Сборник задач по высшей математике. Минорский В.П.

М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 336с.

Подобраны и методически распределены задачи по аналитической геометрии и математическому анализу. В начале каждого параграфа приведены формулы, определения и другие краткие пояснения теории, необходимые для решения последующих задач. Сборник может быть использован при всех формах обучения. Для студентов высших технических учебных заведений.

Формат: djvu/ zip

Размер: 1,8 Мб

Скачать / Download файл

ОГЛАВЛЕНИЕ

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ....................... .......... 8

От редакции .................................................................................................... .......... 8

Глава 1. Аналитическая геомегрия на плоскости ............................ ...... 9

§ 1. Координаты точки на прямой и на плоскости. Расстояние

между двумя точками.......................................................................... .......... 9

§2. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треуголь­
ника и многоугольника........................................................................
......... 11

§3. Уравнение линии как геометрического места точек .......................... 12
§ 4. Уравнение прямой: 1) с угловым коэффициентом, 2) об­
щее, 3) в отрезках на осях..............................................................................
........ 14

§5. Угол между прямыми. Уравнение пучка прямых, прохо­дящих через

данную точку. Уравнение прямой, прохо­дящей через две данные точки.

Точка пересечения двух

прямых ............................................................................................... ........ 16

§6. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Уравнения

биссектрис. Уравнение пучка пря­мых, проходящих через точку пересечения

двух данных прямых ............................................................................................ 19

§7. Смешанные задачи на прямую.............................................................. ........ 21

§ 8. Окружность.......................................................................................... ........ 22

§9. Эллипс..................................................................................................... ........ 24

§ 10. Гипербола............................................................................................... ........ 26

§11. Парабола.................................................................................................. ........ 29

§ 12. Директрисы, диаметры и касательные к кривым второго

порядка .............................................................................................. ........ 32

§ 13. Преобразование декартовых координат. Параболы у =

= ах2 + Ьх + с и х = ay2 + by + с. Гипербола ху = к . . . 35

§ 14. Смешанные задачи на кривые второго порядка................................. ........ 38

§ 15. Общее уравнение линии второго порядка.......................................... ........ 40

§ 16. Полярные координаты ...................................................................... ........ 44

§ 17. Алгебраические кривые третьего и высших порядков . . 48

§ 18. Трансцендентные кривые .................................................................. ........ 49

Глава 2. Векторная алгебра........................................................................ ........ 51

§ 1. Сложение векторов. Умножение вектора на скаляр .... 51
§ 2. Прямоугольные координаты точки и вектора

в пространстве...................................................................................... ........ 53

§3. Скалярное произведение двух векторов............................................. ........ 55

§ 4. Векторное произведение двух векторов ........................................ ........ 58

§5. Смешанное произведение трех векторов............................................. ........ 60

Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве ......................... 62

§ 1. Уравнение плоскости ........................................................................ 62

§2. Основные задачи на плоскость .......................................................... 63

§ 3. Уравнения прямой................................................................................ 65

§ 4. Прямая и плоскость.............................................................................. 68

§5. Сферические и цилиндрические поверхности...................................... 70

§6. Конические поверхности и поверхности вращения .... 72

§ 7. Эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды......................................... 74

Глава 4. Высшая алгебра ......................................................................... 78

§ 1. Определители........................................................................................ 78

§2. Системы линейных уравнений............................................................... 80

§3. Комплексные числа................................................................................ 83

§ 4. Уравнения высших степеней и приближенное решение

уравнений.............................................................................................. 86

Глава 5. Введение в анализ......................................................................... 90

§ 1. Переменные величины и функции....................................................... 90

§2. Пределы последовательности и функции. Бесконечно ма­
лые и бесконечно большие...................................................................
93

§3. Свойства пределов. Раскрытие неопределенностей

0 °° 97

вида - и —.............................................................................................. 97

0 оо

Sill Q(

§ 4. Предел отношения ---------- при а —У 0 ........................................ 98

а

§ 5. Неопределенности вида оо — оо и 0 • оо........................................... 99

§6. Смешанные примеры на вычисление пределов................................... 100

§7. Сравнение бесконечно малых................................................................ 101

§8. Непрерывность функции...................................................................... 102

§ 9. Асимптоты ......................................................................................... 105

§ 10. Число е ................................................................................................ 106

Глава 6. Производная и дифференциал .............................................. 108

§ 1. Производные алгебраических и тригонометрических

функций................................................................................................. 108

§2. Производная сложной функции........................................................... 110

§3. Касательная и нормаль к плоской кривой........................................... 111

§4. Случаи недифференцируемости непрерывной функции . . 113

§5. Производные логарифмических и показательных функций 114

§6. Производные обратных тригонометрических функций . . 116

§7. Производные гиперболических функций ........................................ 117

§ 8. Смешанные примеры и задачи на дифференцирование . 118

§9. Производные высших порядков........................................................... 119

§ 10. Производная неявной функции............................................................ 121

§11. Дифференциал функции......................................................................... 123

§ 12. Параметрические уравнения кривой................................................... 124

Глава 7. Приложения производной ....................................................... 127

§ 1. Скорость и ускорение.......................................................................... 127

§2. Теоремы о среднем ............................................................................ 128

§3. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя .... 131

§ 4. Возрастание и убывание функции. Максимум и минимум 133

§ 5. Задачи о наибольших и наименьших значениях величин 136
§ 6. Направление выпуклости и точки перегиба кривой.

Построение кривых.............................................................................. 138

Глава 8. Неопределенный интеграл......................................................... 140

§ 1. Неопределенный интеграл. Интегрирование разложением 140

§2. Интегрирование подстановкой и непосредственное .... 142

§3. Интегралы вида j -^-j, j -/===, j -/==

и к ним приводящиеся.......................................................................... 145

§ 4. Интегрирование по частям................................................................... 147

§5. Интегрирование тригонометрических функций.................................. 148

§6. Интегрирование рациональных алгебраических функций................. 150
§ 7. Интегрирование некоторых иррациональных алгебраиче­
ских функций...................................................................................................
152

§8. Интегрирование некоторых трансцендентных функций..................... 155
§9. Интегрирование гиперболических функций. Гиперболи­
ческие подстановки.........................................................................................
156

§ 10. Смешанные примеры на интегрирование............................................. 157

Глава 9. Определенный интеграл ......................................................... 160

§ 1. Вычисление определенного интеграла................................................ 160

§2. Вычисление площадей ........................................................................ 163

§3. Объем тела вращения............................................................................. 165

§ 4. Длина дуги плоской кривой................................................................. 167

§5. Площадь поверхности вращения.......................................................... 169

§ 6. Задачи из физики................................................................................... 170

§ 7. Несобственные интегралы.................................................................... 172

§8. Среднее значение функции.................................................................... 175

§9. Формула трапеций и формула Симпсона............................................ 176

Глава 10. Кривизна плоской и пространственной кривой .... 178

§ 1. Кривизна плоской кривой. Центр и радиус кривизны.

Эволюта................................................................................................. 178

§2. Длина дуги кривой в пространстве...................................................... 180

§3. Производная вектор-функции по скаляру и ее механиче­
ское и геометрическое значение. Естественный трех­
гранник кривой ................................................................................. 180

§ 4. Кривизна и кручение пространственной кривой .......................... 183

Глава 11. Частные производные, полные дифференциалы

и их приложения ................................................................... 185

§ 1. Функции двух переменных и их геометрическое изобра­
жение .....................................................................................................
185

§2. Частные производные первого порядка .......................................... 187

§3. Полный дифференциал первого порядка............................................ 189

§4. Производные сложных функций ...................................................... 191

§5. Производные неявных функций........................................................... 192

§ 6. Частные производные и полные дифференциалы высших

порядков................................................................................................ 194

§ 7. Интегрирование полных дифференциалов......................................... 198

§8. Особые точки плоской кривой.............................................................. 199

§9. Огибающая семейства плоских кривых................................................ 200

§ 10. Касательная плоскость и нормаль к поверхности............................... 201

§11. Скалярное поле. Линии и поверхности уровней.

Производная в данном направлении. Градиент................................. 203

§ 12. Экстремум функции двух переменных................................................ 205

Глава 12. Дифференциальные уравнения .......................................... 207

§ 1. Понятие о дифференциальном уравнении.......................................... 207

§ 2. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделя­ющимися

переменными. Ортогональные траектории . . . 208

§ 3. Дифференциальные уравнения первого порядка:

1) однородное, 2) линейное, 3) Бернулли........................................... 211

§ 4. Дифференциальные уравнения, содержащие дифферен­
циалы произведения и частного........................................................... 213

§ 5. Дифференциальные уравнения первого порядка в полных

дифференциалах. Интегрирующий множитель .............................. 213

§6. Дифференциальные уравнения первого порядка, не раз­
решенные относительно производной. Уравнения
Лагранжа и Клеро................................................................................. 215

§ 7. Дифференциальные уравнения высших порядков, допус­
кающие понижение порядка................................................................. 217

§8. Линейные однородные дифференциальные уравнения с

постоянными коэффициентами............................................................ 218

§9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

с постоянными коэффициентами.......................................................... 219

§ 10. Примеры дифференциальных уравнений разных типов 221

§ 11. Линейное дифференциальное уравнение Эйлера хпу^п' +

+ mi-'-V"-11 + • • • + ап_1ху1 + апу = f(x) ........................................... 222

§ 12. Системы линейных дифференциальных уравнений с по­
стоянными коэффициентами ............................................................
223

§ 13. Линейные дифференциальные уравнения в частных про­
изводных второго порядка (метод характеристик)............................
224

Глава 13. Двойные, тройные и криволинейные интегралы . . 226

§ 1. Вычисление площади с помощью двойного интеграла . ................. 226
§ 2. Центр масс и момент инерции площади с равномерно рас­
пределенной массой (при плотности
/i = 1)................................................... 228

§3. Вычисление объема с помощью двойного интеграла . . . 230

§4. Площади кривых поверхностей............................................................ 231

§5. Тройной интеграл и его приложения ............................................... 232

§6. Криволинейный интеграл. Формула Грина......................................... 234

§ 7. Поверхностные интегралы.

Формулы Остроградского-Гаусса и Стокса .................................. 238

Глава 14. Ряды................................................................................................ 242

§ 1. Числовые ряды...................................................................................... 242

§2. Равномерная сходимость функционального ряда............................... 245

§3. Степенные ряды..................................................................................... 247

§ 4. Ряды Тейлора и Маклорена................................................................. 249

§5. Приложения рядов к приближенным вычислениям .... 251

§6. Ряд Тейлора для функции двух переменных....................................... 254

§ 7. Ряд Фурье. Интеграл Фурье............................................................... 255

Ответы ........................................................................................................... 260

Приложение. Некоторые кривые (для справок) ........................................ 332