Курс чистой математики. Г.Х. Харди.

2-е,

стереотипное,

издание этой книги

вышло в 2006году,

его обложка

выглядит

уже так:

Пер. с англ. - М.: Изд-во Иностранной литературы, 1949 - 512с.

Книга выдающегося английского математика, профессора Кембриджского университета Годфри Гарольда Харди (1877--1947) содержит основные положения математического анализа, разобранные с исчерпывающей полнотой и всей необходимой математической строгостью. В нее также включено большое количество интересных задач и примеров, представляющих собой хороший материал для самостоятельной проработки важнейших положений анализа.

Рекомендуется математикам -- преподавателям математического анализа и студентам первых курсов естественных вузов.

Формат: djvu / zip

Размер: 5,6 Мб

Скачать / Download файл

Из предисловия автора к первому изданию

Эта книга написана в первую очередь для студентов первых курсов университетов, способности которых приближаются к тому уровню, который обычно требуется для получения стипендии. Я надеюсь, что она окажется полезной и для другого круга читателей, но в основном я учитывал интересы именно этого круга. Во всяком случае эта книга написана для математиков; я нигде не пытался идти навстречу студентам технических специальностей, и вообще не принимал во внимание запросов тех читателей, чьи интересы не являются в первую очередь математическими.

Я рассматриваю эту книгу как действительно элементарную. В ней содержится много трудных примеров (преимущественно в конце глав); такие примеры я снабжал, где это было возможно с точки зрения объема, указаниями к решению. Но я всячески старался избегать действительно трудных понятий. Например, равномерная сходимость, двойные ряды, бесконечные произведения даже не упоминаются в этой книге; я не доказываю никаких общих теорем относительно перестановки предельных переходов. В последних двух главах иногда интегрируется степенной ряд, но я ограничиваюсь только простейшими случаями и для каждого из них провожу специальное исследование.
Сентябрь 1908 г.

Предисловие автора к седьмому изданию

В этом издании книга подверглась самым серьезным изменениям со времени второго издания. Я воспользовался тем, что книга заново набиралась, и это дало мне возможность свободно изменять ее содержание.

Бывшее Приложение II (относительно обозначений "О, о и tilde") я включил в соответствующих местах в текст книги. Заново написаны части глав VI и VII, относящиеся к элементарным свойствам производных. Здесь я следую курсу де ла Валле-Пуссена; эта часть книги несомненно значительно улучшена. Эти важные изменения повлекли за собой, конечно, много других более мелких исправлений.

Я включил большое число новых примеров из числа задач, предлагавшихся на экзаменах в Кэмбридже за последние 20 лет, которые будут полезны кэмбриджским студентам. Эти задачи были подобраны для меня Лявом (E.R.Love), который прочел также все гранки и исправил много ошибок.

Общий план книги остался без изменений. Внимательно перечитывая книгу впервые за 20 лет, я неоднократно испытывал желание произвести в ней более радикальные изменения как в содержании, так и в стиле. Она была написана в то время, когда в Кэмбридже пренебрегали математическим анализом, и ее патетический стиль кажется теперь немного смешным. Если бы я переписал ее теперь, то я бы уже не писал (по выражению проф. Литтльвуда) как "проповедник, разговаривающий с каннибалами", а значительно суше и с соответствующей сдержанностью. Более того, я писал бы гораздо короче и смог бы включить значительно больше материала. Книга приняла бы характер обычного курса анализа.
Для такого начинания я не располагаю достаточным временем, и возможно, что это к лучшему, так как, вероятно, я написал бы значительно лучшую, но гораздо менее оригинальную книгу. Эта книга была бы не так полезна в качестве введения к руководствам по анализу, в которых теперь даже в Англии нет недостатка.
Ноябрь 1937 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Из предисловия автора кпервому изданию

Предисловие автора кседьмому изданию

Предисловие автора кдевятому изданию

ГЛАВА I.

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

1-2

Рациональные числа

3-7

Иррациональные числа

8

Действительные числа

9

Соотношения величины между действительными числами

10-11

Алгебраические действия над действительными числами

12

Число sqrt(2)

13-14

Квадратичные иррациональности

15

Континуум

16

Непрерывное действительное переменное

17

Сечения вобласти действительных чисел. Теорема Дедекинда

18

Точки накопления

19

Теорема Вейерштрасса

Разные примеры

ГЛАВА II.

ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО

20

Понятие функции

21

Графическое представление функций. Координаты

22

Полярные координаты

23

Полиномы

24-25

Дробно-рациональные функции

26-27

Алгебраические функции

28-29

Трансцендентные функции

30

Графическое решение уравнений

31

Функции от двух переменных и их графическое представление

32

Кривые на плоскости

33

Геометрические места впространстве

Разные примеры

ГЛАВА III.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

34-38

Смещения

39-42

Комплексные числа

43

Квадратное уравнение сдействительными коэффициентами

44

Диаграмма Аргана

45

Теорема Муавра

46

Рациональные функции комплексного переменного

47-49

Корни из комплексных чисел

Разные примеры

ГЛАВА IV.

ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО АРГУМЕНТА

50

Функции целочисленного положительного аргумента

51

Интерполяция

52

Конечные и бесконечные классы

53-57

Свойства, которыми обладают функции от n для больших значений n

58-61

Определение предела и другие определения

62

Колеблющиеся функции

63-68

Общие теоремы определах

69-70

Монотонно возрастающие или убывающие функции

71

Другое доказательство теоремы Вейерштрасса

72

Предел xn

73

Предел (1 + 1/n)n

74

Некоторые алгебраические леммы

75

Предел n(sqrtnx - 1)

76-77

Бесконечные ряды

78

Бесконечная геометрическая прогрессия

79

Представление функций от непрерывного действительного переменного спомощью пределов

80

Грани ограниченной совокупности

81

Грани ограниченной функции

82

Верхний и нижний пределы ограниченной функции

83-84

Общий признак сходимости

85-86

Пределы комплексно-значных функций и ряды скомплексными членами

87-88

Приложения кzn и кгеометрической прогрессии

89

Символы О, о, tilde

Разные примеры

ГЛАВА V.

ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНЭГО ПЕРЕМЕННОГО. НЕПРЕРЫВНЫЕ И РАЗРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ

90-92

Пределы при x --> oo или x --> --oo

93-97

Пределы при x --> a

98

Символы Ои о, tilde: порядки малости и роста

99-100

Непрерывные функции действительного переменного

101-105

Свойства непрерывных функций. Ограниченные функции. Колебание функции винтервале

106-107

Системы интервалов на прямой. Теорема Гейне -- Бореля

108

Непрерывные функции нескольких переменных

109-110

Неявные и обратные функции

Разные примеры

ГЛАВА VI.

ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ

111-113

Производные

114

Общие правила дифференцирования

115

Производные комплексно-значных функций

116

Обозначения дифференциального исчисления

117

Дифференцирование многочленов

118

Дифференцирование дробно-рациональных функций

119

Дифференцирование алгебраических функций

120

Дифференцирование трансцендентных функций

121

Повторное дифференцирование

122

Общие теоремы опроизводных. Теорема Ролля

123-125

Максимумы и минимумы

126-127

Теорема осреднем значении

128

Теорема Коши осреднем значении

129

Теорема Дарбу

130-131

Интегрирование. Логарифмическая функция

132

Интегрирование многочленов

133-134

Интегрирование дробно-рациональных функций

135-142

Интегрирование алгебраических функций. Интегрирование рационализацией. Интегрирование по частям

143-147

Интегрирование трансцендентных функций v

148

Площади фигур, ограниченных плоскими кривыми

149

Длины плоских кривых

Разные примеры

ГЛАВА VII.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

150-151

Теорема Тейлора

152

Ряд Тейлора

153

Приложения теоремы Тейлора ктеории максимумов и минимумов

154

Вычисление некоторых пределов

155

Касание плоских кривых

156-158

Дифференцирование функций нескольких переменных

159

Теорема осреднем для функций двух переменных

160

Дифференциалы

161-162

Определенные интегралы

163

Тригонометрические функции

164

Вычисление определенного интеграла как предела суммы

165

Общие свойства определенного интеграла

166

Интегрирование по частям и подстановкой

167

Другое доказательство теоремы Тейлора

168

Приложение кбиномиальному ряду

169

Приближенные формулы для определенных интегралов. Правило Симпсона

170

Интегралы от комплексно-значных функций

Разные примеры

ГЛАВА VIII.

СХОДИМОСТЬ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ И НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

171-174

Ряды сположительными членами. Признаки сходимости Коши и Даламбера

175

Признаки, основанные на отношениях следующих друг за другом членов

176

Теорема Дирихле

177

Умножение рядов сположительными членами

178-180

Дальнейшие признаки сходимости. Теорема Абеля. Интегральный признак Маклорена

181

Ряды sum n--s

182

Признак сгущения Коши

183

Дальнейшие признаки, основанные на отношениях

184-189

Несобственные интегралы

190

Ряды, содержащие положительные и отрицательные члены.

191-192

Абсолютно сходящиеся ряды

193-194

Условно сходящиеся ряды

195

Знакочередующиеся ряды

196

Признаки сходимости Абеля и Дирихле

197

Ряды скомплексными членами

198-201

Степенные ряды

202

Умножение рядов

203

Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы

Разные примеры

ГЛАВА IX.

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО

204-205

Логарифмическая функция

206

Функциональное уравнение для ln x

207-209

Поведение ln x при x стремящемся кбесконечности или кнулю

210

Логарифмическая шкала порядков роста

211

Число e

212-213

Показательная функция

214

Общая показательная функция ax

215

Представление ex ввиде предела

216

Представление ln x ввиде предела

217

Обыкновенные логарифмы

218

Логарифмические признаки сходимости

219

Экспоненциальный ряд

220

Логарифмический ряд

221

Ряд для arc tg x

222

Биномиальный ряд

223

Другой способ развития теории показательной и логарифмической функций

224-226

Аналитическая теория тригонометрических функций

Разные примеры

ГЛАВА X.

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ, ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

227-228

Функции комплексного переменного

229

Криволинейные интегралы

230

Определение логарифмической функции

231

Значения логарифмической функции

232-234

Показательная функция

235-236

Общая показательная функция а

237-240

Тригонометрические и гиперболические функции

241

Связь между логарифмической и обратными тригонометрическими функциями

242

Экспоненциальный ряд

243

Ряды для cos z и sin z

244-245

Логарифмический ряд

246

Представление показательной функции ввиде предела

247

Биномиальный ряд

Разные примеры

Приложение I. Неравенства Гельдера и Минковского

Приложение II. Доказательство того, что каждое алгебраическое уравнение имеет по крайней мере один корень

Приложение III. Замечание одвойных предельных переходах

Приложение IV. Бесконечное ванализе и вгеометрии