Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. Манжиров А.В., Полянин А.Д.

М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2000. — 384с.

В книге излагаются точные, приближенные аналитические и численные методы решения линейных и нелинейных интегральных уравнений. Помимо классических методов описаны также некоторые новые методы. Для лучшего понимания рассмотренных методов во всех разделах книги даны примеры решения конкретных уравнений. Приведены точные и асимптотические решения интегральных уравнений, встречающихся в различных областях механики и физики.

Приложения содержат таблицы неопределенных и определенных интегралов, а также таблицы интегральных преобразований Лапласа, Меллина и др.

Справочник предназначен для широкого круга научных работников, преподавателей вузов, аспирантов и студентов, специализирующихся в различных областях прикладной математики, механики, физики, теории управления и инженерных наук.


Формат: djvu/ zip

Размер: 2,9 Мб

Скачать / Download файл

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ........................................................................................................................... .. 13

1. Основные определения и формулы. Интегральные преобразования..................... ... 14

1.1. Некоторые определения, замечания и формулы .................................................... ... 14

1.1-1. Некоторые определения........................................................................................ ... 14

1.1-2. Структура решений линейных интегральных уравнений ............................ ... 15

1.1-3. Интегральные преобразования .......................................................................... ... 16

1.1-4. Вычеты. Формулы для вычислений ................................................................... ... 16

1.1-5. Лемма Жордана...................................................................................................... ... 18

1.2. Преобразование Лапласа................................................................................................. ... 18

1.2-1. Определение. Формула обращения.................................................................... ... 18

1.2-2. Обращение рациональных функций.................................................................. ... 19

1.2-3. Представление оригиналов в виде ряда............................................................. ... 19

1.2-4. Теорема о свертке для преобразования Лапласа............................................ ... 19

1.2-5. Предельные теоремы .......................................................................................... ... 20

1.2-6. Основные свойства преобразования Лапласа................................................. ... 20

1.2-7. Формула Поста-Уиддера....................................................................................... ... 20

1.3. Преобразование Меллина............................................................................................... ... 21

1.3-1. Определение. Формула обращения.................................................................... ... 21

1.3-2. Основные свойства преобразования Меллина ............................................. ... 22

1.3-3. Связь преобразований Меллина, Лапласа и Фурье ..................................... ... 22

1.4. Преобразование Фурье ................................................................................................. ... 22

1.4-1. Определение. Формула обращения.................................................................... ... 22

1.4-2. Несимметричная форма преобразования........................................................ ... 23

1.4-3. Альтернативное преобразование Фурье........................................................... ... 23

1.4-4. Теорема о свертке для преобразования Фурье ............................................. ... 24

1.5. Синус- и косинус-преобразования Фурье................................................................... ... 24

1.5-1. Косинус-преобразование Фурье ....................................................................... ... 24

1.5-2. Синус-преобразование Фурье ............................................................................ ... 25

1.6. Другие интегральные преобразования ..................................................................... ... 25

1.6-1. Преобразование Ханкеля...................................................................................... ... 25

1.6-2. Преобразование Мейера....................................................................................... ... 26

1.6-3. Преобразование Конторовича-Лебедева.......................................................... ... 26

1.6-4. F-преобразование и другие преобразования................................................... ... 26

2. Методы решения линейных уравнений вида J K(x,t)y(t) dt = f(x) . . 28

2.1. Уравнения Вольтерра первого рода.............................................................................. ... 28

2.1-1. Структура уравнений. Классы функций и ядер ............................................ ... 28

2.1-2. Существование и единственность решения...................................................... ... 29

2.2. Уравнения с вырожденным ядром: К(х, t) = g1(x)h1(t) + • • • + gn(x)hn(t) 29

2.2-1. Уравнения с ядром K{x,t) = g1(x)h1(t) + g2{x)h2{t)........................................... ... 29

2.2-2. Уравнения с вырожденным ядром общего вида............................................. ... 30

2.3. Сведение уравнений Вольтерра первого рода к уравнениям Вольтерра

второго рода........................................................................................................................ 31

2.3-1. Первый способ......................................................................................................... ... 31

2.3-2. Второй способ.......................................................................................................... ... 31

2.4. Уравнения с разностным ядром: К(х, t) = К(х — t) ................................................ ... 32

2.4-1. Метод решения, основанный на преобразовании Лапласа.......................... ... 32

2.4-2. Случай рационального образа решения............................................................ ... 32

2.4-3. Представление решения в виде композиции..................................................... ... 33

2.4-4. Использование вспомогательного уравнения ................................................. ... 34

2.4-5. Сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям..................... ... 34

2.4-6. Связь уравнений Вольтерра и Винера-Хопфа ............................................... ... 35

2.5. Метод дробного дифференцирования.......................................................................... ... 35

2.5-1. Определение дробных интегралов ..................................................................... ... 35

2.5-2. Определение дробных производных ................................................................ ... 36

2.5-3. Основные свойства.................................................................................................. ... 37

2.5-4. Решение обобщенного уравнения Абеля.......................................................... ... 38

2.6. Уравнения с ядрами, имеющими слабую особенность........................................... ... 38

2.6-1. Метод преобразования ядра .............................................................................. ... 38

2.6-2. Ядро с логарифмической особенностью ........................................................ ... 39

2.7. Метод квадратур .............................................................................................................. ... 40

2.7-1. Квадратурные формулы........................................................................................ ... 40

2.7-2. Общая схема метода................................................................................................ ... 41

2.7-3. Алгоритм на основе формулы трапеций ......................................................... ... 42

2.7-4. Алгоритм для уравнения с вырожденным ядром............................................ ... 43

2.8. Уравнения с бесконечным пределом интегрирования ......................................... ... 43

2.8-1. Уравнение с переменным нижним пределом интегрирования................... ... 43

2.8-2. Приведение к уравнению Винера-Хопфа первого рода ............................. ... 44

3. Методы решения линейных уравнений вида

у(х) - /* K(x, t)y(t) dt = f(x) ..................................................................................................... ... 45

3.1. Интегральные уравнения Вольтерра второго рода ................................................. ... 45

3.1-1. Предварительные замечания. Уравнения для резольвенты........................... ... 45

3.1-2. Связь между решениями интегральных уравнений........................................ ... 46

3.2. Уравнения с вырожденным ядром: К(х, t) = g1(x)h1(t) + • • • + gn(x)hn(t) 46

3.2-1. Уравнения с ядром К(х, t) = (р(х) + ф(х)(х t) ............................................ ... 46

3.2-2. Уравнения с ядром К(х, t) = cp(t) + ijj(t)(t — х) ............................................ ... 47

3.2-3. Уравнения с ядром К(х, t) = X!m=i ^m(x)(x £)т-1.............................................. ... 48

3.2-4. Уравнения с ядром К(х, t) = YJL=i <Рт(*)(* ~ ж)т_1 ....................................... ... 48

3.2-5. Уравнения с вырожденным ядром общего вида............................................. ... 49

3.3. Уравнения с разностным ядром: К(х, t) = К(х — t) ................................................ ... 50

3.3-1. Метод решения, основанный на преобразовании Лапласа.......................... ... 50

3.3-2. Метод, основанный на решении вспомогательного уравнения ............... ... 51

3.3-3. Сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям..................... ... 52

3.3-4. Приведение к уравнению Винера-Хопфа второго рода .............................. ... 53

3.3-5. Метод дробного интегрирования для уравнения Абеля ............................. ... 53

3.3-6. Системы интегральных уравнений Вольтерра ............................................... ... 54

3.4. Операторные методы решения линейных интегральных уравнений ................. ... 55

3.4-1. Использование решения «укороченного»уравнения ................................. ... 55

3.4-2. Использование вспомогательного уравнения второго рода ...................... ... 56

3.4-3. Метод решения «квадратных»операторных уравнений................................. ... 57

3.4-4. Решение операторных уравнений полиномиального вида ........................ ... 58

3.4-5. Некоторые обобщения ......................................................................................... ... 59

3.5. Построение решений уравнений со специальной правой частью........................ ... 60

3.5-1. Общая схема ............................................................................................................ ... 60

3.5-2. Порождающая функция экспоненциального вида ........................................ ... 60

3.5-3. Порождающая функция степенного вида ....................................................... ... 62

3.5-4. Порождающая функция, содержащая синусы или косинусы...................... ... 63

3.6. Метод модельных решений .......................................................................................... ... 64

3.6-1. Предварительные замечания................................................................................ ... 64

3.6-2. Описание метода...................................................................................................... ... 65

3.6-3. Модельное решение для экспоненциальной правой части ......................... ... 65

3.6-4. Модельное решение для степенной правой части ......................................... ... 67

3.6-5. Модельное решение для синусоидальной правой части............................... ... 67

3.6-6. Модельное решение для косинусоидальной правой части ......................... ... 68

3.6-7. Некоторые обобщения ......................................................................................... ... 68

3.7. Метод дифференцирования интегральных уравнений ........................................... ... 69

3.7-1. Ядро содержит сумму экспонент ...................................................................... ... 69

3.7-2. Ядро содержит сумму гиперболических функций......................................... ... 70

3.7-3. Ядро содержит сумму тригонометрических функций................................... ... 70

3.7-4. Ядро содержит комбинации различных функций........................................... ... 71

3.8. Сведение уравнений Вольтерра второго рода к уравнениям Вольтерра

первого рода........................................................................................................................ 72

3.8-1. Первый способ......................................................................................................... ... 72

3.8-2. Второй способ.......................................................................................................... ... 72

3.9. Метод последовательных приближений....................................................................... ... 72

3.9-1. Общая схема ............................................................................................................ ... 72

3.9-2. Формула для резольвенты .................................................................................... ... 73

3.10. Метод квадратур ............................................................................................................ ... 74

3.10-1. Общая схема метода.............................................................................................. ... 74

3.10-2. Применение формулы трапеций....................................................................... ... 75

3.10-3. Случай вырожденного ядра................................................................................ ... 75

3.11. Уравнения с бесконечным пределом интегрирования.......................................... ... 75

3.11-1. Случай переменного нижнего предела интегрирования ........................... ... 76

3.11-2. Приведение к уравнению Винера-Хопфа второго рода............................... ... 77

4. Методы решения линейных уравнений вида J K(x,t)y(t) dt = f(x) . . 78

4.1. Предварительные замечания............................................................................................ ... 78

4.1-1. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода...................................... ... 78

4.1-2. Интегральные уравнения первого рода со слабой особенностью .... 78

4.1-3. Интегральные уравнения типа свертки ............................................................ ... 79

4.1-4. Парные интегральные уравнения первого рода ............................................ ... 80

4.2. Метод Крейна...................................................................................................................... ..... 80

4.2-1. Основное и вспомогательное уравнения........................................................... ..... 80

4.2-2. Решение основного уравнения ......................................................................... ..... 81

4.3. Метод интегральных преобразований.......................................................................... ..... 81

4.3-1. Уравнение с разностным ядром на всей оси.................................................... ..... 82

4.3-2. Уравнения с ядром К(х, t) = K{x/t) на полуоси .............................................. ..... 82

4.3-3. Уравнение с ядром К(х, t) = K(xt) и его обобщения .................................... ..... 82

4.4. Задача Римана для действительной оси ..................................................................... ..... 83

4.4-1. Связь интеграла Фурье с интегралом типа Коши............................................. ..... 83

4.4-2. Односторонние интегралы Фурье....................................................................... ..... 84

4.4-3. Теорема об аналитическом продолжении и теорема Лиувилля ................ ..... 86

4.4-4. Краевая задача Римана........................................................................................... ..... 87

4.4-5. Задача Римана с рациональными коэффициентами...................................... ..... 92

4.4-6. Исключительные случаи. Однородная задача.................................................. ..... 93

4.4-7. Исключительные случаи. Неоднородная задача.............................................. ..... 95

4.5. Метод Карлемана для уравнений типа свертки первого рода................................. ..... 98

4.5-1. Уравнение Винера-Хопфа первого рода .......................................................... ..... 98

4.5-2. Интегральные уравнения с двумя ядрами первого рода............................... ..... 99

4.6. Парные интегральные уравнения первого рода......................................................... .... 101

4.6-1. Метод Карлемана для уравнения с разностными ядрами............................. .... 101

4.6-2. Точные решения некоторых парных уравнений первого рода.................... .... 103

4.6-3. Приведение парных уравнений к уравнению Фредгольма........................... .... 104

4.7. Асимптотические методы решения уравнений с логарифмической

особенностью..................................................................................................................... 108

4.7-1. Предварительные замечания................................................................................ .... 108

4.7-2. Решение при больших значениях характерного параметра........................... .... 108

4.7-3. Решение при малых значениях характерного параметра............................... .... 109

4.7-4. Интегральные уравнения теории упругости .................................................... .... ПО

4.8. Методы регуляризации ................................................................................................... .... 111

4.8-1. Метод регуляризации Лаврентьева..................................................................... .... 111

4.8-2. Метод регуляризации Тихонова ......................................................................... .... 112

5. Методы решения линейных уравнений вида

у(х) - fc K(x, t)y(t) dt = f(x)......................................................................................................... .... ИЗ

5.1. Предварительные замечания........................................................................................... .... 113

5.1-1. Уравнения Фредгольма и уравнения со слабой особенностью.................. .... 113

5.1-2. Структура решений................................................................................................. .... 114

5.1-3. Интегральные уравнения типа свертки второго рода .................................. .... 114

5.1-4. Парные интегральные уравнения второго рода ........................................... .... 114

5.2. Уравнения Фредгольма второго рода с вырожденным ядром............................... .... 115

5.2-1. Простейшее вырожденное ядро ....................................................................... .... 115

5.2-2. Вырожденное ядро в общем случае................................................................... .... 116

5.3. Решение в виде ряда по степеням параметра. Метод последовательных

приближений .................................................................................................................... 118

5.3-1. Итерированные ядра............................................................................................... .... 118

5.3-2. Метод последовательных приближений ......................................................... .... 119

5.3-3. Построение резольвенты ..................................................................................... 119

5.3-4. Ортогональные ядра................................................................................................ 121

5.4. Метод определителей Фредгольма ............................................................................. 121

5.4-1. Формула для резольвенты .................................................................................... 121

5.4-2. Рекуррентные соотношения................................................................................. 122

5.5. Теоремы и альтернатива Фредгольма .......................................................................... 123

5.5-1. Теоремы Фредгольма ............................................................................................ 123

5.5-2. Альтернатива Фредгольма..................................................................................... 124

5.6. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода с симметричными

ядрами................................................................................................................................... .. 124

5.6-1. Характеристические числа и собственные функции .................................... 124

5.6-2. Билинейный ряд .................................................................................................... 125

5.6-3. Теорема Гильберта-Шмидта................................................................................. 126

5.6-4. Билинейные ряды итерированных ядер.............................................................. 127

5.6-5. Решение неоднородного уравнения .................................................................. 127

5.6-6. Альтернатива Фредгольма для симметричных уравнений ......................... 129

5.6-7. Резольвента симметричного ядра........................................................................ 129

5.6-8. Экстремальные свойства характеристических чисел...................................... 129

5.6-9. Интегральные уравнения, приводимые к симметричным............................ 130

5.6-10. Кососимметричное интегральное уравнение................................................ 130

5.7. Операторный метод решения интегральных уравнений второго рода................. 131

5.7-1. Простейшая схема................................................................................................... 131

5.7-2. Решение уравнений второго рода на полуоси................................................. 131

5.8. Метод интегральных преобразований и метод модельных решений.................... 132

5.8-1. Уравнение с разностным ядром на всей оси.................................................... 132

5.8-2. Уравнение с ядром К(х, t) = t~1Q{x/t) на полуоси........................................... 133

5.8-3. Уравнение с ядром К(х, t) = tl3Q{xt) на полуоси.............................................. 134

5.8-4. Метод модельных решений для уравнений на всей оси ............................... 135

5.9. Метод Карлемана для интегральных уравнений типа свертки второго рода . 136

5.9-1. Уравнение Винера-Хопфа второго рода ........................................................... 136

5.9-2. Интегральное уравнение второго рода с двумя ядрами................................ 140

5.9-3. Уравнения типа свертки с переменным пределом интегрирования ... 143

5.9-4. Парное уравнение типа свертки второго рода .............................................. 146

5.10. Метод Винера-Хопфа ..................................................................................................... 147

5.10-1. Некоторые замечания........................................................................................... 147

5.10-2. Однородное уравнение Винера-Хопфа второго рода ............................... 149

5.10-3. Общая схема метода. Проблема факторизации............................................. 152

5.10-4. Неоднородное уравнение Винера-Хопфа второго рода.............................. 153

5.10-5. Исключительный случай уравнения Винера-Хопфа второго рода . . 154

5.11. Метод Крейна для уравнения Винера-Хопфа ......................................................... 155

5.11-1. Некоторые замечания. Проблема факторизации.......................................... 155

5.11-2. Решение уравнения Винера-Хопфа второго рода ...................................... 157

5.11-3. Формула Хопфа-Фока ....................................................................................... 159

5.12. Методы решения уравнений с разностным ядром на конечном отрезке ... 159

5.12-1. Метод Крейна ........................................................................................................ 159

5.12-2. Ядра с рациональными преобразованиями Фурье ..................................... 161

5.12-3. Сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям................... 162

5.13. Метод замены ядра вырожденным ........................................................................... 163

5.13-1. Аппроксимация ядра ......................................................................................... 163

5.13-2. Приближенное решение...................................................................................... 164

5.14. Метод Бейтмена................................................................................................................ 165

5.14-1. Общая схема метода.............................................................................................. 165

5.14-2. Некоторые частные случаи ............................................................................... 166

5.15. Метод коллокации............................................................................................................ 168

5.15-1. Общие замечания ................................................................................................ 168

5.15-2. Приближенное решение...................................................................................... 169

5.15-3. Собственные функции уравнения..................................................................... 170

5.16. Метод наименьших квадратов ..................................................................................... 170

5.16-1. Описание метода.................................................................................................... 170

5.16-2. Построение собственных функций................................................................... 171

5.17. Метод Бубнова-Галеркина............................................................................................. 172

5.17-1. Описание метода.................................................................................................... 172

5.17-2. Характеристические числа уравнения ............................................................ 173

5.18. Метод квадратур ............................................................................................................ 174

5.18-1. Общая схема для уравнений Фредгольма второго рода ............................. 174

5.18-2. Построение собственных функций................................................................... 175

5.18-3. Особенности применения квадратурных формул......................................... 175

5.19. Системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода............................. 177

5.19-1. Некоторые замечания........................................................................................... 177

5.19-2. Метод преобразования системы уравнений в одно уравнение................. 177

5.20. Метод регуляризации для некоторых уравнений второго рода............................ 178

5.20-1. Основное уравнение и теоремы Нетера.......................................................... 178

5.20-2. Регуляризующие операторы ............................................................................ 179

5.20-3. Метод регуляризации........................................................................................... 180

6. Методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода . . 182

6.1. Предварительные замечания........................................................................................... 182

6.1-1. Интегральные уравнения первого рода с ядром Коши ............................... 182

6.1-2. Интегральные уравнения первого рода с ядром Гильберта ...................... 182

6.2. Интеграл типа Коши ........................................................................................................ 183

6.2-1. Определение интеграла типа Коши .................................................................. 183

6.2-2. Условие Гёльдера .................................................................................................. 184

6.2-3. Главное значение сингулярного интеграла ..................................................... 184

6.2-4. Многозначные функции........................................................................................ 185

6.2-5. Главное значение сингулярного криволинейного интеграла....................... 187

6.2-6. Формула перестановки Пуанкаре-Бертрана ................................................... 188

6.3. Краевая задача Римана .................................................................................................. 189

6.3-1. Теорема об аналитическом продолжении и теорема Лиувилля ................ 189

6.3-2. Интерполяционный полином Эрмита................................................................ 191

6.3-3. Понятие индекса....................................................................................................... 191

6.3-4. Постановка задачи Римана.................................................................................... 193

6.3-5. Решение однородной задачи ................................................................................ 195

6.3-6. Решение неоднородной задачи .......................................................................... 196

6.3-7. Задача Римана с рациональными коэффициентами...................................... 198

6.3-8. Задача Римана для действительной оси.............................................................. 200

6.3-9. Исключительные случаи задачи Римана .......................................................... 202

6.3-10. Задача Римана для многосвязной области...................................................... 206

6.3-11. Случаи разрывных коэффициентов и разомкнутых контуров................... 209

6.3-12. Краевая задача Гильберта ................................................................................. 210

6.4. Сингулярные интегральные уравнения первого рода.............................................. 210

6.4-1. Простейшее уравнение с ядром Коши............................................................... 210

6.4-2. Уравнение с ядром Коши на действительной оси ........................................ 211

6.4-3. Уравнение первого рода на конечном отрезке .............................................. 211

6.4-4. Общее уравнение первого рода с ядром Коши................................................ 212

6.4-5. Уравнения первого рода с ядром Гильберта.................................................... 213

6.5. Метод Мультоппа-Каландия ......................................................................................... 214

6.5-1. Решение, не ограниченное на концах отрезка.................................................. 215

6.5-2. Решение, ограниченное на одном конце отрезка ........................................... 216

6.5-3. Решение, ограниченное на обоих концах отрезка ........................................ 217

7. Методы решения полных сингулярных интегральных уравнений ....................... 218

7.1. Некоторые замечания .................................................................................................... 218

7.1-1. Интегральные уравнения с ядром Коши .......................................................... 218

7.1-2. Интегральные уравнения с ядром Гильберта ................................................. 219

7.1-3. Об уравнениях Фредгольма второго рода на контуре.................................... 220

7.2. Метод Карлемана для характеристических уравнений............................................. 222

7.2-1. Характеристическое уравнение с ядром Коши................................................ 222

7.2-2. Уравнение, союзное с характеристическим...................................................... 225

7.2-3. Характеристическое уравнение на действительной оси ............................. 226

7.2-4. Исключительный случай характеристического уравнения ......................... 227

7.2-5. Характеристическое уравнение с ядром Гильберта....................................... 229

7.2-6. Уравнение Трикоми ............................................................................................. 230

7.3. Полные сингулярные интегральные уравнения, разрешаемые в замкнутой

форме................................................................................................................................... .... 230

7.3-1. Замкнутое решение при постоянных коэффициентах .................................. 231

7.3-2. Замкнутое решение в общем случае.................................................................. 232

7.4. Метод регуляризации для полных сингулярных интегральных уравнений . . 233

7.4-1. Некоторые свойства сингулярных операторов .............................................. 233

7.4-2. Регуляризующий оператор................................................................................... 235

7.4-3. Способы регуляризации слева и справа............................................................ 236

7.4-4. Проблема равносильной регуляризации ........................................................ 237

7.4-5. Теоремы Нётера....................................................................................................... 238

7.4-6. Способ регуляризации Карлемана-Векуа ........................................................ 239

7.4-7. Регуляризация в исключительных случаях ....................................................... 240

7.4-8. Полное уравнение с ядром Гильберта .............................................................. 241

8. Методы решения нелинейных интегральных уравнений.......................................... 244

8.1. Некоторые определения и замечания ........................................................................ 244

8.1-1. Нелинейные интегральные уравнения Вольтерра........................................... 244

8.1-2. Нелинейные уравнения с постоянными пределами интегрирования . . 245

8.2. Нелинейные интегральные уравнения Вольтерра..................................................... 246

8.2-1. Метод интегральных преобразований ............................................................... 246

8.2-2. Метод дифференцирования интегральных уравнений.................................. 247

8.2-3. Метод последовательных приближений ......................................................... 248

8.2-4. Метод Ньютона-Канторовича.............................................................................. 250

8.2-5. Метод коллокации................................................................................................... 251

8.2-6. Метод квадратур...................................................................................................... 252

8.3. Уравнения с постоянными пределами интегрирования ....................................... 253

8.3-1. Нелинейные уравнения с вырожденными ядрами ....................................... 253

8.3-2. Метод интегральных преобразований ............................................................... 255

8.3-3. Метод дифференцирования интегральных уравнений.................................. 256

8.3-4. Метод последовательных приближений ......................................................... 257

8.3-5. Метод Ньютона-Канторовича.............................................................................. 258

8.3-6. Метод квадратур...................................................................................................... 260

8.3-7. Метод регуляризации Тихонова ........................................................................ 261

9. Интегральные операторы................................................................................................... 262

9.1. Линейные операторы в нормированных пространствах.......................................... 262

9.1-1. Интегральные уравнения и интегральные операторы .................................. 262

9.1-2. Нормированные и евклидовы пространства .................................................... 263

9.1-3. Линейные операторы в нормированных пространствах ............................. 264

9.1-4. Резольвента, спектр и корневые подпространства.......................................... 265

9.1-5. Компактные линейные операторы и их свойства............................................ 266

9.2. Линейные операторы в евклидовых пространствах ................................................ 268

9.2-1. Самосопряженные операторы............................................................................. 268

9.2-2. Самосопряженные компактные операторы..................................................... 269

9.3. Интегральные операторы. Условия непрерывности и компактности ................. 271

9.3-1. Условия непрерывности интегральных операторов....................................... 271

9.3-2. Условия компактности интегральных операторов ........................................ 272

9.4. Сингулярные интегральные операторы....................................................................... 274

9.4-1. Сингулярные операторы Гильберта и Коши.................................................... 274

9.4-2. Пространства ВМО и VMO ................................................................................. 275

9.4-3. Условия ограниченности и компактности сингулярных операторов . . 276

Приложение 1. Элементарные функции и их свойства ................................................. 278

1.1. Тригонометрические функции ...................................................................................... 278

1.2. Гиперболические функции ............................................................................................ 280

1.3. Обратные тригонометрические функции .................................................................. 282

1.4. Обратные гиперболические функции ......................................................................... 284

Приложение 2. Таблицы неопределенных интегралов.................................................... . 285

2.1. Интегралы, содержащие рациональные функции ................................................... . 285

2.2. Интегралы, содержащие иррациональные функции ................................................ . 289

2.3. Интегралы, содержащие показательные функции..................................................... . 291

2.4. Интегралы, содержащие гиперболические функции................................................ . 291

2.5. Интегралы, содержащие логарифмические функции ............................................ . 294

2.6. Интегралы, содержащие тригонометрические функции......................................... . 295

2.7. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции...................... . 299

Приложение 3. Таблицы определенных интегралов......................................................... . 300

3.1. Интегралы, содержащие алгебраические функции .................................................. . 300

3.2. Интегралы, содержащие экспоненциальные функции .......................................... . 302

3.3. Интегралы, содержащие гиперболические функции................................................ . 303

3.4. Интегралы, содержащие логарифмические функции ............................................ . 304

3.5. Интегралы, содержащие тригонометрические функции......................................... . 304

Приложение 4. Таблицы прямых преобразований Лапласа............................................ . 307

4.1. Общие формулы................................................................................................................ . 307

4.2. Оригинал содержит степенные функции .................................................................. . 309

4.3. Оригинал содержит показательные функции.............................................................. . 309

4.4. Оригинал содержит гиперболические функции......................................................... . 310

4.5. Оригинал содержит логарифмические функции ..................................................... . 311

4.6. Оригинал содержит тригонометрические функции.................................................. . 312

4.7. Оригинал содержит специальные функции ............................................................... . 313

Приложение 5 Таблицы обратных преобразований Лапласа.......................................... . 315

5.1. Общие формулы................................................................................................................ . 315

5.2. Образ содержит рациональные функции .................................................................. . 317

5.3. Образ содержит квадратные корни .............................................................................. . 321

5.4. Образ содержит степени с произвольными показателями...................................... . 323

5.5. Образ содержит показательные функции.................................................................... . 324

5.6. Образ содержит гиперболические функции............................................................... . 325

5.7. Образ содержит логарифмические функции ........................................................... . 326

5.8. Образ содержит тригонометрические функции......................................................... . 327

5.9. Образ содержит специальные функции .................................................................... . 327

Приложение 6. Таблицы косинус-преобразований Фурье............................................... . 329

6.1. Общие формулы................................................................................................................ . 329

6.2. Оригинал содержит степенные функции .................................................................. . 329

6.3. Оригинал содержит показательные функции.............................................................. . 330

6.4. Оригинал содержит гиперболические функции......................................................... . 331

6.5. Оригинал содержит логарифмические функции ..................................................... . 331

6.6. Оригинал содержит тригонометрические функции.................................................. . 332

6.7. Оригинал содержит специальные функции ............................................................... . 333

Приложение 7. Таблицы синус-преобразований Фурье................................................... 335

7.1. Общие формулы................................................................................................................ 335

7.2. Оригинал содержит степенные функции .................................................................. 335

7.3. Оригинал содержит показательные функции.............................................................. 336

7.4. Оригинал содержит гиперболические функции......................................................... 337

7.5. Оригинал содержит логарифмические функции ..................................................... 338

7.6. Оригинал содержит тригонометрические функции.................................................. 338

7.7. Оригинал содержит специальные функции ............................................................... 339

Приложение 8. Таблицы прямых преобразований Меллина ......................................... 342

8.1. Общие формулы................................................................................................................ 342

8.2. Оригинал содержит степенные функции .................................................................. 343

8.3. Оригинал содержит показательные функции.............................................................. 343

8.4. Оригинал содержит логарифмические функции ..................................................... 344

8.5. Оригинал содержит тригонометрические функции.................................................. 344

8.6. Оригинал содержит специальные функции ............................................................... 345

Приложение 9. Таблицы обратных преобразований Меллина........................................ 346

9.1. Изображение содержит степенные функции ............................................................ 346

9.2. Изображение содержит показательные и логарифмические функции .............. 347

9.3. Изображение содержит тригонометрические функции........................................... 348

9.4. Изображение содержит специальные функции ........................................................ 349

Приложение 10. Специальные функции и их свойства................................................... 352

10.1. Некоторые символы и коэффициенты....................................................................... 352

10.2. Интеграл вероятностей и интегральная показательная функция.......................... 353

10.3. Интегральный синус и интегральный косинус. Интегралы Френеля.................. 354

10.4. Гамма-функция. Бета-функция.................................................................................... 355

10.5. Неполные гамма-функции............................................................................................. 357

10.6. Функции Бесселя Jv[x) и Yv{x)....................................................................................... 358

10.7. Модифицированные функции Бесселя 1и(х) и Kv[x) ........................................... 361

10.8. Вырожденные гипергеометрические функции........................................................ 362

10.9. Гипергеометрические функции ................................................................................ 365

10.10. Функции Лежандра ..................................................................................................... 367

10.11. Ортогональные многочлены....................................................................................... 369

Список литературы ................................................................................................................ 372

Предметный указатель ......................................................................................................... 378