Стереометрические задачи и методы их решения. Готман Э.Г.

М.: МЦНМО, 2006.— 160 с.

Книга содержит задачи по стереометрии, предназначенные для дополнительного образования учащихся старших классов. Она может также служить пособием для подготовки к математическим олимпиадам и к вступительным экзаменам по математике в высшие учебные заведения.

Формат: pdf / zip

Размер: 1 Мб

Скачать / Download файл

Предисловие

Задачи по стереометрии — прекрасные упражнения, способствующие развитию пространственных представлений, умения логически мыслить, способствующие более глубокому усвоению всего школьного курса математики.

Решение стереометрической задачи чаще всего сводится к решению планиметрических задач. Поэтому, решая задачи по стереометрии, всё время приходится возвращаться к планиметрии, повторять теоремы, вспоминать формулы, необходимые для решения. При решении стереометрических задач ещё в большей мере, чем в планиметрии, используются средства алгебры и тригонометрии, применяются векторный и координатный методы, дифференцирование и интегрирование. Таким образом, стереометрические задачи способствуют творческому овладению всей совокупностью математических знаний.

Настоящее пособие является продолжением книги автора «Задачи по планиметрии и методы их решения» (М.: Просвещение, 1996). Тем не менее, пользоваться настоящим пособием можно и тем, кто не знаком с книгой по планиметрии, здесь нет ссылок на ту книгу. По своей структуре книга «Задачи по стереометрии» несколько отличается от предыдущей. Классификация задач в основном проводится не по методам решения, а по содержанию, по характеру геометрических фигур. Книга предназначена главным образом для учащихся старших классов, желающих углубить свои знания по математике, и может служить пособием для подготовки к математическим олимпиадам и к вступительным экзаменам по математике в высшие учебные заведения. Книга будет полезна также учителям математики, руководителям математических кружков, студентам педагогических институтов.

Данное пособие содержит много довольно простых задач, по трудности мало отличающихся от задач, помещённых в школьных учебниках. Особое внимание уделено классификации задач. Для решения предлагаются не разрозненные задачи, а серии задач, связанных между собой по содержанию и методам решения. Задачи расположены в порядке возрастания трудности, так что решение первых более простых задач помогает находить решения следующих за ними.

В начале каждой главы рассказано о методах решения, приводятся решения типичных задач, даны необходимые теоретические сведения. Главы 1 и 2 содержат задачи о многогранниках и телах вращения. В главах 3 и 4 собраны задачи, для решения которых целесообразно пользоваться векторным и координатным методами. Глава 5 посвящена геометрии тетраэдра. При решении задач этой главы рекомендуется использовать, где это возможно, аналогию между треугольником и тетраэдром. Глава 6 содержит разнообразные задачи на отыскание наибольших и наименьших значений геометрических величин. При этом особо выделены задачи, решаемые элементарными средствами, без применения производной. В последнюю главу 7 включены задачи на комбинацию многогранников и тел вращения. Среди них много задач повышенной трудности.

Ко всем задачам на вычисление даны ответы. Большинство трудных задач снабжено указаниями или краткими решениями.

Оглавление
Предисловие 4
Глава1.Многогранники 6
§1. Призма, параллелепипед, куб 17
§2. Пирамида, усечённая пирамида 19
Глава2.Тела вращения 24
§3. Цилиндр, конус, усечённый конус 28
§4. Комбинация круглых тел 30
§5. Касание круглых тел 31
Глава3.Векторный метод 33
§6. Аффинные задачи 42
§7. Метрические задачи 45
Глава4.Метод координат 50
§8. Вычисление расстояний и углов 57
§9. Многогранники и сфера 58
Глава 5. Наибольшие и наименьшие значения 60
§10. Применение элементарных методов 67
§11. Применение производной 70
Глава6.Треугольникитетраэдр 73
§12. Метрические соотношения в тетраэдре 76
§13. Прямоугольный тетраэдр 79
§14. Ортоцентрический тетраэдр 82
§15. Равногранный тетраэдр 83
Глава 7. Комбинации геометрических тел 87
§16. Призмы и пирамиды 87
§17. Правильная пирамида и сфера 88
§18. Правильная пирамида и сфера, касающаяся всех её рёбер . . 95
§19. Разные задачи 102
Ответы, указания, решения 105
Обозначения и формулы 159