краевых задач

3.1. Приближенный метод Галеркина — Ритца 222

3.2. Приближенный метод Граммеля 224

3.3. Решение неоднородной краевой задачи по методу Галеркина — Ритца

3.4. Метод последовательных приближений 226

3.5. Приближенное решение краевых задач и задач о собственных значениях методом конечных разностей

3.6. Метод возмущений 230

3.7. Оценки для собственных значений 233

3.8. Обзор способов вычисления собственных значений и собственных 236 функций

§ 4. Самосопряженные задачи о собственных значениях для уравнения 238
F(y)=W(y)

4.1. Постановка задачи 238

4.2. Общие предварительные замечания 239

4.3. Нормальные задачи о собственных значениях 240

4.4. Положительно определенные задачи о собственных значениях 241

4.5. Разложение по собственным функциям 244

§ 5. Краевые и дополнительные условия более общего вида 247

Глава II. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для систем

линейных дифференциальных уравнений

§ 6. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для систем 249
линейных дифференциальных уравнений

6.1. Обозначения и условия разрешимости 249

6.2. Сопряженная краевая задача 250

6.3. Матрица Грина 252

6.4. Задачи о собственных значениях 252-

6.5. Самосопряженные задачи о собственных значениях 253

Глава III. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для уравнений

низших порядков

§ 7. Задачи первого порядка 256

7.1. Линейные задачи 256

7.2. Нелинейные задачи 257

§ 8. Линейные краевые задачи второго порядка 257

8.1. Общие замечания 257

8.2. Функция Грина 258

8.3. Оценки для решений краевых задач первого рода 259

8.4. Краевые условия при |х|—>inf 259

8.5. Отыскание периодических решений 260

8.6. Одна краевая задача, связанная с изучением течения жидкости 260

§ 9. Линейные задачи о собственных значениях второго порядка 261

9.1. Общие замечания 261

9.2 Самосопряженные задачи о собственных значениях 263

9.3. y'=F(x,)Cjz, z'=-G(x,h)y и краевые условия самосопряженны 266

9.4. Задачи о собственных значениях и вариационный принцип 269

9.5. О практическом вычислении собственных значений и собственных функций

9.6. Задачи о собственных значениях, не обязательно самосопряженные 271

9.7. Дополнительные условия более общего вида 273

9.8. Задачи о собственных значениях, содержащие несколькопараметров

9.9. Дифференциальные уравнения с особенностями в граничных точках 276

9.10. Задачи о собственных значениях на бесконечном интервале 277
§10. Нелинейные краевые задачи и задачи о собственных значениях
278

второго порядка

10.1. Краевые задачи для конечного интервала 278

10.2. Краевые задачи для полуограниченного интервала 281

10.3. Задачи о собственных значениях 282

§11. Краевые задачи и задачи о собственных значениях третьего— 283

восьмого порядков

11.1. Линейные задачи о собственных значениях третьего порядка 283

11.2. Линейные задачи о собственных значениях четвертого порядка 284

11.3. Линейные задачи для системы двух дифференциальных уравненийвторого порядка

11.4. Нелинейные краевые задачи четвертого порядка 287

11.5. Задачи о собственных значениях более высокого порядка 288

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ

ОТДЕЛЬНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Предварительные замечания 290

Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка

1—367. Дифференциальные , уравнения первой степени относительно У 294

368—517. Дифференциальные уравнения второй степени относительно 334

518—544. Дифференциальные уравнения третьей степени относительно 354

545—576. Дифференциальные уравнения более общего вида 358

Глава II. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

1—90. ау" + ... 363

91—145. (ах+ЬУу" + ... 385

146—221.x2 у" + ... 396

222—250. 2±а2)у"+... 410

251—303. (ах2 +Ьх+с)у" + ... 419

304—341. (ах3 +...)у" + ... 435

342—396. (ах4 +...)у" + ... 442

397—410. (ах« +...)у" + ... 449

411—445. Прочие дифференциальные уравнения 454

Глава III. Линейные дифференциальные уравнения третьего порядка

Глава IV. Линейные дифференциальные уравнения четвертого порядка

Глава V. Линейные дифференциальные уравнения пятого и более высоких

порядков

Глава VI. Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка

1—72. ay"=F(x,y,y) 485

73—103./(x);y"=F(x,;y,;y') 497

104— 187./(х)ху'ЧР(х,;у,;у') 503

188-225. f(x,y)y"=F(x,y,y}) 514

226—249. Прочие дифференциальные уравнения 520

Глава VII. Нелинейные дифференциальные уравнения третьего и более

высоких порядков

Глава VIII. Системы линейных дифференциальных уравнений

Предварительные замечания 530

1—18. Системы двух дифференциальных уравнений первого порядка с 530

постоянными коэффициентами 19—25.

Системы двух дифференциальных уравнений первого порядка с 534

переменными коэффициентами

26—43. Системы двух дифференциальных уравнений порядка выше 535

первого

44—57. Системы более чем двух дифференциальных уравнений 538

Глава IX. Системы нелинейных дифференциальных уравнений

1—17. Системы двух дифференциальных уравнений 541

18—29. Системы более чем двух дифференциальных уравнений 544

ДОПОЛНЕНИЯ

О решении линейных однородных уравнений второго порядка (И.Зборник) 547

Дополнения к книге Э. Камке (Д.Митринович) 556

Новый способ классификации линейных дифференциальных уравнений и 568
построения их общего решения с помощью рекуррентных формул
(И.Зборник)

Предметный указатель 571